σ τ

1
MUKAVEMET – I :
2
MUKAVEMET – I :
MUKAVEMET – I :
2. Hafta
Gerilme Kavramı
09/10 2.H
© 2009NM
09/10
09/10 2.H
2.H
© 2009NM
GERĐLME KAVRAMI
MUKAVEMET – I :
Eğilme
Basma yada
çekme
Burulma
Eğilme
Gerilme Kavramı
3
MUKAVEMET – I :
4
MUKAVEMET – I :
MUKAVEMET – I :
2-D
3-D
09/10 2.H
© 2009NM
09/10
09/10 2.H
2.H
© 2009NM
4.
40.
ÖNCE STATİK ANALİZZ
• Statik analiz yardımıyla her bir
elemandaki iç kuvvetin ve
mesnetlerdeki tepki
kuvvetlerinin bulunması
istenmektedir.
• Yapı 30 kN luk yükü taşımak üzere
tasarlanacak.
• Yapı bir dairesel kesitli çubuk (rod)
ve bir dikdörtgen kesitli çubuğun
(boom)
pimler
yardımıyla
bağlanması ile oluşturulacaktır.
Gerilme Kavramı
(boom)
(rod)
Gerilme Kavramı ;
MUKAVEMET – I :
Review of Statics
∑Fy=0 , ∑Mz=0
∑Mx=0
∑My=0
∑Mz=0
Statiğin denge denklemleri.
∑Fx=0
∑Fy=0
∑Fz=0
∑Fx=0 ,
Gerilme Kavramı
5
MUKAVEMET – I :
6
MUKAVEMET – I :
MUKAVEMET – I :
SERBEST CĐSĐM DĐYAGRAMI (SCD)
(FBD ))
Gerilme Kavramı
hesaplanamaz !
. Bu durumda napcaz?
09/10 2.H
09/10
09/10 2.H
2.H
© 2009NM
• Ay and Cy bu denklemler yardımıyla
Ay + C y = 30 kN
∑ Fy = 0 = Ay + C y − 30 kN = 0
C x = − Ax = −40 kN
∑ Fx = 0 = Ax + C x
Ax = 40 kN
∑ M C = 0 = Ax (0.6 m ) − (30 kN )(0.8 m )
• Statiğin denge denklemleri ile:
• Yapı mesnetlerinden koparılır ve dış yükler ve
mesnet tepki kuvvetleri SCD üzerinde gösterilir
(Structure Free-Body Diagram
Düzeltilmiş
yön
MUKAVEMET – I :
Yapıyı oluşturan elemanların SCD ları çizilir :
• Eğer bir yapının tamamı dengede ise
ondan ayrılan her parçada statikçe
dengededir.
• Sadece AB çubuğunun SCD gözönüne alınırsa
∑ M B = 0 = − Ay (0.8 m )
Ay = 0
Önceki slayttaki genel ifade de yerine
konursa,
C y = 30 kN
• Sonuçlar:
Ax = 40 k → C x = 40 k ← C y = 30 k ↑
© 2009NM
Tepki kuvvetleri, AB ve BC çubukları
boyunca etki etmektedir. (çift-kuvvet
elemanı)
Gerilme Kavramı
7
MUKAVEMET – I :
8
MUKAVEMET – I :
Gerilme Kavramı
r
∑ FB = 0
09/10 2.H
FBC = 50 kN
FAB FBC 30 kN
=
=
4
5
3
FAB = 40 kN
09/10
09/10 2.H
2.H
© 2009NM
• Bağlantı noktaları (düğüm noktaları) statik olarak
dengede olmalı bir başka deyişle aynı noktaya etki
eden kuvvetler kapalı bir çokgen oluşturmalı:
• DENGE ???
• For equilibrium (DENGE), kuvvetler
uygulama noktaları arasında eksene
parelel, eşit şiddette ve zıt yönlerdedir,
• AB ve BC çubukları 2-kuvvet elemanıdır,
(i.e., statikte görmüştük.)
