Untitled

Adı ve Soyadı:
No:
1
İmza:
2
3
4
Toplam
MAT 103 GENEL MATEMATİK I ---- 2. ARASINAV SORULARI (7 Aralık 2010)
1) (a)
f ( x)  x 3  2 x 2  x  1
fonksiyonunun grafiğinin x0  1 apisisli noktasındaki teğetinin
denklemini bulunuz. (13 P)
(b) f ( x) 
2x  1 
e x 1
fonksiyonunun türevini hesaplayınız. (12 P)
cos x
2) (a)
x
x
x
x
x
x
5m
x
x
Şekildeki gibi eni 5 metre boyu 8 metre olan bir
levhanın köşelerinden bir kenar uzunluğu
x metre olan kareler kesilerek dikdörtgenler
prizması şeklinde üstü açık bir kutu yapılmak
isteniyor. Prizmanın hacminin maksimum
olabilmesi için x kaç olmalıdır? (12 P)
8m
(b) Belirli bir ham maddenin fiyatı birim başına p TL iken, üretici x bin TL talep etmektedir. x ile
p arasındaki ilişki x 2  2 x p  p 2  31 ile verilmektedir. Birim başına fiyat 9 TL ve haftalık
artış 20 kuruş iken talebin değişim hızı nedir? (Uyarı: p ve x değerlerinin her ikisinin de haftalık
zaman dilimi olan t ye bağlı olarak değişeceğini unutmayınız). (13 P)
3) Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
x2
dx (8 P)
x2
(a)

(b)
x
(c)
3x 2  8 x  2
 x( x  1)( x  2) dx (9 P)
5
ln x dx (8 P)
4)
f ( x) 
1
fonksiyonunun, tanım kümesini, asimtotlarını, kritik noktalarını bulunuz ve değişim
x 1
2
tablosunu yaparak grafiğini çiziniz. (25 P)
SINAV SÜRESİ 100 (YÜZ) DAKİKADIR!
(a)
Adı ve Soyadı:
(b)
Toplam
1
No:
2
İmza:
3
4
SINAV NOTU:
MAT 103 GENEL MATEMATİK I ---- 1. ARASINAV SORULARI (4 Kasım 2011)
1) Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
4x  3  x
[13 Puan]
1 x
(a) lim
x 1

(b) lim ln x 
x  

x 2  1  ln x
 [12 Puan]
2) y  x
fonksiyonunun grafiğinden yararlanarak y   x  2  3 fonksiyonunun grafiğini
çiziniz. [25 Puan]
3) (a) Diferansiyel hesap ya da lineer yaklaşım yöntemi yardımıyla
3
8,01 sayısının değerini
yaklaşık olarak hesaplayınız. [12 Puan]
(b) %3 sürekli bileşik faiz oranı ile bir bankaya yatırılan anaparanın iki katına ulaşabilmesi için
kaç yıl süre geçmesi gerekir? (Not: ln 2  0,69) [13 Puan]
ln( x 2  x  1)
4) (a) f ( x) 
ise f ' ( x)  ? [13 Puan]
tan(2 x  1)
(b) y  f ( x)  x x
fonksiyonunun grafiğine x  1 noktasından çizilen teğetin denklemini
bulunuz. [12 Puan]
SINAV SÜRESİ 100 (YÜZ) DAKİKADIR!
Adı ve Soyadı:
06 Kasım 2016
Bölümü:
No:
İmza:
1
2
3
4
MAT 103 GENEL MATEMATİK I --- ARASINAV SORULARI
(SINAV SÜRESİ 100 (YÜZ) DAKİKADIR)
1) (a)
1
 2  1 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. [12 Puan]
x
ÇÖZÜM: Mutlak değer özelliğinden ( x  0 olmak üzere)
1 
1
1
 2 11  3
x
x
olur. Burada x lerin pozitif olması gerekeceğinden
1
 x 1
3
1 
3 
elde edilir; yani çözüm kümesi:  ,1 açık aralığıdır.
(b) f ( x) 
5 x
fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. [13 Puan]
x2
ÇÖZÜM: Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için
5 x
 0 ve x  2
x2
olmalıdır. Burada aşağıdaki gibi işaret değişim tablosu incelenebilir:
-2
5
5-x
+++
+++
---
x+2
---
+++
+++
5 x
x2
---
+++
---
Dolayısıyla, fonksiyonun tanım kümesi:  2, 5 aralığıdır.
Toplam
2) (a) f ( x)  ( x  1) 2  2 fonksiyonunun grafiğini y  x 2 nin grafiğinden yararlanarak çiziniz.
[12 Puan]
ÇÖZÜM:
y  x 2 fonksiyonunun grafiğini önce x-ekseni üzerinde yatay olarak sola doğru 1
birim öteleriz; sonra da grafiği y-ekseni üzerinde 2 birim düşey olarak aşağı yönde kaydırırız.
Buna göre elde edilen grafikler şu şekilde olur:
y
y
y  ( x  1) 2
y  x2
yatay öteleme
0
x
-1
y
0
x
düşey öteleme
y  ( x  1) 2  2
-1
x
0
-2
(b) 8000 TL, %6 faiz oranıyla iki ayda bir birleştirilmek üzere 5 yıl süreyle bankaya yatırılmıştır.
Sürenin sonundaki para miktarını bulunuz. [13 Puan]
ÇÖZÜM: Problemde verilenlere göre
P  8000, r 
6
, m  6, t  5
100
olup bu değerleri
r

