LİMİT VE SÜREKLİLİK

LİMİT VE SÜREKLİLİK
Bir Değişkenin Bir Reel Sayıya Yakınsaması
x gibi bir değişken, bir a reel sayısının çok yakınında değerler alıyorsa x değişkeni a reel sayısına yakınsıyor denir ve x → a ile
gösterilir.
Örneğin;
x
2,9
2,99
2,999
2,9999
3,0000001
3,000001
3,00001
3,0001
Yukarıdaki tabloda x değişkeninin aldığı değerlerin 3 etrafında ve 3 e çok yakın değerler olduğu görülüyor. Bu nedenle x değişkeni
3 e yakınsıyor denir ve x → 3 ile gösterilir.
Bir a reel sayısına soldan yaklaşma; değişkenin a reel sayısından küçük ama a ya çok yakın değerler aldığı anlamındadır ve
–
x → a ile gösterilir.
Bir a reel sayısına sağdan yaklaşma; değişkenin a reel sayısından büyük ama a ya çok yakın değerler aldığı anlamındadır ve
+
x → a ile gösterilir.
çözüm
kavrama sorusu
x
– 2,00001
– 2,0001
– 1,99999
– 1,9999
Tabloda x in aldığı değerlerin – 2 sayısı etrafında olduğu görülüyor. x değişkeni – 2 reel sayısına yakınsar.
Cevap: x → – 2
– 1,999
Yukarıdaki tabloya göre, x hangi reel sayıya yakınsar bulunuz?
çözüm
kavrama sorusu
–
x → 0 olduğuna göre, x in alabileceği değerlere örnek veriniz.
Sıfıra soldan yaklaşıldığında x < 0 olmalıdır.
– 0,00001 sıfıra çok yakın ama sıfırdan küçük bir sayı olduğundan x değişkeni bu değeri alabilir.
Cevap: – 0,00001
çözüm
kavrama sorusu
+
x → 5 olduğuna göre, x in alabileceği değerlere örnek veriniz.
5 e sağdan yaklaşıldığında x > 5 olmalıdır.
5,00001 sayısı 5 e çok yakın ama 5 ten büyük bir sayı olduğundan x değişkeni bu değeri alabilir.
Cevap: 5,00001
2
Limit ve Süreklilik
soru 1
soru 5
+
x
4,999
4,9999
4,9999
5,0001
x → 2 olduğuna göre, x değişkenin aldığı değerlerden biri
aşağıdakilerden hangisi olabilir?
5,001
A) 1,99999
Yukarıdaki x in değer tablosuna göre, x aşağıdaki sayılardan
hangisine yakınsar?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
B) 1,9990
C) 1,9900
D) 2,00001
E) 3
E) 7
soru 2
soru 6
–
y
– 3,99999
– 3,9999
– 3,999
– 3,99
x → 1 olduğuna göre, x değişkenin aldığı değerlerden biri
aşağıdakilerden hangisi olabilir?
– 3,9
A) 2
Yukarıdaki y nin değer tablosuna göre, y aşağıdaki sayılardan hangisine yakınsar?
B) – 3
C) – 4
D) – 5
soru 3
x
6,0000001
6,000001
6,00001
6,0001
B) 7
C) 8
D) 1,001
E) 0,9999
D) 9
soru 7
+
x → – 2 olduğuna göre, x değişkenin aldığı değerlerden
biri aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) – 1,9999
Yukarıdaki x in değer tablosuna göre, x aşağıdaki sayılardan
hangisine yakınsar?
A) 6
C) 1,0001
E) – 6
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A) – 2
B) 1,00001
B) – 2,00001
C) – 2,0001
D) – 2,001
E) – 2,01
E) 10
soru 4
soru 8
–
x → – 5 olduğuna göre, x değişkenin aldığı değerlerden biri
aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) – 6
B) – 5,00001
C) – 4,99999
D) – 4,9999
E) – 4,999
Yukarıdaki sayı doğrusunda verilenlere göre, a tamsayısı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1
1 – C
B) 2
2 – C
C) 3
D) 4
3 – A
E) 5
4 – D
5 – D
3
6 – E
7 – A
8 – B
Limit ve Süreklilik
Soldan ve Sağdan Limit:
x değerleri a dan küçük değerlerle artarak(soldan) a ya yaklaşırken, f(x) değerleride bir L1 sayısına yaklaşıyorsa; L1 reel sayısına
f fonksiyonunun a noktasındaki soldan limiti denir ve lim f(x) = L1 biçiminde gösterilir.
x→a −
Yandaki grafikte görüldüğü gibi x değişkeni a reel sayısına soldan yaklaşırken f(x) değerleri L1 sayısının etrafında yer aldığından lim f(x) = L1 dir.
x→a −
x değerleri a dan büyük değerlerle azalarak(sağdan) a ya yaklaşırken, f(x) değerleride L2 sayısına yaklaşıyorsa; L2 reel sayısına
f fonksiyonunun a noktasındaki sağdan limiti denir ve lim f(x) = L 2 ile gösterilir.
x →a +
Yandaki grafikte görüldüğü gibi x değişkeni a reel sayısına sağdan yaklaşırken f(x) değerleri L2 sayısının etrafında yer aldığından lim f(x) = L 2 dir.
x →a +
çözüm
kavrama sorusu
Yukarıda verilen grafiğe göre, lim f ( x ) limitinin değerini
x → 2−
bulunuz.
Grafikte görüldüğü gibi, x değerleri artarak 2 ye yaklaşırken
f(x) değerleri 3 ün etrafında yer aldığından, lim f(x) = 3 tür.
x→2 −
Cevap: 3
çözüm
kavrama sorusu
Yukarıda verilen grafiğe göre, lim f ( x ) limitinin değerini
x → 3+
bulunuz.
Grafikte görüldüğü gibi, x değerleri azalarak 3 e yaklaşırken
f(x) değerleri 1 in etrafında yer aldığından, lim f(x) 1 dir.
x →3
Cevap: 1
4
Limit ve Süreklilik
soru 1
soru 5
B) 4
lim f ( x ) limitinin değeri
Yukarıda verilen grafiğe göre,
kaçtır?
A) 5
x → 3−
C) 3
D) 2
Yukarıda verilen grafiğe göre, lim f ( x ) = b olduğuna göre,
x →1+
b kaçtır?
E) 1
A) 0
soru 2
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
lim f ( x ) limitinin değeri
Yukarıda verilen grafiğe göre,
kaçtır?
A) 1
B) 2
soru 6
+
x →1
C) 3
D) 4
E) 5
soru 3
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
B) 7
Yukarıda verilen grafiğe göre, lim f ( x ) = 2 ve
x → 3−
lim g(x) = 3 olduğuna göre, a+b toplamı kaçtır?
x → 4+
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Yukarıda verilen grafiğe göre,
mının sonucu kaçtır?
A) 6
A) 1
lim f ( x ) + lim f ( x ) topla-
x →1−
x →1+
C) 8
D) 9
soru 7
E) 10
soru 4
Yukarıda verilen grafiğe göre, lim f(x) = 2 ve
x → 3−
Yukarıda verilen grafiğe göre, lim f ( x ) = a olduğuna göre,
x → 2−
a kaçtır?
A) 1
1 – D
B) 2
C) 3
2 – C
D) 4
3 – A
lim g(x) = 3 olduğuna göre, a – b farkının sonucu kaçtır?
x → 4+
A) –1
E) 5
4 – A
5
B) 0
5 – B
C) 1
D) 2
6 – E
E) 3
7 – A
Limit ve Süreklilik
çözüm
kavrama sorusu
Yukarıda grafiği verilen y=f(x) parçalı fonksiyonunda
lim f ( x ) ve lim f ( x ) ifadelerinin değerlerini bulunuz.
x → 4−
Grafikte görüldüğü gibi, x değerleri artarak 4 e yaklaşırken f(x)
değerleri 1 in etrafında yer aldığından, lim f(x) = 1 dir.
x → 4+
x→4 −
–
(4 , 4 ten küçük ama 4 e çok yakın bir değer)
+
(4 , 4 ten büyük ama 4 e çok yakın bir değer)
Grafikte görüldüğü gibi, x değerleri azalarak 4 e yaklaşırken
f(x) değerleri 2 in etrafında yer aldığından, lim f(x) = 2 dir.
x →4 +
Cevap: lim f(x)=1 ve lim f(x)=2
x→4−
çözüm
kavrama sorusu
y=f(x) y
3
2
Yukarıda verilen grafiğe göre,
lim f ( x ) ,
−
x →−1
y=f(x) y
f(x) ler 3 ün
etrafýnda
3
2
3
2 f(x) ler 2 nin
x
–1 0
+
x →−1
lim f(x) = 3
x → 0+
–
–1
x
0
lim f(x) = 2
x→−1−
(1 , 1 den küçük ama 1 e çok yakın bir değer)
etrafýnda
3
2
–1 e saðdan
yaklaþýyor
–1 e soldan
yaklaþýyor
lim f ( x ) ,
lim f ( x ) , lim f ( x ) , limitlerini araştırınız.
x → 0−
x→4+
x→−1+
+
(1 , 1 den büyük ama 1 e çok yakın bir değer)
–
(0 , 0 dan küçük ama 0 a çok yakın bir değer)
+
(0 , 0 dan büyük ama 0 a çok yakın bir değer)
lim f(x) =
x→0
6
−
3
2
lim f(x) =
x →0
+
3
2
Limit ve Süreklilik
soru 1
soru 4
B) 5
Yukarıda verilen grafiğe göre,
lamı kaçtır?
lim f(x) + lim+ f(x) toplamı
Yukarıda verilen grafiğe göre,
kaçtır?
A) 4
x ® 2-
C) 6
x®2
A) 0
D) 7
B) 1
lim f ( x ) + lim f ( x ) top-
x →−1+
x →−1−
C) 2
D) 3
E) 4
soru 5
E) 8
soru 2
Yukarıda verilen grafiğe göre,
mı kaçtır?
A) 0
B) 1
lim f ( x ) + lim f ( x ) topla-
x →3
−
C) 2
x →3
+
D) 3
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
E) 4
Yukarıda verilen grafiğe göre,
I) lim f(x) = 3 II) lim f(x) = 3
III) lim f(x) = 2 IV) lim f(x) = 4
x →1+
x→1−
x →3 +
x→3 −
ifadelerinden hangileri doğrudur?
A) I, II, III, IV
B) Yalnız I, II, III
D) Yalnız I ve II
C) Yalnız I ve II
E) Yalnız III ve IV
soru 6
soru 3
Yukarıda verilen grafiğe göre,
I)
lim f(x) = 2 x→−2 −
III) lim f(x) = 1 Yukarıda verilen grafiğe göre,
kaçtır?
A) 8
B) 6
C) 4
x→1−
lim f ( x ) − lim f ( x ) farkı
x →1−
x →1+
D) 2
II)
lim f(x) = 1
x→−2 +
IV) lim f(x) = 2
x →1+
ifadelerinden hangisi veya hangileri yanlıştır?
A) Yalnız I
E) 0
B) Yalnız II
D) II ve III
1 – B
2 – E
3 – E
4 – D
7
C) I ve IV
E) III ve IV
5 – A
6 – C
Limit ve Süreklilik
Bir f(x) fonksiyonunun x → a için soldan ve sağdan limitleri birbirine eşit ise f(x) in a noktasında limiti vardır. Yani,
=
lim f(x) L=
1 , lim f(x) L 2 ve L1=L2=L ise lim f(x) = L dir.
x→a −
x→a +
x →a
Eğer L1≠L2 ise yani sağdan ve soldan limit değerleri farklı ise f(x) in x → a için limiti yoktur.
lim f(x) = c
x→a −
lim f(x) = c
x →a +
f(a)=c
lim
=
f(x)
x→a −
lim
=
f(x) c olduğundan,
x→a +
lim f(x) = c dir.
x →a
lim
=
f(x)
lim f(x) = c
x→a −
lim f(x) = c
x →a +
f(a)=b
x→a −
lim
=
f(x) c olduğundan,
x→a +
lim f(x) = c dir.
x →a
Uyarı: lim f(x) ≠ f(a) olmasına
x →a
rağmen lim f(x) = c dir.
x →a
x→a −
lim f(x) = c
x →a
x→a
lim
=
f(x) c olduğundan,
x→a +
−
x →a +
lim
=
f(x)
lim f(x) = c
f(a) tanımsız
lim f(x) = c dir.
Uyarı: x=a için f(x) in tanımsız olması lim f(x) = c olmasına etki etmez.
x →a
lim f(x) = b
x→a −
lim f(x) = c
x →a +
f(a)=c
lim f(x) ≠ lim f(x) olduğundan,
+
x→a −
x→a
lim f(x) değeri yoktur.
x →a
lim f(x) = b
x→a −
lim f(x) = c
x →a +
f(a)=d
8
lim f(x) ≠ lim f(x) olduğundan,
+
x→a −
x→a
lim f(x) değeri yoktur.
x →a
Limit ve Süreklilik
soru 1
soru 4
Yukarıda verilen grafiğe göre, lim f ( x ) değeri kaçtır?
Yukarıda verilen grafiğe göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi
veya hangileri doğrudur?
x→2
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
I)
lim f(x) = 1 II)
x→−1−
III) lim f(x) yoktur lim f(x) = 2
x→−1+
IV) lim f(x) = 2
x→−1
x→−1
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I, II ve III
soru 2
E) III ve IV
soru 5
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
Yukarıda verilen grafiğe göre, lim f ( x ) değeri kaçtır?
x →1
B) 2
C) 3
A) 1
C) Yalnız III
D) 4
Yukarıda verilen grafiğe göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi
veya hangileri yanlıştır?
I) lim f(x) = 1 II) lim f(x) = 2
x →2 +
x→2 −
E) 5
III) f(2)=3
IV) lim f(x) = 3
x →2
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) Yalnız IV
soru 3
C) Yalnız III
E) I ve IV
soru 6
Yukarıda verilen grafiğe göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi
veya hangileri yanlıştır?
I) lim f(x) = 1 x→1−
Yukarıda verilen grafiğe göre, lim f ( x ) değeri kaçtır?
x →3
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
III) f(1) tanımsızdır.
E) 4
A) Yalnız I
II) lim f(x) = 1
x →1+
IV) lim f(x) yoktur
x →1
B) Yalnız II
D) II ve III
1 – B
2 – A
3 – E
4 – D
9
C) Yalnız III
E) I ve IV
5 – D
6 – B
Limit ve Süreklilik
çözüm
kavrama sorusu
Yukarıda verilen grafiğe göre, lim f ( x ) ve lim f ( x ) de-
lim f(x) = lim f(x) olduğundan lim f(x) = 1
x →1
x →−2
x→−2 −
ğerlerini bulunuz.
x→−2 +
x→−2
lim f(x) ≠ lim f(x) olduğundan lim f(x) yoktur.
x→−1−
x→−1+
x →1
Cevap: lim f(x)=1, lim f(x) yok
x→− 2
x→1
çözüm
kavrama sorusu
Yukarıda grafiği verilen y=f(x) fonksiyonunun x in –4, –3,
–2, –1, 0, 1, 2 değerleri için limitlerini araştırınız.
Yukarıdaki grafikte görüldüğü gibi x=–4 ve x=1 noktalarında
fonksiyon (sıçrama yaptığı için) sağdan ve soldan limitleri farklı dolayısıyla bu noktalarda limitleri yoktur.
lim f(x) = 3 , lim+ f(x) = 1
x ®1-
lim f(x) ¹ lim+ f(x)
x ®1-
x ®1
x ®1
olduğundan lim f(x) yoktur.
x ®1
=
lim f(x) 2,=
lim f(x) 1
x→−4 +
x→−4 −
lim f(x) ≠ lim f(x)
x→−4 −
olduğundan lim f(x) yoktur.
x→−4
=
lim f(x)
x→−3 −
=
lim f(x)
x→−2 −
=
lim f(x)
x→−1−
lim
=
f(x)
x→0 −
lim
=
f(x)
x→2 −
10
=
lim f(x) 1
=
lim f(x) 1
=
lim f(x) 3
=
lim f(x) 3
=
lim f(x) 3
=
lim f(x) 3
x→−3 +
x→−2 +
x→−1+
x→−3
x→−2
x→−1
lim
=
f(x) 3
=
lim f(x) 3
lim
=
f(x) 2
=
lim f(x) 2
x→0 +
x→2 +
x→0
x→2
x→−4 +
Limit ve Süreklilik
soru 1
soru 3
Yukarıda verilen y=f(x) fonksiyonunun grafiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) lim f(x) =
−2
B) lim f(x) =
1
x→0 −
x→0 +
Yukarıda verilen y=f(x) fonksiyonunun grafiğine göre, aşağı=
C) lim f(x) 1=
D) lim f(x) 2
daki ifadelerden kaç tanesi doğrudur?
+
−
lim f(x) = −4 x→−2
II)
−
x→−2
x→4 −
IV) lim f(x) = 2
V) lim f(x) ve lim f(x) yoktur VI) lim f(x) = 2
x→−2
A) 2
x→3
E) lim f(x) = 0
+
III) lim f(x) = −4 x→3 +
x→3
lim f(x) = 2
x→3 −
x →0
x→3
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
soru 2
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
I)
soru 4
lim f(x) = 3 olduğuna göre, f(x) fonksiyonunun grafiği aşa-
x →1
ğıdakilerden hangisi olabilir?
Yukarıda verilen y=f(x) fonksiyonunun grafiğine göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) lim f(x) 0=
B) lim f(x) 2
x→−3 −
x→−2 −
−2
C) lim f(x) =
D) lim f(x) =
4
x→0
x→0 −
E) lim f(x) = 2
x→2
1 – D
2 – D
3 – E
11
4 – B
Limit ve Süreklilik
Polinom Fonksiyonların Limitleri
n
n–1
f(x)=anx +an–1x +...+aa şeklindeki fonksiyonlara polinom fonksiyon denir ve bütün reel sayılar için tanımlıdır. Yani, bu biçimdeki
fonksiyonları tanımsız yapan değerler yoktur ve grafikleri kesintisiz bir eğri şeklindedir.
Grafikleri kesintisiz olduğundan dolayı bu fonksiyonlarda herhangi bir noktada limit alınırken sağdan ve soldan limite bakmaya
gerek yoktur. Sadece fonksiyonun o noktadaki değerinin bulunması yeterlidir. lim f(x) = f(a) dır.
x →a
çözüm
kavrama sorusu
lim f(x) = f(a) olduğundan,
f(x)=3x+1 olduğuna göre, lim f ( x ) in sonucunu bulunuz.
x →1
x®a
lim f(x)= lim(3x + 1)= 3.1+ 1= 4
x→1
x→1
Cevap: 4
çözüm
kavrama sorusu
2
lim f(x) = f(a) olduğundan,
f(x)=x – x – 6 olduğuna göre, lim f ( x ) in sonucunu bulux→4
nuz.
x®a
lim f(x) = lim(x 2 − x − 6) = 4 2 − 4 − 6 = 6
x→4
x→4
Cevap: 6
çözüm
kavrama sorusu
lim f(x) = f(a)
lim ( x 3 − 1) limitinin sonucunu bulunuz.
x®a
x →−1
lim (x 3 − 1) =−
( 1)3 − 1=−2
x→−1
Cevap: –2
çözüm
kavrama sorusu
lim ( 2 x − 1) =
7 olduğuna göre, a kaçtır bulunuz.
lim f(x) = f(a)
x→a
x®a
lim(2x − 1)= 2a − 1= 7 ⇒ a = 4
x→a
Cevap: 4
12
Limit ve Süreklilik
soru 1
soru 5
f(x)=5x olduğuna göre, lim f ( x ) limitinin değeri kaçtır?
lim ( x 3 − x ) limitinin değeri kaçtır?
x→2
A) 1
B) 5
x→2
C) 10
D) 15
E) 20
A) 3
soru 2
C) 5
D) 6
E) 7
soru 6
lim ( 2 x + 7 ) limitinin değeri kaçtır?
lim ( − x 3 − x − 10 ) limitinin değeri kaçtır?
x →1
B) 9
C) 10
x →−2
D) 11
E) 12
A) –6
B) –4
C) –2
D) 0
E) 2
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A) 8
B) 4
soru 3
soru 7
lim (5x +1) = 21 olduğuna göre, a kaçtır?
lim ( x 2 + x ) limitinin değeri kaçtır?
x →a
x →3
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
A) 4
E) 13
soru 4
lim ( 2 x 2 − x + 1) limitinin değeri kaçtır?
1 – C
C) 6
D) 7
E) 8
D) 4
E) 5
soru 8
lim (x 2 − a) = 4 olduğuna göre, a kaçtır?
x →−1
A) 4
B) 5
B) 5
2 – B
C) 6
x →3
D) 7
3 – D
A) 1
E) 8
4 – A
B) 2
5 – D
13
C) 3
6 – D
7 – A
8 – E
Limit ve Süreklilik
f(x)
,
g(x)
h(x) , logk(x) biçimindeki kesirli, köklü ve logaritmik fonksiyonların tanımlı olduğu yerler sırasıyla g(x)≠0, h(x)≥0 ve k(x)>0
f(x) f(a)
=
, lim h(x)
şartını sağlayan aralıklardır. Bu aralıklardaki a reel sayıları için=
limit lim
x→a g(x) g(a)
x→a
h(a)=
ve lim log k(x) log k(a)
x→a
biçiminde hesaplanır. Bu aralıklar dışında fonksiyonların tanımsız olduğu yerlerde ise sağdan ve soldan limit incelemesi yapılmalıdır. İlerleyen bölümlerde bu noktalardaki limitler ayrıca incelenecektir.
çözüm
kavrama sorusu
x=1 için x+1≠0 olduğundan,
x+2
limitinin değerini bulunuz.
x →1 x + 1
lim
lim f(x) = f(a) dır.
x®a
x + 2 1+ 2 3
lim = =
x + 1 1+ 1 2
x →1
Cevap:
çözüm
kavrama sorusu
lim
x→3
3
2
x=3 için 12–x≥0 olduğundan,
12 − x limitinin değerini bulunuz.
lim f(x) = f(a) dır.
x®a
lim 12 − x =
x→3
12 − 3=
9= 3
Cevap: 3
çözüm
kavrama sorusu
2
x=3 için x +1>0 olduğundan,
lim log ( x 2 + 1) limitinin değerini bulunuz.
x →3
lim f(x) = f(a) dır.
x®a
lim log (x 2 +
=
1) log(32 +
=
1) log=
10 1
x→3
Cevap: 1
çözüm
kavrama sorusu
lim
x→2
x+1
limitinin değerini bulunuz.
x−2
x +1 2 +1 3
lim = =
x −2 2−2 0
x→2
tanımsız bir ifade ile karşılaştığımızdan x → 2 için sağdan ve
soldan limite bakılmalıdır.
14
Limit ve Süreklilik
soru 1
lim
x→2
soru 5
x+1
limitinin değeri kaçtır?
x+3
1
A)
5
2
B)
5
lim log3 ( 7 x + 2 ) limitinin değeri kaçtır?
x →1
3
C)
5
4
D)
5
A) 1
x−5
2
x +1
A) 0
lim
B) 1
C) 2
D) 3
A) 1
E) 4
B) 3
C) 4
B) 2
A) 1
x+1
limitinin reel sayı olmaması için a reel sayısı ax−7
şağıdakilerden hangisi olmalıdır?
lim
D) 5
E) 6
B) 3
C) 4
D) 5
E) 7
soru 8
x+3
limitinin değeri kaçtır?
2x − 1
B) 2
C) 3
lim
x→a
7 − x limitinin reel sayı olmaması için a reel sayısı
aşağıdakilerden hangisi olabilir?
D) 4
E) 5
A) 3
1 – C
E) 5
x→a
soru 4
lim
C) 3
soru 7
A) 2
x →1
D) 4
x →e
x 2 + 16 limitinin değeri kaçtır?
A) 2
E) 5
lim ln( x 3 ) limitinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
soru 3
x →3
D) 4
soru 6
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
lim
C) 3
E) 1
soru 2
x→5
B) 2
2 – A
3 – D
4 – B
B) 4
5 – B
15
C) 5
6 – C
D) 6
7 – E
E) 8
8 – E
Limit ve Süreklilik
Parçalı Fonksiyonların Limitleri
f(x)=
g(x) ,
x<a
h(x) ,
x≥a
biçimindeki parçalı fonksiyonlarda fonksiyonun kritik noktası x=a dır. Parçalı fonksiyonların grafikleri incelendiğinde kritik noktalarında kesintiler (sıçramalar) olabildiği görülür. Bundan dolayı kritik noktalarda sağdan ve soldan limit incelemesi yapılması gerekir.
Kritik nokta dışındaki limit incelemelerinde ise uygun olan fonksiyon seçilerek (g(x) veya h(x)) limit alınmaya çalışılır.
Not: Parçalı fonksiyonlarda limit incelemesi yapmak için grafik çizilmesi şart değildir.
çözüm
kavrama sorusu
+
f(x)=
x+2 ,
x≥1
x–1 ,
x<1
x→1 da x>1 olduğundan uygun fonksiyon x+2 dir.
lim (x + 2) = 1+ 2 = 3 ,
x→1+
lim (x − 1) = 1− 1= 0
x→1−
–
x→1 da x<1 olduğundan uygun fonksiyon x – 1 dir.
lim f ( x ) ifadesini inceleyiniz.
lim (x + 2) = 1+ 2 = 3 ,
x →1
x→1+
lim (x − 1) = 1− 1= 0
x→1−
lim f(x) ≠ lim f(x) olduğundan, lim f(x) yoktur.
x→1−
x→1+
x →1
Cevap: limit yoktur.
çözüm
kavrama sorusu
+
f(x)=
3x–1 ,
x≥2
x+3 ,
x<2
x→2 da x>2 olduğundan uygun fonksiyon 3x – 1 dir.
lim (3x − 1) = 3.2 − 1= 6 − 1= 5
x→2 +
–
x→2 da x<2 olduğundan uygun fonksiyon x+3 dür.
lim f ( x ) ifadesini inceleyiniz.
lim (x + 3) = 2 + 3 = 5
x→2
x→2 −
lim
=
f(x)
x→2 −
Cevap: 5
x>0
x=0 kritik nokta olduğundan lim f(x) için sağdan ve soldan
,
x=0
limit incelemesi yapmak gerekir.
2x–1 ,
x<0
2
x +1 ,
f(x)=
4
x®0
lim f(x) = lim+ (x 2 + 1) = 02 + 1 = 1
x ® 0+
x®0
lim- f(x) = lim- (2x - 1) = 2.0 - 1 = -1
lim f(x) , lim f(x) ve lim f(x) limitlerini inceleyiniz.
x®2
x →2
çözüm
kavrama sorusu
x®0
lim
=
f(x) 5 olduğundan, lim f(x) = 5
x→2 +
x®0
x ®-1
x®0
lim+ f(x) ¹ lim- f(x) olduğundan, lim f(x) yoktur.
x®0
x®0
x®0
x=2 kritik nokta olmadığından, (2>0 olduğundan)
lim f(x) = lim(x 2 + 1) = 22 + 1 = 5
x®2
x®2
x=–1 kritik nokta olmadığından, (–1<0 olduğundan)
lim f(x) = lim (2x - 1) = 2(-1) - 1 = -3
x ®-1
16
x ®-1
Limit ve Süreklilik
soru 1
soru 5
x+5 ,
f(x)=
5x+1 ,
x>1
x≤1
C) 6
D) 7
E) 8
A) 1
soru 2
B) 2
x
2
,
f(x)=
x < –1
D) 6
E) limit yoktur
B) –2
C) –1
D) 1
E) 2
soru 3
3x+1 ,
f(x)=
5
,
x+3 ,
A) –12
x>1
C) –8
2
x=1
x<1
D) –6
E) –4
x +3 ,
x≥2
x+1 ,
x<2
olduğuna göre, lim f ( x ) + lim f ( x ) toplamı kaçtır?
x→4
A) 19
D) 4
x≤2
B) –10
f(x)=
x →1
C) 3
3x–1 ,
soru 7
olduğuna göre, lim f ( x ) limitinin değeri kaçtır?
B) 2
x>2
x →−3
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A) limit yoktur
2x+1 ,
olduğuna göre, lim f ( x ) limitinin değeri kaçtır?
x →−1
x →0
B) 20
C) 21
D) 22
E) 23
E) limit yoktur
soru 4
soru 8
f(x)=
2x+5 ,
x
2
,
2
x > –2
f(x)=
x ≤ –2
olduğuna göre, lim f ( x ) limitinin değeri kaçtır?
olduğuna göre,
kaçtır?
x →−2
B) –1
C) 0
D) 1
2 – A
3 – D
x +1 ,
x≥0
1–x ,
x<0
lim f ( x ) + lim f ( x ) + lim f ( x )
x→0
x →−1
x →1
toplamı
E) limit yoktur
A) 5
1 – C
C) 5
x ≥ –1
2x ,
olduğuna göre, lim f ( x ) limitinin değeri kaçtır?
A) –2
x<1
soru 6
f(x)=
A) 1
x −4 ,
x≥1
x →−3
x →1
B) 5
2 olduğuna göre, lim f ( x ) limitinin değeri kaçtır?
olduğuna göre, lim f ( x ) limitinin değeri kaçtır?
A) 4
3x–1 ,
f(x)=
4 – E
B) 6
5 – C
17
C) 7
6 – B
D) 8
7 – B
E) 9
8 – A
Limit ve Süreklilik
çözüm
kavrama sorusu
f(x)=
ax+1 ,
x≥1
3x ,
x<1
2≥1 olduğundan,
x → 2 için uygun fonksiyon f(x)=ax+1 dir.
lim f(x)= lim(ax + 1)= 2a + 1= 17 ⇒ a= 8
x→2
fonksiyonu veriliyor. lim f(x) = 17 olduğuna göre, a kaçtır,
x →2
bulunuz.
x→2
Cevap: 8
çözüm
kavrama sorusu
3
f(x)=
fonksiyonu veriliyor.
bulunuz.
x –1 ,
x > –1
bx
x ≤ –1
,
–3≤ –1 olduğundan,
x → –3 için uygun fonksiyon f(x)=bx dir.
lim f(x) =lim (bx) =
9 ⇒ b=
−3b =
−3
x→−3
lim f(x) = 9 olduğuna göre, b kaçtır,
x→−3
x → −3
Cevap: –3
çözüm
kavrama sorusu
+
f(x)=
2x+a ,
x≥3
bx+4 ,
x<3
x→3 için uygun fonksiyon 2x+a
lim f(x) =
x→3 +
lim (2x + a) = 2.3 + a = 10 ⇒ a = 4
x→3 +
–
x→3 için uygun fonksiyon bx+4
fonksiyonu veriliyor. lim f(x) = 10 olduğuna göre, 2a+b toplamı kaçtır, bulunuz.
lim f(x) =
→
x→3 −
lim (bx + 4) = b.3 + 4 = 10 ⇒ b = 2
x→3 −
2a+b=2.4+2=10
Cevap: 10
çözüm
kavrama sorusu
x+a
,
x > –2
1
,
x=–2
f(x)=
–x–a ,
lim f(x) limitinin olmaması için
x→−2
lim f(x) ≠ lim f(x) olmalıdır.
+
x→−2 −
x→−2
+
x→–2 için uygun fonksiyon x+a
lim f(x) = lim (x + a) =−2 + a
x < –2
x→−2 +
x→−2 +
–
fonksiyonu veriliyor. lim f(x) limiti olmadığına göre,
x→–2 için uygun fonksiyon –x–a
x →−2
lim f(x) = lim ( − x − a) = 2 − a
a hangi değeri alamaz, bulunuz.
x→−2 −
x→−2 −
–2+a=2–a ⇒ 2a=4 ⇒ a=2
olması durumunda limitin sonucu olurdu. Bundan dolayı a ≠ 2
olmalı.
Cevap: a ≠ 2
18
Limit ve Süreklilik
soru 1
soru 5
f(x)=
mx–1 ,
x≥2
3x+1 ,
x<2
f(x)=
2m+x ,
x≥4
3x ,
x<4
fonksiyonu veriliyor, lim f ( x ) = 14 olduğuna göre, m kaçtır?
fonksiyonu veriliyor, lim f ( x ) = 12 olduğuna göre, m kaçtır?
A) 2
A) 1
x →3
B) 3
C) 4
D) 5
x→4
E) 6
soru 2
2
x +x ,
x>3
2
f(x)=
x≤3
x –n ,
fonksiyonu veriliyor, lim f ( x ) = 3 olduğuna göre, n kaçtır?
D) 4
E) 5
B) –1
C) 0
D) 1
tinin değeri kaçtır?
E) 2
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A) – 3
soru 3
f(x)=
mx ,
x>1
2
,
x=1
nx
,
x<1
ax+a–2 ,
x<2
x→2
B) – 2
C) – 1
2x+a ,
5
,
x>1
x=1
x<1
x →1
A) 4
D) 0
E) 1
fonksiyonu veriliyor, lim f ( x ) = −1 olduğuna göre, b kaçtır?
x→2
C) –1
D) 0
soru 7
2ax+b ,
na göre, m+n toplamı kaçtır?
B) –2
x≥2
f(x)=
fonksiyonu veriliyor, lim f ( x ) = 2 ve lim f ( x ) = −2 olduğux →−2
3x+b ,
fonksiyonu veriliyor, lim f ( x ) = 7 olduğuna göre, 2b–a limi-
x →1
A) –3
C) 3
soru 6
f(x)=
A) –2
B) 2
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
E) 1
soru 4
soru 8
f(x)=
(m+n)x ,
x>0
(m–n)x
x≤0
,
f(x)=
5x
,
x ≥ –1
ax+4
,
x < –1
fonksiyonu veriliyor, lim f ( x ) = 7 ve lim f ( x ) = 3 olduğuna
fonksiyonu veriliyor, lim f ( x ) limiti olmadığına göre, a aşa-
göre, m.n çarpımı kaçtır?
ğıdakilerden hangisi olamaz?
x →1
A) 6
1 – D
B) 7
C) 8
2 – A
x →−1
x →−1
D) 9
3 – B
A) 8
E) 10
4 – E
B) 9
5 – D
19
C) 10
6 – C
D) 11
7 – B
E) 12
8 – B
Limit ve Süreklilik
Mutlak Değerli Fonksiyonların Limitleri
Mutlak değerli fonksiyonların kritik noktası ifadeyi 0 yapan değerlerdir. Kritik noktalarda limit araştırılırken sağdan ve soldan limit
incelemesi yapılmalıdır. Kritik olmayan noktalarda ise limit değeri fonksiyonu o noktadaki değerdir. Yani lim f(x) = f(a) dir.
x →a
çözüm
kavrama sorusu
|x–1|=0 ⇒ x=1 kritik nokta 3 kritik nokta olmadığından,
lim x − 1 limitinin değerini bulunuz.
x→3
lim x − 1 = 3 − 1 = 2 = 2
x→3
Cevap: 2
çözüm
kavrama sorusu
|x–2|=0 ⇒ x=2 kritik nokta olduğundan,
f(x)=|x–2| olduğuna göre, lim f ( x ) limitinin değerini bux→2
lunuz.
f(x)=
,
x≥2
–x+2 ,
x<2
x–2
biçiminde parçalı fonksiyon olarak yazarız.
lim (x − 2) = 2 − 2 = 0