Kesitler Yöntemi
MUKAVEMET – I :
D
MUKAVEMET – I :
Cisim tüm olarak dengede ise
ondan ayrılan her parçada statik
olarak dengede olacaktır. Bu da
İÇ KUVVETLER ile sağlanır.
çubuğun kesit alanının ve
Bir yapının analizi yapılırken
incelenen kesitteki iç kuvvetlerin
etkisinin
bulunması
gerekir,
bunun için de ;
•
• çubuk malzemesinin bilinmesi
gerekir.
© 2009NM
Mikro Analiz (hafiften): Micro
düzeyde çubuk atomlardan
meydana gelmiştir ve dış yüke karşı atomları bir arada tutan
bağ kuvveti ile karşılık verir.
Gerilme Kavramı
9
MUKAVEMET – I :
10
MUKAVEMET – I :
MUKAVEMET – I :
MUKAVEMET – I :
09/10 2.H
Kestikten sonra üst kısmı
atarsak, kesilen parçada
dengeyi sağlayan Đç Kuvvettir.
Đç kuvvet
Kesit Alanı
Dış kuvvet
© 2009NM
09/10
09/10 2.H
2.H
© 2009NM
FAB = 40 kN (compression)
FBC = 50 kN (tension)
bulunmuştu,
• From a statics analysis
Can the structure safely support
the 30 kN load?
(Stress Analysis)
Gerilme Kavramı
Gerilme Analizi
Gerilme Kavramı
11
MUKAVEMET – I :
12
MUKAVEMET – I :
MUKAVEMET – I :
dBC = 20 mm
09/10 2.H
Bu analizdeki F kuvveti kesit
alanında
yayılı
elemanter
iç
kuvvetlerin bir bileşkesidir. Bu
yayılı kuvvetlerin yoğunluğu (gücü)
birim alana düşen kuvvete eşittir.
Çubuğun kırılıp kırılmaması bu
birim alana düşen kuvvete bağlıdır.
Birim alana düşen kuvvete (veya
verilen bu kesitteki yayılı kuvvetlerin
yoğunluğuna) bu kesitteki GERĐLME
denir. Sigma (σ) ile gösterilir.
Gerilme Kavramı
09/10
09/10 2.H
2.H
© 2009NM
A kesit alanına sahip ve bir F eksenel yükü etkisi altındaki bir
yapı elemanında ortaya çıkan gerilme F büyüklüğünün A kesit
alanına bölünmesi ile elde edilir.
MUKAVEMET – I :
dBC = 20 mm
F
50 × 10 3 N
=
= 159 MPa
A 314 × 10 -6 m 2
edilen
• BC elemanı boyunca herhangi bir kesitteki
iç kuvvet 50 kN dur, bu yayılı kuvvetlerin
yoğunluğu yada gerilme,
σBC =
• İlgili literatürden, müsaade
çalışma gerilmesi okunur,
σ = 165 MPa
• Sonuç: BC elemanı hasarlanmaz.
Mukavemet şartı ;
σ ≤ σs
© 2009NM
; Sınır gerilme, malzemenin hasarlanmadan taşıyabileceği
en büyük gerilme (standart deneylerle saptanır).
σ (σall) ; dış yüklerin etkisinde elemanda oluşan gerilme (hesaplanan)
(müsaade edilen çalışma gerilmesi veya tasarım gerilmesi)
u)
σ (σ
s
Gerilme Kavramı
13
MUKAVEMET – I :
14
MUKAVEMET – I :
(Design)
MUKAVEMET – I :
Tasarım
09/10 2.H
• Yeni bir yapının tasarımı, ondan beklenen işlevi yerine
getirebilecek şekilde bileşen boyutları ve uygun malzeme
seçimini gerektirir.
• Malzeme seçiminde fiat, ağırlık, elde edilebilirlik,
v.s. etkendir.
=
P
σs
=
= 2.52 × 10 − 2 m = 25.2 mm
© 2009NM
d2
50 × 10 3 = 500 × 10 −6 m 2 , A = π
4
100 × 10 6 Pa
π
4(500 × 10 −6 m 2 )
A=
• Örneğin; BC çubuğu için alüminyum malzeme
seçilirse (σs= 100 MPa). Bu durumda çubuğun çapı
ne olmalı?