A  P 1  
 m
mt
formülünde yerine yazacak olursak
1 

A  8000 1 

 100 
bulunur.
30
 101 
 8000 

 100 
30
TL
3) (a) lim
x3
x3
x3
limitinin mevcut olup olmadığını araştırınız. [12 Puan]
ÇÖZÜM: Öncelikle 3 noktasındaki sağ ve sol limitlerine bakmalıyız. Buna göre
lim
x 3
x3

x 3
 lim
x3

x 3
1
x 3
ve
lim
x  3
x 3
x 3
olup bu iki değer farklı çıktığından lim
x3
(b)
 lim
x  3
x3
x3
 ( x  3)
 1
x 3
limiti mevcut değildir.
 x 2  1, x  1 ise
f ( x)  
 x  1, x  1 ise
fonksiyonunun grafiğini çiziniz ve x  1 de sürekli olup olmadığını araştırınız. [13 Puan]
ÇÖZÜM: Önce fonksiyonun grafiğini çizelim.
y
2
•
0
°1
x
Fonksiyonun tanımından f (1)  2 olduğu görülmektedir. Şimdi x  1 de sağ ve sol limitlerini
inceleyelim.
lim f ( x)  lim ( x 2  1)  2
x 1
x 1
ve
lim f ( x)  lim ( x  1)  0
x 1
x 1
olduğundan lim f ( x) limiti mevcut olmayıp f fonksiyonu x  1 de sürekli değildir.
x1
4) (a) f ( x)  2 x  1  ( x 2  3 x  1) 5 fonksiyonunun türevini hesaplayınız. [8 Puan]
ÇÖZÜM: Toplam ve bileşke fonksiyonun türevlerini uygularsak
2
 5( x 2  3x  1) 4 (2 x  3)
2 2x 1
1