 lim f(x) = lim+ f(x) olduğundan,
x→2
lim ( − x + 2) =−2 + 2 =0  x→2−
−
x→2

x→2 +
lim x − 2 =
0
x→2
Cevap: 0
çözüm
kavrama sorusu
|x–2|=0 ⇒ x=2 kritik nokta olduğundan,
f(x)=|x–2|+x olduğuna göre, lim f ( x ) limitinin değerini
x→2
araştırınız.
f(x)=
x–2+x ,
x≥2
–x+2+x ,
x<2
⇒
2x – 2 , x ≥ 2
f(x)=
2
, x<2
lim (2x − 2)= 2.2 − 2= 2 
x→2 +

 lim− f(x) = lim+ f(x) olduğundan,
x→2
lim 2 = 2
 x→2
−
x→2

lim f(x) = 2 olur.
x→2
çözüm
kavrama sorusu
f :R − {3} → R,
f(x) =+
3
Cevap: 2
|x–3|=0 ⇒ x=3 kritik nokta olduğundan,
1
x−3
3+
, x≥3
x−3
⇒ f(x)=
f(x)=
−(x − 3) , x < 3
3+
x−3
x−3
x−3
olduğuna göre, lim f ( x ) limitinin değerini araştırınız.
x →3
4 ,
x≥3
2 ,
x<3
–1
lim f(x) = 4 
+
x→3