π
4A
P
σ =
A
s
d=
Gerilme Kavramı
09/10
09/10 2.H
2.H
• BC çubuğu alüminyum olursa çapı en az ≥ 25.2 mm olmalıdır.
MUKAVEMET – I :
1.Eksenel yükleme – ormal Gerilme
Önceki bölümde gördüğümüz BC çubuğu bir çift
kuvvet elemanıdır, FBC ve F′BC kuvvetleri çubuk
ekseni boyunca etkimektedir. Çubuk EKSENEL
YÜKLEME etkisi altındadır.
© 2009NM
İç kuvvet ve buna karşılık gelen gerilmeyi
bulmak için çubuktan geçirilen kesit çubuk
eksenine diktir. Buna karşılık gelen gerilme
NORMAL GERİLME dir. Eksenel yükleme etkisi
altındaki bir elemanda ,
Gerilme Kavramı
Normal gerilme ;
σ
∆A → 0
P
=
A
∆F
∆A
P
σ =
A
(1.1)
ile elde edilir.
herhangi bir noktadaki gerilme
kesitteki ortalama gerilme
Gerilme Kavramı
A
P = σ ort . A = ∫ dF = ∫ σ dA
• Herhangi
bir
noktadaki
gerilme
ortalama gerilmeye eşit olmayabilir,
ancak gerilme dağılımının bileşkesi
aşağıdaki eşitliği sağlamalıdır,
ort.
σ = lim
A alanı sonsuz küçük ∆A ya doğru giderken gerilme ;
MUKAVEMET – I :
© 2009NM
09/10
09/10 2.H
2.H
Bu formüldeki gerilme; kesitte dağılı iç kuvvetlerin
kesit alanına bölünmesiyle elde edilmiştir,
ORTALAMA bir değerdir. Bu kesitteki herhangi bir
noktadaki gerilme değildir. Herhangi bir noktadaki
gerilme değerini bulmak için
Alana dik kuvvet (F ⊥ A)
ormal Gerilme =
Kesit Alanı
* ÖNEMLĐ
16
MUKAVEMET – I :
17
MUKAVEMET – I :
18
MUKAVEMET – I :
MUKAVEMET – I :
•Gerilme
dağılımı,
yükün
hemen
uygulama
noktası
cıvarı hariç yükleme
modundan bağımsız
olduğu
kabul
edilebilir.
Gerilme Kavramı
• SaintVenant’s
Prensibi:
09/10 2.H
09/10
09/10 2.H
2.H
© 2009NM
Pratikte
eksenel
yüklenmiş
elemanlardaki gerilme dağılımı düzgün
kabul edilecektir .
• Eksenel olarak yüklenmiş elemanlarda yük rijid bir levha yardımıyla
iletilirse gerilme ve genleme dağılımı düzgün olacaktır.
• Ancak tekil yükler, yükün uygulama
noktası civarında büyük gerilmelere
neden olurlar.
• Gerilme ve genleme dağılımının düzgün
olduğu yaklaşımı ancak yükün uygulama
noktasından relatif olarak belli bir
uzaklıktaki kesitlerde kabul edilebilir.
Saint Venant
MUKAVEMET – I :
• Kesitteki
düzgün
(üniform)
gerilme dağılımı kabulü, iç
kuvvetlerin bileşkesinin kesitin
ağırlık merkezinden (C) geçtiği
kabulünün bir sonucudur.
• Bir çift-kuvvet elemanında düzgün
gerilme dağılımı ancak kuvvetler
kesitin
ağırlık
merkezinden
(C)
geçecek
şekilde
uygulanırsa
mümkündür.
© 2009NM
• Ki buna MERKEZSEL YÜKLEME
(EKSENEL YÜKLEME)
KLEME adı verilir.
Gerilme Kavramı
19
MUKAVEMET – I :
20
MUKAVEMET – I :
MUKAVEMET – I :
09/10 2.H
09/10
09/10 2.H
2.H
© 2009NM
Ayrılan
parçanın
dengede
kalmasını
sağlayan
şey iç
kuvvetlerdir (σ) ki bu değer o
parçanın
hasarlanıphasarlanmayacağını
belirleyen
büyüklüktür.
