Vektor Uzayi

2.1- Vektör Uzayı Kavramı
25
2. VEKTÖR UZAYLARI
2.1− VEKTÖR UZAYI KAVRAMI
√
1. V = a + b 2 : a ∈ Q, b ∈ Q eşitliğiyle verilen V kümesinin Q rasyonel sayılar cismi
üstünde bir vektör uzayı olduğunu gösteriniz.
Cevap: Vektör uzayı tanımındaki önermelerin tümünün doğru olduğunu gösteriniz.
––––––––––––––––—
2. R2 uzayında u = (3, −2) , v = (−1, 3) , w = (2, 1) olduğuna göre (3u − v) − (u + 2w)
vektörünün bileşenlerini bulunuz.
Cevap: (3u − v) − (u + 2w) = (3, −9)
––––––––––––––––—
3. n ∈ N olmak üzere R cismi üstünde derecesi n sayısından büyük olmayan bütün polinomların kümesi V olsun. Başka bir anlatımla
V = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn : a0 , a1 , a2 , . . . , an ∈ R
olsun. V nin R cismi üstünde bir vektör uzayı olduğunu gösteriniz.
Cevap: Vektör uzayı tanımındaki önermelerin tümünün doğru olduğunu gösteriniz.
––––––––––––––––—
4. R2 kümesinde toplama işlemi,
(x1 , x2 ) ⊕ (y1 , y2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 )
eşitliğiyle tanımlanıyor. Skalarla çarpma işlemi, λ ∈ R olmak üzere
λ (x1 , x2 ) = (x1 , λx2 )
eşitliğiyle tanımlanıyor. R2 kümesinin bu işlemlere göre bir vektör uzayı olup olmadığını gösteriniz.
Cevap: Vektör uzayı tanımındaki önermelerin doğru olup olmadığına bakınız.
Her a, b ∈ R ve her u ∈ R2 için (a + b)u = au + bu
önermesinin doğru olmadığını göreceksiniz. Buna göre R2 kümesi burada verilen işlemlere göre
bir vektör uzayı değildir.
––––––––––––––––—
5. R2 kümesinde toplama işlemi,
(x1 , x2 ) ⊕ (y1 , y2 ) = (x1 y1 , x2 y2 )
Mat 201 Lineer Cebir Çalışma Soruları
26
eşitliğiyle tanımlanıyor. Skalarla çarpma işlemi, λ ∈ R olmak üzere
2
λ (x1 , x2 ) = (λx1 , λx2 )
eşitliğiyle tanımlanıyor. R kümesinin bu işlemlere göre bir vektör uzayı olup olmadığını gösteriniz.
Cevap: Vektör uzayı tanımındaki önermelerin doğru olup olmadığına bakınız. En az birinin
doğru olmadığını göreceksiniz.
––––––––––––––––—
6. V = {xey : x, y ∈ R ve x = 0} olsun. V kümesinde toplama işlemi,
(x1 ey1 ) ⊕ (x2 ey2 ) = x1 x2 ey1 +y2
eşitliğiyle tanımlanıyor. Skalarla çarpma işlemi, λ ∈ R olmak üzere
λ (xey ) = xeλy
eşitliğiyle tanımlanıyor. V kümesinin bu işlemlere göre bir vektör uzayı olup olmadığını gösteriniz.
Cevap: Vektör uzayı tanımındaki önermelerin doğru olup olmadığına bakınız. En az birinin
doğru olmadığını göreceksiniz.
––––––––––––––––—
Kaynaklar:
“Mühendislik ve İstatistik Bölümleri Lineer Cebir ”; Arif Sabuncuoğlu. Nobel Yayıncılık.
“Mühendislik ve İstatistik Bölümleri Çözümlü Lineer Cebir Alıştırmaları”; Arif Sabuncuoğlu. Nobel Yayıncılık.
“Elementary Linear Algebra”, Kolman, Bernard and Hill, R, David. Prentice-Hall, inc.
Englewood Cliffs, New Jersey, 2008.
“Elementary Linear Algebra”, Anton, Howard and Rorres, Chris. John Wiley & Sons,
New York, Chicherter, Brisbane, Toronto, Singapore, 2005.