DERS 12 Belirli İntegral

DERS 12
Belirli İntegral
12.1. Bir eğri altında kalan alan. Bir [a , b] kapalı aralığı üzerinde sürekli bir f
fonksiyonu verilmiş olsun ve her x ∈ [a , b] için f(x) ≥ 0 olduğunu kabul edelim. y= f(x)
in grafiği ile x – ekseni arasında kalan bölgenin alanı ile bu derste göreceğimiz belirli integral
kavramı çok yakından ilişkilidir.
y
y=f(x)
A
a
x
b
Şekildeki taralı bölgenin alanının hesabı belirli integralle yapılır.
Belirli integrale geçmeden önce, bir sürekli eğri ile x-ekseni arasında kalan alanın yaklaşık
olarak hesabına bir örnek verelim.
Örnek 1. [0 , 1] aralığı üzerinde y = x2 + 1 eğrisi ile x-ekseni arasında kalan bölgenin alanı
A olsun. [0 , 1] aralığı nın orta noktası olan
1
sayısını
2
kullanarak [0 , 1] aralığını ikiye bölelim ve yandaki
şekilde görüldüğü gibi tabanı bu iki parçaya oturan dikdörtgenleri düşünelim. Hesaplamağa çalıştığımız A
alanına yaklaşık değer olarak, alanın içinde kalan iki
küçük dikdörtgenin alanları toplamı olan
1
1 5 9
⋅1 + ⋅ =
2
2 4 8
y
2
1
ve alanı örten iki dikdörtgenin alanları toplamı olan
1 5 1
13
⋅ + ⋅ 2. =
2 4 2
8
0
1/2
1
x
alınabilir:
1
1 5 9
1 5 1
13
⋅1 + ⋅ = ≤ A ≤ ⋅ + ⋅ 2 = .
2
2 4 8
2 4 2
8
[0 , 1] kapalı aralığı daha küçük aralıklara bölünerek A alanının gerçek değerine daha yakın
değerler bulunabileceği açıktır.
Ders 12 …………………………………………………………………………………… 190
12.2. Belirli integral, Riemann Toplamları. Bir [a , b] kapalı aralığı üzerinde sürekli bir
f fonksiyonu verilmiş olsun.
[a , b] aralığında
a=x0 < x1 < x2 < x3 < . . . < xn-2 < xn-1 < xn=b
olacak biçimde x0 , x1 , . . . , xn-1 , xn sayıları alalım. Bu sayılar [a , b] aralığını küçük
aralıklara(altaralıklara) böler. Bu şekilde seçilmiş a=x0 < x1 < x2 < . . . < xn-2 < xn-1 < xn=b
sayılarına [a , b] aralığının bir parçalanışı denir.
y
(c1 , f(c1))
c2
c1
x0= a
x1
cn-2
c3
x2
x3
xn-3
cn-1
cn
xn-2
xn-1
b =xn
x
y = f(x)
Şimdi, her k=1,2, . . . ,n için ck ∈ [xk -1 , xk] seçelim ve [xk -1 , xk] aralığının uzunluğunu
∆xk ile gösterelim:
∆xk = xk – xk-1
,
1 ≤ k ≤ n.
Aşağıda ifade edilen
n
Tn = f (c1 )∆x1 + f (c2 )∆x2 + L + f (cn )∆xn = ∑ f (ck )∆xk
k =1
Tn toplamına f fonksiyonunun a=x0 < x1 < x2 < x3 < . . . < xn-2 < xn-1 < xn=b parçalanışı için
Riemann Toplamı denir.
Burada ∆ xk lardan her biri sıfıra yaklaşırken (ki bu durumda n sayısı sınırsız olarak artar,
yani sonsuza ıraksar) Tn Riemann Toplamı’nın limit değerinin mevcut olduğu kanıtlanabilir.
İşte bu limit değere f fonksiyonunun [a , b] kapalı aralığı üzerinde belirli integrali denir ve
bu integral
∫
b
a
f ( x) dx
sembolü ile gösterilir. Bu gösterimde a sayısına belirli integralin altsınırı, b sayısına da
üstsınırı denir. f ( x)dx ifadesine, belirsiz integralde olduğu gibi, integrand denir.