(P=P’)
O elemandan ayrılan her
parça da dengededir.
(P=P’)
Bir eleman dış yükler
etksinde dengede ise
ÖZET : EKSENEL YÜKLEME (Đki-kuvvet elemanında)
Gerilme Kavramı
Gerilme Kavramı
© 2009NM
Ok. ?
σ için negatif (-) bir değer basma
gerilmesini ifade eder. That is, the
stress due to a force ∆F pushes on the
area on which it acts.
σ için pozitif (+) bir değer çekme
gerilmesini ifade eder. That is, the
stress due to a force ∆F pulls on the
area on which it acts.
Normal Gerilme için Đşaret kuralı
MUKAVEMET – I :
çekme
basma
21
MUKAVEMET – I :
22
MUKAVEMET – I :
MUKAVEMET – I :
GERĐLME BĐRĐMĐ
(Units of Stress)
09/10 2.H
SI birim systeminde (International System of Units) gerilmenin
birimi Pascal,dır. (i.e. : 1 Pa = 1 N/m2)
© 2009NM
09/10
09/10 2.H
2.H
© 2009NM
Mühendislik açısından Pa ‘ ı kullanmak çoğu zaman çok
küçük skaler değerler vermekte bu nedenle de genellikle
çarpım katsayıları kullanılır:
stress)
= force/unit area = Newtons/m2
or shear
σ (Normal
= 1 Newton/m2
= 103 Newton/m2
= 106 Newton/m2
= 109 Newton/m2
Gerilme Kavramı
1 Pa (Pascal)
1kPa (kilo Pascal)
1MPa (Mega Pascal)
1GPa (Giga Pascal)
MUKAVEMET – I :
Gerilme Kavramı
23
MUKAVEMET – I :
24
MUKAVEMET – I :
MUKAVEMET – I :
MUKAVEMET – I :
Gerilme Kavramı
09/10 2.H
© 2009NM
09/10
09/10 2.H
2.H
© 2009NM
Her ne kadar SI birim sistemi kullanıcağız dedikse
de zaman zaman slaytlarda farklı birim sistemleri ile
karşılabilirsiniz, bu durumda ;
1 Pa = 1.450 x 10 psi
1 kPa = 0.1450 psi
1 MPa = 145.0 psi
Dönüşüm Đfadeleri
1 psi = 6.895 kPa
1 ksi = 6.895 MPa
1000000 psi ≅ 7 GPa
1 GPa = 1.45 x 10 psi
-4
1000 ksi = 6.895 Gpa
1 Pa = 0.02089 psf
5
1 psf = 47.88 Pa
Gerilme Kavramı
25
MUKAVEMET – I :
26
MUKAVEMET – I :
MUKAVEMET – I :
Örnek 2.1.
σ ort .
F
F
= =
A π d2 


 4 
2700 =
 (5 mm) 2 

 π
4 

≅ 137.5
( MPa)
mm 2
F = 2700 F − 2700 = 0
∑F = 0
F = m.g = 275.9,81 ≅ 2700 Gerilme Kavramı
Şekilde görüldüğü gibi vinç
275 kg ağırlığındaki bir
hava
kompresörünü
üzerindeki
bir
A
noktasındaki cıvataya telle
bağlı olarak taşımaktadır
Tel çapı 5 mm ise teldeki
ortalama çekme gerilmesi
ne olur?
MUKAVEMET – I :
ÇÖZÜM :
S.C.D.
W=275 kg
137.5 MPa
σ ort .
σ
ort .
Gerilme Kavramı
09/10 2.H
© 2009NM
09/10
09/10 2.H
2.H
© 2009NM
27
MUKAVEMET – I :
28
MUKAVEMET – I :
MUKAVEMET – I :
Örnek 2.2.
09/10 2.H
80 kg. ağırlığındaki lamba şekilde görüldüğü gibi AB ve BC
Gerilme Kavramı
S.C.D.
