ZAMAN SKALASINDA İKİNCİ MERTEBE LİNEER OLMAYAN SINIR

EGE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
( YÜKSEK LİSANS TEZİ )
ZAMAN SKALASINDA İKİNCİ MERTEBE
LİNEER OLMAYAN SINIR DEĞER PROBLEMİNİN
POZİTİF ÇÖZÜMLERİ
Fulya YÖRÜK
Matematik Anabilim Dalı
Bilim Dalı Kodu:
403. 03. 01
Tezin Sunulduğu Tarih : 01. 08. 2008
Tez Danışmanı : Yrd. Doç. Dr. Nüket AYKUT HAMAL
Bornova-İZMİR
III
Fulya YÖRÜK tarafından YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak sunulan
“Zaman
Skalasında
İkinci
Mertebe
Lineer
Olmayan
Sınır
Değer
Probleminin Pozitif Çözümleri” başlıklı bu çalışma E.Ü. Lisansüstü Eğitim ve
Öğretim Yönetmeliği ile E.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Eğitim ve Öğretim
Yönergesi’nin
ilgili
hükümleri
uyarınca
tarafımızdan
değerlendirilerek
savunmaya değer bulunmuş ve 01/08/2008 tarihinde yapılan tez savunma
sınavında aday oybirliği/oyçokluğu ile başarılı bulunmuştur.
Jüri Üyeleri:
İmza
Jüri Başkan :Yrd. Doç. Dr. Nüket AYKUT HAMAL
Raportör Üye: Doç. Dr. İlkay KARACA
Üye
: Yrd. Doç. Dr. Can Murat DİKMEN
V
ÖZET
ZAMAN SKALASINDA İKİNCİ MERTEBE LİNEER OLMAYAN
SINIR DEĞER PROBLEMİNİN POZİTİF ÇÖZÜMLERİ
YÖRÜK, Fulya
Yüksek Lisans Tezi, Matematik Bölümü
Tez Yöneticisi: Yrd. Doç. Dr. Nüket AYKUT HAMAL
Ağustos 2008, 73 sayfa
Giriş bölümü dışında bu tez esas olarak üç bölümden oluşmaktadır.
2. Bölümde; zaman skalası ile ilgili temel tanım ve teoremler verilmiştir.
3. Bölümde; ilk önce lineer homojen dinamik denklemleri için çözümün
varlığı ve tekliği teoremi yardımı ile ikinci mertebe homojen olmayan dinamik
denkleminin genel çözümü için formül elde edilmiş daha sonra lineer sınır değer
probleminin Green fonksiyonu yapılmıştır. Ayrıca Green fonksiyonu için alttan
ve üstten eşitsizlikler elde edilmiştir.
4. Bölümde; ikinci mertebe lineer olmayan dinamik denklemler için sınır
değer probleminin iki ve üç pozitif çözümünün varlığı için yeter koşullar
verilmiştir. Bu amaçla Green fonksiyonu kullanılarak lineer olmayan sınır değer
problemi operatör denkleme indirgenmiş ve operatör denkleminin çözümünün
varlığı içinde Krasnosel’ skii ve Leggett-Williams sabit nokta teoremleri
uygulanmıştır.
Anahtar sözcükler: Zaman skalası, m-nokta sınır değer problemi, pozitif
çözümler, dinamik denklemler, konilerde sabit nokta teoremleri.
VII
ABSTRACT
POSİTİVE SOLUTİONS OF SECOND ORDER NONLİNEAR
BOUNDARY VALUE PROBLEM ON TIME SCALES
YÖRÜK, Fulya
MSc. Thesis, Department of Mathematics
Supervisor: Yrd. Doç. Dr. Nüket AYKUT HAMAL
August 2008, 73 pages
Without the introduction, the thesis consists essentially of three chapters.
In Chapter 2 basic definitions and theorems are given on time scales.
In Chapter 3 firstly a formula for the general solution of the
nonhomogenous dynamic equation is obtained with the existence and uniqueness
theorem for linear homogenous second order dynamic equations. Then the
Green’s function of the linear boundary value problem is constructed. Moreover,
lower and upper inequalities for the Green’s function are obtained.
In Chapter 4 sufficient conditions for existence of two and three positive
solution of the boundary value problem for second order nonlinear dynamic
equations are established. For this purpose by using the Green’s function the
nonlinear boundary value problem is reduced to an operator equation and for the
existence of the solution of the operator equation, the Krasnosel’ skii and
Leggett-Williams fixed point theorems are applied.
Keywords: Time scale, m-point boundary value problem, positive
solutions, dynamic equations, fixed point theorems in cones.
IX
TEŞEKKÜR
Yüksek lisans çalışmam boyunca benden yardımlarını, desteğini, sabrını
ve bilgisini esirgemeyen, üzerimde çok emeği bulunan değerli hocam Yrd. Doç.
Dr. Nüket AYKUT HAMAL’a teşekkür ederim.
Bu çalışmam süresince benden yakın ilgisini esirgemeyen, özellikle zaman
skalası teorisi ile ilgili bana çok şey kazandıran hocam Doç. Dr. İlkay KARACA’
ya ve tüm hocalarıma teşekkür ederim.
Bir yıldır bana burs veren TUBİTAK Bilim Adamı Yetiştirme Grubu’na
teşekkürü bir borç bilirim.
Beni daima destekleyen babam Mehmet YÖRÜK, annem Serpil YÖRÜK
ve ağabeyim Fatih YÖRÜK’ e sonsuz teşekkürler.
XI
İÇİNDEKİLER
Sayfa No
ÖZET ......................................................................................................... V
ABSTRACT ............................................................................................VII
TEŞEKKÜR .............................................................................................IX
SİMGELER ve KISALTMALAR DİZİNİ ............................................ XIII
1. GİRİŞ ...................................................................................................... 1
2. ZAMAN SKALASI İLE İLGİLİ
TEMEL BİLGİLER ............................................................................... 4
2.1 Zaman Skalasında Türev .................................................................. 7
2.2 Zaman Skalasında İntegral ............................................................. 16
3. ZAMAN SKALASINDA LİNEER DİNAMİK DENKLEMLERİ
VE GREEN FONKSİYONU ............................................................... 26
3.1 İkinci Mertebe Homojen Dinamik Denklemi................................ 26
3.2 İkinci Mertebe Homojen Olmayan Sınır Değer Problemi ............ 27
3.3 İkinci Mertebe Lineer Sınır Değer Probleminin Green
Fonksiyonu ................................................................................... 32
4. ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN SINIR DEĞER
PROBLEMİNİN POZİTİF ÇÖZÜMLERİ .......................................... 47
4.1 Operatörler ve Koni Kavramı ....................................................... 47
4.2 Zaman Skalasında Lineer Olmayan Sınır Değer Problemi ve
A Operatörü ................................................................................. 50
4.3 İki Pozitif Çözümün Varlığı ........................................................ 55
4.4 Üç Pozitif Çözümün Varlığı ........................................................ 63
XII
İÇİNDEKİLER (Devamı)
Sayfa No
5. SONUÇ ................................................................................................ 69
KAYNAKLAR DİZİNİ ........................................................................... 70
ÖZGEÇMİŞ .............................................................................................. 73
XIII
SİMGELER ve KISALTMALAR DİZİNİ
Simgeler
Açıklamalar





Reel sayılar
Tamsayılar
Doğal Sayılar
0
Negatif olmayan tamsayılar
Zaman skalası

İleri atlama operatörü

Geri atlama operatörü

Graininess fonksiyonu
f
f fonksiyonunun  -türevi
f
f fonksiyonunun türevi
f
f fonksiyonunun ileri fark operatörü
f
f fonksiyonunun  - türevi
f
f fonksiyonunun geri fark operatörü
Crd
Sağ yoğun sürekli fonksiyonlar kümesi
Cld
Sol yoğun sürekli fonksiyonlar kümesi
C[ a , b ]
[a, b] aralığındaki reel değerli sürekli fonksiyonlar kümesi
G (t , s )
Green fonksiyonu
y
y fonksiyonunun normu
1
1. GİRİŞ
İkinci mertebe lineer diferansiyel denklemler için m-nokta sınır değer
problemleri çalışması ilk olarak I1’in ve Moiseev [6, 7] tarafından yapılmıştır.
Daha sonra bir çok matematikçi koni teorisi tekniğini kullanarak diferansiyel ve
dinamik denklemler için m-nokta sınır değer problemlerini çalışmışlardır. [5, 9,
10, 11, 15, 16, 17, 18, 19].
Zaman skalası üzerindeki dinamik denklemler ile ilgili genel bilgiler
Aulbach ve Hilger (1990) ve Hilger de (1990) yer almaktadır. Daha geniş bilgi
için Bohner ve Peterson (2001), (2003) kitapları incelenebilir.
Webb [12] (2001) makalesinde
u   g (t ) f (u )  0,
0  t 1
u (0)  0, u ( )  u (1), 0    1,   1
(1.1)
üç nokta sınır değer problemini incelemiştir. Bu sınır değer probleminin Green
fonsiyonunu bularak, c  (0,1] sayısı ve [a, b]  (0,1] alt aralığı olmak üzere
G (t , s )   ( s ), t , s  [0,1]
(1.2)
c ( s )  G (t , s ), t  [a, b], s  [0,1]
(1.3)
eşitsizliğini sağlayan  : [0,1]   sürekli fonksiyonunu oluşturmuştur.
2
Daha sonra Infante ve Webb [20] (2002) makalelerinde benzer metot ile
u   f (t , u (t ))  0,
0  t 1
u (0)  0, u ( )  u (1), 0    1,   1  
üç nokta sınır değer probleminin Green fonksiyonu için (1.2), (1.3) koşullarına
benzer koşullar elde etmişlerdir.
Y. Guo, J. Qiu, X. Liu [17] (2004) makalesinde
u  f (t , u )  0,
u (0)  0, u (1) 
0  t 1
(1.4)
m2
 ki u ( i )
i 1
m-nokta sınır değer probleminin en az üç pozitif çözümünün varlığını
göstermişlerdir.
Bu tezde zaman skalasında [0,1]   olmak üzere (1.4) probleminden
daha genel olan
u  (t )  f (t , u (t ))  0,
 u (0)   u (0)  0,

t  [0,1]  
m 2
u (1)    i u ( i )
i 1
3

0   1   2     m 2   (1) ve i  1,2,..., m  2 için  i  (0, ) olmak
m2
üzere
  i  0,1,
i 1