 5(2 x  3)( x 2  3x  1) 4
2x 1
f ' ( x) 
elde edilir.
(b) f ( x)  sin ( ln x ) fonksiyonunun grafiğinin x0  1 apsisli noktasındaki teğetinin denklemini
bulunuz. [8 Puan]
ÇÖZÜM: x0  1 ise y0  sin ( ln 1)  0 olur; yani (1, 0) noktasından çizilen teğeti arıyoruz.
Burada
1
f ' ( x)  cos ( ln x)
x
olacağından, söz konusu teğetin eğimi:
m  f ' (1)  cos( ln 1)  1
bulunur. Dolayısıyla teğet denklemi:
y  y 0  m( x  x 0 )  y  x  1
olarak elde edilir.
(c) x 2 y  y 3e x  5  0 denklemiyle kapalı olarak belirtilen y  f (x) fonksiyonunun türevini
bulunuz. [9 Puan]
ÇÖZÜM: Kapalı fonksiyonun türevinden yararlanarak, verilen denklemin her iki yanında x e göre
türev aldığımızda
2 xy  x 2 y '3 y 2 y ' e x  y 3e x  0
bulunur. Son denklemden y ' çekilirse
( x 2  3 y 2 e x ) y '  2 xy  y 3e x
olup buradan
y' 
elde edilir.
 2 xy  y 3e x
x 2  3 y 2e x
Adı ve Soyadı:
29 Aralık 2016
Bölümü:
No:
ÇÖZÜMLER
İmza:
1
2
3
4
Toplam
MAT 103 GENEL MATEMATİK I --- DÖNEM SONU SINAV SORULARI
(SINAV SÜRESİ 100 (YÜZ) DAKİKADIR)
1) (a) ln( x 2 y )  y 2  x denklemiyle kapalı olarak belirtilen y  f (x) eğrisinin türevini bulunuz.
[12 Puan]
ÇÖZÜM:
1. Yol
2. Yol
Verilen denklemde her iki yanın 𝑥 e göre
türevini alırsak:
2𝑥𝑦 + 𝑥 2 𝑦′
= 2𝑦𝑦 ′ + 1
𝑥2𝑦
1
2𝑦
⇒ 𝑦′ ( − 2𝑦) = 1 −
𝑦
𝑥𝑦
𝑥𝑦 − 2𝑦
𝑦
⇒ 𝑦′ = (
)(
)
𝑥𝑦
1 − 2𝑦 2
=
𝑥𝑦 − 2𝑦
𝑥(1 − 2𝑦 2 )
bulunur.
(b) lim
3x  3 sin x
x 0
x2
𝐹(𝑥, 𝑦) = ln(𝑥 2 𝑦) − 𝑦 2 − 𝑥 = 0
fonksiyonunu göz önüne alırsak,
𝑑𝑦
𝐹𝑥 (𝑥, 𝑦)
𝑦′ =
=−
𝑑𝑥
𝐹𝑦 (𝑥, 𝑦)
2𝑥𝑦
( 2 )−1
𝑥 𝑦
=−
𝑥2
( 2 ) − 2𝑦
𝑥 𝑦
2
(𝑥 ) − 1
=−
1
(𝑦) − 2𝑦
𝑥𝑦 − 2𝑦
=
𝑥(1 − 2𝑦 2 )
olur.
limitini hesaplayınız. [13 Puan]
ÇÖZÜM: 0/0 belirsizliği olduğundan L’Hospital kuralını kullanabiliriz. Buna göre
3𝑥 − 3 sin 𝑥
3 − 3 cos 𝑥
= lim
2
𝑥→0
𝑥→0
𝑥
2𝑥
3 sin 𝑥
= lim
=0
𝑥→0
2
lim
elde edilir.
yeniden L’Hospital kuralı uygulandı
0
( )
0
2) (a) İki bisikletli aynı anda aynı noktadan biri 20 km/saat sabit hızla batıya doğru, diğeri 15 km/saat
sabit hızla kuzeye doğru hareket ediyor. 2 saat sonra bu bisikletlilerin aralarındaki mesafenin
değişme hızını hesaplayınız. [12 Puan]
ÇÖZÜM:
Şekildeki gibi batıya giden A bisikletlisinin t saatte gittiği
B
yolu 𝑥(𝑡), kuzeye giden B bisikletlisinin t saatte gittiği
yolu 𝑦(𝑡) ve iki bisikletlinin t saatte arasındaki mesafeyi
𝑧(𝑡)
𝑦(𝑡)
de 𝑧(𝑡) ile gösterelim. Soruda verilen bilgilerden herhangi
bir t anında 𝑥 ′ (𝑡) = 20 ve 𝑦 ′ (𝑡) = 15 olduğu biliniyor.
Şimdi 𝑡 = 𝑡0 = 2 anında 𝑥(2) = 40, 𝑦(2) = 30
A
𝑥(𝑡)
olduğundan dik üçgenden yararlanarak 𝑧(2) = 50 bulunur.
Buna göre
2
2
(𝑧(𝑡)) = (𝑥(𝑡)) + (𝑦(𝑡))
2
ifadesinde her iki tarafın t ye göre türevini alırsak
2𝑧(𝑡)𝑧 ′ (𝑡) = 2𝑥(𝑡)𝑥 ′ (𝑡) + 2𝑦(𝑡)𝑦′(𝑡)
elde edilir. Dolayısıyla 𝑡 = 𝑡0 = 2 anında
50𝑧 ′ (𝑡0 ) = 40 ∙ 20 + 30 ∙ 15 ⇒ 𝑧 ′ (𝑡0 ) = 25 𝑘𝑚/𝑠𝑎𝑎𝑡
olur; yani iki bisikletli arasındaki mesafe 𝑡 = 𝑡0 = 2 anında saatte 25 km hızında artmaktadır.
(b) Bir yüzme havuzu, zararlı bakterilerin yok edilmesi için periyodik olarak ilaçlanmaktadır.
İlaçlama yapıldıktan t gün sonra havuz suyunun her cm3 ünde C (t )  30 t 2  240 t  500
(0  t  8) miktarında bakteri görülmektedir. Havuzdaki bakteri sayısı ilaçlama yapıldıktan
kaç gün sonra minimum olur? [13 Puan]
ÇÖZÜM. Fonksiyonun kritik noktalardaki ve uç noktalardaki değerleri hesaplanmalıdır. O halde
𝐶 ′ (𝑡) = 60𝑡 − 240 = 0 ⇒ 𝑡 = 4 ∈ [0,8]
tek kritik nokta olup 𝐶(4) = 30 ∙ 42 − 240 ∙ 4 + 500 = 20 bulunur. Ayrıca uç nokta değerleri de
𝐶(0) = 500 ve 𝐶(8) = 30 ∙ 82 − 240 ∙ 8 + 500 = 500 olduğundan dolayı 𝐶(4) = 20 minimum
bakteri sayısıdır; yani ilaçlama yapıldıktan 4 gün sonra bakteri sayısı minimuma ulaşır.
3) Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
(a)
x
3
ln x dx [10 Puan]
ÇÖZÜM. Kısmi integrasyon yöntemi uygulanmalıdır. Buna göre
𝑢 = 𝑙𝑛𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 =
𝑑𝑥
𝑥
ve 𝑑𝑣 = 𝑥 3 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 =
𝑥4
4
değişkenleri yardımıyla
∫ 𝑥 3 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
= (𝑙𝑛𝑥)
𝑥4
𝑥 4 𝑑𝑥
−∫
4
4 𝑥
𝑥 4 𝑙𝑛𝑥 𝑥 4
=
−
+𝐶
4
16
bulunur.
(b)