Belirli İntegral ……. ……………………………………………………………………. 191
f
fonksiyonunun [a , b] kapalı aralığı üzerinde belirli integrali
∫
b
a
f ( x) dx = lim Tn
∆x k → 0
= lim
∆x k → 0
( f (c1 )∆x1 +
f (c2 ) ∆x2 + L + f (cn )∆xn )
biçiminde ifade edilebilir.
Belirli integralin yukarıdaki tanımından, eğer f fonksiyonu [a , b] aralığında sürekli ve her
x∈ [a , b] için f(x) ≥ 0 ise,
∫
b
a
f ( x) dx belirli integralinin [a , b] aralığı üzerinde y = f(x) in
grafiği ile x – ekseni arasında kalan bölgenin alanını verdiği sonucunu çıkarabiliriz.
Gerçekten bu durumda, Tn Riemann toplamındaki her bir f ( xk )∆xk teriminin taban uzunluğu
∆xk ve yüksekliği f ( xk ) olan dikdörtgenin alanını ifade etmekte olduğu; bu alanların
toplamı olan Tn toplamlarının limitinin de [a , b] aralığı üzerinde y = f (x) in grafiği ile
x -ekseni arasında kalan bölgenin alanı olduğunu görmek zor değildir.
y
y = f(x)
A=
A
a
∫
b
a
f ( x) dx
x
b
Benzer düşünce ile, eğer f fonksiyonu [a , b] kapalı aralığında sürekli ve her x∈ [a , b]
için f(x) ≤ 0 ise,
∫
b
a
f ( x) dx
belirli integrali [a , b] aralığı üzerinde y = f(x) in grafiği ile
x – ekseni arasındaki bölgenin alanının ters işaretlisi olan negatif sayıyı verir. Başka bir
deyimle, [a , b] aralığı üzerinde y = f(x) in grafiği ile x – ekseni arasında kalan bölgenin
b
alanı, − ∫ f ( x) dx dir.
a
y
b
a
A
x
A=−
∫
b
a
f ( x) dx
y = f(x)
Yukarıda açıklanan iki durum birleştirilerek [a , b] kapalı aralığında sürekli bir f fonksiyonunun grafiği ile x – ekseni arasında kalan bölgenin alanı belirli integral cinsinden, ya da
karşıt olarak, f nin [a , b] kapalı aralığı üzerinde belirli integrali f nin grafiği ile x –
Ders 12 …………………………………………………………………………………… 192
ekseni arasında kalan bölgenin alanı cinsinden ifade edilebilir. Örneğin, f
kapalı aralığı üzerinde grafiği aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi ise,
nin
[a , b]
y
A
c
C
d
a
b
B
x
y = f(x)
bu takdirde, [a , c] kapalı aralığı üzerinde eğri ile x-ekseni arasında kalan bölgenin alanı A,
[c , d] kapalı aralığı üzerinde eğri ile x-ekseni arasında kalan bölgenin alanı B ve [d , b]
kapalı aralığı üzerinde eğri ile x-ekseni arasında kalan bölgenin alanı C ile gösterilmek
üzere
∫
b
a
f ( x) dx = A − B + C
dir. Başka bir ifade ile, [a , b] kapalı aralığı üzerinde eğri ile x-ekseni arasında kalan
bölgenin tamamının alanı
∫
c
a
d
b
c
d
f ( x) dx − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x) dx
dir.
Belirli integralin, tanımı, yukarıdaki alan yorumu ve limit özellikleri kullanılarak kanıtlana
bilecek bazı özelliklerini aşağıya listeliyoruz.
1.
∫
a
a
f ( x)dx = 0
b
b
2.
∫ a (k ⋅ f ( x))dx = k ⋅∫ a f ( x) dx
3.
∫ ( f ( x) m g ( x)) dx = ∫
b
b
a
a
4. a < c < b için
5.
∫
b
a
f ( x) dx = −
∫
a
b
∫
b
a
f ( x) dx m
f ( x) dx =
f ( x) dx
∫
∫
c
a
b
a
g ( x) dx
f ( x) dx +
∫
b
c
f ( x) dx .
Belirli İntegral ……. ……………………………………………………………………. 193
12.3. Kalkülüs’ün Temel Teoremi. Batı çıkışlı kaynaklarda fonksiyonlar ve onların limit,
türev ve integrallerini , yani bu dersimizin konularını işleyen derse kalkülüs(calculus) adı
verilmektedir. Şimdi Bu kesimde ele alacağımız teorem, kalkülüs dersinin temel teoremidir.
