aralığının ölçülebilir iki alt kümesi A1 ve A2 olsun. Eğer m(A1)

REEL ANALİZ ÇALIŞMA SORULARI
1) x
[0, 1] için
olmak üzere, {fn} fonksiyon dizisi veriliyor.
(a) [0, 1] aralığı üzerinde {fn} fonksiyon dizisinin yakınsadığı fonksiyonu bulunuz ve yakınsamanın
düzgün olup olmadığını irdeleyiniz.
(b) 0 < a < 1 olmak üzere, [0, a] aralığı üzerinde {fn} fonksiyon dizisinin g = 0 fonksiyonuna
düzgün yakınsadığını gösteriniz.
2) 0 ≤ x ≤ 1 için
∑∞
fonksiyon serisinin yakınsaklığını araştırınız ve yakınsaksa yakınsaklık türünü irdeleyiniz.
3) R nin herhangi U, V açık kümeleri için
m(U
V ) + m(U ∩ V) = m(U) + m(V )
eşitliğinin varlığını kabul ederek, R nin herhangi A, B altkümeleri için
m*(A
B) + m*(A ∩ B) ≤ m*(A) + m*(B)
eşitsizliğini kanıtlayınız.
4) [0, 1] aralığının ölçülebilir iki alt kümesi A1 ve A2 olsun. Eğer m(A1) = 1 ise
m(A1 ∩A2) = m(A2) olduğunu kanıtlayınız.
5) {an} pozitif terimli bir dizi, P(N) de N kuvvet kümesi olmak üzere m : P(N) →[0, ∞]
fonksiyonu E P(N) için
0
,
,
olarak tanımlanıyor.
(a) m bir ölçüm müdür?
(b) n N için
ise m(N) nedir?
6) Aşağıdaki dizilerin yakınsaklığını araştırınız.
(a) an+1 =
(b) an+1 = 3
(c) an+1 = 2
(d) an+1 = 2
(2an + 5), a1 = 2
2, a1 = 4
, a1 = 3
3, a1 = 4
7) Aşağıdaki kümelerin yığılma noktalarını ve ayrık noktalarını belirleyiniz.
(a) 1
(b)
(c) (0, 1)
(d) (0, 1)
,
{2}
8)
olacak ¸şekildeki ölçülebilir kümelerin bir
dizisi için
lim
olduğunu gösteriniz.
, ,
şeklinde olsun. Cisim aksiyomlarını
olabileceğini ispatlayınız.
9) K bir cisim ve elemanları
kullanarak
ya da
10)
olduğunu gösteriniz.
ÇÖZÜMLER
1) a) 0
1 için lim
0 dır.
1 için lim
: 0,1
b)
0, 0
,
için açıktır ki |
sayısını
0,
0için
dir. O halde
1
1
dir. Bu yakınsama noktasal yakınsama fakat düzgün yakınsama
için
fonksiyonları sürekli, ancak limit fonksiyonu sürekli
|
olur. Öyleyse 0
1 için 0,
fonksiyonuna düzgün yakınsar.
2)
lim
,
olarak tanımlarsak,
değildir.Çünkü
değildir.
halde
1
|
|
|
dir. 0
1 için lim
olacak şekilde seçersek,
0|
|
aralığı üzerinde
∑
..
0 dır. O
olduğunda
|
fonksiyon dizisi
0
lim
lim
1
2
1
1
2
0 için
0
lim
olduğundan
1
,
2
1
2
lim
1
2
1
0
0,
0
fonksiyonuna noktasal
0
1
yakınsar; düzgün yakınsak değildir. Seri noktasal yakınsak bir seridir.
3)
nin ,
fonksiyon dizisi
0
∞ ise veya
alt kümeleri verilsin. Eğer
∞ ise
∞
olacağı açıktır. O halde
∞ ve
,
açık alt kümeleri vardır ki,
∞ olsun.
ve
,
0 verilsin. O zaman
,
olur. Böylece
dir. Yani
m*(A
B) + m*(A ∩ B) ≤ m*(A) + m*(B)
eşitsizliği elde edilir.
4)
ve
ölçülebilir kümeler olduğuna göre
Bu nedenle
1
0,1
)
de ölçülebilirdir ve
1 ; Dolayısıyla
1
dir.
1 dir.
1
1
2
2
1
1
2
1
2
elde edilir.
5) a) 1’)
toplam
0 dır. Çünkü
ise ,
0 ve
ise ∑
toplamı sonlu
ise, bir gerçel sayı; sonlu değilse seri yakınsaksa bir gerçel sayı, değilse
ve
ise
2’) ,
∑
3’)
,
,
,…
∑
∞ dur.
(monotonluk özelliği)
in ikişer ikişer ayrık alt kümeleri olsun .
diyelim.
dir.
∑
yazılır. O halde m fonksiyonu
b
∑
∑
1
2
∑
üzerinde bir ölçümdür.
için
∑
olduğundan lim
∑
1
1 dir. O halde
∑
1 dir.