 ,   0 ve 0      1
ikinci mertebe lineer olmayan m-nokta sınır değer problemi göz önüne alınarak
Webb ve Infante’ nin uyguladıkları metod ile m-nokta sınır değer probleminin
Green fonksiyonu için alt ve üst sınırlar elde edilerek en az iki ve üç pozitif
çözümün varlığı Krasnosel’skii ve Leggett-Williams sabit nokta teoremleri
kullanılarak gösterilmiştir.
4
2. ZAMAN SKALASINDA ANALİZ
Bu bölümde zaman skalası ile ilgili temel bilgiler verilmiştir. f :   
fonksiyonları için zaman skalasında delta ve nabla türevleri açıklanarak bu
türevler ile ilgili temel tanımlar ve örnekler ele alınmıştır. Ayrıca zaman
skalasında delta ve nabla integral kavramına yer verilerek delta ve nabla
integrallerin özellikleri incelenmiştir. Zaman skalasında türev ve integral
kavramları ile ilgili kaynaklar [1, 2, 3, 8, 22] referanslarında bulunabilir.
Tanım 2.1 Reel sayıların boş olmayan kapalı alt kümesine zaman skalası denir ve
 ile gösterilir. Örneğin reel sayılar, tamsayılar, doğal sayılar, Cantor kümesi,
0,2  4,5 aralığı birer zaman skalasıdır. Fakat, rasyonel sayılar, irrasyonel
sayılar, kompleks sayılar ve (0,1) aralığı birer zaman skalası değildir.

Tanım 2.2
olarak
 bir zaman skalası olsun.
Her t ∈ , t < max  için  (t )  inf s   : s  t
tanımlanan  :  →  operatörüne ileriye atlama
(forward jump)
operatörü denir.
Her t ∈ , t  min  için  (t )  sup  s : s ∈ , s  t
olarak tanımlanan ρ :  →  operatörüne geriye atlama (backward jump)
operatörü denir.
Her t ∈ için  (t )   (t )  t ile tanımlanan  :   [0, ) fonksiyonuna
ileriye (forward) graininess fonksiyonu adı verilir.
5
Her t ∈ için  (t )  t   (t ) ile tanımlanan  :   [0, ) fonksiyonuna
geriye (backward) graininess fonksiyonu adı verilir.
Ayrıca,  (max )  max  ve  (min )  min  ile tanımlanır.

reel
sayıların kapalı bir alt kümesi olduğundan her t ∈ için σ (t ) ∈ ve ρ(t ) ∈
olur.
 (t )  t ise t ∈ ye sağ yayılmış (right scattered) nokta ve  (t )  t ise sol
yayılmış (left scattered) nokta adı verilir. Eğer  (t )  t   (t ) ise, yani t ∈ hem
sağ hem de sol yayılmış ise bu noktaya ayrık (isolated) nokta denir.
 (t )  t ise t ∈ ye sağ yoğun (right dense) nokta ve  (t )  t ise sol yoğun
(left dense) nokta adı verilir. Eğer  (t )  t   (t ) ise, yani t ∈ aynı zamanda
sağ ve sol yoğun ise bu noktaya yoğun (dense) nokta denir.
Örnek 2.1 Eğer
=  ise  (t )  t ,  (t )  t bulunur. Böylece her
t ∈ yoğun
noktadır. Ayrıca bu durumda her t ∈ için  (t )   (t )  0 olur.
Eğer
 =  ise  (t )  t  1,  (t )  t  1 elde edilir. O halde, her t  
noktası ayrık noktadır. Bu durumda ise her t   için  (t )   (t )  1 ’dir.
Tanım 2.3

herhangi bir zaman skalası olsun ve a,b ∈ , a  b verilsin. Bu
 zaman skalasına ait a, b aralığı,
a, b  {t ∈ : a  t  b}
ile tanımlanır.
6
Tanım 2.4 Diferansiyellenebilirlik bölgesi, eğer
ye sahip ise
 sol yayılmış maksimum
M
k   {M } ile tanımlanır, aksi halde k =  olur.
Tanım 2.5 Diferansiyellenebilirlik bölgesi, eğer
 sağ yayılmış minimum
ye sahip ise k    {m} ile tanımlanır, aksi halde k   olur.
m
Tanım 2.6 f :    bir fonksiyon olsun. f  :    fonksiyonu, t  
için
f  (t )  f ( (t ))  f   (t )
ve
f  :    fonksiyonu, t   için
f  (t )  f (  (t ))  f   (t )
ile tanımlanır. Yani f   f   ve f

 f   olur.
Tanım 2.7 U ⊂ olsun. Her   0 için
U  (t )  {s ∈ : s - t   }
ile tanımlanan U  (t ) kümesine t nin  komşuluğu denir.
Tanım 2.8 t 0 ∈ olsun. Verilen her   0 ve her t  U (t 0 ) için,
f (t )  f (t 0 )  
olacak şekilde bir U (t 0 ) komşuluğu var ise, bu halde f :  →  fonksiyonuna
t  t 0 noktasında süreklidir denir.
7
2.1 Zaman Skalasında Türev
Tanım 2.1.1 f :  →  bir fonksiyon ve t  k noktası olsun. Herhangi bir
  0 için t noktasının
f ( (t ))  f ( s )  f  (t ) (  (t )  s )    (t )  s
,
sU
olacak şekilde bir U komşuluğu varsa, (yani  >0 için U= (t   , t     ise)
bu özelliği sağlayan sonlu f  (t ) reel sayısına f fonksiyonunun t noktasındaki
delta (Hilger) türevi denir.
Üstelik her t  k
fonksiyonuna
k
için
f  (t ) sayısı mevcut ise, bu halde
f
üzerinde delta türevlenebilir denir.
Diğer bir deyişle,
f  (t )  lim
s t
f (σ (t ))  f ( s )
σ (t )  s
ile tanımlanabilir.
Tanım 2.1.2 f :  →  bir fonksiyon ve t  k noktası olsun. Herhangi bir
  0 için t noktasının
f (  (t ))  f ( s )  f  (t ) (  (t )  s )    (t )  s
,
sU
olacak şekilde bir U komşuluğu varsa bu özelliği sağlayan sonlu f  (t ) reel
sayısına f fonksiyonunun t noktasındaki nabla türevi denir.
8
Üstelik her t k noktası için f  (t ) sayısı mevcut ise, bu halde f
fonksiyonuna
k
üzerinde nabla türevlenebilir denir.
Diğer bir deyişle,
f  (t )  lim
s t
f (  (t ))  f ( s )
 (t )  s
ile tanımlanabilir.
Örnek 2.1.1
 herhangi bir zaman skalası olsun. f :  →  fonksiyonunu
   sabit olmak üzere her t  için f (t )   şeklinde tanımlayalım. Bu
durumda herhangi bir   0 için
f ( (t ))  f ( s )  0(  (t )  s )      0    (t )  s ,
s 
eşitsizliği sağlandığından f  (t )  0 olur. Benzer şekilde f  (t )  0 elde edilir.
Örnek 2.1.2 f :  →  fonksiyonu her t  için
f (t )  t ile verilsin. Bu
taktirde herhangi bir   0 için
f ( (t ))  f ( s )  1(  (t )  s )   (t )  s  ( (t )  s )  0    (t )  s ,
 s   için gerçeklendiğinden f  (t )  1 olur. Benzer şekilde f  (t )  1 elde
edilir.
Örnek 2.1.3

herhangi bir zaman skalası olsun. f :  →  fonksiyonu her
t  için f (t )  t 3 ile tanımlansın.
9
f  (t )  lim
s t
f ( (t ))  f ( s )
( (t ))3  s 3
 lim
 ( (t )) 2   (t ) t  t 2
s t
 (t )  s
 (t )  s
 3t 2 ,  



  3t 2  3t  1 ,   

 2
 2t  t 2  1  1   { n : n  }  {0}
elde edilir. Benzer şekilde,
f (  (t ))  f ( s )
(  (t ))3  s 3
f (t )  lim
 lim
 (  (t )) 2   (t ) t  t 2
s t
s t
 (t )  s
 (t )  s