 lim f(x) ≠ lim+ f(x) olduğundan,
x→3
lim f(x) = 2  x→3−
−
x→3

limit yoktur.
20
Cevap: limit yoktur
Limit ve Süreklilik
soru 1
soru 5
lim 2 x − 2 limitinin değeri kaçtır?
lim 3 x − 6 limitinin varsa değerini bulunuz?
x→4
A) 2
B) 4
C) 6
x→2
D) 8
E) 10
A) 4
soru 2
C) 2
D) 1
E) 0
soru 6
lim 5 x − 1 limitinin değeri kaçtır?
B) 26
C) 27
x
f(x) =
x
f :R − {0} → R,
x→5
A) 24
B) 3
D) 28
E) 29
olmak üzere, lim f ( x ) değerini varsa bulunuz?
x → 0−
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A) –2
soru 3
lim x − 1 limitinin değeri kaçtır?
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
C) 0
D) 1
E) 2
soru 7
f :R − {1} → R,
x →1+
A) –1
B) –1
f(x)
=
x −1
+x
x −1
olmak üzere, lim f ( x ) değerini varsa bulunuz?
x →1
A) limit yoktur
soru 4
lim x − 3 limitinin değeri kaçtır?
1 – C
C) 2
D) 3
E) 4
soru 7
lim x − 1 + x limitinin değerini varsa bulunuz?
x → 3−
A) –3
B) 1
x →1
B) –2
2 – A
C) –1
D) 0
3 – B
E) 1
A) –1
4 – D
5 – E
21
B) 0
C) 1
6 – B
D) 2
7 – A
E) limit yoktur
8 – C
Limit ve Süreklilik
Genişletilmiş Gerçek Sayılar Kümesinde Limit
Herhangi bir x değişkeni sürekli artan değerler alıyorsa x → ∞, x değişkeni sürekli azalan değerler alıyorsa x → – ∞ ile ifade edilir.
– ∞ ile + ∞ kavramlarının reel (gerçek) sayılar kümesine eklemesiyle oluşan R ∪ {– ∞, + ∞} kümesine genişletilmiş gerçek sayılar
kümesi denir.
Limit hesaplamalarında x değişkeni bir a noktasına yaklaşırken f(x) fonksiyonun aldığı değerler sürekli artar veya sürekli azalır. Bu
durumda lim f(x) = +∞ veya lim f(x) = −∞ dur.
x →a
x→a
Uyarı
g(a)=0 olmak üzere lim
x →a
f(x)
ifadesinde soldan ve sağdan limit incelemesi yapılmalıdır.
g(x)
çözüm
kavrama sorusu
lim
x→0
1
,
x
lim
x→0
−
1
x
ve
lim
x→0
1
limitlerinin değerini araştıx
Yandaki grafikten görüldüğü gibi
rınız.
lim
x→0 +
1
1
= +∞, lim = −∞
x
x→0 − x
1
1
≠ lim
xlim
→0 − x x→0 + x
olduğundan
lim
x →0
1
limiti yoktur.
x
Cevap: limit yoktur
çözüm
kavrama sorusu
lim
x →1+
3
,
x −1
lim
x →1−
Yandaki grafiktende görüldüğü
gibi,
3
3
lim
= +∞ , lim
= −∞
x→1+ x − 1
x→1− x − 1
3
3
ve lim
limitlerini araştıx →1 x − 1
x −1
rınız.
lim f(x) ≠ lim f(x)
x→1+
x→1−
olduğundan lim f(x) yoktur.
x →1
22
Cevap: limit yoktur
Limit ve Süreklilik
soru 1
lim
x →0
+
soru 5
5
limitinin değerini bulunuz?
x
A) –∞
B) 0
C) 1
lim
x→5
D) 5
E) ∞
x→0
−
B) –∞
C) 1
D) 2
E) 6
D) ∞
E) 1
soru 6
3
limitinin değerini bulunuz?
x
B) –1
C) 0
lim
x→2
D) 1
E) ∞
+
1
limitinin değerini bulunuz?
2− x
A) –1
B) 0
C) –∞
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A) –∞
6
limitinin değerini bulunuz?
(x − 5)
A) ∞
soru 2
lim
+
soru 3
lim
x →1−
soru 7
4
limitinin değerini bulunuz?
x −1
A) ∞
B) 2
C) 1
lim
x→4
D) 0
A) 4
E) –∞
soru 4
lim
x → 3+
A) –∞
1 – E
10
limitinin varsa değerini bulunuz?
x−4
B) 2
C) 1
D) 0
E) limit yoktur
soru 8
5
limitinin değerini bulunuz?
x−3
B) ∞
2 – A
C) –1
lim
x→6
D) 0
3 – E
E) 1
4 – B
23
1 limitinin varsa değerini bulunuz?
6−x
A) limit yoktur
B) –∞
5 – A
6 – C
C) ∞
D) 0
7 – E
E) 1
8 – A
Limit ve Süreklilik
lim
x®a
f(x)
ifasinde x=a değeri, g(x)=0 denkleminin çift katlı bir kökü ise aşağıda belirtilen durumlar geçerlidir.
g(x)
lim f(x) = lim f(x) = ∞
x→a −
x→a +
lim f(x) = lim f(x) = −∞
x→a −
x→a
çözüm
kavrama sorusu
1
olduğuna göre,
(x - 1)2
lim f(x) ,
x ®1+
lim f(x) ve lim f(x) limitlerini araştırınız.
x ®1-
x→a +
lim f(x) = −∞
lim f(x) = ∞
x→a
f(x) =
x ®1
Yukarıdaki grafiktende görüldüğü gibi
1
1
lim
= ¥ , lim=¥
x ®1+ (x - 1)2
x ®1 (x - 1)2
lim
x ®1-
1
1
= lim
olduğundan
(x - 1)2 x ®1+ (x - 1)2
1
lim
x ®1 (x - 1)2
2
olduğuna göre,
(x - 3)2
lim f ( x ) ,
x → 3+
lim f ( x ) ve
x → 3−
Cevap: ∞
çözüm
kavrama sorusu
f(x) = -
=¥
lim f ( x ) limitlerini araştırı-
x→3
nız.
Yukarıdaki grafiktende görüldüğü gibi
2
2
lim = -¥ , lim- = -¥
x ® 3+ (x - 3)2
x®3
(x - 3)2
lim -
x ® 3+
lim -
x®3
24
2
2
= lim olduğundan
(x - 3)2 x ® 3- (x - 3)2
2
= -¥
(x - 3)2
Cevap: –∞
Limit ve Süreklilik
soru 1
soru 5
1
limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
(x - 2)2
lim
x ® 2+
A) – ∞
B) –2
C) 0
D) 2
E) ∞
A) – 7
soru 2
lim
x ®1+
limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
B) –1
C) 0
D) ∞
E) – ∞
soru 6
1
limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
(1- x)2
B) –1
C) 0
D) 1
lim
x ®-3+
E) ∞
1
limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
(x + 3)4
A) ∞
B) 3
C) –3
D) –1
E) – ∞
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A) – ∞
7
lim
x ®1 (x - 1)2
soru 3
lim
x ®-1-
soru 7
3
limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
(x + 1)2
A) ∞
B) – ∞
C) –3
D) –1
æç
lim ç-
çç
x ® 2+ è
E) 0
A) ∞
soru 4
lim -
x®4
A) – 4
5 ö÷÷
÷ limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
(x - 2)2 ø÷
B) – ∞
D) –2
E) 0
soru 8
çæ
lim ç-
1
limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
(x - 4)2
B) 0
C) – ∞
D) ∞
çè
x ®10 + ç
ö
1
÷÷÷ limitinin değeri aşağıdakilerden hangi(10 - x)6 ÷ø
sidir?
E) 4
A) ∞
1 – E
C) –5
2 – E
3 – A
4 – C
B) –10
5 – D
25
C) –1
6 – A
D) 10
7 – B
E) – ∞
8 – E
Limit ve Süreklilik
x → a iken f fonksiyonunun ∞ veya –∞ a doğru sürekli artan veya sürekli azalan değerler aldığı limit işlemlerinde grafik çizmek şart
değildir. Örneğin; lim
1
x→1 x − 1
+
–
limit işleminde x → 1 için (sağdan limit) ve x → 1 için (soldan limit) limitlere bakmak gerekir
1
+
(x → 1 sağdan yaklaşmak 1 e çok yakın ama 1 den büyük değerler almak demektir, örnek olarak x=1,00001 yazılabilir.)
x −1
1
1
1
1
=∞
=
lim
=
paydadaki sayı değeri küçüldükçe limitin değeri ∞ doğru gideceğinden lim
x→1+ x − 1
x→1+ x − 1 (1,00001) − 1 0,00001



lim
x→1+
(kolaylık olsun diye pozitif 0 diyebiliriz.)
1
–
lim
(x → 1 soldan yaklaşmak 1 e çok yakın ama 1 den küçük değerler almak demektir, örnek olarak x=0,99999 yazılabilir.)
− x −1
x→1
1
1
1
1
= −∞
=
lim
=
paydadaki sayı değeri büyüdükçe limitin değeri –∞ doğru gideceğinden lim
0,00001
x→1− x − 1
x→1− x − 1 0,99999 − 1 −

(kolaylık olsun diye negatif 0 diyebiliriz.)
çözüm
kavrama sorusu
lim
x → 2+
+
x → 2 olduğundan x=2,00001 alalım.
x
limitinin değerini bulunuz.
x−2
x
2,00001
=
=∞
−2
x − 2 2,00001

+
0,00001 → kolaylık olsun diye pozitif 0 diyebiliriz. (0 )
Cevap: ∞
lim
x→2 +
çözüm
kavrama sorusu
lim
x → 2−
–
x → 2 olduğundan x=1,99999 alalım.
x
limitinin değerini bulunuz.
x−2
x
1,99999
=
= −∞
x − 2 1
,99999 − 2
–
–0,00001 → kolaylık olsun diye negatif 0 diyebiliriz. (0 )
Cevap: –∞
lim
x→2 −
çözüm
kavrama sorusu
lim
x→3
5
limitinin değerini araştırınız.
3−x
lim f(x) ve lim f(x) incelemesi yapılmalıdır.
x →3 +
x→3 −
+
x → 3 için x=3,00001 alalım.
5
5
5
=
=
= −∞
3 − x 3 − 3,00001 −
0,00001

lim
x→3 +
–
negatif 0 (0 )
–
x→3 için x=2,99999 alalım.
lim
x→3 −
5
5
5
=
=
=∞
3 − x 3 − 2,99999 0,00001



+
pozitif 0 (0 )
lim f(x) ≠ lim f(x) olduğundan limit yoktur.
x→3 +
Cevap: limit yoktur.
x→3 −
çözüm
kavrama sorusu
lim
x+1
x →1 ( x
− 1)2
+
x → 1 için x=1,00001 alalım.
limitinin değerini bulunuz.
lim
+
x→1
x +1
2
(x − 1)
=
1,00001+ 1
2
(1,00001− 1)
=
2,00001
2
(0,00001)

=∞
+
pozitif 0 (0 )
–
x → 1 için x=0,99999 alalım.
lim
x→1−
x +1
(x − 1)2
=
0,99999 + 1
(0,99999 − 1)2
=
1,99999
2
(
−0,00001)


=∞
+
pozitif 0 (0 )
lim f(x) = lim f(x) = ∞ olduğundan lim f(x) = ∞
x→1−
26
x→1+
x→1
Cevap: ∞
Limit ve Süreklilik
soru 1
lim
x →0
+
soru 5
x+1
limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
x
A) –∞
B) –1
C) 0
D) 1
−
x →1
E) ∞
A) –∞
soru 2
lim
x →1+
B) –1
B) –∞
C) –1
D) –2
lim
x→3
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
x
limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
2− x
A) –2
B) –1
C) –∞
D) ∞
B) 1
1− x
lim
( x − 4 )2
gisidir?
x→4
E) 0
soru 4
x→0
A) ∞
+
B) 1
D) 1
E) limit yoktur
limitinin değeri varsa aşağıdakilerden han-
C) –1
D) –∞
E) limit yoktur
soru 8
x −1
limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
x
B) 1
C) 0
D) –∞
lim
x+4
( 3 + x )2
gisidir?
x →−3
E) –1
A) ∞
1 – E
C) 0
soru 7
A) ∞
lim
E) ∞
dir?
E) –3
soru 3
lim
D) 1
x+3
limitinin değeri varsa aşağıdakilerden hangisix−3
A) ∞
x → 2+
C) 0
soru 6
3x
limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
x −1
A) ∞
x−7
limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
1− x
lim
2 – A
3 – C
4 – D
B) 2
5 – A
27
limitinin değeri varsa aşağıdakilerden han-
C) –1
6 – E
D) –∞
7 – D
E) limit yoktur
8 – A
Limit ve Süreklilik
Limit hesaplamalarında bazen x değişkeni sürekli artarken veya sürekli azalırken fonksiyonun aldığı değerler herhangi bir a sayısına yakınsar. Bu durumda lim f(x) = a veya lim f(x) = a dır.
x→−∞
x →∞
Sonsuz kavramı ile ilgili bazı özellikler aşağıdadır.

c ∈ R olmak üzere, c+(+∞)=+∞ (Sürekli artan bir değişkene c sayısı eklenirse yine sürekli artan bir değişken olur)
c+(–∞)=–∞ (Sürekli azalan bir değişkene c sayısı eklenirse yine sürekli azalan bir değişken olur)

c > 0 olmak üzere
c.(+∞)=+∞
c.(–∞)=–∞
c.(+∞)=–∞
c.(–∞)=+∞
c < 0 olmak üzere

∞+∞=∞ (Sürekli artan bir değişkene, sürekli artan bir değişken eklenirse yine sürekli artan bir değişken olur)

–∞+(–∞)=–∞ (Sürekli azalan bir değişkene sürekli azalan bir değişken eklenirse sürekli azalan bir değişken olur)

∞.∞=∞
,
(–∞).(–∞)=∞
ve
(+∞).(–∞)=– ∞ dur.
çözüm
kavrama sorusu
lim ( x + 3 ) limitinin değerini araştırınız.
lim (x + 3) =∞ + 3 =∞
x→∞
x →∞
Cevap: ∞
çözüm
kavrama sorusu
lim ( 2 − x ) limitinin değerini araştırınız.
lim (2 − x) = 2 − ∞ = −∞
x→∞
x →∞
Cevap: –∞
çözüm
kavrama sorusu
lim (5x) = 5.( −∞ ) = −∞
lim ( 5 x ) limitinin değerini araştırınız.
x→−∞
x →−∞
Cevap: –∞
çözüm
kavrama sorusu
lim ( x 2 ) limitinin değerini araştırınız.
lim (x 2 ) = lim x.x = ( −∞ ).( −∞ ) = ∞
x→−∞
x →−∞
x→−∞
Cevap: ∞
28
Limit ve Süreklilik
soru 1
soru 5
lim ( x + 1) limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
lim ( −3 x ) limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
x →∞
A) –∞
B) –1
C) 0
D) ∞
x →−∞
E) 1
A) 1
soru 2
C) ∞
D) –1
E) –∞
soru 6
lim ( 10 − x ) limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
lim ( 7 − 5 x ) limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
x →∞
B) 0
C) 1
D) –∞
x →∞
E) ∞
A) ∞
B) –∞
C) –2
D) –1
E) 0
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A) –1
B) 0
soru 3
soru 7
lim ( x − 3 ) limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
lim ( x 2 ) limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
x →−∞
A) –∞
x →−∞
B) –1
C) 0
D) 1
E) ∞
A) –∞
soru 4
lim ( 1 − x ) limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
1 – D
C) ∞
D) –2
E) 0
soru 8
lim ( x 3 ) limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
x →−∞
A) ∞
B) 2
x →−∞
B) 1
2 – D
C) 0
D) –∞
3 – A
E) –1
A) 1
4 – A
B) 0
5 – C
29
C) ∞
6 – B
D) –∞
7 – C
E) –1
8 – D
Limit ve Süreklilik
n
f(x)=anx +an-1x
n – 1
+.....+a1x+a0 biçimindeki polinom fonksiyonlar için
terimin limitini almak yeterlidir.
lim f(x) = lim an x
x ®±¥
lim f(x) limiti hesaplanırken sadece en büyük dereceli
x ®±¥
n
x ®±¥
çözüm
kavrama sorusu
lim ( x 2 + x ) limitinin değerini araştırınız.
1

lim (x 2 + x) =
lim x 2  1+  =
lim x 2 =
∞
x→∞
 x  x→∞
x →∞
x→∞
veya
↓
x → ∞ için 0'a yakınsar
lim (x 2 + x) = lim x 2 = (¥)2 = ¥ biçiminde limiti bulabiliriz.
x ®¥
x ®¥
Cevap: ∞
çözüm
kavrama sorusu
lim (4x 3 - x 2 + 1) = lim 4x 3 = 4(¥)3 = ¥ veya
lim ( 4 x 3 − x 2 + 1) limitinin değerini araştırınız.
x ®¥
x →∞
x ®¥

x2
1 
lim (4x 3 −=
x 2 + 1) lim x 3  4 − 3 + 3 
x→∞
x→∞
x
x 

1 1

=
lim x 3  4 − + 3
x→∞
x x

↓ ↓
x → ∞ için 0 ve 0

∞
lim 4x 3 =
4.(∞ )3 =
=
 x→∞
Cevap: ∞
çözüm
kavrama sorusu
lim (x 3 + x 2 + 1) = lim x 3 = (-¥)3 = -¥ veya
lim ( x 3 + x 2 + 1) limitinin değerini araştırınız.
x ®-¥
x →−∞
lim (x 3 +=
x 2 + 1)
x→−∞
x ®¥
 x2
1 
lim x 3  1+ 3 + 3 
x→−∞
x 
 x
1 1