© 2009NM
09/10
09/10 2.H
2.H
© 2009NM
çubukları ile bağlanmaktadır. ∅ dAB=10 mm ve ∅ dBC=8 mm
olduğuna göre her bir çubuktaki gerilmeyi bulun.
MUKAVEMET – I :
Đlk önce her bir çubuktaki eksenel kuvveti
bulmalıyız. Bunun için de B maddesel
noktasının dengesini yazarsak;
Bu kuvvetler aynı zamanda Newton’u 3. yasası
gereği çubuk kuvvetleridir. O halde gerilmeler;
(c) de AB çubuğu kesitindeki gerilme
dağılımı, (d) de ise bu kesit içinde bir
noktadaki elemanda gerilme durumu
görülmektedir.
Gerilme Kavramı
29
MUKAVEMET – I :
30
MUKAVEMET – I :
MUKAVEMET – I :
MUKAVEMET – I :
?
Gerilme Kavramı
Gerilme Kavramı
09/10 2.H
© 2009NM
09/10
09/10 2.H
2.H
© 2009NM
31
MUKAVEMET – I :
32
MUKAVEMET – I :
MUKAVEMET – I :
MUKAVEMET – I :
Gerilme Kavramı
Gerilme Kavramı
09/10 2.H
© 2009NM
09/10
09/10 2.H
2.H
© 2009NM
33
MUKAVEMET – I :
34
MUKAVEMET – I :
MUKAVEMET – I :
Gerilme Kavramı
Japonya da bir köprü hasarı
MUKAVEMET – I :
2. Kayma (Kesme) gerilmesi
09/10 2.H
© 2009NM
09/10
09/10 2.H
2.H
(Shearing Stress)
© 2009NM
Daha çok perçinli, cıvatalı, vidalı veya çivili
bağlantı elemanlarında ortaya çıkan gerilmedir.
ÖRNEĞİN :
• Şekildeki gibi P and P’ dış
kuvvetlerine maruz kalan
bir AB elemanını gözönüne
alırsak,
(Makasın kesmesi gibi düşünün)
Gerilme Kavramı
35
MUKAVEMET – I :
36
MUKAVEMET – I :
MUKAVEMET – I :
09/10 2.H
• C kesit düzleminde etki eden iç kuvvetlere
kesme kuvvetleri, bu kuvvetlerin ortaya çıkardığı
duruma da kesme (makaslama) adı verilir.
P
(τ: Tau )
A
• Buna karşılık gelen gerilmeye kesme gerilmesi
denir ve aşağıdaki gibi hesaplanır,
τ ort. =
• Normal gerilmelerde olduğu gibi, herhangi bir noktadaki kayma gerilmesi
kesit içinde yayılı ortalama kayma gerilmesine eşit olmayabilir ancak kesit
içindeki iç kesme kuvvetlerinin dağılımının bileşkesi P ye eşit olmalıdır.
Gerilme Kavramı
© 2009NM
09/10
09/10 2.H
2.H
Cıvatanın SCD ;
P F
= =
A 2A
© 2009NM
• Kesme gerilmelerinin dağılımı elemanın alt ve üst yüzeylerindeki sıfır
değerinden ortalama değerden çok daha büyük bir maksimum değere
kadar değişir. Kesme gerilmelerinin dağılımının düzgün olduğu kabulü
yapılamaz.
Gerilme Kavramı
MUKAVEMET – I :
τ ort.
Double Shear
Kesme gerilmesi örnekleri
Single Shear
P F
= =
A A
Cıvatanın SCD ;
τ
ort.
Gerilme Kavramı
37
MUKAVEMET – I :
38
MUKAVEMET – I :
MUKAVEMET – I :
Gerilme Kavramı
09/10 2.H
09/10
09/10 2.H
2.H
© 2009NM
ÖRNEK SORU : Şekilde iki cıvata kullanarak yapılmış civatalı bağlantıya
80 kN luk eksenel yük etkimekte. Kullanılan cıvataların hasarlanmadan
taşıyabileceği kesme gerilmesi 140 MPa olduğuna göre , cıvataların çapı
en az ne olmalıdır ?