Bu teorem belirli integral ile belirsiz integral arasındaki ilişkiyi verir:
Kalkülüs’ün Temel Teoremi. f fonksiyonu [a , b] kapalı aralığında sürekli ve f nin bir
ters türevi F ise,
∫
b
a
f ( x) dx = F (b) − F (a)
dir.
Bundan böyle, F (b) − F ( a ) farkı için aşağıdaki gösterimi kullanacağız.
b
F (b ) − F ( a ) = F ( x ) a .
Böylece, yeni gösterimle,
F ' ( x) = f ( x)
∫
⇒
∫ f ( x) dx = F ( x) + C
Örnek 1.
Örnek 2.
∫ (2 x + 1) dx = x
1
0
∫(
1
0
2
+x
1
0
b
a
b
f ( x) dx = F ( x) = F (b) − F (a)
a
∫
⇒
b
a
f ( x) dx = F ( x)
b
= F (b) − F (a) .
a
= (1 + 1) − (0 + 0 ) = 2.
1
)
x3
4
⎛1 ⎞
+ x = ⎜ + 1⎟ − (0 + 0) = . Böylece başlangıçta bazı yaklaşık değerx + 1 dx =
3
3
⎝3 ⎠
0
2
lerini bulduğumuz aşağıdaki taralı bölgenin alanının gerçek değerini belirlemiş olduk.
y
2
y = x2+1
A=∫
1
A
0
1
0
(x
2
)
4
+ 1 dx = .
3
x
1
Örnek 3. Aşağıdaki integrali daha önce belirsiz integral olarak hesaplamıştık.
∫
2⎛
1
(
)
2
4⎞
2
x
x
2
2
⎜ 2 x + 3e − ⎟ dx = x + 3e − 4 ln x = 4 + 3e − 4 ln 2 − (1 + 3e − 0) = 3(1 + e − e) − 4 ln 2.
1
x
⎝
⎠
Ders 12 …………………………………………………………………………………… 194
2x
dx. belirli integralinin değerini bulmak için önce değişken değiştirme
0 x + 10
2x
yöntemi ile
dx belirsiz integralini hesaplayıp daha sonra belirli integrale geçebiliriz.
2
x + 10
u = x 2 + 10 seçilirse, du = 2 xdx olur ve söz konusu belirsiz integral aşağıdaki gibi hesaplanır:
Örnek 4.
∫
5
2
∫
∫x
2
2x
1
dx =
du = ln u = ln( x 2 + 10) + C.
u
+ 10
∫
Dolayısıyla,
∫
5
0
5
2x
dx = ln ( x 2 + 10) = ln 35 − ln 10 = ln (3.5).
0
x + 10
2
12.4. Belirli integralde değişken değiştirme ve kısmî integrasyon. Son örneğimizde belirli
integrali hesaplarken, ters türevin, yani belirsiz integralin belirlenmesinde değişken değiştirme
yöntemini kullandık. Bu yöntemi doğrudan doğruya belirli integral üzerinde de
uygulayabiliriz. Hatta bu yapıldığı takdirde zaman kazanılacağı da söylenebilir.
∫
b
a
F ' ( g ( x)) g ' ( x) dx
gibi bir belirli integrali hesaplamak için, bu integral belirsiz integral
olarak düşünülüp u = g (x) seçilince du = g ' ( x)dx olduğu ve integralin u cinsinden ifade
edildiğini anımsayınız. Belirli integralde x değişkeni a ile b arasında değişmektedir. Bu
durumda, u değişkeni de g (a ) ile g (b) arasında değişeceğinden, aşağıdaki eşitliği
yazabiliriz:
∫
b
a
F ' ( g ( x)) g ' ( x) dx =
∫
g (b )
g (a)
F ' (u ) du.
Sağ taraftaki F ' (u ) nun ters türevi F (u ) yu biliyorsak, hesabımızı
∫
b
a
F ' ( g ( x)) g ' ( x) dx =
∫
g (b)
g (a)
g (b)
F ' (u ) du. = F (u ) g ( a ) = F ( g (b)) − F ( g (a ))
biçiminde sürdürüp sonuçlandırırız.
O halde, belirli integrale değişken değiştirme yöntemi uygularken u = g ( x) seçiminden sonra
du = g ' ( x)dx ile birlikte g (a ) ve g (b) değerleri de hesaplanıp bu değerler yeni değişken u
cinsinden yazılmış olan integral için alt ve üst sınırlar olarak alınır ve yeni integral de belirli
integral olarak yeni sınırları ile hesaplanmış olur.