 3t 2 ,  



  3t 2  3t  1 ,   

 2
 2t  t 2  1  1   { n : n  }  {0}
bulunur.
Teorem 2.1.1 Kabul edelim ki f :    fonksiyon ve t  k olsun.
i) f fonksiyonu t de  - türevlenebilir ise, f fonksiyonu t de süreklidir.
ii) Eğer f fonksiyonu t noktasında sürekli ve t sağ yayılmış ise, f
fonksiyonu t noktasında
10
f  (t ) 
f ( (t ))  f (t )
 (t )
türevi ile  - türevlenebilirdir.
iii) Eğer t sağ yoğun nokta ise, bu halde f fonksiyonunun t noktasında
 - türevlenebilir olması için gerek ve yeter şart
lim
s t
f (t )  f ( s )
t s
limit değerinin sonlu bir sayı olmasıdır. Bu durumda
f  (t )  lim
s t
f (t )  f ( s )
ts
olur.
iv) f fonksiyonu t de  - türevlenebilir ise, bu halde
f (  (t ))  f (t )   (t ) f  (t )
eşitliği doğrudur.
Teorem 2.1.2 Kabul edelim ki f :    fonksiyon ve t  k olsun.
i) f fonksiyonu t de  - türevlenebilir ise, f fonksiyonu t de süreklidir.
ii) Eğer f fonksiyonu t noktasında sürekli ve t sol yayılmış ise, f
fonksiyonu t noktasında
f  (t ) 
f (t )  f (  (t ))
 (t )
11
türevi ile  - türevlenebilirdir.
iii) Eğer t sol yoğun nokta ise, bu halde f fonksiyonunun t noktasında
 - türevlenebilir olması için gerek ve yeter şart
lim
s t
f (t )  f ( s )
t s
limit değerinin sonlu bir sayı olmasıdır. Bu durumda
f  (t )  lim
s t
f (t )  f ( s )
ts
olur.
iv) f fonksiyonu t de  - türevlenebilir ise, bu halde
f (  (t ))  f (t )  (t ) f  (t )
eşitliği doğrudur.
Örnek 2.1.4
   ve    durumlarını ele alalım.
   ise t   sağ yoğun olduğundan Teorem 2.1.1 (iii) şıkkı
sağlanır. f :  →  fonksiyonunun t   de  - türevlenebilir olması için gerek
i) Eğer
ve yeter şart
f (t )  lim
s t
f (t )  f ( s )
ts
limitinin var olmasıdır.
Eğer f (t ) türev değeri var ise f , t de türevlenebilirdir. (Bu türev bildiğimiz
alışılmış türevdir. ) Böylece Teorem 2.1.1 (iii) şıkkından
12
f  (t )  lim
st
f (t )  f ( s )
 f (t )
t s
elde edilir.
   iken t   sol yoğun olduğundan Teorem 2.1.2
(iii) şıkkı sağlanır. f :  →  fonksiyonunun t   de  - türevlenebilir olması
Benzer şekilde
için gerek ve yeter şart
f (t )  lim
s t
f (t )  f ( s )
ts
limitinin var olmasıdır.
O halde Teorem 2.1.2 (iii) şıkkından
f  (t )  lim
s t
f (t )  f ( s )
 f (t )
t s
bulunur.
   ise t   sağ yayılmış olduğundan Teorem 2.1.1 (ii) şıkkı
sağlanır. Yani f :    fonksiyonu t   de
ii) Eğer
f  (t ) 
f ( (t ))  f (t )
f (t  1)  f (t )

 f (t  1)  f (t )   f (t )
 (t )
1
türevi ile  - türevlenebilirdir. Buradaki  , fark denklemlerinde kullanılan ileri
fark operatörüdür.
Benzer şekilde t   sol yayılmış olduğundan Teorem 2.1.2 (ii) şıkkı
sağlanır. Yani f :    fonksiyonu t   de
f  (t ) 
f (t )  f (  (t ))
f (t )  f (t  1)

 f (t )  f (t  1)   f (t )
 (t )
1
13
türevi ile  - türevlenebilirdir. Buradaki  , fark denklemlerinde kullanılan geri
fark operatörüdür.
Teorem 2.1.3 Kabul edelim ki f , g :    fonksiyonları t  k noktasında  türevlenebilir olsun. O zaman,
i) f  g :    fonksiyonu da t  k noktasında  - türevlenebilirdir ve
( f  g )  (t )  f  (t )  g  (t )
eşitliği doğrudur.
ii) Herhangi bir  sabiti için  f fonksiyonu da t  k noktasında  türevlenebilirdir ve  f fonksiyonunun  - türevi
( f )  (t )   f  (t )
ile verilir.
iii) f g :    fonksiyonu da t  k noktasında  - türevlenebilirdir ve
f g nin  - türevi
( f g )  (t )  f  (t ) g (t )  f ( (t )) g  (t )  f (t ) g  (t )  f  (t ) g ( (t ))
şeklindedir.
14
iv) Eğer g (t ) g ( (t ))  0 ise, bu halde
f
fonksiyonu da t  k noktasında
g

 f 
f  (t ) g (t )  f (t ) g  (t )
  (t ) 
g (t ) g ( (t ))
 g 
ile  - türevlenebilirdir.
Teorem 2.1.4 Kabul edelim ki f , g :    fonksiyonları t  k noktasında
 - türevlenebilir olsun. O zaman,
i) f  g :    fonksiyonu da t  k noktasında  - türevlenebilirdir ve
( f  g )  (t )  f  (t )  g  (t )
eşitliği doğrudur.
ii) Herhangi bir  sabiti için  f fonksiyonu da t  k noktasında  türevlenebilirdir ve  f fonksiyonunun  - türevi
( f )  (t )   f  (t )
ile verilir.
iii) f g :    fonksiyonu da t  k noktasında  - türevlenebilirdir ve
f g nin  - türevi
( f g )  (t )  f  (t ) g (t )  f (  (t )) g  (t )  f (t ) g  (t )  f  (t ) g (  (t ))
şeklindedir.
15
iv) Eğer g (t ) g ( (t ))  0 ise
f
fonksiyonu da t  k noktasında
g

 f 
f  (t ) g (t )  f (t ) g  (t )
  (t ) 
g (t ) g (  (t ))
 g 
ile  - türevlenebilirdir.
Zaman skalası olarak h  0 için
Örnek 2.1.5
t   için  
  h  hz : z  }

 (t )  inf s   : s  t  inf t  nh : n    t  h ,
 (t )  sups   : s  t  supt  nh : n    t  h ,
 (t )   (t )  t  h ve  (t )  t   (t )  h
elde edilir. f :    fonksiyonu t   için
f  (t ) 
f ( (t ))  f (t ) f (t  h)  f (t )

 (t )
h
ve benzer şekilde
f  (t ) 
f (t )  f (  (t )) f (t )  f (t  h)

 (t )
h
türevlerine sahiptir.
alalım.
16
2.2 Zaman Skalasında İntegral
Tanım 2.2.1 Eğer f :    fonksiyonunun

deki sağ yoğun noktalarda
sağdan limiti ve sol yoğun noktalarda soldan limiti varsa bu fonksiyona düzenli
fonksiyon denir.
Tanım 2.2.2 Eğer f :    fonksiyonunun

deki sağ yoğun noktalarda
sürekli ve sol yoğun noktalarda soldan limiti varsa bu fonksiyona sağ yoğun
sürekli veya rd-sürekli denir.
Tanım 2.2.3 f :    rd-sürekli fonksiyonların kümesi
C rd  C rd ()  C rd (, )
ile gösterilir.
Tanım 2.2.4 f :    fonksiyonu türevlenebilir ve türevi rd-sürekli ise
C 1rd  C 1rd ()  C 1rd (, )
ile gösterilir.
Tanım 2.2.5 Eğer f :    fonksiyonunun
 deki sol yoğun noktalarda sürekli
ve sağ yoğun noktalarda sağdan limiti varsa bu fonksiyona sol yoğun sürekli veya
ld-sürekli denir.
Tanım 2.2.6 f :    ld-sürekli fonksiyonların kümesi
Cld  Cld ()  Cld (, )
ile gösterilir.
17
Tanım 2.2.7 f :    fonksiyonu türevlenebilir ve türevi ld-sürekli ise
1
1
1
Cld
 Cld
()  Cld
(, )
ile gösterilir.
Tanım 2.2.8 f :    bir fonksiyon olsun. Eğer F :    fonksiyonu  k da
 - türevlenebilir ve her t k için F  (t )  f (t ) ise, F fonksiyonuna f nin
 - anti türevi veya ilkeli denir.
Eğer
f :    fonksiyonunun  - anti türevi varsa,
ye  -
f
integrallenebilir fonksiyon denir ve a, b   olmak üzere
b
 f (t )  t  F (b)  F (a)
a
ile tanımlanır.
Tanım 2.2.9 f :    bir fonksiyon olsun. Eğer F :    fonksiyonu
k
da
 - türevlenebilir ve her t  k için F  (t )  f (t ) ise, F fonksiyonuna f nin
 - anti türevi veya ilkeli denir.
Eğer
f :    fonksiyonunun  - anti türevi varsa,
integrallenebilir fonksiyon denir ve a, b   olmak üzere
b
 f (t ) t  F (b)  F (a)
a
şeklinde tanımlanır.
f
ye  -
18
Teorem 2.2.1 Her rd sürekli fonksiyonun bir antitürevi vardır.
Teorem 2.2.2 Eğer f  C rd ve t k ise bu taktirde
 (t )
 f (s) s   (t ) f (t )
t
formülü doğrudur.
İspat Teorem 2.2.1 den f nin F antitürevi vardır ve
 (t )
 f ( )  F ( (t ))  F (t )
t
  t  F  (t )
  t  f (t )
bulunur.
Teorem 2.2.3 Her ld sürekli fonksiyonun bir antitürevi vardır.
Teorem 2.2.4 Eğer f  C ld ve t  k ise bu taktirde
t
 f ( )   (t ) f (t )
 t 
formülü doğrudur.
İspat Teorem 2.2.2 nin ispatına benzer şekilde yapılır.
19
Teorem 2.2.5
f :    ve g :    fonksiyonları rd-sürekli ve a, b, c  
olduğunu kabul edelim.
i)
b
b
b
a
a
a
  f (t )  g (t ) t   f (t ) t   g (t ) t
ii) Her  sabiti için
iii)
b
a
a
  f (t ) t    f (t ) t
b
c
b
a
a
c
 f (t ) t   f (t ) t   f (t ) t
b
iv)
b