= lim x 3  1+ + 3
x→−∞
 x x
↓ ↓
x → –∞ için 0 ve 0

lim x 3 = ( −∞ )3 = −∞
 = x→−∞

Cevap: –∞
çözüm
kavrama sorusu
lim (-2x 3 + x) = lim - 2x 3 = -2(-¥)3 = ¥
lim ( −2 x 3 + x ) limitinin değerini araştırınız.
x ®-¥
x →−∞
x ®-¥
Cevap: ∞
30
Limit ve Süreklilik
soru 1
soru 5
lim ( 3 x 2 + x ) limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
lim ( 2 x 2 − 4 x ) limitinin değeri aşağıdakilerden hangi-
x →∞
A) –1
B) 0
C) 1
D) –∞
x →−∞
sidir?
E) ∞
A) ∞
soru 2
B) 2
lim ( −5 x 2 + 3 x ) limitinin değeri aşağıdakilerden hangi-
sidir?
sidir?
C) –∞
D) –1
E) –2
A) –2
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
B) 1
soru 3
lim ( − x 3 − x − 1) limitinin değeri aşağıdakilerden hangi-
sidir?
sidir?
C) –1
D) 0
E) ∞
A) ∞
soru 4
D) ∞
E) 1
B) 0
C) –1
D) –2
E) –∞
soru 8
lim ( 7 x 3 − 8 x + 10 ) limitinin değeri aşağıdakilerden han-
lim ( x 7 + x 3 − x ) limitinin değeri aşağıdakilerden hangi-
x →∞
x →−∞
gisidir?
1 – E
C) –∞
lim ( x 7 + x 3 − x ) limitinin değeri aşağıdakilerden hangi-
x →−∞
B) –2
B) –1
soru 7
x →∞
A) –∞
E) –∞
lim ( x 2 − 6 x + 5 ) limitinin değeri aşağıdakilerden hangi-
x →−∞
A) –∞
D) 0
soru 6
x →∞
A) ∞
C) 1
sidir?
B) ∞
2 – C
C) 0
D) 1
3 – A
E) –1
A) –∞
4 – B
5 – A
31
B) –1
C) ∞
6 – D
D) 1
7 – E
E) 2
8 – A
Limit ve Süreklilik
lim a x biçimindeki limitleri hesaplamak için aşağıdaki örnekleri inceleyelim.
x ®±¥
a>1 ise örneğin a=2 alalım.
olduğundan,
olduğundan,
a > 1 ise lim a x = ¥
x ®¥
0 < a < 1 ise lim a x = 0
x ®¥
x ®-¥
1
1
=
= 0 olduğundan,
a¥ ¥
lim a x = a-¥ =
0<a<1 için
1
alalım.
2
lim a x = a-¥ =
a>1 için
0<a<1 ise örneğin a =
x ®-¥
a > 1 ise
1
1
=
= ¥ olduğundan,
a ¥ 0+
lim a x = 0
x ®-¥
0 < a < 1 ise
lim a x = ¥
x ®-¥
x=logax biçimindeki limitleri hesaplamak için y=logax fonksiyonunun aşağıdaki grafiklerini dikkatle inceleyelim.
çözüm
kavrama sorusu
lim 3 x ve lim 3 x ifadelerinin değerlerini bulunuz.
x →∞
a > 1 için lim a x = ∞ olduğundan,
x →∞
x →−∞
lim 3 x = 3 ∞ = ∞
x →∞
a > 1 için lim a x = 0 olduğundan,
x→−∞
x
lim 3=
3 −∞=
x→−∞
1
1
= = 0
3∞ ∞
Cevap: ∞ ve 0
çözüm
kavrama sorusu
 1
lim  
x →∞  2 
x
1
ve lim  
x →−∞  2 
x
0 < a < 1 için lim a x = 0 olduğundan,
ifadelerinin değerlerini bulunuz.
x →∞
∞
x
 1  1
lim =
 =
 0
x →∞  2 
2
0 < a < 1 için lim a x = ∞ olduğundan,
x→−∞
x
 1  1
lim   =  
x→−∞  2 
2
−∞
= 2∞ = ∞
Cevap: 0 ve ∞
32
Limit ve Süreklilik
soru 1
I)
II)
soru 5
lim 7x = ¥
x ®¥
lim 7x = 0
lim (log5 x ) limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
æ 1öx
lim çç ÷÷÷ = 0
x ®¥ ç
è7ø
III)
x → 0+
A) ∞
æ 1öx
lim çç ÷÷÷ = ¥
x ®-¥ ç
è 7ø
Yukarıdaki limit işlemlerinden hangisi yada hangileri doğrudur?
x ®-¥
A) Yalnız I
B) Yalnız II
B) 1
C) 0
D) –1
E) –∞
IV)
C) I ve II
D) I, II, III
E) I, II, III, IV
soru 2
soru 6
lim (log 1 x ) limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
lim 4 x limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
x → 0+
x →−∞
B) 0
C) 1
D) 2
A) –∞
E) ∞
B) –1
C) 0
D) 1
E) ∞
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A) –∞
3
soru 3
5
lim  
x →∞  7 
soru 7
x
lim (log x ) limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 0
B) 1
C) 5
D) 7
x →∞
A) –∞
E) ∞
soru 4
D) 1
E) 0
lim (log 1 x ) limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
x
1 – E
C) ∞
soru 8
2
lim   limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
x →−∞  3 
A) –∞
B) –1
B) –3
2 – B
C) 0
D) ∞
3 – A
x →∞
A) –1
E) 1
4 – D
5 – E
33
7
B) –∞
C) 0
6 – E
D) 1
7 – C
E) ∞
8 – B
Limit ve Süreklilik
çözüm
kavrama sorusu
lim
x→e
−
1
limitinin değerini bulunuz.
1 − ln x
x
e
e
=
=
=∞
1− ln x 1− 1− 0 +
1 e yakın ama 1 den küçük bir değer
–
(1 , 1 e çok yakın ama 1 den küçük bir değerdir.)
+
(0 , 0 a çok yakın ama 0 dan büyük bir değerdir.)
lim
x→e −
çözüm
kavrama sorusu
lim
x → 0−
1
ex − 1
Cevap: ∞
limitinin değerini bulunuz.
lim
x→0 −
1
1
1
1
= −
=
=
= −∞
e x − 1 e0 − 1 1− − 1 0 −
–
(0 , 0 a çok yakın ama sıfırdan küçük bir değerdir.)
–
(1 , 1 e çok yakın ama 1 den küçük bir değerdir.)
Cevap: –∞
çözüm
kavrama sorusu
1
1
 1  x−2
limitinin değerini bulunuz.
lim  
+  3 
x→2
1
1
∞
 1  x−2  1  2+ −2  1  0 +  1 
lim  =

 =  =

=
 0
3
3
3
x→2 +  3 
+
(2 , 2 ye çok yakın ama 2 den büyük bir değerdir.)
+
(0 , 0 a çok yakın ama 0 dan büyük bir değerdir.)
Cevap: 0
çözüm
kavrama sorusu
5
5
lim 3 x − 1 limitinin değerini bulunuz.
5
−
5
−
1 3 1 −=
1 3 0 = 3 −∞
=
lim 3 x−=
x →1−
x→1−
1
1
= = 0
3∞ ∞
–
(1 , 1 e çok yakın ama 1 den küçük bir değerdir.)
–
(0 , 0 a çok yakın ama 0 dan küçük bir değerdir.)
34
Cevap: 0
Limit ve Süreklilik
soru 1
lim
x→e
+
soru 5
5
limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
1 − ln x
A) –5
B) –1
C) –∞
D) 1
1
 1  x −1
lim  
limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
−  2 
x →1
1
1
A) ∞
B) 2
C) D) –
E) –∞
2
2
E) ∞
soru 2
lim
x → e−
soru 6
x
limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
3ln x − 3
B) ∞
C) –1
D) –3
E) –∞
A) 1
B) 0
C) –1
D) 5
E) ∞
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A) 1
1
 1  x−3
lim  
limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
x → 3+  5 
soru 3
lim
x→0
+
soru 7
1
x
e −1
A) e
1
limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
lim 10 x − 2 limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
x → 2+
B) 2
C) 1
D) ∞
E) –∞
A) –∞
soru 4
lim
x → 0−
A) ∞
1 – C
B) –1
C) 0
D) ∞
E) 10
soru 8
3
x
2e − 2
1
limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
lim 8 x − 5 limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
x → 5−
B) 1
2 – E
C) 0
D) –1
3 – D
E) –∞
A) 8
4 – E
B) 5 – A
35
1
8
C) 0
6 – B
D) 1
7 – D
E) ∞
8 – C
Limit ve Süreklilik
Trigonometrik Fonksiyonların Limitleri
a∈R olmak üzere, lim sin x = sina ve lim cos x = cos a dır. Yani lim sin x veya lim cos x limitlerini bulmak için x=a değerini
x®a
x®a
x®a
x®a
sinüs ve kosinüs fonksiyonlarında yerine koymak yeterlidir.
a∈R ve cosa≠0 olmak üzere, lim tan x
x®a
tana
a∈R ve sina≠0 olmak üzere, lim cot x = cot a dır.
x®a
çözüm
kavrama sorusu
lim sin x = sina ve lim cos x = cos a olduğundan,
lim (sin x + cos x ) limitinin değerini bulunuz.
x→
π
3
x®a
x®a
lim (sin x + cos x)= sin
π
x→
3
π
π
+ cos =
3
3
3 1
+ =
2
2
3 +1
2
3 +1
2
Cevap:
çözüm
kavrama sorusu
lim (tan x − cos x ) limitinin değerini bulunuz.
x→
lim (tan x − cos x) =
ta n
π
4
π
x→
4
π
π
2 2− 2
1−
− cos =
=
4
4
2
2
Cevap:
lim (cot x + sin x ) limitinin değerini bulunuz.
lim (cot x + sin x) =
cot
π
6
x→
π
6
π
π
1
+ sin = 3 +
6
6
2
Cevap:
3π
x→
4
3+
1
2
çözüm
kavrama sorusu
lim
2
2
çözüm
kavrama sorusu
x→
2−
cos x
limitinin değerini bulunuz.
tan x − 1
lim
3π
x→
4
3π
2
−
cos
4
2
=
=
3π
− 1 −1− 1
tan
4
2
4
Cevap:
36
2
4
Limit ve Süreklilik
soru 1
soru 5
lim (cos x + sin x ) limitinin değeri aşağıdakilerden hangi-
lim ( 3 cot x − 1) limitinin değeri aşağıdakilerden hangi-
x →0
x→
sidir?
π
3
sidir?
A) 1
B) 0
C) –1
D) –2
E) –3
3
2
A)
soru 2
3π
2
C) 1
D) 2
E) 3
lim
1 + sin x
limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
1 − cos x
A) 2
B)
3
2
C) 1
D)
1
2
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
B) 0
soru 3
x →π
E) 0
3
3
B)
3
2
C)
2
2
D)
1
2
E) 1
soru 7
lim
π
2
cot x
limitinin değeri aşağıdakilerden hangisin x + cos x
sidir?
E) 0
B) −
1
2
C) 0
D)
1
2
E) 1
soru 8
lim (sin x − cos x ) limitinin değeri aşağıdakilerden han-
lim
11 π
6
x→
gisidir?
3π
2
1 − sin x
limitinin değeri aşağıdakilerden hangisicos x − 1
dir?
−1− 3
2
B)
D)
1 – A
2
2
A)
x→
soru 4
A)
D)
1 − sin x
limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
tan x
A) − 1
x→
3
3
C)
lim
π
x→
6
dir?
A) –1
1
2
soru 6
lim ( 1 + sin x ) limitinin değeri aşağıdakilerden hangisix→
B)
1− 3
2
C)
3
2
2 – B
E)
3 – D
3 −1
2
A) 0
B) –1
C) –2
D) –3
E) –4
1
2
4 – A
5 – E
37
6 – B
7 – C
8 – C
Limit ve Süreklilik
Yanda verilen y=sinx
grafiğinde görüldüğü
+
–
gibi, x→0 ve x→0
için limsinx limitinin
değerleri,
lim sin x = 0- ve
x →0
+
Yanda verilen y=cotx
grafiğinde görüldüğü
+
–
gibi x→0 ve x→0 için limcotx limitinin
değerleri;
lim cot x = -¥ ve
x ® 0-
lim cot x = ¥
x ® 0+
p
2
çözüm
kavrama sorusu
lim
p
2
x®
x®
2
lim+ cos x = 0-
x®
Yanda verilen y=tanx grafiğinde görüldüğü gibi,
pp+
ve x ®
2
2
için limtanx limitinin de ğerleri,
lim- tan x = ¥
p
ve
x®
2
lim+ tan x = ¥
p+
pve x ®
2
2
limcosx limitinin değerleri;
lim- cos x = 0+
p
ve
x®
x®
lim+ sin x = 0+
x®0
x ® 0-
Yanda verilen y=cosx grafiğinde görüldüğü gibi,
cos x
limitinin değerini bulunuz.
x
lim
x →0 +
cos x cos 0 1
=
= + =∞
x
0+
0
Cevap: ∞
çözüm
kavrama sorusu
lim cos ecx limitinin değerini bulunuz.
lim cos ecx = lim
x → 0−
x→0 −
x→0 −
1
1
1
=
=
= −∞
sin x sin0 − 0 −
Cevap: – ∞
çözüm
kavrama sorusu
lim
x→
π
2
−
x
limitinin değerini bulunuz.
cos x
x
lim
=
π − cos x
x→
2
π
2
π
2
=
=∞
π − 0+
cos
2
Cevap: ∞
çözüm
kavrama sorusu
lim
x → 0+
x+1
limitinin değerini bulunuz.
cot x
lim
x →0 +
x +1
0 +1
1
=
= = 0
cot x cot 0 + ∞
Cevap: 0
38
Limit ve Süreklilik
soru 1
I)
soru 5
lim+ cos x = 0
lim sin x = 0
x®
II)
p
2
lim - tan x = -¥
x ®-
x ® 0-
V)
III)
IV)
lim cos ecx limitinin değeri kaçtır?
p
2
x → 0+
lim cot x = -¥
x ® 0-
A) ∞
B) –1
C) 0
D) 1
E) –∞
D) –∞
E) –1
D) –1
E) –∞
lim+ cot x = ¥
x®0
Yukarıdaki limitlerden kaç tanesi doğrudur?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
soru 2
soru 6
lim sin x limitinin değeri kaçtır?
lim
x → 0+
x → 0−
B) 1
C) 1
2
D) ∞
E) –∞
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A) 0
soru 3
lim
x→
3π−
2
A) ∞
B) 1
B) –1
C) 0
lim
D) 1
π+
x→
2
E) ∞
soru 4
B) 0
C) ∞
soru 8
lim cot x limitinin değeri kaçtır?
lim
x → 0−
1 – D
1
2
x
limitinin değeri kaçtır?
tan x
A) 1
A) –1
C) soru 7
tan x limitinin değeri kaçtır?
A) –∞
cos x
limitinin değeri kaçtır?
x
x→0
B) –
1
2
2 – A
C) –∞
D) 0
−
x+2
limitinin değeri kaçtır?
sin x
E) 1
A) –∞
3 – E
4 – C
5 – A
39
B) –1
C) 0
6 – D
D) 7 – B
1
2
E) 1
8 – A
Limit ve Süreklilik
0 Belirsizlik Durumları
0
0
0
–
a
0
lim
x →a
0
Yandaki bölme işleminde a reel sayısı hakkında kesin bir şey söylemek mümkün değildir. Bundan dolayı
işlemi
0
0
bir belirsizliktir. Limitte
belirsizliği ile karşılaşıldığında limitin olmadığı anlamına gelmez. Belirsizlikleri kaldırmanın
0
yöntemleri vardır.
P(x) 0
=
ise P(x) ve Q(x) ifadeleri çarpanlarına ayrılarak, pay ve paydayı 0 yapan çarpanlar sadeleştirilip limit kaldırılabilir.
Q(x) 0
çözüm
kavrama sorusu
x2 − 1
limitinin değerini bulunuz.
x →1 x − 1
x 2 − 1 12 − 1 0 belirsizliği vardır.
lim = =
x→1 x − 1
1− 1 0
lim
Belirsizliği kaldırmak için payı çarpanlarına ayırıyoruz.
(x − 1) (x + 1)
x2 −1
= lim(x + 1) = 1+ 1= 2
= lim
x→1 x − 1 x→1
x→1
(x − 1)
lim
Cevap: 2
çözüm
kavrama sorusu
lim
x→2
4x − 8
x2 − 4
4x − 8 4.2 − 8 0
belirsizliği vardır.
=
lim =
x 2 − 4 22 − 4 0
limitinin değerini bulunuz.
x→2
Belirsizliği kaldırmak için pay ve paydayı çarpanlarına ayırıyoruz.
lim
x→2
4x − 8
2
x −4
= lim
x→2
4 (x − 2)
4
4
4
= lim
=
= = 1
(x − 2) (x + 2) x→2 x + 2 2 + 2 4
Cevap: 1
çözüm
kavrama sorusu
lim
x→0
x2 − x
x2 + x
x 2 − x 02 − 0 0
belirsizliği vardır.
lim =
=
x→0 x 2 + x
02 + 0 0
limitinin değerini bulunuz.
Belirsizliği kaldırmak için pay ve paydayı çarpanlarına ayırıyoruz.
lim
x→0
x2 − x
2
x +x
= lim
x→0
x (x − 1)
x (x + 1)
= lim
x→0
x −1 0 −1
=
= −1
x +1 0 +1
Cevap: –1
çözüm
kavrama sorusu
lim
x2 − 4 x + 3
x →1 x 2
− 3x + 2
x 2 − 4x + 3 12 − 4.1+ 3 0
belirsizliği vardır.
lim =
=
x→1 x 2 − 3x + 2 12 − 3.1+ 2 0
limitinin değerini bulunuz.
Belirsizliği kaldırmak için pay ve paydayı çarpanlarına ayırıyoruz.
lim
x 2 − 4x + 3
x→1 x 2
− 3x + 2
= lim
x→1
(x − 1) (x − 3)
x − 3 1− 3
= lim = = 2
(x − 1) (x − 2) x→1 x − 2 1− 2
Cevap: 2
40
Limit ve Süreklilik
soru 1
soru 5
x2 − x
limitinin değeri kaçtır?
x →1 x − 1
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
A) 2
E) 4
x2 + 3 x
limitinin değeri kaçtır?
x
A) 3
x→0
B) 2
C) 1
lim
D) 0
E) –1
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
B) –1
x2 − 3 x + 2
lim
A) −
E) –2
C) 0
D) 1
E) 5
limitinin değeri kaçtır?
x2 − x − 2
1
5
B) −
1
2
C) 0
D)
1
2
E)
1
3
soru 8
x 2 − 16
limitinin değeri kaçtır?
x → 4 3 x − 12
lim
1 – B
D) –1
soru 7
x→2
soru 4
A) 0
C) 0
x2 − 7 x + 6
limitinin değeri kaçtır?
x −1
A) –5
x2 − x
limitinin değeri kaçtır?
x
A) –2
B) 1
x →1
soru 3
lim
limitinin değeri kaçtır?
soru 6
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
x →0
x2 − 9
x →−3
soru 2
lim
6 x + 18
lim
lim
B) 2
2 – A
C)
5
3
x→5
D)
3 – B
x 2 − 3 x − 10
lim
7
3
E)
8
3
A)
4 – E
x2 − 6 x + 5
9
4
5 – D
41
B)
limitinin değeri kaçtır?
7
4
C)
6 – A
5
4
D)
7 – E
3
4
E)
1
4
8 – B
Limit ve Süreklilik
çözüm
kavrama sorusu
lim
x3 + x2 − 2 x
x3 − x
x →1
x 3 + x 2 − 2x 13 + 12 − 2.1 0
belirsizliği vardır.
lim =
=
x→1
0
x3 − x
13 − 1
limitinin değerini bulunuz.
Pay ve paydayı çarpanlarına ayıralım.
x (x + 2)(x − 1)
x 3 + x 2 − 2x
x(x 2 + x − 2)
lim
lim
lim
=
=
3
x→1
x→1 x(x 2 − 1)
x→1 x (x + 1)(x − 1)
x −x
x + 2 1+ 2 3
lim = =
x + 1 1+ 1 2
x→1
Cevap:
çözüm
kavrama sorusu
lim
y→2
y3 − 8
2
y −4
3
2
y3 − 8 23 − 8 0
belirsizliği vardır.
lim =
=
y 2 − 4 22 − 4 0
limitinin değerini bulunuz.
y→2
Pay ve paydayı çarpanlarına ayıralım.
lim
y→2
=
y3 − 8
2
y −4
= lim
y→2
(y − 2) (y 2 + 2y + 4)
(y − 2) (y + 2)
y 2 + 2y + 4
y→2
y+2
= lim
2
2 + 2.2 + 4 12
= = 3
2+2
4
Cevap: 3
çözüm
kavrama sorusu
lim
y→x
x 2 − 2 xy + y 2
x2 − y2
x 2 − 2xy + y 2 x 2 − 2x.x + x 2 0
lim =
=
belirsizliği vardır.
y→x
0
x 2 − y2
x2 − x2
limitinin değerini bulunuz.
Pay ve paydayı çarpanlarına ayıralım.
lim
y→x
=
x 2 − 2xy + y 2
x 2 − y2
= lim
y→x
(x − y) (x − y)
(x − y) (x + y)
= lim
y→x
x−y
x+y
x−x 0
= = 0
x + x 2x
Cevap: 0
çözüm
kavrama sorusu
x2 − a
= b ve a ve b gerçek sayılar olduğuna göre,
x →2 x − 2
a kaçtır, bulunuz.
x 2 − a 4 − a 4 − a ifadesi ile karşılaşıyoruz.
= =
x→2 x − 2
2−2
0
lim
lim
Paydanın 0 olduğu durumda limitin gerçek sayı çıkması için
0
belirsizliği olmalıdır. Bundan dolayı, pay kısmıda 0 a eşit0
lendiğinde,
4–a=0 ⇒ a=4 bulunur.
Cevap: 4
42
Limit ve Süreklilik
soru 1
lim
soru 5
x3 − x2
x →1 x
4
−x
2
A) − 1
limitinin değeri kaçtır?
lim
y→x
B) −
1
2
C) 0
1
2
D)
E) 1
A)
soru 2
2
x→0
x3
y2
x2
x
2
limitinin değeri kaçtır?
B)
3x
2
C) x
D)
5x
2
7x
2
E)
soru 6
x3 − 3 x2 + 2 x
lim
y3
x − 2x
a 2 − 2 ab + b 2
lim
a 2 + ab − 2b 2
a →b
B) –2
C) –3
D) –4
E) –5
A) 2b
limitinin değeri kaçtır?
B) b
C) 0
D) 1
E) –b
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A) –1
limitinin değeri kaçtır?
soru 3
soru 7
a2 − 4
lim
2
a→ 2
a − 5a + 6
A) –4
x3 − m
=n
x→3 x − 3
limitinin değeri kaçtır?
B) –1
C) 0
lim
D) 1
A) 20
E) 4
soru 4
lim
n2 − 3 n
3
n→ 3
n − 27
A) −
1
9
1 – D
ve m, n ∈ R olduğuna göre, m kaçtır?
B) 21
C) 23
D) 25
E) 27
soru 8
x 2 + ax + 3
=b
x →1
x −1
limitinin değeri kaçtır?
B) −
1
3
2 – A
C) 0
lim
D)
3 – A
1
6
E)
A) –6
1
9
4 – E
5 – B
43
ve a, b ∈ R olduğuna göre, a kaçtır?
B) –4
C) –1
6 – C
D) 0
7 – E
E) 1
8 – B
Limit ve Süreklilik
Pay veya paydasında óg(x)±c.(c∈R) gibi ifadeler bulunan limit işlemlerinde hem pay hemde payda ifadenin eşleniği ile çarpılır.
2
2
Böylelikle (x –a ) biçiminde iki kare farkı özdeşliği kullanarak kare köklü ifadeyi kök dışına alabiliriz.
3
3
3
f(x) ± c , c∈R gibi ifadeler içeren limit işlemlerinde ise değişken dönüşümü yapılarak küp farkı (x – a ) veya küpler toplamı
3
3
(x + a ) özdeşlikleri ile kök içerisindeki ifadeler kök dışına çıkartılır.
çözüm
kavrama sorusu
x +1−1
limitinin değerini bulunuz.
x
lim
x→0
x +1 −1
lim =
x
0 + 1 − 1 0 belirsizliği vardır.
=
0
0
x→0
Çarpanlara ayırma bu tip sorularda zor olduğu için pay ve
payda (óx+1+1) yani eşleniği ile çarpılır.
lim
(
x
x→0
lim
x→0
=
).(
) = lim (
x +1 −1
x + 1− 1
x. ( x + 1 + 1)
x +1 ) −1
2
x +1 +1
x +1 +1
x→0
x. ( x + 1 + 1)
x
= lim
x . ( x + 1 + 1)
x→0
= lim
x→0
1
(
x + 1 + 1)
1
1
=
0 +1 +1 2
Cevap:
çözüm
kavrama sorusu
x2 + 8 − 3
limitinin değerini bulunuz.
x −1
lim
x →1
1
2
x2 + 8 − 3
=
x −1
lim
x→1
1+ 8 − 3 0
belirsizliği vardır.
=
1− 1
0
Çarpanlara ayırma bu tip sorularda zor olduğu için pay ve
payda ( x 2 + 8 + 3 ) yani eşleniği ile çarpılır.
x2 + 8 − 3 .
x −1
lim
x→1
lim
x→1
x2 + 8 + 3
x2 + 8 + 3
x2 + 8 − 9
( x − 1). x 2 + 8 + 3
= lim
x→1
= lim
x→1
(x − 1) (x + 1)
(x − 1) . x 2 + 8 + 3
= lim
x→1
(
x2 + 8
(x − 1).
(
)
2
− 32
x2 + 8 + 3
)
x2 −1
(x − 1). x 2 + 8 + 3
= lim
x→1
(x + 1)
x2 + 8 + 3
1+ 1
2 1
= =
1+ 8 + 3 6 3
=
Cevap:
çözüm
kavrama sorusu
lim
x →1
3
1
3
3
x −1
lim =
x→1 x − 1
x −1
limitinin değerini bulunuz.
x −1
3
1 −1 0
belirsizliği vardır.
=
1− 1 0
Çarpanlara ayırmak zor olduğu için ñx=t dönüşümü yapalım.
3
3
ñx=t ise x=t ve x → 1 için t → 1 dir.
3
3
(t − 1)
x −1
t −1
lim= lim
= lim
x − 1 t→1 t 3 − 1 t→1 (t − 1) (t 2 + t + 1)
x→1
lim
t→1 t 2
44
1
1
1
= =
+ t + 1 1+ 1+ 1 3
Cevap:
1
3
Limit ve Süreklilik
soru 1
lim
x→0
soru 5
x+9 −3
limitinin değeri kaçtır?
x
1
2
A)
1
3
B)
C)
1
4
D)
1
5
E)
1
6
A)
soru 2
lim
x→0
1
4
x
x+4 −2
limitinin değeri kaçtır?
C) 3
D) 2
E) 1
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A) −
soru 3
A)
x + 25 − 5
limitinin değeri kaçtır?
x
1
20
x→0
A)
1
16
1 – E
C)
1
8
D)
1
10
E)
1
12
B)
1
15
C)
1
10
lim
D)
1
5
E) 1
3
4
B) −
1
4
C)
1
4
D)
3
4
E)
5
4
E) −
1
4
soru 7
x →1
A)
soru 4
lim
1
6
x2 + 7 − 4
limitinin değeri kaçtır?
x−3
lim
x→3
B) 4
lim
B)
soru 6
A) 5
x→0
x+2 −2
limitinin değeri kaçtır?
x−2
lim
x→2
x −1
limitinin değeri kaçtır?
x −1
1
2
B) 0
C) −
1
2
D) −
1
3
soru 8
x 2 + 16 − 4
x
2
B)
lim
limitinin değeri kaçtır?
1
8
2 – B
C)
1
4
D)
3 – C
x→8 3
1
2
E) −
x−8
x −2
A) 8
1
2
4 – B
B) 10
5 – A
45
limitinin değeri kaçtır?
C) 12
6 – D
D) 14
7 – A
E) 16
8 – C
Limit ve Süreklilik
0
sin x
belirsizliği ile karşılaştığımız örnek türlerinden biride lim
dir.
x →a x
0
Bu tür örneklerde, lim f(x) = 0 olmak üzere lim
x →a
x →a
sin f(x)
= 1 eşitliğini kullanırız.
f(x)
çözüm
kavrama sorusu
lim
x →0
sin x
limitinin değerini bulunuz.
x
sin x sin0 0 belirsizliği vardır.
lim = =
x
0
0
sin f(x)
= 1 eşitliğinden,
lim
x →a f(x)
x →0
lim
x →0
sin x
=1
x
Cevap: 1
çözüm
kavrama sorusu
lim
x→2
sin( x − 2 )
x−2
sin(x − 2) sin0 0 belirsizliği vardır.
= =
x −2
0
0
sin f(x)
= 1 eşitliğinden,
lim
x →a f(x)
lim
limitinin değerini bulunuz.
x→2
lim
x→2
sin(x − 2)
=1
x −2
Cevap: 1
çözüm
kavrama sorusu
lim
x →0
sin3 x
limitinin değerini bulunuz.
2x
lim
x →0
sin 3x sin0 0 belirsizliği vardır.
= =
2x
0
0
Pay ve paydayı 3 ile çarpalım.
lim
x®0
sin 3x . 3
sin 3x . 3
3 3
= lim
= 1. =
2x 3 x ® 0 
2 2
3x 2
1
Cevap:
3
2
Cevap:
5
3
Açıklama
sinax a
sinax a
eşitliklerini kullanabiliriz.
=
=
lim
ve lim
x→0 bx
x→0 sinbx b
b
çözüm
kavrama sorusu
lim
x →0
sin5 x
limitinin değerini bulunuz.
sin3 x
sin 5x sin0 0 belirsizliği vardır.
= =
sin 3x sin0 0
5x
3x
Payı
ile paydayı
ile çarpalım.
5x
3x
1

