sıfır uzayı

Lineer Vektör Uzayı
Hatırlatma
x, y, z  V ve  ,   F
cebrik işlem

ve
.
VT2
VT3
VT4
x, y  V
V
olmak üzere ‘de iki
aşağıdaki gibi tanımlanmış olsun
Vektör toplama (VT)
VT1
V
x  y V x, y V
xy  yx
x, y, z  V ( x  y )  z  x  ( y  z )
!0 V  x V x  0  x
x  V
!(-x )  V  x  ( x)  0
Hatırlatma
Skaler ile çarpma (SÇ)
SÇ1
 .x V x V ,   F
  F x,y V .x  y   .x  . y
SÇ2
 ,   F x V    .x  .x   .x
SÇ3
 ,   F x V   .x   .x
SÇ4
x V 1.x  x
Hatırlatma
V
Alt uzay
lineer vektör uzayının bir alt uzayı Va aşağıdaki
özelliği sağlayan boş olmayan bir alt kümedir
x, y Va α,β  F  .x   . y Va
Hatırlatma
lineer bağımsız vektör kümesi
v1 , v2 ,..., vk V
ve
c1 , c2 ,..., ck  F
olsun
c1.v1  c2 .v2  ...  ck .vk  0  c1  c2  ...  ck  0
v1 , v2 ,..., vk V
lineer bağımsızdır.
Aksi taktirde lineer bağımlıdır ve içlerinden en az biri
diğerleri cinsinden ifade edilebilir.
Hatırlatma
Bir alt uzayın örtülüşü…..
v1 , v2 ,..., vk V
olmak üzere Va ‘da ki her va vektörü
va  c1.v1  c2 .v2  ...  ck .vk şeklinde vi vektörleri
cinsinden yazılabiliniyorsa vi vektörleri Va vektör uzayını
örter.
Biraz örnek…..
1
1
1
v1  0, v2  0, v3  1,
0
1
1
1 
0 
1
v1   , v2   , v3   
 2
 2
1
3 4 2


A  0 1 5 
0 0 2
Bu vektörlerin örttüğü
uzayı belirleyin
ve de bu vektörlerin
örttüğü uzayı belirleyin
Matrisin sütunlarının
örttüğü uzayı belirleyiniz
Bir vektör uzayının bazı
v1 , v2 ,..., vk V ,
vi
vektörleri aşağıdaki özelikleri
sağlıyorsa bir vektör uzayının baz vektörleridir.
1.
v1 , v2 ,..., vk V
vektörleri lineer bağımsız bir
kümedir,
2.
Vektör uzayını örterler.
Biraz örnek….
1 2 3 4
A  0 0 1 2
0 0 0 0
Ax  b
A matrisinin sütunlarının
örttüğü uzayı belirleyiniz.
Bu uzay için bir baz vektörleri
kümesi oluşturunuz
denklem takımının
çözümü var mıdır?
1 
b  0 
 2 
için bir
Bir vektör uzayının boyutu
Baz vektörlerinin sayısına vektör uzayının boyutu denir
ve uzayın “serbestlik derecesini” belirler.
!!!!!! Dikkat !!!!!!!! boyut kelimesini iki farklı yerde kullanıyoruz
vektörün boyutu
vektör uzayının boyutu
Yeniden lineer denklem takımlarına dönelim
Şimdiye kadar uğraştığımız denklem takımlarının özelliği
nedir?
………………………………………..
n bilinmeyen, m denklem varsa ne yapacağız?
…………………………………………….
Denklem sayısı bilinmeyenden fazla ise
m>n
veya eksik ise
m<n
 a11
a
 21
 .

 .
 .

am1
a12
a22
am 2
... a1n   x1   b1 
... a2 n   x2   b2 
 .   . 
    
 .   . 
 .   . 
   