a
a
f (t ) t    f (t ) t
b
a
v)
 f (t ) t  0
a
b
vi)
 f ( (t )) g
a
b
vii)

a

b
b
a
a
(t ) t  f (t ) g (t )   f  (t ) g (t ) t
b
b
a
a
f (t ) g  (t ) t  f (t ) g (t )   f  (t ) g ( (t )) t
viii) Eğer a, b  aralığında f (t )  g (t ) ise
b

a
b
f (t ) t   g (t ) t
a
olur.
ix) Eğer her t  a, b  için f t   0 ise
b
 f t t  0
a
eşitsizliği gerçeklenir.
20
Teorem 2.2.5 (vi) ve (vii) formüllerine kısmi integrasyon formülleri denir.
Örnek 2.2.1 a , b   ve f  C rd verilsin. Bu durumda
i) Eğer
b
b
a
a
   ise  f (t ) t   f (t ) d t
olur. Burada sağ taraftaki integral analizden bildiğimiz Riemann integralidir.
ii) Eğer
   ise bu halde
b

a
 b 1
  f t , a  b
 t a

f t t  
0,
ab
 a 1

f t , a  b
 
 t b
sağlanır.
iii) Eğer  a, b  aralığı sadece ayrık noktaları içeriyor ise
b

a
elde edilir.

   t  f t , a  b ,
 ta ,b 

f (t ) t  
0,
a  b,


 t  f t , a  b
 t
 b,a 
21
Teorem 2.2.6 f :    ve g :    fonksiyonları ld-sürekli ve a, b, c  
olduğunu kabul edelim.
i)
b
b
b
a
a
a
  f (t )  g (t ) t   f (t ) t   g (t ) t
ii) Her  sabiti için
b

a
iii)
f (t ) t    f (t ) t
a
b
c
b
a
a
c
 f (t ) t   f (t )t   f (t )t
b
iv)
b

a
a
f (t )t    f (t )t
b
a
v)
 f (t )t  0
a
b
vi)
 f (  (t )) g
a
b
vii)
 f (t ) g
a


b
b
a
a
(t ) t  f (t ) g (t )   f  (t ) g (t )t
b
b
a
a
(t ) t  f (t ) g (t )   f  (t ) g (  (t )) t
viii) Eğer a, b  aralığında f (t )  g (t ) ise
b

a
b
f (t )t   g (t ) t
a
olur.
ix) Eğer her t  a, b  için f t   0 ise
b
 f t t  0
a
eşitsizliği sağlanır.
22
Örnek 2.2.2 a , b   ve f  C ld verilsin. Bu durumda
i) Eğer
b
b
a
a
   ise  f (t ) t   f (t ) d t
olur.
ii) Eğer
   ise bu halde
b

a
 b
  f t , a  b,
 t  a 1

f t t  
0,
a  b,
 a

f t , a  b
 t 
 b 1
sağlanır.
iii) Eğer  a, b  aralığı sadece ayrık noktaları içeriyor ise
b

a

  t  f t , a  b,
 ta ,b 

f (t ) t  
0,
a  b,


 t  f t , a  b
 t
 b,a 
elde edilir.
Teorem 2.2.7 a  b olmak üzere a , b   ve f (t ) fonksiyonu  a, b  üzerinde
sürekli olsun. Bu durumda aşağıdaki eşitlikler doğrudur.
23
 (b )
b
i)

f (t ) t 
a
 f (t ) t  b   (b) f (  (b))
a
b
ii)  f (t ) t   (a)  a  f (a) 
a
iii)
b
 (b )
a
a
 f (t ) t
 (a)
 f (t ) t   f (t ) t  b   (b) f (b)
b
iv)
b

f (t ) t   (a)  a  f ( a ) 
b
 f (t ) t .
 (a)
a
Teorem 2.2.8 [8] Aşağıdaki formüllerde f  (t , s ) ve f  t , s  ile s değişkeni
sabit tutularak f (t , s ) fonksiyonunun t ye göre sırasıyla  ve  türevleri

belirtilmiştir. Eğer f , f
ve f  iki değişkenli fonksiyonları sürekli ise, bu
durumda aşağıdaki formüller doğrudur.

t
t

i)   f (t , s ) s   f ( (t ), t )   f  (t , s ) s


a
a


t
t

ii)   f (t , s ) s    f  (t , s ) s  f (  (t ),  (t ))
a
a


t
t

iii)   f (t , s ) s   f ( (t ),  (t ))   f  (t , s ) s
a
a


t
t



iv)  f (t , s ) s   f  (t , s ) s  f (  (t ), t ) .


a
a

24
Örnek 2.2.3
   için
a  0 olmak üzere
 a t
t
belirsiz integralini ele alalım.

t 1
t
 t 
 at 

   a   a  a  a t
 a 1
 a 1
a 1




olduğu için
t
 a t 
at
C
a 1
elde edilir ( C =sabit).
Örnek 2.2.4
1
   0 , 1    1 ,1
3

8
olsun. f (t )  s (1  s ) için  f ( s ) s
7
2 
0
integralinin değerini bulalım.
1
13
12
1
0
0
13
12
 f ( s) s   f (s) s   f (s) s   f (s)  s
 1
olduğundan integralleri ayrı ayrı hesaplayalım. 0,  reel sayıların kapalı bir alt
 3
kümesi olduğundan,
13
13
0
0
 f ( s ) s  
8
f ( s ) ds 
7
13
8
 s(1  s) ds  162
0
1
1
1 1
olur.  ,  aralığını göz önüne alırsak,  ( )  olduğundan Teorem 2.2.4
2
3
 3 2
yardımıyla,
25
12
1
1
1
 f ( s)  s  f ( 2 ) ( 2 )  21
13
1 
bulunur.  ,1 aralığını hesaplarsak,
2 
1
1
12
12
 f ( s ) s  
8
f ( s ) ds 
7
1
2
 s(1  s) ds  21
12
elde edilir.
Böylece,
1
13
12
1
0
0
13
12
109
 f ( s) s   f ( s) s   f (s) s   f (s)  s  567
olur.
26
3. ZAMAN SKALASINDA LİNEER DİNAMİK DENKLEMLERİ
VE GREEN FONKSİYONU
Bu bölümde, ilk önce Atıcı ve Guseinov’ un [8] makalesinde yer alan
ikinci mertebe lineer homojen dinamik denkleminin çözümünün varlığı ve tekliği
teoremi yardımı ile ikinci mertebe homojen olmayan sınır değer probleminin
çözümü için formül elde edilmiş ve daha sonra bu formülden yararlanılarak lineer
sınır değer probleminin Green fonksiyonu yapılmış ve bu fonksiyonun alt ve üst
sınırları elde edilmiştir. Özel olarak t, s   için G (t , s )   ( s ) olacak şekilde
 : [0,1]   sürekli fonksiyonu oluşturulmuştur. Ayrıca t nin daraltılmış keyfi
aralığında s   için   ( s )  G (t , s ) olacak biçimde
bir  sabitinin var
olduğu gösterilmiştir.
3.1 İkinci Mertebe Homojen Dinamik Denklemi
Aşağıdaki şekilde ikinci mertebe homojen dinamik denklemini ele alalım.
 u  (t )  0,
t  [0,1]
(3.1.1)
Teorem 3.1.1 [8] c0 ve c1 ler herhangi reel sayılar olmak üzere (3.1.1)
denkleminin
u (t 0 )  c0 , u  (t 0 )  c1
başlangıç koşullarını sağlayan u (t ) çözümü vardır ve tektir. 
27
Tanım 3.1.1 y, z :   ,
k
üzerinde  - türevlenebilir fonksiyonlar olsun.
t k için y ve z fonksiyonlarının Wronskian’ı