Belirli İntegral ……. ……………………………………………………………………. 195
Yukarıdaki son örneğimizi bu yolla yapalım:
Örnek 1.
∫
2x
dx =
0 x 2 + 10
5
∫
1
35
du =ln u 10 = ln 35 − ln 10 = ln (3.5).
u
35
10
u = x2 + 10 , du = 2x dx
x=0 ⇒ u=10 ; x=5 ⇒ u =35
Örneğimizde, x değişkenine göre verilmiş olan integralin altsınırı olan 0 a karşılık u
değişkenine göre yazılmış integralin u (0) = 10 altsınırı ve x değişkenine göre verilmiş olan
integralin üstsınırı olan 5 e karşılık u değişkenine göre yazılmış integralin u (5) = 35 üst
sınırının kullanıldığına dikkat ediniz.
Bu örnekte olduğu gibi aşağıdaki örneklerde de u nun seçimi ve yeni sınırların hesabı kutu
içinde gösterilmiştir.
3
u2
1
1
Örnek 2. x 3 x + 1 dx =
u du = ⋅
0
6
6 3
2
∫
1
2
4
3 4
1
= ⋅u2
9
=
1
1
(8 − 1) = 7 .
9
9
1
u = 3x2 + 1 , du = 6x dx , x dx = (1/6) du
x=0 ⇒ u=1 ; x=1 ⇒ u =4
Örnek 3.
∫ (e
1
0
2x
)(
− 2x e
2x
)
− 1 dx =
∫
e2 −2
1
1
1 u2
u du = ⋅
2
2 2
e2 −2
1
1
= ⋅u2
4
e2 −2
=
1
(
1 2
e −2
4
)
2
1
− .
4
u = e2x – 2x , du = (2e2x – 2) dx , (e2x – 1) dx = (1/2) du
x=0 ⇒ u=1 ; x=1 ⇒ u =e2 - 2
Örnek 4(Uygulama). Haftada x televizyon ünitesi üreten bir işletmenin haftalık marjinal
kârı, YTL olarak, K´(x) = 165 - (0.1)x , 0 ≤ x ≤ 4000 biçiminde veriliyor. Şu anda
haftada 1500 ünite üreten firma, haftalık üretimini artırmak istiyor. Haftalık üretimini 1600 e
çıkarırsa, haftalık kârındaki değişim ne olacaktır?
Çözüm. Kârdaki artış
1600
K (1600) − K (1500) = K ( x) 1500 =
=
∫
1600
1500
K ' ( x) dx
1600
2 1600
1500
1500
∫ (165 − (0.1)x ) dx = 165 x − (0.05)x
Ders 12 …………………………………………………………………………………… 196
Son ifdede değerler yerleştirilince,
K (1600) − K (1500) = 165 ⋅ 1 600 − 0.05 ⋅ 2 560 000 − (165 ⋅ 1500 − 0.05 ⋅ 2 250 000)
= 165 ⋅ 1600 − 0.05 ⋅ 2 560 000 − (165 ⋅ 1500 − 0.05 ⋅ 2 250 000 )
= 16500 − 0.05 ⋅ 31 000 = 16500 − 15 500 = 1000
YTL olarak elde edilir.
Daha önce belirsiz integral hesabında kullandığımız kısmî integrasyon yöntemini belirli
integral hesaplarken de kullanabiliriz. Önce karşılık gelen belirsiz integralhesaplanır ve en
sonunda sınırlar yerleştirilerek belirli integral bulunur.
Örnek 5.
∫
1
0
x e x dx = ∫ u dv = uv − ∫ vdu = xe x − ∫ e x dx = xe x − e x
u=x
du = dx
1
0
= 0 − (− 1) = 1.
, dv = ex dx
, v = ex
Bazı integrallerin hesabında değişken değiştirme ve kısmî integrasyon yöntemleri birlikte
kullanılabilir.
Örnek 6.