MUKAVEMET – I :
© 2009NM
Düzgün kayma gerilmesi
Eksenel yük nedeniyle kesme gerilmesi
Gerilme Kavramı
39
MUKAVEMET – I :
40
MUKAVEMET – I :
MUKAVEMET – I :
Gerilme Kavramı
3. Yataklama gerilmesi (Bearing Stress)
(Ezilme Gerilmesi)
MUKAVEMET – I :
P P
σ = =
A td
b
09/10 2.H
© 2009NM
09/10
09/10 2.H
2.H
© 2009NM
• Bu kuvvete karşılık gelen
yataklama
gerilmeye
de
(ezilme) gerilmesi denir ve
aşağıdaki gibi hesaplanır.
• Temas
yüzeyinde
dağılı
kuvvetin
bileşkesi
cıvata
üzerindeki kuvvete eşit ve zıt
yöndedir.
• Cıvata , perçin, pim gibi
elemanlar ile birleştirdikleri
elemanların temas yüzeylerinde
veya yataklama yüzeylerinde
ortaya çıkan gerilmelerdir.
3. Yataklama gerilmesi (Bearing Stress)
Temas yüzeyi
İzdüşüm alanı
Gerilme Kavramı
41
MUKAVEMET – I :
42
MUKAVEMET – I :
MUKAVEMET – I :
Gerilme Kavramı
Gerilme kavramı
Düzgün normal
gerilme dağılımı
3. Yataklama gerilmesi (Bearing Stress)
MUKAVEMET – I :
F
π tD
09/10 2.H
© 2009NM
09/10
09/10 2.H
2.H
τ avg t ( π D ) − F = 0
τ avg =
© 2009NM
Örnek 2.3. t kalınlığında levhada oluşan ortalama kesme gerilmesini
hesaplayınız?
Gerilme Kavramı
43
MUKAVEMET – I :
44
MUKAVEMET – I :
MUKAVEMET – I :
τ=V/A
09/10
09/10 2.H
2.H
© 2009NM
(MDSolids)
MDSolids) 09/10 2.H
NORMAL ve KESME KUVVETĐ
• Normal kuvvet yüzeye dik olarak etki eder,
Gerilme Kavramı
• Kesme kuvveti yüzeye parelel (teğet) olarak etki eder.
σ=P/A
MUKAVEMET – I :
© 2009NM
• AB and BC
deki
maksimum
normal
gerilmeler
ve
pimli
bağlantılardaki kesme ve
yataklama gerilmelerini
hesaplayalım
FAB = 40 kN (compression)
FBC = 50 kN (tension)
• From a statics analysis:
• Her bir elemanda ve
bağlantılardaki gerilmeleri
hesaplayalım,
Basit Yapıların Gerilme Analizi & Tasarım
Gerilme Kavramı
45
MUKAVEMET – I :
46
MUKAVEMET – I :
MUKAVEMET – I :
09/10 2.H
P
50 ×103 = 167 MPa
= =
A 300 ×10− 6 m 2
• Çubuğun uçlarında düzleştirilmiş kısımlarda , en
küçük kesit alanı pimin merkez hattı
üzerindedir
A = (20 mm )(40 mm − 25 mm ) = 300 ×10− 6 m 2
σBC = +159 MPa’ dır.
• Çubuğun ortalarındaki dairesel kesitte
ortalama normal gerilme (A = 314x10-6m2) is
• BC çubuğu 50 kN luk çekme kuvveti etkisinde.
AB ve BC elemanlardaki Normal Gerilmeler ;
FBC
σ BC ,end
• Alt kısımdaki dikdörtgen AB çubuğu 40 kN’ luk basma kuvvetleri
etkisinde idi ve ortalama basma gerilmesi –26.7 MPa’ dı.
Gerilme Kavramı
09/10
09/10 2.H
2.H
© 2009NM
• AB deki minumum kesit alanında gerilme yoktur çünkü çubuk basma
kuvvetleri etkisindedir.
MUKAVEMET – I :
© 2009NM
Pimlerle bağlanmış bir elemanda çekme ve basma
zorlaması halleri :
Çekmede: delikli kesit (kesik çizgi ile
gösterilen) yük taşımakta, zorlanmakta
yani gerilme etkisi altındadır.