Wt ( y, z )  y (t ) z  (t )  y  (t ) z (t )
ile tanımlıdır.
Önerme 3.1.1 [8] (3.1.1) denkleminin iki çözümünün Wronskianı t den
bağımsızdır.
Önerme 3.1.2 [8] (3.1.1) denkleminin herhangi iki çözümünün lineer bağımsız
olması için gerek ve yeter koşul bu çözümlerin Wronskian’ ının sıfırdan farklı
olmasıdır.
3.2 İkinci Mertebe Homojen Olmayan Sınır Değer Problemi
Aşağıdaki şekilde homojen olmayan sınır değer problemini ele alalım.
u  (t )  h(t )  0,
t  [0,1],
 u (0)   u  (0)  0, u (1) 
(3.2.1)
m2
  i u ( i ) ,
i 1

burada,
 h : [0,1]   sürekli fonksiyon,
(3.2.2)
28

0   1   2     m 2   (1) ve i  1,2,..., m  2 için  i  (0, ) olmak
m2
  i  0,1,
(3.2.3)
 ,   0 ve 0      1
(3.2.4)
üzere
i 1

koşulları sağlansın.
Şimdi (3.2.1) denkleminin (3.2.2) sınır koşulları altında u (t ) çözümünü
bulalım.
m 2
m 2
i 1
i 1
Teorem 3.2.1 Kabul edelim ki d   (1    i  i )   (1    i )  0 olsun. Bu
taktirde t  0,1 için (3.2.1)-(3.2.2) sınır değer probleminin tek bir çözümü
vardır ve bu çözüm
t
1
t  
t  
u (t )    (t  s )h( s )s 
(1  s )h ( s )s 

d 0
d
0
m2
i
i 1
0
 i  ( i  s)h( s)s
(3.2.5)
şeklindedir.
İspat  (t ) ve  (t ) ile (3.1.1) homojen denkleminin,
 (0)  1,
 (0)  0,
  (0)  0 



 (0)  1
başlangıç koşullarını sağlayan çözümlerini gösterelim. Bu şekilde  ve 
çözümleri vardır ve tektir.  ve  çözümlerinin Wronskian’ı sabit olduğu için
Wronskian’ının değerini herhangi bir noktada hesaplamak yeterlidir.
29
Buna göre,
W0 ( ,  )   (0)  (0)    (0) (0)  1
Wt ( ,  )  0
bulunur. Bu durumda (3.2.1) denkleminin genel çözümü c1 ve c 2 herhangi
sabitler olmak üzere
u (t )  c1 (t )  c2 (t ) 
t
1
( (t ) ( s )   ( s ) (t ))h( s )  s
w  ( 0)
(3.2.6)
şeklindedir. (3.2.1) denkleminin (3.2.2) sınır koşullarını sağlayan çözümünü
arıyoruz. O halde (3.2.6) formülündeki c1 ve c 2 sabitlerini öyle seçmeye
çalışacağız ki bu formül üzere tanımlı u (t ) fonksiyonu (3.2.2) sınır koşullarını
sağlasın.
 (t ) , (3.1.1) homojen denkleminin çözümü olduğundan
  (t )  0
eşitliği sağlanır. Her iki tarafın 0 dan t ye  - integrali alınırsa
t
t
0
0

 ( )    0   0
olur. Buradan,
  (t )    (0)  0
elde edilir.   (0)  0 olduğundan
  (t )  0
bulunur. Bu sefer (3.2.7) eşitliğinin her iki tarafının  - integrali alınırsa
t
t
0
0

  ( )   0   0
(3.2.7)
30
olur. Buradan,
 (t )   (0)  0
elde edilir.  (0)  1 olduğundan  (t )  1 bulunur.
 (t ) , (3.1.1) homojen denkleminin çözümü olduğundan
  (t )  0
eşitliği sağlanır. Benzer şekilde her iki tarafın sırasıyla  ve  integrali alınırsa
 (t )  t elde edilir. (3.2.6) denkleminde  (t ) ve  (t ) yerine konulursa
t
u (t )  c1  c 2 t   ( s  t )h( s )  s
(3.2.8)
0
elde edilir. (3.2.8) denkleminin  - türevi alınırsa
t
u  (t )  c 2   h( s )  s
0
bulunur.
(3.2.2) koşullarının birincisinden,
 c1   c 2  0
ve ikincisinden,
(1 
m2
m2
1
m2
i
i 1
i 1
0
i 1
0
  i )c1  (1    i  i )c2   (1  s) h( s)  s    i  (s   i )h( s)  s
elde edilir. Bu iki denklemi c1 ve c 2 ye göre bir denklem sistemi olarak
düşünebiliriz. Katsayılar determinantı,
31


d
1
m2
m2
i 1
i 1
  (1 
 i 1   i  i
m2
m2
i 1
i 1
 i  i )   (1  i )  0
olduğu için c1 ve c 2 bilinmeyenlerini bulabiliriz.
Buna göre,

0
1
c1 
d
1
m2
i
 i  ( s   i ) h( s )  s
 (1  s) h( s)  s  
i 1
0
1
m2
i  i
i 1
0
1
m2  i

 
  (1  s ) h( s )  s   i  ( s   i )h( s )  s 
d 0

i 1
0

ve
1
c2 
d

0
m2
1   i
i 1


d
1
m2
i
 i  ( s   i ) h( s )  s
 (1  s) h( s)  s  
i 1
0
0
m2  i
 1

 (1  s ) h( s )  s   i  ( s   i )h( s )  s 
 0

i 1
0
bulunur. Bu katsayılar (3.2.8) denkleminde yerine yazılırsa,
t
u (t )    (t  s )h( s )s 
0
elde edilir.
1
t  
t  
(1  s )h ( s )s 

d 0
d
m2
i
i 1
0
  i  ( i  s)h(s)s
32
3.3 İkinci Mertebe Lineer Sınır Değer Probleminin Green Fonksiyonu
Teorem 3.3.1
m 2
m 2
i 1
i 1
d   (1    i  i )   (1    i )  0 olduğunu kabul edelim. Bu
durumda
 u  (t )  0,
 u (0)   u  (0)  0,
t  [0,1],
(3.3.1)
m 2
u (1)    i u ( i )
(3.3.2)
i 1
sınır değer probleminin Green fonksiyonu için
m2






(

s

)
1
t


  j ( j  t ) , 0  t  1, 0  s   1 , s  t;

j 1



m2

 i 1
(  s   ) 1  t   (  t )    (    )(t  s ),
 j j
 j
j


 j 1
j i


 r 1  t   r , 2  r  m  1,  i 1  s   i , 2  i  r , s  t ;
1
G (t , s )  
m2


d
(  t   ) 1  s    j ( j  s )  ,



j i


 r 1  t   r , 2  r  m  2,  i 1  s   i , r  i  m  2, t  s;


(  t   )(1  s ), 0  t  1,  m  2  s  1, t  s

(3.3.3)
formülü doğrudur. Burada m2  m1 için
m2
 h (i)  0
i  m1
kabul edelim.
33
İspat
0  t  1
için
(3.2.1)-(3.2.2)
sınır değer probleminin
tek çözümü
aşağıdaki gibi yazılabilir.
1
t
t  
t  
u (t )    (t  s )h( s )s 
(1  s )h( s )s 

d 0
d
0
t
t  
d
   (t  s ) h( s ) s 
0

t  
d
m 2
t
j 1
0
t
 (1  s) h(s) s
0
  j  ( j  s) h(s) s
1
t  

(1  s ) h( s ) s
d t
t  

d
1
m 2
   (
j 1
j
j
 s ) h( s ) s
t
2
t  

(1  s ) h( s ) s
d 
1
t  
d
m 2
2
j 2
1
t  

d
 m2


t  
d
t  

d
  j  ( j  s) h( s) s  
 (1  s) h( s) s
 m 3
m 2

j m 2
1
j
 m 2
(


j
 s ) h( s ) s
m 3
 (1  s) h( s) s
 m2
m2
i
i 1
0
i  ( i  s)h(s)s
34
m2


(

)
1


(

)

s

t


t



j
j
t

j 1

 h( s ) s

d
0
m 2


(

)
1



t

s

 j ( j  s)
1


j 1

h( s ) s
d
t

m2  i

i2
 i 1
m2


(  t   ) 1  s   j ( j  s )
j i

 h( s ) s
d
(  t   )(1  s )
h( s ) s .
d
m2
1



Eğer 2  r  m  2 için  r 1  t   r
ise (3.2.1)-(3.2.2) sınır değer
probleminin tek çözümü aşağıdaki gibi yazılabilir.
1
2
0
1
u (t )    (t  s ) h( s ) s   (t  s ) h( s ) s  
t