2
1 2
⎛1⎞
2
(
)
(ln t ) dt = 1 ⎛⎜⎜ (t ln t ) − ∫ t ⎛⎜ 1 ⎞⎟dt ⎞⎟⎟
x
ln
x
1
dx
ln
t
dt
+
=
=
⎜
⎟
∫0
∫1
∫
1
2
2⎝
⎝2⎠
⎝t⎠ ⎠
(
1
)
t= x2 + 1
, dt= 2x dx , x dx = (1/2) dt
x=0⇒ t=1 , x=1⇒t=2
2
1
1
= ((t ln t ) − t ) = (2 ln 2 − 2 − (0 − 1))
2
2
1
u = ln t
, dv = dt
v=t
du = (1/t) dt ,
Örnek 7.
t=
x
∫
1
0
e
x
=
( )
1
(2 ln 2 − 1) = ln 2 − 1 .
2
2
1
1
dx = ∫ 2tet dt = 2∫ tet dt = 2⎛⎜ tet − ∫ et dt ⎞⎟ = 2(tet − et )
0
0
⎝
⎠
, dt=
1
dx , dx =2 x dt=2t dt
2 x
x=0⇒ t=0 , x=1⇒t=1
.
1
0
= 2(0) − 2(−1) = 2.
u =t , dv = e t dt
du = dt , v = e t
Belirli İntegral ……. ……………………………………………………………………. 197
12.5. Ortalama Değerler. Bir fonksiyonun sonlu sayıda değeri verildiği zaman bu
değerlerin ortalamasını nasıl hesapladığımızı anımsayalım. Örneğin, f fonksiyonunun
f ( a1 ), f (a2 ), K , f (an )
değerlerinin ortalaması
f (a1 ) + f (a2 ) + L + f (an )
n
olarak tanımlanır.
f fonksiyonu bir [a , b] kapalı aralığında tanımlı ise, f nin bu aralıkta aldığı tüm
değerlerin ortalaması nasıl hesaplanabilir? Eğer f fonksiyonu [a , b] kapalı aralığında
sürekli ise, bu ortalama değer aşağıdaki teorem ışığında integral yardımı ile hesaplanabilir.
Teorem(İntegral için ortalama değer teoremi). f
sürekli ise, öyle bir c∈ (a , b) vardır ki
f (c ) =
fonksiyonu [a , b] kapalı aralığında
b
1
f ( x) dx
∫
a
b−a
dir.
y
Teoremin ifadesindeki eşitlik
∫
b
a
f ( x) dx == (b − a ) f (c)
(c , f(c))
biçiminde yazılırsa, yandaki şekilden de izlenebileceği üzere bu eşitlik, f nin grafiği ile
x -ekseni arasında kalan bölgenin alanının,
taban uzunluğu (b − a) ve yüksekliği f (c)
olan dikdörtgenin alanına eşit olduğunu ifade
etmektedir.
a
c
b
x
f nin grafiği ile x -ekseni arasında kalan bölgenin alanı, kabaca, f nin [a , b] kapalı
aralığında aldığı tüm değerlerin toplamı olarak düşünülürse, f
fonksiyonunun [a , b]
aralığı üzerinde ortalama değerinin
f (c ) =
olarak tanımlanabileceği görülür.
b
1
f ( x) dx
(b − a) ∫a
Ders 12 …………………………………………………………………………………… 198
Örnek 1. f(x) = x - 3x2 nin [-1 , 2] aralığı üzerinde ortalama değeri
1
f (c ) =
(2 − (−1))
∫
2
−1
2
1 x2
1⎛
1
5
⎞
( x − 3x ) dx = ( − x 3 ) = ⎜ 2 − 8 − ( − ( −1)) ⎟ = −
3 2
3⎝
2
2
⎠
−1
2
dir.
Örnek 2. Fiyat-talep fonksiyonu p = 500e ( −0.01) x olarak verilmişse, [200 , 300] talep aralığı
üzerinde ortalama fiyatın ne olduğunu(YTL olarak) belirleyelim.
Verilen aralıktaki ortalama fiyat p ile gösterilirse,
p=
1
300 − 200
∫
300
200
500e −( 0.001) x dx =
500 ⎛
⎜
100 ⎝
∫
300
200
( −0.001) x 300
e
500e −( 0.001) x dx ⎞⎟ = 5
− 0.001
⎠
= − 5000e ( −0.001) x
300
200
200
= −5000(e −3 − e − 2 ) ≈ 42.75
YTL olur.