5x
sin
5x .
sin 5x.
5x
5x 5
5x lim
5x
=
=
=
lim
lim
3x
x→0
x→0 sin 3x
x→0 3 x
3
.3x
sin 3x.
3x
3x

lim
x→0
1
46
Limit ve Süreklilik
soru 1
lim
x →0
soru 5
sin3 x
limitinin değeri kaçtır?
3x
A) 3
B) 2
C) 1
lim
x→3
D) 0
E) –1
lim
limitinin değeri kaçtır?
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
D) 2
E) 1
D) 4
E) 5
soru 6
sinkx
limitinin değeri kaçtır?
kx
B) 1
C) 2
lim
x →1
D) 3
E) 4
sin( 5 x
x
A) 5
5)
1
limitinin değeri kaçtır?
B) 4
C) 3
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A) k
x−3
A) 5
soru 2
x →0
sin( x − 3 )
soru 3
lim
x →0
soru 7
sin 2 x
limitinin değeri kaçtır?
x
A) 0
B) 1
C) 2
lim
x →0
D) 3
E) 4
A) 1
soru 4
lim
x →0
A) 0
1 – C
sin8 x
limitinin değeri kaçtır?
sin 4 x
B) 2
C) 3
soru 8
sin6 x
limitinin değeri kaçtır?
2x
B) 1
2 – B
C) 2
lim
x →0
D) 3
3 – C
E) 4
sinkx
= 5 olduğuna göre, k kaçtır?
sin2x
A) 1
4 – D
B) 5
5 – E
47
C) 7
6 – A
D) 8
7 – B
E) 10
8 – E
Limit ve Süreklilik
sinax
tanax
tanax
sinax
sinax
1
a
cos
ax lim =
.
lim
=
=
lim
lim
lim
biçimindeki limitlerde; =
olduğundan,
x→0 bx
x→0 bx.cos ax x→0 bx
x→0 bx
x→0
bx
ax b
 cos

a
b
lim
x→0
lim
x→0
tanax a
=
bx
b
1
eşitliği vardır.
sinax
sinax
sinax
sinax
a
. cosbx
= lim
=
lim
lim
biçimindeki limitlerde; =
 b olduğundan,
x→0 tanbx x→0 sinbx
x→0 sinbx
tanbx

1
a
cosbx
b
lim
x→0
sinax a
=
tanbx b
eşitliği vardır.
sinax
tanax
tanax
1
a
cos
ax lim sinax
.
lim
=
=
lim
lim
biçimindeki limitlerde; =
olduğundan,
x→0 sinbx
x→0 sinbx x→0 sinbx
x→0 sinbx
cosbx
b
 


a
b
lim
x→0
lim
x→0
tanax a
=
sinbx b
1
eşitliği vardır.
sinax
tanax
tanax
cosbx
sinax cosbx a
cos ax lim sinax
.
.
lim
lim
=
=
lim
=
biçimindeki limitlerde; =
olduğundan,
x→0 tanbx x→0 sinbx
x→0 cos ax sinbx
x→0 sinbx
tanbx
ax b
 cos

a
1
cosbx
b
lim
x→0
tanax a
=
tanbx b
eşitliği vardır.
çözüm
kavrama sorusu
lim
x→0
tan3 x
limitinin değerini bulunuz.
7x
lim
tanax a
eşitliğinden,
=
bx
b
lim
tan 3x 3
=
7x
7
x→0
x →0
Cevap:
çözüm
kavrama sorusu
lim
x →0
3
7
sin8 x
limitinin değerini bulunuz.
tan 4 x
lim
sinax a
eşitliğinden,
=
tanbx b
lim
sin8x 8
= = 2
tan4x 4
x→0
x →0
Cevap: 2
çözüm
kavrama sorusu
lim
x→0
tan x
limitinin değerini bulunuz.
sin 2 x
lim
tanax a
eşitliğinden,
=
sinbx b
lim
tan x 1
=
sin2x 2
x→0
x →0
Cevap:
48
1
2
Limit ve Süreklilik
soru 1
lim
x →0
soru 5
tan5 x
limitinin değeri kaçtır?
x
A) 1
B) 2
C) 3
lim
x →0
D) 4
E) 5
A)
soru 2
lim
x →0
C) 5
D) 6
A)
A) 10
E) 7
soru 3
lim
sin7 x
limitinin değeri kaçtır?
tan3 x
7
3
lim
B)
A) 1
1 – E
sin x
x
tan  
3
1
4
C)
1
3
D)
1
2
E) 1
5
3
C)
4
3
lim
D)
2
3
E)
B) 12
D) 15
E) 18
D) 2
E) 1
D) 5
E) 6
tan10 x
limitinin değeri kaçtır?
tan 2 x
A) 5
1
3
C) 14
soru 7
x →0
soru 4
x →0
B)
tankx
= 4 olduğuna göre, k kaçtır?
sin3x
lim
x →0
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
B) 4
x →0
1
5
soru 6
tan3 x
limitinin değeri kaçtır?
x
2
A) 3
tan 2 x
limitinin değeri kaçtır?
sin 4 x
B) 4
C) 3
soru 8
limitinin değeri kaçtır?
B) 2
2 – D
C) 3
lim
x →0
D) 4
3 – A
tan12x
= 2 olduğuna göre, k kaçtır?
tankx
A) 2
E) 5
4 – C
B) 3
5 – D
49
C) 4
6 – B
7 – A
8 – E
Limit ve Süreklilik
çözüm
kavrama sorusu
lim
x2 − 1
limitinin değerini bulunuz.
− 1)
lim
x2 −1
lim
x2 −1
x→1 tan(x − 1)
0
belirsizliği vardır.
0
=
x→1 tan(x − 1)
x →1 tan( x
x −1
= lim
x→1 tan(x − 1)


.(x
+ 1)= 1.2= 2

1
2
Cevap: 2
çözüm
kavrama sorusu
lim
x→3
sin( 2 x − 6 )
tan( 3 x − 9 )
limitinin değerini bulunuz.
lim
sin(2x − 6) 0
= belirsizliği vardır.
tan(3x − 9) 0
lim
sin(2x − 6)
tan(3x − 9)
x→3
x→3
lim
x→3
sin(2.(x − 3))
ifadesinde
tan(3.(x − 3))
x–3=t dönüşümü yaptığımızda x → 3 ise t → 0 dır.
lim
sin(2.(x − 3))
sin2t
= lim
ve
tan(3.(x − 3)) t→0 tan 3t
lim
sinax a
eşitliğinden,
=
tanbx b
lim
sin2t 2
=
tan 3t 3
x→3
x →a
t→0
x →0
sin2 x
9x
2
2
3
Cevap:
1
9
çözüm
kavrama sorusu
lim
Cevap:
limitinin değerini bulunuz.
lim
x →0
lim
x →0
lim
x →a
sin2 x
9x 2
sin2 x
9x 2
=
0
belirsizliği vardır.
0
 sin x 
= lim 

x →0  3x 
2
sinax a
eşitliğinden,
=
bx
b
2
2
1
 sin x   1 
lim  =
 =

x →0  3x 
9
3
çözüm
kavrama sorusu
lim
x →0
sin7 x + tan3 x
limitinin değerini bulunuz.
sin5 x
lim
sin7x + tan 3x 0
belirsizliği vardır.
=
sin5x
0
lim
sin7x + tan 3x
sin7x
tan 3x
= lim
+ lim
x→0 sin
sin 5x
5x
 x→0 sin
5x

x →0
x→0
7
5
=
3
5
7 3 10
+ =
=2
5 5 5
Cevap: 2
50
Limit ve Süreklilik
soru 1
lim
soru 5
sin( x − 2 )
2
x→2
x −4
A) 0
limitinin değeri kaçtır?
1
4
B)
1
2
C)
lim
3
4
D)
E) 1
A)
B)
7
4
C)
5
4
D)
3
4
E)
1
4
soru 6
tan( x − 3 )
x2 − 9
1
3
9
4
limitinin değeri kaçtır?
B)
1
4
C)
sin 4 x + tan 2 x
limitinin değeri kaçtır?
x
lim
limitinin değeri kaçtır?
x →0
1
5
D)
1
6
E)
A) 1
1
9
B) 2
C) 3
D) 6
E) 8
D) 4
E) 2
D) 2
E) 1
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A)
4 x2
x →0
soru 2
x→3
tan2 3 x
lim
soru 3
lim
x→2
A)
soru 7
tan( x − 2 )
limitinin değeri kaçtır?
tan( 3 x − 6 )
1
2
B)
1
3
C)
1
4
D)
1
5
E)
lim
A)
4
3
1 – B
1 − cos 2 x
A) 16
1
6
soru 4
x→4
sin2 4 x
lim
x→0
limitinin değeri kaçtır?
B) 12
C) 8
soru 8
tan( 2 x − 8 )
tan( 3 x − 12 )
limitinin değeri kaçtır?
B) 1
2 – D
lim
sin9 x
x →0
C)
2
3
D)
3 – B
1
3
A) 5
E) 0
4 – C
limitinin değeri kaçtır?
B) 4
5 – A
51
x
C) 3
6 – D
7 – A
8 – C
Limit ve Süreklilik
Limitte ∞
∞ Belirsizliği
∞
işleminde, sürekli artan bir değişkenin yine sürekli artan bir değişkene bölündüğünde elde edilecek sonuç hakkında net bir
∞
∞
−∞
−∞
∞
şey söylenemez. Bu durumda
belirsizliktir. Benzer şekilde
,
,
, işlemleri de birer belirsizliktir ve genel olarak
∞
−∞
∞
−∞
P(x)
∞
∞
belirsizliği olarak adlandırılır.
belirsizliğini kaldırmanın en önemli yöntemi
biçimindeki ifadelerde pay ve paydayı en
Q(x)
∞
∞
yüksek dereceli değişken parantezine alıp sadeleştirmeleri yaparak tekrar limit almaktır.
çözüm
kavrama sorusu
lim
x →∞
Pay ve paydayı x parantezine alalım.
3x + 1
limitinin değerini bulunuz.
2x + 5
3x + 1
lim
= lim
x →∞ 2x + 5 x →∞
1