 (t  s) h( s) s 
 r 1
t 

d

t 
d
t 

d
1
t  
(1  s ) h( s ) s
d 0
2
 (1  s) h(s) s  
1
t
 (1  s) h( s) s 
 r 1
m2  i
 
i  r 1  i 1
r
t  
(1  s ) h( s ) s
d t
1
(1  s ) h( s ) s 
t 
(1  s ) h( s ) s
d 
m 2
35
t  

d
m2
1
j 1
0
t  

d
m 2
2
t  

d

t  
d
t  

d
t  

d
  j  ( j  s) h(s) s
   (

j
j 2
j
 s ) h( s ) s  
1
 r 1
m 2
   (

j
j  r 1
j
 s ) h( s ) s
r 2
m 2
t
j r
 r 1
  j  ( j  s) h( s) s
r
m 2
   (
j r
m2
j
j
 s ) h( s ) s
t
i
 
i  r 1  i 1
m  2

   j ( j  s ) h( s ) s
 j  i

m2


(
s

)
1

t

(

t
)





 j j 
1


j 1


h( s ) s
d
0
r 1  i


i  2  i 1
t


 r 1
m2

 i 1
(  s   ) 1  t   j ( j  t )   j (   j   )(t  s)
 j 1
j i

h( s ) s
d
m2

 r 1
(  s   ) 1  t   j ( j  t )   j (   j   )(t  s )

 j 1
j r
h( s ) s
d
36
m2


(

)
1


(

)

t

s


s



j
j
r

j r

 h( s ) s

d
t
m2
i
 

i  r 1  i 1
1


 m2
m2


(  t   ) 1  s    j ( j  s )


j i
h( s ) s
d
(  t   )(1  s )
h( s ) s .
d
Eğer  m 2  t  1 ise, bu durumda (3.2.1)-(3.2.2) sınır değer probleminin
tek çözümü aşağıdaki gibi yazılabilir.
1
2
0
1
u (t )    (t  s ) h( s ) s   (t  s ) h( s ) s  

 m2
 (t  s) h(s) s 
 m3
t
(t  s ) h( s ) s


m2
1
t  

(1  s ) h( s ) s
d 0

2
t  
(1  s ) h( s ) s  
d 
1
t  

d

t
 (1  s) h( s) s
 m 2
t  1
(1  s ) h( s ) s
d t
37
t  

d
j
m 2
   (
j 1
j
j
 s ) h( s ) s
0
m2


(

)
1


(

)

s

t


t

 j j 
1


j 1

h( s ) s
d
0

m2  i

i2
 i 1
m2

 i 1
(  s   ) 1  t    j ( j  t )   j (   j   )(t  s )
 j 1
j i

h( s ) s
d
m 2
(  s   )(1  t )    j (   j   )(t  s )
t



j 1
m2
1

t
d
h( s ) s
(  t   )(1  s )
h( s ) s . d
Teorem 3.2.2 (3.2.3) ve (3.2.4) sağlansın. O halde aşağıdaki eşitsizlikler
doğrudur.
i)
G (t , s )  0 her t , s  0,1 ,
(3.3.4)
ii)
G (t , s)   ( s ) her t , s  0,1,
(3.3.5)
G (t , s )    ( s ) her t   1 ,1 ve her s  0,1
(3.3.6)
olacak şekilde öyle bir   0,1 sayısı ve  : [0,1]   sürekli fonksiyonu
vardır.
38
Burada,



 s   max 1,


 
m2

  i  ( s   )(1  s)
i 1

1 

d
,
(3.3.7)
m2

min
(




)
(
1

  j  j ),
2 s  m  2 
1
 m2 

j s
  i 


max 1, i 1 
1 



1
m2
  j (1   j ),
j 1
m2


(




)

 j j
  j (1   j )
j 1
js

s 1
(3.3.8)
olur.
İspat
i) d  0 olduğu için (3.3.1)-(3.3.2) sınır değer probleminin Green
fonksiyonu pozitiftir.


ii) Şimdi,  s   max 1,


gösterelim.
m 2

i 1
1
i

 (  s   )(1  s )
alabileceğimizi

d


39
ÜST SINIRLAR
1.Durum: 0  s   1 , s  t durumunu göz önüne alalım. Bu halde
 m 2

 m 2
(  s   ) 1    i  i  t    i  1
 i 1

 i 1
G (t , s ) 
d
m 2
olur.

j 1
j
 1 için Green fonksiyonu maksimum değerini t  s de alır. s   1 ve
m2
 i  0,  (1) , 0   1   2     m2   (1) için
 s      i s   i 
eşitsizliği sağlandığından
m 2


(  s   ) 1  s    i s   i 
i 1


G (t , s ) 
d

(  s   ) 1  s 
d
elde edilir.
m 2
(3.2.3) sağlandığı için

j 1
j
 1 durumu incelenmez.
i 1
d
0
40
2.Durum:  r 1  t   r , 2  r  m  1,  i 1  s   i , 2  i  r , s  t durumu
için
m 2

 i 1


 s    1  t    j  j  t     j   j   t  s 
j i

 j 1
G (t , s ) 
d

m 2
m 2
j 1
j i
 s   1  t     j   j   t  s    t      j s   j 
d
 s   1  t     j   j   t  s 
m2
j 1

d
 m 2

 m 2

 t    j  j  s    t    j  1   1  s 
j 1

 j 1

s 
d
m 2
elde edilir. Burada  i 1  s   i , 2  i  m  1 için
 t      j s   j 
j i
d
olur.
m 2
m 2
j 1
j 1
s    j  j ve

j
 1 olsun. O halde maksimum değer t  s dir.
Böylece,
G (t , s ) 
bulunur.
 s   1  s 
d
0
41
m 2
m 2
j 1
j 1
Eğer s    j  j ve

j
 1 ise,
 m2

 m 2

s d      i i  s    s   i  1   1  s 
 i 1

 i 1

G (t , s ) 
d
 m2

    i i    1  s 

  i 1
d
m 2
    s   1  s 

i
i 1
i
1
d
m 2
   s   1  s 

i 1
i
1
d
eşitsizliğine ulaşılır.
3.Durum:  r 1  t   r , 2  r  m  2,  i 1  s   i , r  i  m  2, t  s için
G (t , s ) 


m2


j i

 t    1  s    j  j  s 


d
 t   1  s 
d
42

 s   1  s 
d
m 2
elde edilir. Burada  i 1  s   i , 2  i  m  2 için
 t      j  j  s 
j i
d
0
olduğu görülür.
4.Durum:  m 2  s  1, t  s için
G (t , s ) 
 s   1  s 
d
eşitsizliğinin varlığı açıkça görülür.
ALT SINIRLAR
Şimdi, [ 1 ,1]  (0,1] keyfi aralığını alabileceğimizi gösterelim.
1.Durum: 0  s   1 , s  t durumunu göz önüne alalım. Bu halde,
 m 2
 m 2

(  s   ) 1    i  i  t    i  1
 i 1

 i 1
G (t , s ) 
d
m 2
olur.

j 1
j
 1 için Green fonksiyonu minimum değerini t  1 de alır. Böylece,
43
m 2

 m 2
(  s   ) 1    i  i    i  1
i 1

 i 1
G (t , s ) 
d
m 2
 s   1  s 
j 1
d
   j 1   j 
eşitsizliği doğrudur.
2.Durum:  r 1  t   r , 2  r  m  1,  i 1  s   i , 2  i  r , s  t için
m 2

m 2
 i 1
 st    j  1   t    j  1    j  t  j  s 
 j 1

 j 1
 j 1
G (t , s )  s 
d
m 2

   s      1  s 
j i
j
j
d
elde edilir.
m 2
  j  1 durumunda
j 1
2  i  m  1,  i 1  s   i
i 1
için

j 1
j
 t  j  s   0
olması nedeniyle Green fonksiyonu minimum değerini t  1 de alır. Buradan

i 1
m 2
j 1
j i
  j   j   1  s     j 1   j  s   
d
44
i 1

   
j 1
j
m 2
j
   s   1  s     j 1   j  s   1  s 
j i
d
m 2
 i 1
  s   1  s 


   j   j      j 1   j 
d
j i
 j 1

eşitsizliğine ulaşılır.
3.Durum:  r 1  t   r , 2  r  m  2,  i 1  s   i , r  i  m  2, t  s
durumu için
m 2


 j  j  s 


1  s j i

G (t , s )   t    

 d

d




m 2

 j j

1  s j i

  t   

 d
d


m 2

 js


j i

1  m  2
   j  j
j i

m 2

 j j

1  s j i

  t   

 d
d





s 
1 

  m 2 


m 2


 j j



1  s j i

  t   

1  s 
 d

d










45
  t   1  s 
 m 2
 1    j  j 
d
j i


 s   1  s 
   1    1    j  j 

m 2


j i

d
eşitsizliği sağlanır.
4.Durum:  1  t  1,  m 2  s  1, t  s için
G (t , s ) 
 t   1  s   (
d
   1   
1
)
(  s   )(1  s )
d
 s   1  s 
d
eşitsizliğinin varlığı kolayca görülür.
O halde,   0,1 sayısı
 
m2



min




,
(




)
(
1


  j  j ),
2 s  m  2
1
1
 m2 

js
  i 


max 1, i 1 
1 



1
m2

 
 j 1   j ,
j 1
s 1
j 1
j (  j   ) 