12.6. Alan Hesabı. Bir eğri ile x-ekseni arasında kalan alan ile belirli integral arasındaki
ilişkiyi dersimizin başlangıcında görmüştük. Eğer eğrinin tamamı x-ekseninin yukarısında
ise
y
y = f(x)
A=
A
a
b
x
∫
b
a
f ( x) dx
Belirli İntegral ……. ……………………………………………………………………. 199
Eğer eğrinin tamamı x-ekseninin aşağısında ise
y
b
a
x
A
A=−
∫
b
f ( x) dx
a
y = f(x)
Eğer eğrinin bir kısmı eğrinin x-ekseninin yukarısında bir kısmı da x-ekseninin aşağısında ise
y
A=
∫
b
a
f ( x) dx −
∫
c
b
f ( x) dx +
∫
d
c
f ( x) d
( taralı bölgenin alanı = A)
c
d
a
x
b
y = f(x)
Şimdi alan hesabına bazı somut örnekler vereceğiz.
Örnek 1. f(x) = 6x – x2
1≤ x≤4
,
ile verilen bölgenin alanı.
y = 6x – x2
y
A=
∫
4
1
4
3
(6 x − x ) dx = 3x − x
3 1
2
2
43 ⎛ 3 13 ⎞
− ⎜ 3 ⋅1 − ⎟⎟
3 ⎜⎝
3⎠
63
= 45 −
= 24.
3
= 3 ⋅ 42 −
A
1
3
4
x
Ders 12 …………………………………………………………………………………… 200
Örnek 2. f(x) = x2 - 2x ,
1 ≤ x ≤2
ile verilen bölgenin alanı.
y
A=−
∫ (x
2
2
1
)
− 2 x dx
2
1
⎛ x3
⎞
= − ⎜⎜ − x 2 ⎟⎟
⎝ 3
⎠1
2
x
⎛8
⎞ ⎛1 ⎞
= −⎜ − 4 ⎟ + ⎜ − 1⎟
⎝3
⎠ ⎝3 ⎠
A
7
2
= − +3= .
3
3
y = x2 – 2x
Örnek 3. f(x) = x2 - 2x ,
-1 ≤ x ≤ 1
ile verilen bölgenin alanı.
y
A=
∫ (x
0
−1
2
)
− 2 x dx −
∫ (x
1
0
2
)
− 2 x dx
0
1
⎞
⎛ x3
⎞
⎛ x3
= ⎜⎜ − x 2 ⎟⎟ − ⎜⎜ − x 2 ⎟⎟
⎠0
⎠ −1 ⎝ 3
⎝ 3
y = x2 – 2x
⎛ −1 ⎞ ⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎞
= 0 − ⎜ − 1⎟ − ⎜⎜ ⎜ − 1⎟ − 0 ⎟⎟
⎝ 3
⎠ ⎝⎝ 3 ⎠ ⎠
1
1
= + 1 − + 1 = 2.
3
3
1
-1
x
Belirli İntegral ……. ……………………………………………………………………. 201
12.7. İki Eğri Arasında Kalan Bölgenin Alanı.
f ve g [a , b ] aralığında sürekli
fonksiyonlar, her x ∈ [a , b ] için g(x) ≤ f(x) olsun . Bu durumda y = f(x) in grafiği y =
g(x) in grafiğinin yukarısındadır ve [a , b ] aralığı üzerinde bu iki eğri arasında kalan alan
integral olarak şöyle ifade edilir:
y = f(x)
y
A
A=∫
b
a
( f ( x) − g ( x) ) dx
y = g(x)
a
x
b
Örnek 1. f(x) = 2x +3 , g(x) = -x2 + 1 , 0≤ x ≤ 2
ile verilen bölgenin alanı.
y
y = 2x + 3
A=∫
2
0
=∫
2
0
(x
2
2
)
⎛ x3
⎞
= ⎜⎜ + x 2 + 2 x ⎟⎟
⎝ 3
⎠0
2
y = -x2 + 1
x
8
32
= +4+4 = .
3
3
))
+ 1 dx
+ 2 x + 2 dx
2
A
1
((2 x + 3) − (− x
Ders 12 …………………………………………………………………………………… 202
İki eğri arasında kalan bölgenin alanı hesaplanırken, y = f(x) in grafiğinin bir kısmı y = g(x)
in grafiğinin yukarısında, bir kısmı da aşağısında olabilir. Bu durumda söz konusu aralık alt
aralıklara bölünerek alan hesaplanır. Örnek olarak aşağıdaki şekilde gösterilen bölgenin
alanına bakalım.
y = f(x)
y
a
c
x
b
y = g(x)
A : Taralı bölgenin alanı
A=
∫ a ( f ( x) − g ( x)) dx + ∫ c (g ( x) −
c
b
Örnek 2. f(x) = -x +1 , g(x) = x2 - 1 , 0≤ x ≤ 2
y
A=
f ( x) ) dx
ile verilen bölgenin alanı.