... amn   xn  bm 
 a11 
 a12 
 a1n 
 b1 
a 
a 
a 
b 
 21 
 22 
 2n 
 2
 . 
 . 
 . 
.
  x1    x2  ...    xn   
 . 
 . 
 . 
.
 . 
 . 
 . 
.
 
 
 
 
a
a
a
 m1 
 m 2 
 mn 
bm 
Çözümün olması için b ne olmalı?
Ax  b denklem takımının çözümünün olması için
gerek ve yeter koşul b vektörünün A matrisinin
sütunlarının lineer kombinasyonu olarak ifade
edilebilir olmasıdır.
A’nın sütunları
m
‘de bir alt uzay oluşturur ve bu
alt uzay ( A) ile temsil edilir . Bu alt uzaya A’nın
sütun uzayı denir ve A matrisinin sütunlarının
örttüğü uzaydır.
R
A’nın sütunlarının bir alt uzay oluşturduğunu nasıl
gösteririz?
Çözümün olması için b vektörü………………….
Bir örnek…….
1 0 
1
5 4  x1   9

x   
2 4  2  6
1 0 
1
5 4  x1   9

x   
2

2 4
7
 x1 
1 1 1   3
1 0 2  x2   3

x   
 3
 x1 
1 1 2   3
1 1 2  x2   1

 x   
 3
Bu denklem takımlarının çözümü var mı?
Bir uzay daha: sıfır uzayı
Ax  0 ’ı sağlayan xvektörleri
Rn
’nin bir alt uzayını
oluşturur. Bu alt uzay A ‘nın sıfır uzayı olarak isimlendirilir
ve N (A) ile belirtilir.
Ax=0 ’ın çözümlerinin bir alt uzay oluşturduğunu
nasıl gösteririz?
Sıfır uzaylarını bulalım….
1 0 
0
5 4  x1   0

x   
2 4  2  0
1 0 1  x1  0
 5 4 9   x   0 

 2   
2 4 6  x3  0
1
1
 
1
n bilinmeyenli m denklem
İndirgemeyi şimdi nasıl uygulayacağız?

0

0

0
0
       
       
0 0      

0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 0 0
Herhangi bir m n matris A için PA  LU eşitliğini
sağlayan permütasyon matrisi, alt üçgen matris ve
satır basamak matris vardır.
U
P
L
Bir örnek….
 x1 
1 2 0 1     b1 
0 1 1 0  x2   b 

x   2 
1 2 0 1   3  b3 
 x4 
 1 0 0 1 2 0 1 1 2 0 1
P13 A   0 1 0 0 1 1 0  0 1 1 0
 1 0 1 1 2 0 1 0 0 0 0
U
1 0 0
L  0 1 0
1 0 1
 x1 
1 2 0 1  
x2 



Ux  0 1 1 0
 x3 
0 0 0 0  
 x4 
temel değişkenler
serbest değişkenler
A’nın sıfır uzayını belirleyin.
x2  x3  0
x2   x3
x1  2 x2  x4  0
x1  2 x3  x4
2
 1
2 x3  x4 
 1
0
 x 
3
  x3    x4  
x
 x3 
1
0


 
 
x
0
4


 
1
A’nın sıfır uzayı…………….
Bu arada sağ tarafa ne oldu…….
 x1 
1 2 0 1  
x2 



Ux  0 1 1 0
 x3 
0 0 0 0  
 x4 
 b1 


  b2   c
 b1  b3 
1
uygun bir sağ taraf alalım b  1

1
 x1 
1 2 0 1   1
x2  x3  1
 0 1 1 0   x 2   1 

x   
x1  2 x2  x4  1
3
0 0 0 0   0
 x4 
x2  1  x3
x1  1  2 x3  x4
2
 1
1  2 x3  x4  1
 1
0
 1 x
 1
3
    x    x  
x

 0  3  1  4  0 
x3

  
 
 
x
4

 0 
0
1
Özel çözüm
Kıssadan hisse
Homojen çözüm
xgenel  xözel  xhomojen