(
1


)
 j
j 

j s
m2
46

1



max 1,



  i 
i 1

1 

m2
min 2 s  m 2
m2

(   1   ) (1    j  j ),

j s
m 2




(



)
 j (1   j )


j
j
j 1
j s

s 1
elde edilir.
m2
  j (1   j ),
j 1
47
4. ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN
SINIR DEĞER PROBLEMİNİN POZİTİF ÇÖZÜMLERİ
Bu bölümde ikinci mertebe lineer olmayan dinamik denklemler için sınır
değer probleminin pozitif çözümünün varlığı için yeter koşullar verilmiştir. Bu
amaçla Green fonksiyonu kullanılarak lineer olmayan sınır değer problemi
operatör denkleme indirgenmiş ve operatör denkleminin iki ve üç pozitif
çözümünün varlığı içinde sırasıyla Krasnosel’skii ve Leggett-Williams sabit
nokta teoremleri uygulanmıştır.
4.1 Operatörler ve Koni Kavramı
Tanım 4.1.1 E ve E1 herhangi iki küme olsun. Eğer belirli bir A kuralı üzerine
D  E nin her x elemanına tek bir y  E1 karşılık getirilmiş ise E den E1 ’ e A
operatörü (dönüşümü) verilmiştir denir. D ye A nın tanım bölgesi denir ve
A : D  E  E1 ve A : x  y veya y  A x yazılarak gösterilir. Özel halde
E1  E ise A ya E içinde bir operatör denir.
Tanım 4.1.2 ( E ,  ) metrik uzay olsun. Eğer M  E kümesinin her sonsuz
kısmından yakınsak bir alt dizi ( bu dizinin limiti M ye ait olmayabilir.)
seçilebiliyorsa M ye E içinde prekompakt veya koşullu kompakt küme denir.
Eğer sözü geçen dizinin limiti M nin içinde ise M ye kompakt veya tıkız
küme denir.
48
Tanım 4.1.3 ( E ,  ) ve ( E1 , 1 ) metrik uzaylar ve A : D  E  E1 bir operatör
olsun. Eğer A operatörü D içindeki her sınırlı kümeyi E1 içindeki prekompakt
kümeye dönüştürüyorsa A ya D üzerinde kompakt operatör denir.
Tanım 4.1.4 ( E ,  ) ve ( E1 , 1 ) iki metrik uzay olsun ve A : D  E  E1
operatörü verilsin. Eğer x0  D için   0 verildiğinde,
her x  D ,  ( x, x0 )   
 1 ( A x, A x 0 )  
olacak şekilde bir   0 sayısı varsa A ya x0 noktasında sürekli operatör denir.
Eğer
A operatörü D nin her noktasında sürekli ise A ya D üzerinde
sürekli veya sadece sürekli operatör denir.
Tanım 4.1.5 ( E ,  ) ve ( E1 , 1 ) metrik uzaylar ve A : D  E  E1 bir operatör
olsun. Eğer A operatörü D üzerinde hem sürekli hem de kompakt operatör ise
A ya tamamen sürekli operatör denir.
Tanım 4.1.6 B , Banach uzayındaki P kümesi aşağıdaki koşulları sağladığında
koni olarak adlandırılır.
(i) P , B içinde kapalı ve konveks kümedir.
(ii) x  P   x  P, her   0
(iii) x  P, x  0   x  P
Örnekler 4.1.1
1) B   için, 
P1     x   : x  0 ve P2     x   : x  0
49
kümeleri konidir.
2) B  2 için,


P  2  ( x1 , x 2 )  2 : x1  0, x 2  0
kümesi konidir.
3) B  2 için,
P   ( r ,  ) : 0  r  ,      ,      
kümesi konidir. Özel hal olarak Örnek 2 ve

P1  ( x1 , x 2 )  2 : x1  x 2

konisi verilebilir.
4) B  2 için,
P   ( r ,  ) : 0  r  ,      ,      
kümesi koni değildir.
5) B  3 için,

P  ( x1 , x 2 , x3 )  3 : x12  x 2 2  x3

kümesi konidir.
6) B  n için,

P   ( x , x , , x )  

P  ( x1 , x 2 , , xn )  n : xi  0, i  1,2, , n ,
n
1
1
kümeleri konidir.
2
n
: x1  0, x2  0, x n  0

50
4.2 Zaman Skalasında Lineer Olmayan Sınır Değer Problemi ve
A Operatörü

zaman skalası olmak üzere
u  (t )  f (t , u (t ))  0,
 u (0)   u  (0)  0,
t  [0,1]  ,
(4.2.1)
m 2
u (1)    i u ( i )
(4.2.2)
i 1
sınır değer problemini göz önüne alalım.
Aşağıdaki koşulların sağlandığını kabul edelim.
(H1)  ,   0, 0      1, i  1,2,..., m  2 için  i  (0,  (1))
ve
0   1   2  ...   m 2   (1).
(H2) i  1,2,..., m  2 için  i  (0, ) olmak üzere
d   (1 
m2
m2
i 1
i 1
  i  i )   (1 
 i )  0
m 2
   0,1
i 1
i
ve
olsun.
(H3) f : 0,1 0,    0,   sürekli fonksiyon.
Burada, (4.2.1)-(4.2.2) sınır değer probleminin
bulunması
u (t ), t  [0,1] çözümünün
51
1
u (t )   G (t , s ) f ( s, u ( s ))  s , t  [0,1]
(4.2.3)
0
integral denkleminin u (t ) çözümünün bulunmasına denktir.
(4.2.3) denklemini u  max u (t ) ile normlanmış B  C 0,1  Banach
t[ 0,1]
uzayında arayacağız. (4.2.3) denkleminin çözümlenmesi B uzayı içinde
1
Au (t )   G (t , s ) f ( s, u ( s )) s
(4.2.4)
0
formülü ile tanımlı A operatörünün sabit noktasının bulunmasına, yani
u  Au
olacak şekildeki u  B öğelerinin bulunmasına denktir. Şimdi de B Banach
uzayı içinde
(4.2.4) formülü ile tanımlı
(lineer olmayan) A operatörünün
özelliklerini inceleyelim.
Önerme 4.2.1 (4.2.4) formülü ile tanımlı A operatörü süreklidir.
İspat
1
c1    ( s ) s
0
ve
c 2  u 0  max u 0 (t )
t0,1
sabitlerini tanımlayalım. Burada u 0  u 0 (t ), t  [0,1] , B uzayının herhangi bir
elemanıdır. A operatörünün u 0 da sürekli olduğunu gösterelim.
52
T : (t ,  ) : 0  t  1,   1  c 2   [0,1]  
kapalı ve sınırlı kümesini alalım. f (t ,  ) fonksiyonu T bölgesi üzerinde sürekli
olduğu için yine bu bölgede düzgün sürekli olacaktır. Böylece verilen bir   0
için  ( )  0 sayısı bulabiliriz ki t1  t2   , 1   2   eşitsizliğini sağlayan
her (t1 , 1 ), (t2 ,  2 )  T için
f (t1 , 1 )  f (t2 ,  2 )   c1 olur.
O halde,
 G(t , s) f ( s, u( s))  f ( s, u 0 ( s))s
1
Au (t )  Au 0 (t ) 
s 0
1


G (t , s ) f ( s, u ( s ))  f ( s, u 0 ( s )) s
s 0
1


s 0
 ( s) f ( s, u ( s))  f ( s, u 0 ( s)) s
1



 ( s)  s = c1  

c1
c1
0
Her iki taraftan maksimuma geçilirse,
Au  Au 0  
bulunur. Bu ise A operatörünün sürekli olduğunu gösterir.
53
Önerme 4.2.2 A operatörü tamamen süreklidir.
İspat A nın sürekli operatör olduğunu göstermiştik. O halde A nın kompakt
operatör olduğunu göstermek yeterli olacaktır. Bunun için Y  B içinde sınırlı
bir küme olsun.
A (Y ) nin B içinde prekompakt küme olduğunu göstereceğiz. B sonlu
boyutlu uzay olduğu için A (Y ) nin B içinde sınırlı küme olduğunu göstermek
yetecektir.
Y sınırlı olduğundan her u  Y için u  c3 olur. Buradan u (t )  c3 ,
t  [0,1] dir. Diğer taraftan f (t ,  ) fonksiyonu [0,1]   üzerinde sürekli
olduğundan t  [0,1] ve  ’ lar  deki sınırlı kümede değişmek üzere f (t ,  )
sınırlıdır.
Buna göre,
f (t , u (t ))  c4 , her t  [0,1] ve u  Y yazabiliriz. Her u  Y için
Au (t ) 
1
1
0
0
 G(t , s) f ( s, u( s))  s   G (t , s)
1
1
0
0
f ( s, u ( s ))  s
   ( s ) f ( s, u ( s ))  s  c 4   ( s )  s  c 4 c1
Her iki taraftan maksimuma geçilirse,
Au  c4 c1
elde edilir. Bu ise A (Y ) nin B içinde sınırlı olması demektir.
54
Şimdi de B uzayı içinde aşağıdaki koniyi tanımlayalım.