∫ ((− x + 1) − (x
1
0
+
y = x2 - 1
=
∫ (− x
1
0
2
2
))
− 1 dx
∫ ((x
2
)
− x + 2 dx +
1
1
2
x
2
1
∫ (x
2
1
)
)
− 1 − (− x + 1) dx
2
)
+ x − 2 dx
2
⎛ x3 x 2
⎞
⎛ x3 x 2
⎞
= ⎜⎜ −
−
+ 2 x ⎟⎟ + ⎜⎜ +
− 2 x ⎟⎟
2
2
⎝ 3
⎠0 ⎝ 3
⎠1
⎛ 1 1
⎞ ⎛8
⎛1 1
⎞⎞
= ⎜ − − + 2 − 0 ⎟ + ⎜⎜ + 2 − 4 − ⎜ + − 2 ⎟ ⎟⎟
⎝ 3 2
⎠ ⎝3
⎝3 2
⎠⎠
y = -x + 1
=3
Belirli İntegral ……. ……………………………………………………………………. 203
12.8. Hacim Hesabı , Dönel Cisimlerin Hacmi. Düzlemde bir bölgenin x-ekseni etrafında
döndürülmesiyle meydana gelen cismin hacmi integral yardımıyla hesaplanabilir.
[a , b] aralığı üzerinde y = f(x) in grafiği ile x – ekseni arasında kalan bölgenin x – ekseni
etrafında döndürüldüğünü düşünelim.
y y = f(x)
Yandaki şekilde görülene benzer bir
katı cisim ortaya çıkacaktır. Bu katı
cismin hacmini belirli integral kullanarak hesaplayabiliriz. Gerçekten ,
taban uzunluğu dx ve yüksekliği
f(x)
f(x) olan dikdörtgen x – ekseni etrafında döndürülürse bir silindir(şekilx
dx
a
b
de kırmızı olarak çizilen silindir) elde
edilir. Bu silindirin hacmi
dV = π ( f ( x) ) dx
2
dir ve integral tanımı göz önüne alınarak şekildeki katı cismin hacminin
V = π ∫ ( f ( x) ) dx
b
2
a
olduğu sonucu çıkarılabilir.
Örnek 1. f(x) = x2
, 0≤ x≤1
ile verilen bölgeyi x - ekseni etrafında döndürünce
meydana gelen cismin hacmini hesaplayalım.
y
y = x2
1
V = π∫
=π
1
x
=π
∫
0
1
0
(x )
2 2
x 4 dx
5 1
x
5
0
=
π
5
dx
Ders 12 …………………………………………………………………………………… 204
Örnek 2(Kürenin hacmi). Yarıçapı r birim olan küre, yarıçapı r birim olan bir yarım
çemberin çapı etrafında döndürülmesiyle elde edilir. Dolayısıyla, sözü edilen hacim
f(x)= (r2 - x2 )1/2 , -1 ≤ x ≤ 1 eğrisinin x - ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilir.
V =π
y
y= r −x
2
∫
2
r
⎛⎜ r 2 − x 2 ⎞⎟ dx
⎝
⎠
−r
2
=π
∫ (r
r
−r
2
)
− x 2 dx
r
-r
r
⎛ 2
x3 ⎞
= π ⎜⎜ r x − ⎟⎟
3⎠
⎝
−r
x
⎛ 3 r 3 ⎛ 3 r 3 ⎞⎞
= π⎜⎜ r −
− ⎜⎜ − r + ⎟⎟ ⎟⎟
3
3 ⎠⎠
⎝
⎝
4π r 3
=
3
.