cos x
dx [10 Puan]
x
ÇÖZÜM. √x = u değişken değiştirmesi kullanılırsa
𝑑𝑥
2 √𝑥
= 𝑑𝑢 ⇒
𝑑𝑥
√𝑥
= 2𝑑𝑢
olacağından
∫
cos √𝑥
√𝑥
𝑑𝑥 = 2 ∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 = 2 sin 𝑢 + 𝐶 = 2 sin √𝑥 + 𝐶
elde edilir.
(c)
x2  x 1
 ( x 2  1)( x  2) dx
[10 Puan]
ÇÖZÜM. Basit kesirlere ayırma yönteminden yararlanacağız. Buna göre
𝑥2 − 𝑥 − 1
𝐴𝑥 + 𝐵
𝐶
=
+
(𝑥 2 + 1)(𝑥 + 2) 𝑥 2 + 1 𝑥 + 2
ifadesinde, paydalar eşitlenirse
𝑥 2 − 𝑥 − 1 ≡ (𝐴𝑥 + 𝐵)(𝑥 + 2) + 𝐶(𝑥 2 + 1)
𝐴+𝐶 =1
{2𝐴 + 𝐵 = −1 ⇒ 𝐴 = 0, 𝐵 = −1, 𝐶 = 1
2𝐵 + 𝐶 = −1
olup buradan
∫
𝑥2 − 𝑥 − 1
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥 = − ∫ 2
+∫
2
(𝑥 + 1)(𝑥 + 2)
𝑥 +1
𝑥+2
= −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑙𝑛|𝑥 + 2| + 𝐶
elde edilir.
4)
f ( x) 
x
fonksiyonu veriliyor.
x 1
(a) f nin tanım kümesini, eksenleri kestiği noktaları ve asimtotlarını bulunuz. [5 Puan]
ÇÖZÜM: Df = ℝ\{−1} (f nin tanım kümesi) ve 𝑥 = 0 ⇔ 𝑦 = 0, yani grafik orijinden geçer.
𝑥
lim
= 1 ⇒ 𝑦 = 1 𝑦𝑎𝑡𝑎𝑦 𝑎𝑠𝑖𝑚𝑡𝑜𝑡 𝑣𝑒
𝑥→∓∞ 𝑥 + 1
𝑥
𝑥
lim−
= +∞ 𝑣𝑒 lim+
= −∞ ⇒ 𝑥 = −1 𝑑üş𝑒𝑦 𝑎𝑠𝑖𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡.
𝑥→−1 𝑥 + 1
𝑥→−1 𝑥 + 1
(b) f nin (varsa) kritik noktalarını bulunuz ve artan-azalan olduğu aralıkları belirleyiniz. [5 Puan]
ÇÖZÜM:
1
𝑓 ′ (x) = (x+1)2 > 0 (𝑥 ≠ −1)
olduğundan f nin kritik noktası yoktur ve tanım kümesi üzerinde artandır.
(c)
f nin (varsa) büküm noktalarını bulunuz ve konkavlık durumunu belirleyiniz. [5 Puan]
ÇÖZÜM:
2
𝑓 ′′ (x) = − (x+1)3 (𝑥 ≠ −1)
olduğundan f nin büküm noktası yoktur. 𝑥 < −1 için f nin grafiği yukarı konkav ve 𝑥 > −1 için
f nin grafiği aşağı konkavdır.
(d) Yukarıdaki tüm durumları içeren değişim tablosunu oluşturunuz. [5 Puan]
ÇÖZÜM:
𝑥
+∞
0
𝑓′(𝑥)
+++
+++
+++
𝑓′′(𝑥)
+++
−−−
−−−
𝑓(𝑥) 1
(e)
−1
−∞
+∞ −∞
1
0
f nin grafiğini çiziniz. [5 Puan]
𝑦
ÇÖZÜM:
1
−1
•0
𝑥