1
x  3+ 
3+
x  = lim

x
5
5  x→∞

2+
x  2+ 
x
x

0
1
3+
∞ 3
= =
5 2
2+
∞ 0
Cevap:
çözüm
kavrama sorusu
lim
x →∞
x2 + x + 1
x2 + 3 x + 4
3
2
2
Pay ve paydayı x parantezine alalım.
limitinin değerini bulunuz.

x
1 
x 2  1+ 2 + 2 


x
x
x + x +1


lim
= lim
x →∞ x 2 + 3x + 4 x →∞
3x
4 
2 
x  1+ 2 + 2 

x 
x

2
1
1+ +
x
lim
3
x→∞
1+ +
x
0
1 1
1+ +
∞ ∞=
x2 =
4
3 4
+
+
1
∞ ∞
x2
0
1
0
1
= 1
1
0
Cevap: 1
çözüm
kavrama sorusu
lim
x →∞
2
Payı x , paydayı x parantezine alalım.
x2 + 1
limitinin değerini bulunuz.
2x − 1
x2 +1
lim
= lim
x→∞ 2x − 1 x→∞
1 

x 2  1+ 2 
 x  = lim
1  x→∞

x  2− 
x

1 

x  1+ 2 
 x 
1

 2− 
x

0
1

∞.  1+ 
∞
=  ∞= =∞
1
2

 2− 
∞

0
Cevap: ∞
52
Limit ve Süreklilik
soru 1
lim
x →∞
soru 5
3 x2 + 4 x − 1
2
2x − 5x + 2
A) − ∞
lim
limitinin değeri kaçtır?
B) 0
C)
3
2
D) 3
E) ∞
A) 2
3 x2 + 7 x − 1
B) 1
C)
1
2
D) ∞
E) − ∞
B) 1
C) 3
D) 5
x3 + 7 x − 3
lim
limitinin değeri kaçtır?
x2 + 1
x →−∞
E)
A) –∞
5
3
limitinin değeri kaçtır?
B) –1
C) 0
D) 1
E) ∞
D) 2
E) 3
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A) 0
limitinin değeri kaçtır?
soru 6
5 x2 − 4 x + 1
x →−∞
x2 − 2
x →∞
soru 2
lim
2 x3 + x + 1
soru 3
lim
x →∞
4 x3 + 1
3
2x + 3
A) 1
soru 7
lim
limitinin değeri kaçtır?
B) 2
C) 3
x →∞
D) 4
x →∞
A) –∞
1 – C
x − 2 x + 10
A) –1
E) 6
soru 4
lim
x+1
3
limitinin değeri kaçtır?
B) 0
C) 1
soru 8
2 x 2 + 4 x + 1 limitinin değeri kaçtır?
x+3
B) 1
2 – E
C) 2
lim
x →−∞
D) 4
3 – B
x2 + 3 x + 2
E) ∞
A) –3
4 – E
5 –D
53
x3 + 7
limitinin değeri kaçtır?
B) –7
C) 0
6 – A
D) 1
7 – B
E) 3
8 – C
Limit ve Süreklilik
P(x) ve Q(x) polinon fonksiyonlar olmak üzere lim
n
n–1
P(x)=anx +an–1x +...+a1x+a0 ve der[P(x)]=n
m
=
¥
belirsizliklerinde,
¥
m–1
Q(x)=bmx +bm–1x
+...+b1x+b0 ve der[Q(x)]=m olmak üzere,
–∞ veya +∞ ,
P(x)
lim
=
x ®¥ Q(x)
P(x)
x ®¥ Q(x)
an
bm
0
yöntemi kullanılabilir.
kavrama sorusu
,
n>m (P(x) in derecesi, Q(x) in derecesinden büyük ise)
n=m (P(x) in derecesi ile Q(x) in derecesi eşit ise)
n<m (P(x) in derecesi, Q(x) in derecesinden küçük ise)
,
¥
belirsizliklerinde pay ve paydada en yüksek dereceli terimler alınıp değer terimler ihmal edilebilir.
¥
çözüm
Aşağıda verilen limit işlemlerinin varsa sonuçlarını bulunuz
x2 + 1
x3 + x − 1
a) lim
b) lim
x ®¥ x − 1
x ®-¥
x +1
a)
x2 + 1 ¥
belirsizliği vardır.
=
x -1 ¥
Payın derecesi, paydanın derecesinden büyük,
lim
x ®¥
x2
x2 + 1
= lim
= lim x = ¥
x ®¥
x ®¥ x - 1
x ®¥ x
lim
ihmal
edilebilir.
b)
lim
x 3 + x - 1 -¥
belirsizliği vardır.
=
x -1
-¥
lim
x3 + x - 1
x
1
x ®-¥
x ®-¥
lim
x ®-¥
ihmal
edilebilir.
x3
= lim x 2 = (-¥)2 = ¥
®-¥
Cevap: a) ∞, b) ∞
çözüm
kavrama sorusu
Aşağıda verilen limit işlemlerinin varsa sonuçlarını bulunuz
3x 2 + x - 1
2x 1
a) lim
b) lim
2
x
®-¥
®¥ 3x
5x
+ 3x - 1
1
a)
2x + 1 ¥
belirsizliği vardır.
=
3x + 1 ¥
Pay ve paydanın dereceleri eşit olduğundan en yüksek
dereceli terimlerin katsayıları oranı limitin sonucunu verir.
lim
x ®¥
lim
x ®¥
2x + 1 2
=
3x + 1 3
ihmal
edilebilir.
b)
3x 2 + x - 1 ¥
=
belirsizliği vardır.
5x 2 + 3x - 1 ¥
Pay ve paydanın dereceleri eşittir.
lim
x ®¥
lim
x ®¥
3x 2 + x - 1
3
=
5x 2 + 3x - 1 5
ihmal
edilebilir.
lim
2
3
, b)
3
5
çözüm
kavrama sorusu
x ®¥
Cevap: a)
x+3
limitinin sonucunu bulunuz.
4x 2 - x + 1
x+3
¥
=
belirsizliği vardır.
4x 2 - x + 1 ¥
Payın derecesi paydanın derecesinden küçüktür.
lim
x ®¥
lim
x ®¥
54
x+3
x
1
1
= lim
= lim
=
=0
x ®¥ 4x
4.¥
4x 2 - x + 1 x ®¥ 4 x 2
ihmal
edilebilir.
Cevap: 0
Limit ve Süreklilik
soru 1
soru 5
x2 - x + 3
limitinin değeri kaçtır?
3x + 1
lim
x ®¥
A) − ∞
B)
1
3
lim
x ®¥
C) 1
D) 3
A)
E) ∞
soru 2
1
4
B)
1
2
C) 1
D) 2
E) 4
soru 6
5x 2 + 1
limitinin değeri kaçtır?
x ®-¥ x - 1
6x 3 + x + 1
limitinin değeri kaçtır?
x ®-¥
3x 3 - 1
lim
B) 5
lim
C) 1
D) –1
E) ∞
A) – 2
B) –1
C) 1
D) 2
E) 3
D) 3
E) ∞
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A) – ∞
2x 2 + x - 1
limitinin değeri kaçtır?
4x 2 + 1
soru 3
lim
x ®¥
soru 7
-x 3 + x 2 - 1
limitinin değeri kaçtır?
x 2 + 5x + 1
A) ∞
B) 5
C) 1
D) –1
lim
x ®¥
A) –1
E) –∞
soru 4
lim
x ®¥
A)
1
3
1 – E
x +1
limitinin değeri kaçtır?
x 2 + 3x + 1
B) 0
C) 1
soru 8
x -1
limitinin değeri kaçtır?
3x + 5
B)
1
5
2 – A
lim
x ®-¥
D) − 1
C) 0
3 – E
E) −
1
3
4x + 1
limitinin değeri kaçtır?
3x 2 + 5x + 1
A) − ∞
4 – A
5 – B
55
B) −
4
3
6 – D
C)
4
3
D) 0
7 – B
E) ∞
8 – D
Limit ve Süreklilik
çözüm
kavrama sorusu
lim
ax 2 + 3x - 1
5x 2 + 4
x →∞
Pay ve paydanın dereceleri eşit olduğundan,
= 2 olduğuna göre, a kaçtır, bulunuz.
katsayılar oranından lim
x→∞
ax 2 + 3x − 1 a
= = 2
5
5x 2 + 4
a=10
Cevap: 10
çözüm
kavrama sorusu
lim
x →∞
x→∞ olduğundan, x+2>0 ve |x+2|=x+2 dir.
x+2
limitinin değerini bulunuz.
2x + 3
lim
x→∞
x+2
ifadesinde dereceler eşit olduğundan,
2x + 3
katsayılar oranından lim
x→∞
x+2 1
=
2x + 3 2
Cevap:
çözüm
kavrama sorusu
lim
x →−∞
x→−∞ olduğundan, x−3<0 ve |x−3|=−x+3 tür.
x−3
limitinin değerini bulunuz.
x+1
lim
x→−∞
−x + 3
ifadesinde dereceler eşit olduğundan,
x +1
katsayılar oranından lim
x→−∞
x →−∞
− x + 3 −1
=
= −1
x +1
1
Cevap: –1
çözüm
kavrama sorusu
lim
1
2
x→ − ∞ olduğundan, x+3<0 ve |x+3|=−x − 3 tür.
x + 3 + 3x
limitinin değerini bulunuz.
x
|x + 3|+3x
− x − 3 + 3x
2x − 3
=
= lim
lim
lim
x→−∞
x→−∞
x
x
x
2x − 3
ifadesinde dereceler eşit olduğundan,
lim
x→−∞
x
2x − 3 2
katsayılar oranından lim
= = 2
x→−∞
x
1
x→−∞
56
Cevap: 2
Limit ve Süreklilik
soru 1
lim
soru 5
5x 3 + 4x − 1
x →−∞
3
2
ax + 3x + 4
=
1
3
lim
x →∞
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 1
B) 3
A) 0
C) 5
D) 10
x →∞
C) 2
D) 3
E) ∞
soru 6
(a − 1)x 2 + x +1
2
(a + 2)x + 3
=
1
3
1
2
A) –5
C)
3
2
D) 2
E)
limitinin değeri kaçtır?
x −1
B) –3
C) 0
D) 3
E) 5
D) 4
E) 6
5
2
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
B) 1
5x + 3
lim
x →−∞
olduğuna göre, a kaçtır?
A)
B) 1
E) 15
soru 2
lim
3x
limitinin değeri kaçtır?
x
soru 3
lim
x →∞
soru 7
ax 2 + 7
2
bx − 1
=
3
2
x →−∞
olduğuna göre, a–b farkı kaçtır?
A) 1
B) 2
A) 1
C) 3
D) 4
lim
A) 1
1 – E
x
x
B) 2
C) 3
E) 5
soru 4
x →∞
x + 5x
limitinin değeri kaçtır?
2x
lim
ve a+b=10
soru 8
limitinin değeri kaçtır?
B) 2
2 – E
lim
| 2 x + 3| + x
x →−∞
C) 3
D) ∞
3 – B
E) –∞
A) − 1
4 – A
5 – D
57
|3 x |
B) −
limitinin değeri kaçtır?
1
3
C) 0
6 – E
D)
7 – B
1
3
E) 1
8 – D
Limit ve Süreklilik
çözüm
kavrama sorusu
lim
x →∞
x2 + 1
limitinin değerini bulunuz.
3x + 1
1 

1
x 2  1+ 2 
|x| 1+ 2
x2 +1
 x 
x
=
= lim
lim
lim
x →∞ 3x + 1
x →∞
x →∞
1
1


x 3+ 
x 3+ 
x
x


x → ∞ olduğundan |x|=x
1
1
1+ 2
x 1+ 2
x
x
= lim =
lim
1
x →∞
1  x→∞

3+
x  3+ 
x
x

0
1
1+
∞ 1
=
1
3
3+
∞ 0
Cevap:
çözüm
kavrama sorusu
lim
x →−∞
1
3
4 x2 + 5
limitinin değerini bulunuz.
x+1
5 

x2  4 + 2 
x 

=
lim
x→−∞
1

x  1+ 
 x
4x 2 + 5
=
lim
x→−∞
x +1
|x| 4 +
lim
x→−∞
5
x2
1

x  1+ 
 x
x → –∞ olduğundan |x|=–x
−x
lim
x→−∞
4+
5
2
x =
1

x  1+ 
 x
0
5
∞ = −2 = −2
1
1
1+
∞ 0
− 4+
Cevap: –2
çözüm
kavrama sorusu
lim
x →∞
x2 + 5 x + 1 + x
2
 5x 1 
x 2  1+ 2 + 2  + x
x
x 

limitinin değerini bulunuz.
x +1
lim
x →∞
1 

x 2  1+ 2 
 x 
5 1
+
+x
x x2
1
|x| 1+ 2
x
|x| 1+
= lim
x →∞
x → ∞ olduğundan |x|=x


5 1
5 1
x  1+ + 2 + 1
+
+x
x
x x2
x


= lim
x →∞
1
1
x. 1+ 2
x . 1+ 2
x
x
x 1+
lim
x →∞
1+
=
0
0
5 1
+ +1
+1
∞ ∞ = 1=
2
1
1
1+
∞ 0
Cevap: 2
58
Limit ve Süreklilik
soru 1
lim
x →∞
A)
soru 5
x2
limitinin değeri kaçtır?
2x + 1
1
2
B)
2
3
C) 1
x →∞
D)
3
2
3x + 1
limitinin değeri kaçtır?
4 x2 + 5
A) − ∞
x →∞
B) − 3
16 x 2 + 3 x + 1
x2 − x + 5
A) 1
B) 2
x →−∞
A)
1
3
1 – A
C) 3
x2 + 4 + 2 x + 1
lim
C) −
3
2
D)
3
2
E) 3
A)
C) 3
3
D) 2
E) 1
E) 5
limitinin değeri kaçtır?
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
soru 7
x2 + x + 2 x + 1
x →−∞
D) 4
x3 + x − 1
1
3
lim
limitinin değeri kaçtır?
x2 − 4 x + 3 x + 1
A) ∞
soru 4
lim
B) 4
x →∞
soru 3
lim
limitinin değeri kaçtır?
soru 6
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
lim
4 x2 − x − 6
A) 5
E) ∞
soru 2
x →−∞
x2 + 2 x
x+
lim
B)
1
2
limitinin değeri kaçtır?
D) −
C) 0
1
2
E) − ∞
soru 8
x2 + 5 x + 6
9 x2 + x + 1
B)
1
4
2 – C
3
lim
limitinin değeri kaçtır?
C)
1
6
D)
3 – D
1
8
x →−∞
E) −
1
3
8 x3 + 1 + 4 x4 + 4
limitinin değeri kaçtır?
2x − 1
A) − ∞
4 – A
5 – E
59
B) −
1
2
C)
6 – D
1
2
D) 1
7 – B
E) 2
8 – C
Limit ve Süreklilik
¥
belirsizliklerinde yine pay ve paydanın en yüksek dereceli terimlerini alıp diğer terimleri ihmal ederek
¥
limit hesaplamasını yapabiliriz.
Köklü ifadeler içeren
çözüm
kavrama sorusu
lim
x ®¥
4x 2 - x + 1
limitinin değerini bulunuz.
2x + 3
lim
4x 2 - x + 1 ¥
belirsizliği vardır.
=
2x + 3
¥
lim
4x 2 - x + 1
2x + 3
lim
4x 2
2x
= lim
x ®¥ 2x
2x
x ®¥
x ®¥
x ®¥
ihmal
edilebilir.
x→∞ için 2x>0 olduğundan, |2x|=2x
lim
x ®¥
x ®-¥
Cevap: 1
çözüm
kavrama sorusu
lim
2x
=1
2x
9x 2 + 1
limitinin değerini bulunuz.
5x - 1
lim
9x 2 + 1 ¥
belirsizliği vardır.
=
5x - 1
¥
lim
9x 2 + 1
5x - 1
lim
9x 2
3x
= lim
x ®-¥ 5x
5x
x ®-¥
x ®-¥
x ®-¥
ihmal
edilebilir.
x→ – ∞ için 3x<0
lim
x ®-¥
x ®-¥
x 2 + 3x + 5 + 2x + 1
3
3
8x - x - 1
-3 x
3
=5
5x
Cevap: −
3
5
çözüm
kavrama sorusu
lim
olduğundan, |3x|=–3x
lim
limitinin değerini bulunuz.
x 2 + 3x + 5 + 2x + 1
3
x ®-¥
lim
x ®-¥
8x - x - 1
3
8x 3 - x - 1
x 2 + 2x
3
8x
3
= lim
x→ – ∞ için x<0
lim
x ®-¥
60
=
x 2 + 3x + 5 + 2x + 1
x ®-¥
lim
3
x ®-¥
¥
¥ belirsizliği vardır.
ihmal
edilebilir.
x + 2x
2x
olduğundan, |x|=–x
x
-x + 2x
1
= lim
=
x ®-¥ 2 x
2x
2
Cevap:
1
2
Limit ve Süreklilik
soru 1
lim
x ®¥
soru 5
x2 + x - 7
limitinin değeri kaçtır?
3x - 1
1
A) −
3
1
C)
3
B) 0
lim
D) 1
A)
E) ∞
B) 1
C)
2
3
D)
4
3
E) ∞
soru 6
5x + 3
2
9x + 4x + 3
1
3
1
3
limitinin değeri kaçtır?
B)
limitinin değeri kaçtır?
2
3
C) 1
D)
E)
A) –3
5
3
limitinin değeri kaçtır?
x 2 - x - 9 + 2x
x ®¥
4
3
27x 3 + x 2 + 1
3
lim
B) –2
C) –1
D) 0
E) 1
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A)
9x 2 + 1
x ®¥
soru 2
x ®¥
x 2 + 1 + 2x
lim
soru 3
lim
x ®-¥
soru 7
4x 2 - 5
limitinin değeri kaçtır?
x +1
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
soru 4
®-¥
A) – 4
1 – C
64x 3 + 3x 2 - 5
25x 2 + 6x + 1
x ®-¥
A) −
lim
3
lim
4
5
B) −
limitinin değeri kaçtır?
3
5
C) −
1
5
D)
3
5
E)
4
5
soru 8
16x + x + 5
x + 3x + 10
B) – 2
2 – E
lim
limitinin değeri kaçtır?
C) 0
x ®-¥
D) 2
3 – A
E) 4
4
16x 4 + x 3 - 3x 2 - 1
3
A) – 4
4 – E
5 – B
61
x 3 + 3x 2 + x + 5
B) – 2
limitinin değeri kaçtır?
C) –1
6 – E
D) 0
7 – A
E) 2
8 – B
Limit ve Süreklilik
a≠0 ve |a| < 1 için lim a x = 0 olduğundan, üstel ifadeler içeren limit işlemlerinde genelde pay ve payda x → ∞ için tabanı büyük
x →∞
olan üstel ifadenin parantezine, x → –∞ için tabanı küçük olan üstel ifadenin parantezine alınarak limit hesaplanır.
çözüm
kavrama sorusu
lim
x →∞
3 x + 5x
3 x − 5x
x
5 > 3 olduğundan, 5 parantezine alalım.
0
∞
 3x