Örnek 3(Koninin hacmi). Taban yarıçapı
r birim ve yüksekliği h birim olan koni,
f(x) = (r/h)x , 0 ≤ x ≤ h
eğrisinin x - ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilir.
y
V = π∫
y = (r / h) x
((r / h) x )2
h
0
=π∫
h
0
dx
⎛ r2 2 ⎞
⎜⎜ 2 x ⎟⎟ dx
⎠
⎝h
h
h
x
⎛ r 2 x3 ⎞
⎟⎟
= π ⎜⎜ 2
3
h
⎝
⎠0
⎛ r 2 h3 ⎞ π 2
= π⎜⎜ 2 ⋅ ⎟⎟ = r h .
⎝h 3 ⎠ 3
.
Belirli İntegral ……. ……………………………………………………………………. 205
Problemler 12
1. Aşağıdaki şekilde verilen alanları belirli integraller olarak ifade ediniz:
y
y = f(x)
0
a
c
b
d
x
a) [a , b] aralığı ile grafik arasındaki alan.
b) [b , c] aralığı ile grafik arasındaki alan.
c) [c , d] aralığı ile grafik arasındaki alan.
ç) [a , c] aralığı ile grafik arasındaki alan.
d) [b , d] aralığı ile grafik arasındaki alan.
e) [a , d] aralığı ile grafik arasındaki alan.
2. Aşağıdaki belirli integralleri hesaplayınız.
a)
d)
∫
2
1
∫
e
1
∫
(3 x 2 − 4 x + 5)dx
b)
1
( x + )dx
x
e)
2
1
∫
2
1
(2 x − 2 − 3 x 2 )dx
(x 2 −
c)
1
)dx
x2
f)
∫
∫
4
1
1
0
( x + x )dx
ç)
( x e + e x )dx
g)
3. Aşağıdaki belirli integralleri değişken değiştirme yöntemi ile hesaplayınız.
a)
∫
d)
∫
3
2
12( x 2 − 4) 5 xdx
x
dx
0 x +2
1
2
b)
e)
∫
∫
1
dx
3 x −1
1
0
5
c)
∫
10
−5
e −0.05 x dx
(e 2 x − 2 x)(e 2 x − 1)dx
x
dx
x +2
7
x
dx
−1 x + 2
1
ç)
∫
f)
∫
0
2
∫
∫
1
0
1
( x 3 + x 3 ) dx
ln 2
0
(2e x + 2 )dx
Ders 12 …………………………………………………………………………………… 206
4. Aşağıdaki belirli integralleri hesaplayınız.
a)
ç)
∫
∫
1
( x + 1)e x dx
b)
10(2 x − 1) 4 dx
d)
0
3
0
∫
∫
3
1
10
0
ln(2 x)dx
c)
10e −0.02 x dx
e)
∫
∫
ln x
dx
x2
e
1
2
1
e−x
dx
1 + 2e − x
5. Dağ bisikleti üreten bir firmanın araştırma departmanı, marjinal gider fonksiyonunu, ayda
3
adet bisiklet üretilmesi durumunda, Gi´(x) = 500 − , 0 ≤ x ≤ 1000
x
x
olarak belirliyor. 300
bisikletlik bir üretim seviyesinden 900 bisikletlik bir üretim seviyesine geçilmesi durumunda
toplam giderde ne kadar artış olacağını bir belirli integral olarak ifade edip hesaplayınız.
6. Aşağıda verilen eğriler ile verilen aralık üzerinde çevrelenmiş bölgelerin alanlarını bulunuz.
a) y = 3 x 2 , y = 0 ; 1 ≤ x ≤ 2
b) y = −2 x − 1 , y = 0 ; 0 ≤ x ≤ 4
c) y = x 2 + 2 , y = 0 ;
ç) y = e x , y = 0 ;
d) y =
−1 ≤ x ≤ 0
−1
, y = 0 ; 0.5 ≤ t ≤ 1
t
f) y = x 2 + 1 , y = 2 x − 2 ;
−1 ≤ x ≤ 2
−1 ≤ x ≤ 2
e) y = −2 x + 8 , y = 12 ;
g) y = x 3 , y = x ;
−1 ≤ x ≤ 2
−2≤ x ≤ 2
7. Aşağıda verilen iki eğri arasında kalan bölgenin alanını bulunuz.
a) y = 3 x 2 , y = 12
b) y = 4 − x 2 , y = −5
c) y = x 3 , y = 4 x
ç) y =
d) y = 2 − x , y = x 2
e) y = x 4 − 6 x 2 , y = 4 x 2 − 9
x,y=x
8. Alıştırma 6 da verilen bölgelerin x – ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen cisimlerin
hacimlerini bulunuz.