Basmada: delikli kesit yük taşımaz,
zorlanmaz yani gerilme etkisi altında
değildir.
Kırmızı bölge : gerilme altındaki bölge
sıfır dır.
Yeşil bölge de gerilme …………
Gerilme Kavramı
47
MUKAVEMET – I :
48
MUKAVEMET – I :
MUKAVEMET – I :
τ
09/10 2.H
09/10
09/10 2.H
2.H
© 2009NM
50 × 103 N
P
= 102 MPa
= =
A 491 × 10−6 m2
Gerilme Kavramı
C ,ort .
• C pimindeki kuvvet BC çubuğundaki kuvvete
eşittir,
• C deki pim,
 25 mm 
−6 2
A = π r2 = π 
 = 491×10 m
 2 
2
• A, B, and C, deki pimlerin kesit alanı
Pimlerdeki kesme gerilmeleri
MUKAVEMET – I :
A daki pim de çift kesme söz konusudur ;
20 kN
P
=
=
= 40 . 7 MPa
491 × 10 − 6 m 2
A
© 2009NM
• A daki pim AB çubuğundaki kuvvete eşit bir kuvvetle çift yüzeyden
kesmeye zorlanır,
τ
A , ort .
Gerilme Kavramı
49
MUKAVEMET – I :
50
MUKAVEMET – I :
MUKAVEMET – I :
MUKAVEMET – I :
50 kN
= 15 kN
H
= 25 kN (largest)
G
4
J
5
09/10 2.H
1/2FAB
3
PG
1/2Q
• B deki pimde en büyük kesme
kuvvetini bulmak için,
PE
PG
D E
(Bearing stress)
09/10
09/10 2.H
2.H
© 2009NM
P
25 kN
= G =
= 50.9 MPa
A 491 × 10 −6 m 2
• Ve buna karşılık gelen ortalama
kesme gerilmesi,
τ
B ,ort .
Gerilme Kavramı
Pimlerdeki yataklama gerilmeleri
P
40 kN
=
= 53.3 MPa
td (30 mm )(25 mm )
• To determine the bearing stress at A in the
boom AB, we have t = 30 mm and d = 25 mm,
σb =
• To determine the bearing stress at A in the
bracket, we have t = 2(25 mm) = 50 mm and
d = 25 mm,
© 2009NM
P
40 kN
=
= 32 .0 MPa
σ =
td (50 mm )(25 mm )
b
Gerilme Kavramı
51
MUKAVEMET – I :
52
MUKAVEMET – I :
MUKAVEMET – I :
Gerilme Kavramı
09/10 2.H
09/10
09/10 2.H
2.H
© 2009NM
• Eksenel
veya
enine
kuvvetler
elemanın eksenine dik kesitlerden
farklı açılardaki kesitlerde hem
normal hem de kesme gerilmelerine
neden olurlar.
• Çift –kuvvet elemanlarında eksenel
kuvvetler elemanın eksenine dik
kesitlerde
Normal
Gerilmelere
neden olurlar.
• Cıvata ve pimlerdeki enine kuvvetler
elemanın eksenine dik kesitlerde
kesme gerilmelerine neden olurlar.
Đki kuvvet elemanında gerilmeler :
MUKAVEMET – I :
Eğik Düzlemde Gerilmeler (Stress on an Inclined Plane) :
• Normal düzlem ile θ gibi bir açı yapan
eğik bir düzlem ile kestiğimizde.
• Ayırdığımız parçanın kesilen yüzündeki
yayılı iç kuvvetlerin (gerilmelerin)
bileşkesi P’ kuvvetine eşit bir P kuvveti
olmalıdır (statik denge).