3
5 x  x + 1
  +1 1
5
 = lim  5 
lim
=
= −1
x
x→∞  3  ∞
x→∞
−1


3
5 x  x − 1
  −1
5 0
5

limitinin değerini bulunuz.
Cevap: –1
çözüm
kavrama sorusu
lim
x →∞
x
3>2 olduğundan 3 parantezine alalım.
2x + 3 x
2 x + 1 − 3 x −1
limitinin değerini bulunuz.
lim
x→∞
2x + 3x
2
x +1
−3
x −1
= lim
x→∞
2x + 3x
2 x.2 −
3x
3
0
  2 ∞ 
3 x    + 1
 3 
 = 1 = −3
lim
1
x→∞
  2 ∞

1
3 x    .2 −  − 3
 3 
0 3
çözüm
kavrama sorusu
lim
x →−∞
3x + 4x
3x − 4x
Cevap: –3
x
x → –∞ olduğundan 3 parantezine alalım.
limitinin değerini bulunuz.
 
3 x  1+ 
 
lim
x→−∞
 
3 x  1− 
 

1+ 

=

1− 

x
4 

1+ 
 
3 

= lim
x
4   x→−∞ 
1− 
 

3  
0
−∞
∞
4
3
1+  

3
4  = 1= 1

=
−∞
∞
1
4
3
1−  

3
4
0
4

3
x
4

3
x
Cevap: 1
çözüm
kavrama sorusu
lim
x →−∞
2x + 7 x +1
2 x −1 + 7 x
x
x → –∞ olduğundan 2 parantezine alalım.
limitinin değerini bulunuz.
  7 x 
2 x  1+   .7 
2 + 7 .7
 2

= lim
lim
x→−∞ 2 x
x→−∞
 1  7 x 
x
+7
2 x  +   
2
2 2 
x
x
0
x
−∞
∞
7
7
2
1+   .7 1+   .7 1+   .7
2 =
2 =
 7  = 1= 2
lim
−∞
∞
1
x→−∞ 1  7  x
1 7
1 2
+ 
+ 
+ 
2
2 2
2 2
2 7
0
Cevap: 2
62
Limit ve Süreklilik
soru 1
lim
x →∞
soru 5
4x + 3x
x
4 −3
A) –4
x
3 x + 2 x − 2 limitinin değeri kaçtır?
x →−∞ 3 x + 1 + 2 x
lim
limitinin değeri kaçtır?
B) –1
C) 1
D) 3
E) 4
A)
soru 2
x →∞
2x +1 + 3 x +1
2 x −1 + 3 x
A) –4
limitinin değeri kaçtır?
B) –3
C) 3
lim
x →−∞
D) 4
x →∞
A)
2 x + 3 x −1
2 x −1 + 3 x − 4
1
2
x →∞
A)
1
π
1 – C
C) 1
D) 3
E) 4
B) 1
C) 3
3 − x − 2− x + 1
x →∞
D) 9
B) –2
D) 2
E) 5
3 − x −1 + 2− x
A) − 3
E) 27
C) –1
soru 7
lim
limitinin değeri kaçtır?
soru 4
lim
1
3
5 x + 2 x + 1 limitinin değeri kaçtır?
5 x −1 − 2 x
A) –5
E) 5
soru 3
lim
B)
soru 6
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
lim
1
4
limitinin değeri kaçtır?
B) − 2
C)
1
2
D)
1
3
E) 3
soru 8
π x +1 + 2x +1
π x + 2 x −1
B)
limitinin değeri kaçtır?
1
2
2 – C
lim
x →−∞
D) π
C) 1
3 – E
2x + 3 x + 6 x
A) –∞
E) 4
4 – D
5 – A
63
5x + 6 x
limitinin değeri kaçtır?
B) –1
C) 0
6 – B
D) 1
7 – B
E) ∞
8 – E
Limit ve Süreklilik
∞ – ∞ Belirsizliği
lim [f(x) − g(x)] = ∞ − ∞ belirsizliğinde,
x→ ∞
0
∞
veya
belirsizliklerine dönüştürülerek limit hesaplanmaya çalışılır.
∞
0
0
∞
veya
belirsizliklerine dönüştürme işlemi genelde payda eşitleme veya pay ve paydayı eşlenik ile çarparak yapılır.
∞
0
çözüm
kavrama sorusu

lim 
x → 1
1
2 
−
 limitinin değerini bulunuz.
x − 1 x2 − 1 
2  1
2
1 2
 1
−
−
= − = ∞ − ∞ ise
lim 
=
x − 1 x 2 − 1  1− 1 12 − 1 0 0
x→1
∞ – ∞ belirsizliği vardır.
2 
x + 1− 2
 1
−
lim 
lim
=
x − 1 x 2 − 1  x→1 x 2 − 1
x→1
(x + 1)
x − 1 1− 1 0
lim = =
belirsizliği
− 1 12 − 1 0
x→1 x 2
lim
x −1
x→1 x 2
−1
= lim
x→1
(x − 1)
1
1
= =
(x − 1) (x + 1) 1+ 1 2
Cevap:
1
2
çözüm
kavrama sorusu
1
π
 1

lim 
− tan x  =
− tan = ∞ − ∞ ise
π
π  cos x
2

x→
cos
2
2
 1

lim 
− tan x  limitinin değerini bulunuz.
π  cos x

x→
2
∞ – ∞ belirsizliği vardır.
sin x
 1
−
lim 
π  cos x
cos
x
x→
2

 1− sin x 
lim 
=

 x→ π  cos x 
2
π
1− sin
0
2
= =
belirsizliği
π
0
cos
2
lim
π
x→
2
1− sin x 1+ sin x
1− sin2 x
.
= lim
cos x 1+ sin x x→ π cos x.(1+ sin x )
2
cos2 x
cos x
0
0
= lim
=
= = 0
π
+
+
1
sin
x
1
1
2
cos x (1+ sin x) x→
lim
π
x→
2
2
Cevap: 0
çözüm
kavrama sorusu
lim
x →∞
(
x2 + 1 − x
) limitinin değerini bulunuz.
lim
(
x 2 + 1 − x = ∞ − ∞ belirsizliği vardır.
lim
(
x2 +1 − x .
x→∞
x→∞
lim
x→∞
)
)(
(
1
x
= lim
x + 1 + x x→∞
2
) =lim
x→∞
+1 + x )
x2 +1 + x
2
x 2 + 1− x 2
x2 +1 + x
1
1
= = 0
∞
∞ +1 + ∞
2
Cevap: 0
64
Limit ve Süreklilik
soru 1

lim 
x→2 
soru 5
1
4 
−
 limitinin değeri kaçtır?
x − 2 x2 − 4 
1
A)
8
1
B)
4
1
C)
2
1
D) −
2
 1

lim 
− sec x  limitinin değeri kaçtır?
π  cot x

x→
2
1
E) −
4
A) –∞
soru 2
A)
6
2
x −9
1
18
−
1 
 limitinin değeri kaçtır?
x−3
B)
1
12
C)
1
6
D) −
1
6
lim
x →∞
E) −

lim 
A)
1
10 
−
 limitinin değeri kaçtır?
x − 5 x 2 − 25 
1
20
B)
1
15
C)
1
10
D)
1
5

lim 
A) 0
1 – B
E) ∞
x2 −
A) 1
1
5
C) –1
D) 1
E) ∞
soru 7
lim
soru 4
x→0 
D) 1
x 2 − 1 limitinin değeri kaçtır?
B) –∞
x →∞
E) −
x2 + 1 −
A) 0
1
12
soru 3
x→5 
C) 0
soru 6
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI

lim 
x→3 
B) –1
x 2 + 3 limitinin değeri kaçtır?
B) ∞
C) –∞
D) –1
E) 0
soru 8
1

− cos ecx  limitinin değeri kaçtır?
tan x

B) 1
2 – D
C) 2
lim
x →∞
D) 3
3 – C
x 2 − 25 −
A) –1
E) 4
4 – A
5 – C
65
x 2 + 25 limitinin değeri kaçtır?
B) 0
C) 1
6 – A
D) ∞
7 – E
E) –∞
8 – B
Limit ve Süreklilik
∞ – ∞ belirsizlik türünde, kareköklü ifadelerin limitlerinde, a > 0 olmak üzere
kullanılabilir.
lim
(
x2 − 2 x − x
)
lim
x → ∞
a. x+
b
2a
eşitliği
çözüm
kavrama sorusu
x →∞
+ bx + c
ax 2=
lim
x → ∞
lim
limitinin değerini bulunuz.
x→∞
(
lim
x → ∞
)
x 2 − 2x − x = ∞ − ∞ belirsizliği vardır.
+ bx + c
ax 2=
lim
x → ∞
a. x+
lim
(
lim
( x −1 − x )
lim
(x − 1− x) =−1
( x − 1 − x ) =xlim
→∞
x→∞
x→∞
x→∞
b
eşitliğinden,
2a
)


2
x2 − =
2x − x lim  1. x − − x 
x→∞ 
2

ve x → ∞ olduğundan, |x–1|=x–1
Cevap: –1
çözüm
kavrama sorusu
lim
x →∞
(
x2 − 4 x + 1 −
x2 + 6 x + 2
)
limitinin değerini bu-
lim
x→∞
lunuz.
(
lim
x ®±¥
)
x 2 − 4x + 1 − x 2 + 6x + 2 =
∞ − ∞ belirsizliği vardır.
ax 2 + bx + c = lim
x ®±¥
lim
(
lim
( x −2 − x +3 )
x→∞
x→∞
a. x +
b
eşitsizliğinden
2a
)

4
6 
x 2 − 4x + 1 − x 2 + 6x
=
+2
lim  1. x − − 1. x + 
x→∞ 
2
2 
ve x → ∞ olduğundan,
|x−2|=x−2 ve |x+3|=x+3 tür.
lim (x − 2 − x − 3) =lim − 5 =
−5
x→∞
x→∞
Cevap: –5
çözüm
kavrama sorusu
lim
x ®-¥
(2x + 1+
4x 2 - 24x + 3 ) limitinin değerini bulunuz.
lim (2x + 1+
x ®-¥
4x 2 - 24x + 3 ) = ¥ - ¥ belirsizliği vardır.

24 
lim  2x + 1+ 4 . x −

2.4 
x→−∞ 
=
lim ( 2x + 1+ 2. x − 3
x→−∞
)
x → – ∞ olduğundan, |x–3|=–x+3
lim ( 2x + 1+ 2. ( − x + 3 ) ) = lim (2x + 1− 2x + 6) = 1+ 6 = 7
x→−∞
x→−∞
Cevap: 7
66
Limit ve Süreklilik
soru 1
soru 5
x2 + 6 x − 2 −
lim
x →∞
A) –4
x 2 + 2 x + 5 limitinin değeri kaçtır?
B) –1
C) 0
D) 1
lim
x →−∞
E) 2
A) 13
soru 2
lim
x →∞
(
4 x2 + x + 5 −
B) 11
4 x2 + 5 x + 1
)
limitinin değeri kaç-
lim
x →−∞
C) 0
D) 1
E) 4
(
(
lim 2 x − 3 −
A) –3
4 x − 16 x + 1
B) –1
)
E) –13
)
limitinin değeri kaç-
C) 0
D) 1
(
C) –2
D) 2
E) 4
soru 7
x 2 + mx + 2 −
lim
limitinin değeri kaçtır?
x →−∞
x 2 + 3x +1 = 4
olduğuna göre, m kaçtır?
E) 3
soru 4
B) –8
C) –11
D) –14
E) –17
D) 1
E) 2
soru 8
9 x 2 + 18 x − 1 − 3 x
B) 3
)
limitinin değeri kaçtır?
C) 2
D) 1
lim
x →−∞
(
2 – B
3 – D
)
x 2 + 3x +1+ mx + n =
1
2
olduğuna göre, n kaçtır?
E) 0
A) –2
1 – E
D) –11
x 2 + 10 x + 2
B) –4
A) –5
A) 4
limitinin değeri kaçtır?
C) 0
x2 + 6 x − 3 −
A) –8
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
B) –1
soru 3
lim
)
tır?
A) –4
x →∞
x 2 + 24 x − 1
soru 6
tır?
→∞
( x + 1+
4 – B
5 – D
67
B) –1
C) 0
6 – D
7 – A
8 – E
Limit ve Süreklilik
0.∞ Belirsizliği
lim f(x).g(x)= 0.∞ belirsizliği varsa genellikle ifade lim
x →a
x →a
dönüştürülüp limit hesaplanır.
f(x)
g(x)
0
∞
veya lim
biçiminde yazılarak
veya
belirsizliklerine
1
x →a 1
∞
0
g(x)
f(x)
çözüm
kavrama sorusu
lim ( 3 x + 1).
x →∞
1
limitinin değerini bulunuz.
x+1
lim (3x + 1).
x→∞
(3x + 1).
1
=
∞.0 belirsizliği vardır.
(x + 1)
1
3x + 1
=
(x + 1) x + 1
lim (3x + 1).
x→∞
1
(3x + 1) ∞
belirsizliği,
= lim
=
(x + 1) x→∞ x + 1
∞
0
1

x  3+ 
3x + 1
x = 3= 3

lim
= lim
x →∞ x + 1 x →∞
1 1

x .  1+ 
 x 0
lim ( x 2 + 1).
x →∞
1
2 x3 − 3
Cevap: 3
çözüm
kavrama sorusu
lim (x 2 + 1).
limitinin değerini bulunuz.
x→∞
(x 2 + 1).
1
2x 3 − 3
=
∞.0 belirsizliği vardır.
x2 +1
=
2x − 3 2x 3 − 3
1
3
x2 +1
∞
belirsizliği,
=
2x 3 − 3 ∞
0
1 
2 
x  1+ 2 
x2 +1
 x = lim 1= 1= 0
lim
lim
=
x→∞ 2x 3 − 3 x→∞ 3 
3  x→∞ 2x ∞
x . 2 − 3 
x 

0
lim (x 2 + 1).
x→∞
1
3
2x − 3
= lim
x→∞
Cevap: 0
çözüm
kavrama sorusu
3

lim  x .sin  limitinin değerini bulunuz.
x
lim x.sin
x →∞ 
x →∞
lim
3
= ∞.0 belirsizliği vardır.
x
3
x = 0 belirsizliği,
1
0
x
sin
x →∞
1
= t dönüşümünden x → ∞ ise t → 0
x
lim
t→0
sin 3t
=3
t
Cevap: 3
çözüm
kavrama sorusu
lim 2x.cot 5x = ∞.0 belirsizliği vardır.
lim ( 2 x .cot 5 x ) limitinin değerini bulunuz.
x →0
x→0
1
2x
=
=
2x.cot
5x 2x
tan5x tan5x
lim
x→0
2x
2
=
tan5x 5
Cevap:
68
2
5
Limit ve Süreklilik
soru 1
soru 5
lim ( 2 x + 1).
x →∞
A) –∞
1
limitinin değeri kaçtır?
x
B) –2
C) 1
1

lim  .sin 2 t  limitinin değeri kaçtır?
t

t→0 
D) 2
E) ∞
A) 0
soru 2
1
4 x2 + 3
B)
1
4
C) 1
D) 4
E) ∞
A) 0
lim ( 4 x .cot 5 x ) limitinin değeri kaçtır?
E) 2
B)
1
5
C) 1
D) 5
E) ∞
5
2
E) 10
soru 7
x →∞ 
B)
1
20
C)
4
5
D) 5
E) 20
A)
soru 4
2
5
B) 1
C) 2
D)
soru 8
lim ( 2 x .cot 3 x ) limitinin değeri kaçtır?
π

lim  2 x . tan  limitinin değeri kaçtır?
x
x→0
1 – D
3
2
2
x
lim  .sin  limitinin değeri kaçtır?
5
x
x→0
A) 0
D)
t →∞ 
soru 3
A) 0
C) 1
5

lim  t .sin  limitinin değeri kaçtır?
t 
limitinin değeri kaçtır?
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A) − ∞
1
2
soru 6
lim ( x 2 − 4 ).
x →∞
B)
x →∞ 
B)
2
3
2 – B
C)
3
2
D) 3
3 – C
E) 0
A) 0
4 – B
5 – E
69
B)
π
2
C) π
6 – D
D) 2π
7 – A
E) ∞
8 – D
Limit ve Süreklilik
Süreklilik
A ⊂ R ve f:A → R fonksiyonu verilmiş olsun; f fonksiyonunun x=a noktasında sürekli olması için,

f fonksiyonu x=a da tanımlı olmalıdır yani f(a) değeri olmalıdır.

f fonksiyonu x=a için limiti olmalı yani lim f(a) değeri olmalıdır.

f fonksiyonu x=a noktasındaki limiti f(a) değerine eşit olmalı yani lim f(x) = f(a) olmalıdır.
x →a
x →a
Bu üç koşulun sağlandığı durumda f fonksiyonu x=a noktasında süreklidir.
çözüm
kavrama sorusu
y=f(x) fonksiyonu x=2 de süreklimidir araştırınız.
=
lim f(x) 2=
ve lim f(x) 1
x→2 −
lim f(x) ≠ lim f(x)
x→2 +
olduğundan
lim f(x)
x→−2
x→2 −
x→2 +
değeri yoktur. f fonksiyonu x=2
noktasında sürekli değildir.
Cevap: Sürekli değil
çözüm
kavrama sorusu
lim
=
f(x)
Yukarıda grafiği verilen y=f(x) fonksiyonunun x=2 de sürekli olup olmadığını araştırınız.
x→2 +
lim
=
f(x) 1 olduğundan lim f(x) = 1 dir.
x→2 −
x →2
x=2 noktasında limit değeri olmasına rağmen f(2) tanımsız
olduğundan f fonksiyonu x=2 de süreksizdir.
Cevap: Sürekli değil
çözüm
kavrama sorusu
lim
=
f(x)
Yukarıda grafiği verilen y=f(x) fonksiyonunun x=2 de sürekli olup olmadığını araştırınız.
x→2 +
=
f(x) 1=
ve f(2) 1 dir.
lim
=
f(x) 1 olduğundan lim
x→2 −
x→2
lim f(x) = f(2) olduğundan, f fonksiyonu x=2 noktasında
x→2
süreklidir.
70
Cevap: Süreklidir.
Limit ve Süreklilik
soru 1
soru 3
Aşağıda grafiği verilen fonksiyonlardan hangisi x=1 de
süreklidir?
Aşağıda grafiği verilen fonksiyonlardan hangisi x=2 de
süreklidir?
soru 2
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
soru 4
Aşağıda grafiği verilen fonksiyonlardan hangisi x=0 da
süreklidir?
Aşağıda grafiği verilen fonksiyonlardan hangisi x=–1 de
süreksizdir?
1 – E
3 – D
71
2 – C
4 – A
Limit ve Süreklilik
çözüm
kavrama sorusu
Grafiğe göre,
=
lim f(x) 2=
, lim f(x) 1
x→−2 −
lim f(x) ≠ lim f(x) olduğundan lim f(x) yoktur ve x=−2
x→−2 −
lim
=
f(x) lim
=
f(x) 3 olduğundan lim f(x) = 3
x→1+
x→1−
x →1
f(2) = 1≠ lim f(x) olduğundan x=1 de f süreksizdir.
Yukarıda verilen y=f(x) fonksiyonunun grafiğine göre, f fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaları bulunuz.
x→1
Cevap: –2 ve 1
çözüm
kavrama sorusu
Grafiğe göre, =
lim f(x)
x→−1+
=
lim f(x) 1 ve lim f(x) = 1 dir.
x→−1−
x→−1
f( −1) = 2 ≠ lim f(x) olduğundan f fonksiyonu x=–1 de limiti
x→−1
olduğu halde sürekli değildir.
lim
=
f(x)
x→2 −
Yukarıda grafiği verilen y=f(x) fonksiyonu –1, 0, 1, 2 apsisli noktalarının kaç tanesinde limiti olduğu halde sürekli
değildir bulunuz.
lim
=
f(x) 2 ve lim f(x) = 1 dir.
x→2 +
x→2
f(2) = 1≠ lim f(x) olduğundan f fonksiyonu x=2 de limiti olduğu
x→1
halde sürekli değildir.
Cevap: –1 ve 2
çözüm
kavrama sorusu
lim f(x) ≠ lim f(x) olduğundan lim f(x) yoktur.
x→−2 +
x→−2
x→−2 +
de f süreksizdir.
x→−2 +
x→−2 −
x→−2
f fonksiyonu x=–2 de süreksizdir.
f(1) tanımlı olmadığı için f fonksiyonu x=1 de sürekli değildir.
f fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş aralık R – {–2,1}
Cevap: R – {–2,1}
Yukarıda grafiği verilen y=f(x) fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş aralığı bulunuz.
Uyarı
Grafiklerde görüldüğü gibi fonksiyonun sürekli olduğu noktalarda grafikte herhangi bir kesinti yada sıçrama yoktur.
Elimizi kaldırmadan çizebildiğimiz yerlerde fonksiyon süreklidir.
72
Limit ve Süreklilik
soru 1
soru 4
Yukarıda y=f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
B) –1
C) 0
D) 1
Yukarıda (–8,8) aralığında tanımlı y=f(x) fonksiyonunun grafiği
verilmiştir.
Buna göre, f(x) in limitinin olup, sürekli olmadığı noktanın
apsisi kaçtır?
A) –2
Buna göre, y=f(x) in süreksiz olduğu x değerleri kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
E) 2
A ) { – 6 , 2 , 5 }
B ) { – 6 , – 4 , – 2 }
D) {–4,2,5}
soru 2
C ) { 2 , 5 }
E) {–4,0,2,5}
soru 5
Yukarıda y=f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, f(x) in süreksiz olduğu x değerleri toplamı kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
soru 3
Yukarıda grafiği verilen y=f(x) fonksiyonunun süreksiz olduğu x değerleri kaç tanedir?
A) 1
E) 2
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
soru 6
Yukarıda y=f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Yukarıda y=f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, f(x) in sürekli olduğu en geniş küme aşağıdakilerden hangisidir?
A) {–2,1}
B) ∅
C) R
+
D) R–{–2,1}
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
E) R
A) f(x), x=3 de süreklidir.
B) lim f(x) = 0
C) f(x), x=1 de süreklidir.
D) lim f(x) 0
x→−2
x →1
E) lim f(x) = 0
x →∞
1 – E
2 – B
3 – D
4 – C
73
5 – C
6 – A
Limit ve Süreklilik
Parçalı fonksiyonlarda kritik noktalar fonksiyonun süreksiz olabileceği noktalar olduğundan kritik noktalarda süreklilik incelemesi
yapılmalıdır.
çözüm
kavrama sorusu
f(x) =
3x
,
x>1
3
,
x=1
x+3 ,
x<1
x=1, f fonksiyonu için kritik noktadır.
lim 3x =3.1=3, lim x + 3 =1+ 3 =4 ve f(1)=3
x→1+
lim f(x) ≠ lim f(x) olduğundan lim f(x) yoktur.
−
x→1+
f(x) fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş aralığı bulunuz.
x →1
x→1
x=1 için f(x) süreksizdir. f fonksiyonunun sürekli olduğu en
geniş aralık R–{1}
Cevap: R–{1}
çözüm
kavrama sorusu
f(x) =
x→1−
x+1 ,
x–3
x>1
2x+1,
x≤1
x+1
ve x=3 f in paydasını sıfır yaptığı için tanımx – 3
sız olduğundan f fonksiyonu x=3 de süreksizdir.
x>1 için f(x)=
x=1, f fonksiyonu için kritik noktadır.
f(x) fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaları bulunuz.
lim
x→1+
x 1 2
= =−1, lim 2x + 1=2.1+ 1=3 ve f(1)=2.1+1=3
x − 3 −2
x→1−
lim f(x) ≠ lim f(x) olduğundan lim f(x) yoktur.
−
x→1+
x →1
x→1
x=1 için f(x) süreksizdir.
Cevap: x=1 ve x=3
çözüm
kavrama sorusu
f(x) =
x+1 ,
x–2
x≥3
2x–2,
x<3
x+1
x+1
ve f(2) tanımsızdır ancak x≥3 için
ifax –2
x –2
desi alındığından x, 2 değerini alamayacaktır.
x ≥ 3 için f(x)=
x=3, f fonksiyonu için kritik noktadır.
fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş kümeyi bulunuz.
lim
x→3 +
=
f(3)
x +1 3 +1
=
= 4, lim 2x − 2= 2.3 − 2= 4
x −2 3−2
x→3 −
3 +1
= 4
3−2
lim
=
f(x)
x→3 +
lim
=
f(x) f(3) olduğundan, x=3 için f fonksiyonu
x→3 −
süreklidir. f fonksiyonu tüm reel sayılar için süreklidir.
Cevap: R
çözüm
kavrama sorusu
ax+6 ,
f(x) =
4
f(x), x=2 için sürekli ise
x>2
,
x=2
bx–a ,
x<2
lim
=
f(x)
x→2 +
lim
=
f(x) f(2) olmalıdır.
x→2 −
lim ax + 6 = 2a + 6 ,
x→2 +
fonksiyonu x=2 de sürekli olduğuna göre, b kaçtır, bulunuz.
lim bx − a = 2b − a , f(2) = 4
x→2 −
2a+6=4 ise a=–1
2b+1=4 ise b=
74
3
2
Cevap:
3
2
Limit ve Süreklilik
soru 1
soru 5
2x+1 ,
3x – 1 ,
3x
x+5
x>0
f(x) =
f(x) =
x≤0
2
x
2
x +3x+2
,
x≥2
,
x<2
fonksiyonunun süreksiz olduğu x değeri kaçtır?
A) –2
1
B) – 2
1
C) – 3
D) 0
fonksiyonunun süreksiz olduğu x değerleri kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
E) 1
A) {–4,–2,–1}
B) {–5,–2,–1,2}
D) {–2,–1,2}
soru 2
2x–1 ,
x+1
3x ,
x – 2
ax+b ,
x≥0
f(x) =
x<0
fonksiyonunun süreksiz olduğu x değeri aşağıdakilerden
hangisidir?
C) 1
2
D ) 1
E ) 2
f(x) =
x+1
x – 2
,
x<3
x+1 ,
x≥3
C ) 2
D ) 3
x>1
,
x=1
2ax – b ,
x<1
B ) – 1
C ) 0
D ) 1
E ) 2
soru 7
sin3x ,
x
x>0
,
x≤0
k
fonksiyonu tüm reel sayılar için sürekli olduğuna göre, k
kaçtır?
E ) 4
A ) 0
soru 4
B ) 1
C ) 2
D ) 3
E ) 4
soru 8
f(x) =
x ,
2 x – 9
3 ,
2 x – 1
2 x≥2
f(x) =
x<2
fonksiyonunun süreksiz olduğu x değerleri kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A ) { – 3 , – 1 , 1 , 3 }
B ) { – 1 , 3 }
D) {–3,–1,1}
1 – D
A ) – 2
f(x) =
fonksiyonunun süreksiz olduğu x değeri kaçtır?
B ) 0
3
fonksiyonu tüm reel sayılar için sürekli olduğuna göre, a
kaçtır?
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
B ) 0
soru 3
A ) – 1
E) {–5,–1,–2}
soru 6
f(x) =
A ) – 1
C) {–2,–1}
2 – B
x – 1 ,
x – 1
x>1
kx+3 ,
x≤1
fonksiyonu tüm reel sayılar için sürekli olduğuna göre, k
kaçtır?
A) –3
C ) { – 1 , 1 , 3 }
B) –2
C) –1
D) 0
E) 1
E) {–1,1,2,3}
3 – C
4 – E
5 – D
75
6 – E
7 – D
8 – C
Limit ve Süreklilik
Parçalı fonksiyon dışında, fonksiyonlar tanımlı oldukları kümede süreklidir. Örneğin, polinom fonksiyonlar tüm reel sayılar için,
rasyonel fonksiyonlar ise paydayı sıfır yapan değerler haricinde tanımlıdır.
çözüm
kavrama sorusu
2
f(x)=x +3
Polinom fonksiyonlar tüm gerçel sayılar için tanımlı ve süreklidir. Dolayısıyla cevap R
Cevap: R
fonksiyonun sürekli olduğu en geniş kümeyi bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
2
f(x) =
f(x) fonksiyonunun tanımsız olduğu değerler, paydayı sıfır ya-
x +1
2 x – 4
pan değerlerdir.
fonksiyonunun süreksiz olduğu x değerlerini bulunuz.
2 x – 4=0 denkleminden x=2 ve x=–2
Süreksiz olduğu noktalardır.
Cevap: {– 2,2}
çözüm
kavrama sorusu
f(x) =
Rasyonel bir fonksiyonun paydasını sıfır yapan değerler fonksiyonu süreksiz yapan değerlerdir. Tüm reel sayılar için sürek2
li olduğuna göre x +mx+4=0 denkleminin çözüm kümesi
boş kümedir.
2
2
Bu nedenle D<0 yani Δ=m – 4.1.4<0 ⇒ m –16<0 olmalıdır.
x+1
2
x +mx+4
fonksiyonunun tüm reel sayılarda sürekli olduğuna göre
m nin alabileceği değerler kümesini bulunuz.
m
2
m –16
–4
+
4
–
+
Cevap: (– 4,4)
Hatırlatma
n
l
l
g(x) fonksiyonu
n çift iken g(x) ≥ 0 için tanımlıdır.
n tek iken g(x) fonksiyonunun tanımlı olduğu noktalarda tanımlıdır.
çözüm
kavrama sorusu
f(x) = 16–x
2
f(x) fonksiyonunun tanımlı olduğu değerler 16–x ≥0 eşitsizliği2
nin çözüm kümesidir. 16 – x =(4 – x)(4+x)≥0
2
fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş kümeyi bulunuz.
x
–4
2
16–x
–
4
+
–
Cevap: [–4,4]
76
Limit ve Süreklilik
soru 1
soru 5
2
2
f(x)=x – x+1
fonksiyonunu sürekli olduğu en geniş küme aşağıdakilerden hangisidir?
A) {–1,1}
B) [–1,1]
C) R – {–1,1}
D) R – {1}
E) R
A ) – 4
2
f(x)=x +2+
B ) – 1
C ) 0
D ) 1
E ) 2
soru 3
f(x) =
x +1
2
x –6x+8
E ) 4
C) [2,4]
D) R–{2,4}
x+3
2
x +mx+4
B ) – 2
C ) 0
D ) 2
E ) 4
f(x)
=
3
x−3
fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş küme aşağıdakilerden hangisidir?
A) R
E) R–[2,4]
soru 4
f(x)=
D ) 2
soru 7
fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş küme aşağıdakilerden hangisidir?
B) R
f(x)=
A ) – 4
2
C ) 0
fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş küme R – {2} olduğuna göre, m aşağıdakilerden hangisidir?
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A ) – 2
A) {2,4}
B ) – 2
soru 6
1
x
fonksiyonunun süreksiz olduğu x değeri kaçtır?
x +9
2 mx – 4x+2
fonksiyonu tüm reel sayılar için sürekli olduğuna göre, m
aşağıdakilerden hangisini olabilir?
soru 2
f(x)=
B) (3,∞)
C) [3,∞)
D) (– ∞,3)
E) (– ∞,3]
soru 8
x+1
2 x – 25
f(x)
=
x−3
fonksiyonunu süreksiz yapan x değerleri aşağıdakilerden
hangisidir?
fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş küme aşağıdakilerden hangisidir?
A) {–1,5}
A) R
1 – E
B) {5}
2 – C
C) {–5,5}
D) {1,5}
3 – D
E) {–1}
4 – C
5 – E
77
B) (3,∞)
C) [3,∞)
6 – A
D) (– ∞,3)
7 – A
E) (– ∞,3]
8 – C
Limit ve Süreklilik
çözüm
kavrama sorusu
f(x) =
3
Kök derecesi tek sayı olduğundan sadece rasyonel fonksiyonun paydasını sıfır yapan değerler fonksiyonu süreksiz yapan
değerlerdir.
x – 3=0 ⇒ x=3 süreksiz olduğu noktadır.
Cevap: R – {3}
x+1
x–3
fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş kümeyi bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
f(x)=
f(x) fonksiyonunun tanımlı olduğu değerler 3–|x|≥0 eşitsizliğinin çözüm kümesidir.
3 –|x|≥0
3≥|x|
3 ≥ x ≥ – 3
Cevap: [– 3,3]
3− x
fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş kümeyi bulunuz.
Hatırlatma
f(x)=logg(x) h(x) fonksiyonu h(x) > 0, g(x) > 0 ve g(x) ≠ 1 için tanımlıdır.
çözüm
kavrama sorusu
f(x)=logx(20 – x)
Logaritma fonksiyonun tanımlı olduğu değerler
20–x>0, x>0 ve x≠1 koşulunu sağlayan sayılardır.
fonksiyonun sürekli olduğu en geniş kümeyi bulunuz.
Cevap: (0,20) – {1}
çözüm
kavrama sorusu
Taban 2 olduğu için,
x+20
> 0 eşitsizliğini sağlayan x değerleri için f(x) süreklidir.
10 – x
 x + 20 
f(x) = log2 

 10 − x 
fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş kümeyi bulunuz.
x
f(x)
– ∞
–
– 20
+
10
+ ∞
–
Cevap: (– 20,10)
78
Limit ve Süreklilik
soru 1
soru 5
x+3
10–x
f(x) =
fonksiyonunu sürekli yapan x tam sayı değerleri kaç tanedir?
fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş küme aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–∞,10)
B) [–3,10]
C) (–3,10)
D) [–3,10)
A) 9
E) (10,∞)
soru 2
f(x) =
B) 10
5
B ) 1
C ) 2
D ) 3
E) 13
f(x)
=
A) (–∞,2)
C ) 5
D ) 6
C) (–2,2)
D) (–2,∞)
E) (2,∞)
3
f(x)=logx (64–x )
fonksiyonunu sürekli yapan x tam sayı değerleri toplamı
kaçtır?
fonksiyonunu süreksiz yapan x tamsayıları kaç tanedir?
B ) 4
B) (0,2)
soru 7
x −3
A ) 3
f(x)=log3 (4–x )
fonksiyonun sürekli olduğu en geniş küme aşağıdakilerden hangisidir?
E ) 4
soru 3
E ) 7
A ) 1
soru 4
f(x) =
D) 12
2
x+1
4
81–x
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A ) 0
C) 11
soru 6
fonksiyonunu süreksiz yapan x reel sayı değerleri kaç tanedir?
f(x) = 4–|x+2|
B ) 3
C ) 5
D ) 6
E ) 7
soru 8
5
4− x+3
f(x)
= log(x − 4) + 6 10 − x
fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş küme aşağıdakilerden hangisidir?
fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş küme aşağıdakilerden hangisidir?
A) [–7,1]
A) (4,10]
1 – D
B) [4,∞)
2 – C
C) (– ∞,1]
3 – C
D) (– ∞,–7]
E) R
4 – E
5 – A
79
B) (4,10)
6 – C
C) (4, ∞)
D) [10,∞)
7 – C
E) (4,∞)
8 – A