• P yüzeye dik ve parelel bileşenlerine ayrılırsa,
F=P.cos θ , V= P. sin θ
F : Kesitte yayılı normal kuvvetlerinin bileşkesi,
V : Kesitte yayılı kayma kuvvetlerinin bileşkesi
© 2009NM
• Eğik düzlemdeki ortalama normal ve
kayma gerilmeleri
cos θ
V
P sin θ
P
=
=
sin θ cos θ
A0
Aθ
A0
F
P cos θ
P
σ =
=
=
cos 2 θ
A
Aθ
A0
0
cos θ
τ =
Gerilme Kavramı
53
MUKAVEMET – I :
54
MUKAVEMET – I :
MUKAVEMET – I :
Gerilme Kavramı
σ
P
=
,
A0
τ′ = 0
09/10 2.H
elemanda
düzlemde
© 2009NM
SWF File
http://classes.mst.edu/ide110/
09/10
09/10 2.H
2.H
© 2009NM
P = σ′
τ max. = AP sin45cos45 = 2A
0
0
• Maksimum kayma gerilmeleri elemanın
ekseni ile ±45º açı yapan düzlemlerde
ortaya çıkıyor,
max.
• Maksimum normal gerilme elemanın
eksenine dik düzlemlerde ortaya çıkıyor,
P
P
sin θ cos θ
cos 2 θ , τ =
σ =
A0
A0
• Eksenel
yüklenmiş
bir
herhangi bir doğrultudaki
normal ve kayma gerilmeleri,
En Büyük Gerilmeler (Maximum Stresses) :
MUKAVEMET – I :
Sonuç :
Aynı
yükleme
koşulları
kesitin doğrultusuna bağlı
olarak,
σmax=P/A0 = σx ve τ=0
veya aynı büyüklükte normal
ve kayma gerilmeleri
τmax= P/2A0 = σ′
ortaya çıkarabilir.
Gerilme Kavramı
55
MUKAVEMET – I :
56
MUKAVEMET – I :
MUKAVEMET – I :
* Kısa Sınav :
L1=2 m
L2=4m
L3=4 m
Gerilme Kavramı
A1=4 mm2
09/10 2.H
A2=2 mm2
A3=4 mm2
09/10
09/10 2.H
2.H
© 2009NM
Üç çubuk aynı malzemeden yapılmış ve aynı dış P yükü taşıyor. P yükü
yavaş yavaş arttırılıyor. Hangi çubuk daha önce hasarlanır. Veya hepsi
aynı anda mı hasarlanır.
MUKAVEMET – I :
© 2009NM
Eğik parçanın SCD
ÖRNEK SORU : Şekildeki eğimli elemana 3000 N luk basma yükü etki
ediyor. AB ve BC ile tanımlı temas yüzeylerindeki ezilme normal
gerilmelerini ve EBD ile tanımlı yüzey boyunca meydana gelecek ortalama
kesme gerilmesini hesap ediniz.
Gerilme Kavramı
57
MUKAVEMET – I :
58
MUKAVEMET – I :
MUKAVEMET – I :
SCD dan; temas yüzeylerine
kuvvetleri etki ediyor,
basma
Gerilme Kavramı
Aynı zaman da alt parçanın üst kısmının SCD nı çizersek
kesilen yatay düzleme etki eden kesme kuvveti,
MUKAVEMET – I :
Yatay ve düşey düzlemlerde ortalama basma gerilmesi ;
EBD yatay düzleminde ortalama kayma gerilmesi ;
Gerilme Kavramı
09/10 2.H
Eğik parçanın SCD
© 2009NM
09/10
09/10 2.H
2.H
© 2009NM
59
MUKAVEMET – I :
60
MUKAVEMET – I :
MUKAVEMET – I :
Gerilme Kavramı
09/10 2.H
© 2009NM
09/10
09/10 2.H
2.H
© 2009NM
ÖRNEK SORU : Şekilde görüldüğü gibi 5 kN yük taşıyan tahta takoz içine
açılan delik yardımıyla duvara monte edilmiş φ 5 mm çapında bir çelik çubuğa
asılmıştır. Çubukta ve takozda meydana gelen kayma gerilmelerini hesap
ediniz.
MUKAVEMET – I :
Gerilme Kavramı
61
MUKAVEMET – I :
MUKAVEMET – I :
dersin sonu
THE END
yani
Gerilme Kavramı
09/10 2.H
© 2009NM