P : u  B : t  0,1 için u (t )  0 ve min t1 ,1 u (t )   u
,
(4.2.5)
buradaki  sayısı (3.3.8) formülü ile tanımlıdır.
Önerme 4.2.3 (H1)-(H3) koşulları sağlansın. Bu durumda (4.2.4) formülü ile
tanımlanan A operatörü için Au  P , u  P dir, özel halde A operatörü P
konisini invaryant bırakır; A( P )  P.
İspat
(H3) koşulundan her t  0,1 için Au (t )  0 elde edilir. Ayrıca u  P için
(3.3.5) kullanılarak,
1
1
0
0
 G (t , s) f ( s, u( s)) s    (s) f (s, u (s)) s
eşitsizliğine ulaşılır. Böylece,
1
Au  max
 G(t , s) f ( s, u( s)) s
t[ 0,1] 0
1
   ( s ) f ( s, u ( s )) s
0
55
bulunur ve u  P için (3.3.6) kullanılarak,
1
min t1 , 1 Au (t )  min t1 ,1  G (t , s ) f ( s, u ( s )) s
0
1
    ( s ) f ( s, u ( s )) s   Au .
0
O halde, Au  P olduğu gösterildi.
Bu bölümde anlatımı kolaylaştırmak için bazı kısaltmaları belirtelim.
1
A    ( s ) s ,
0
1
B    ( s ) s
1
Burada 0  B  A olduğu açıktır.
4.3 İki Pozitif Çözümün Varlığı
Bu bölümde Guo Krasnosel’skii sabit nokta teoremi kullanılarak (4.2.1)(4.2.2) sınır değer probleminin en az iki pozitif çözümünün varlığı
ispatlanacaktır.
Teorem 4.3.1 (Guo-Krasnosel’skii Sabit Nokta Teoremi) [13] B , Banach
uzayı ve P  B bir koni olsun. 1 ve  2 , P ’nin açık alt kümeleri öyle ki,
0  1 ve 1   2 olsun. Ayrıca, A : P  (  2 \ 1 )  P
operatörü
56
(i)
Au  u , u  P   1 ve Au  u , u  P    2 veya
(ii)
Au  u , u  P   1 ve Au  u , u  P    2
olacak şekilde tamamen sürekli operatör olsun. Bu halde A nın,
P  (  2 \ 1 )
de en az bir sabit noktası vardır.
Teorem 4.3.2 t  0,1 için aşağıdaki koşulların sağlandığını kabul edelim.
(H4) 0  u  r ve R  u   için f (t , u ) 
1
 2B
u
olacak şekilde 0  r  R   sayıları vardır.
(H5) 0  u  p1 için f (t , u ) 
1
p1 olacak şekilde
A
 B 
0  r  p1  R    r 
p  sayıları vardır.
A 1

O zaman (4.2.1)-(4.2.2) sınır değer probleminin
0  u1  p1  u 2
eşitsizliğini gerçekleyen en az iki pozitif u1 , u 2 çözümü vardır.
57
İspat Kabul edelim ki (H4) sağlansın. O halde
0  u  r için f (t , u ) 
1
 2B
u
eşitsizliğini sağlayan r  0 sayısı vardır.
1  u  B : u  r  B açık yuvarını alalım. u  P  1 olsun. Bu taktirde
(H4) ve (3.3.6) yardımı ile t   1 ,1 için
1
1
0
1
Au (t )   G (t , s ) f ( s, u ( s )) s     ( s ) f ( s, u ( s )) s

1
1
 2 B 
 ( s) u ( s) s
1

1
 u
B
1
  (s)  s 
u
1
bulunur. Böylece,
u  P  1 için
Au  u
(4.3.1)
olur.
Diğer taraftan, u  P için u  p1 seçelim. (H5) den
1
1
1
Au (t )    ( s ) f ( s, u ( s )) s  p1   ( s )  s  p1  u
A 0
0
elde edilir. Eğer  2  u  B : u  p1   B seçersek,
u  P   2 için
bulunur.
Au  u
(4.3.2)
58
(4.3.1) ve (4.3.2) ile birlikte Teorem 4.3.1 den A operatörünün r  u1  p1
eşitsizliğini sağlayan u1  P  (1 \  2 ) sabit noktası vardır.
Ayrıca,
R1 
1
R

ve
 3  u  B : u  R1   B
şeklinde alırsak,
u  P   3 için
min t[1 ,1] u (t )   u   R1  R
olması nedeniyle, t  1,1 için u (t )  R olur. Böylece (H4) den
1
Au (t )     ( s ) f ( s, u ( s )) s  


1
1
 u
B
1
1
 2 B 
 ( s) u ( s ) s
1
1
  (s)  s 

u
1
bulunur. Buradan,
u  P   3 için
Au  u
(4.3.3)
elde edilir.
(4.3.2) ve (4.3.3) ile birlikte Teorem 4.3.1 den A operatörünün p1  u 2  R1
eşitsizliğini sağlayan u 2  P  ( 3 \  2 ) sabit noktası vardır.
Hem u1 hem de u 2 (4.2.1)-(4.2.2) sınır değer probleminin pozitif
çözümleridir ve 0  u1  p1  u 2
eşitsizliği sağlanır.
59
Aşağıdaki sonuç teoremi verebilmek için
f 0 : lim
u 0 
f (t , u )
u
ve
f (t , u )
u
u 
f  : lim
limitlerini tanımlayalım.
Sonuç Teorem 4.3.1 t  0,1 için
(H6) f 0  f    .
(H7) 0  u  p1 için f (t , u )  N p1 olacak şekilde
 1
p1  0 ve N   0,  sayıları vardır.
 A
koşulları sağlanıyorsa (4.2.1)-(4.2.2) sınır değer probleminin
0  u1  p1  u 2
Örnek 4.3.1
u

eşitsizliğini sağlayan en az iki pozitif u1 , u 2 çözümü vardır.
  0, 1    1 , 1

1
(t )  (u 3
u (0)  0,
3
5
u3)
2 
 0,
zaman skalasında
t  [0,1],
1 1 1 1
u (1)  u ( )  u ( )
8 3 6 2
(4.3.4)
(4.3.5)
60
sınır değer problemini dikkate alalım. Burada   1,   0 , m  4 ,  1 
1
1
1
7
109
1  ,  2  ,  2  , d  , A 
olur.
3
6
2
8
567
1
5
f (t , u )  f (u )  u 3  u 3 fonksiyonu süreklidir. f 0  f    olduğundan
(H6) koşulu sağlanır. Ayrıca, u  0 için f (u ) monoton artan fonksiyon olması
nedeniyle u  0, p1  için p1  8 , N 
17  1 
  0,  alırsak,
4  A
f (u )  f (8)  34  N p1
bulunur. Bu ise (H7) koşulunun sağlandığını gösterir. O halde, Sonuç Teorem
4.3.1 den (4.3.4)-(4.3.5) sınır değer probleminin
0  u1  8  u 2
eşitsizliğini sağlayan en az iki pozitif u1 , u 2 çözümü vardır.
Teorem 4.3.3 t  0,1 için aşağıdaki koşulların sağlandığını kabul edelim.
(H8) 0  u  r ve 0  u  R için f (t , u ) 
1
u
A
olacak şekilde 0  r  R   sayıları vardır.
(H9) 0  u  p 2 için f (t , u ) 
1
 2B
u olacak şekilde
B 

0  r  p2  R    p2 
R  sayıları vardır.
A 

1
,
8
61
O zaman (4.2.1)-(4.2.2) sınır değer probleminin
0  u1  p 2  u 2
eşitsizliğini sağlayan en az iki pozitif u1 , u 2 çözümü vardır.
İspat Kabul edelim ki (H8) sağlansın. O halde
0  u  r için f (t , u ) 
1
u
A
eşitsizliğini sağlayan r  0 sayısı vardır.
u  P , u  r alalım. Böylece t  0,1 için 0  u (t )  r olur. (H8) koşulundan,
1
1
0
0
1
Au (t )    ( s ) f ( s, u ( s )) s    ( s ) u ( s ) s
A
1

u
A
1
 (s) s 
u
0
elde edilir. Böylece, 1  u  B : u  r  B açık yuvar olmak üzere
u  P  1 için
Au  u
bulunur.
Diğer taraftan u  P , u  p 2 alalım. t  [1 ,1] için
(4.3.6)
62
1
Au (t )     ( s ) f ( s, u ( s )) s  
1

1
1
 2 B 
 ( s) u ( s) s
1
1
 u
B
1
 ( s)  s 

u
1
elde edilir. Böylece,  2  u  B : u  p 2   B olmak üzere
u  P   2 için
Au  u
(4.3.7)
bulunur.
(4.3.6) ve (4.3.7) ile birlikte Teorem 4.3.1 den A operatörünün r  u1  p 2
eşitsizliğini sağlayan u1  P  (1 \  2 ) sabit noktası vardır.
3  u  B : u  R   B şeklinde alırsak, u  P ,
u  R için (H8)
koşulundan,
1
Au (t )    ( s ) f ( s, u ( s )) s 
0
1
1
 ( s ) u ( s ) s
A 0
1
1

u   ( s ) s  u
A
0
elde edilir. O halde,
u  P   3 için
Au  u
(4.3.8)
olur.
(4.3.7) ve (4.3.8) ile birlikte Teorem 4.3.1 den A operatörünün p 2  u 2  R
eşitsizliğini sağlayan u 2  P  ( 3 \  2 ) sabit noktası vardır.
63
Hem u1 hem de u 2 (4.2.1)-(4.2.2) sınır değer probleminin pozitif
çözümleridir ve 0  u1  p 2  u 2
eşitsizliği sağlanır.
4.4 Üç Pozitif Çözümün Varlığı
(4.2.1)-(4.2.2) sınır değer probleminin en az üç pozitif çözümünün
varlığını ispatlamak için Leggett-Williams sabit nokta teoremini kullanacağız.
Teorem 4.4.1 (Leggett-Williams Sabit Nokta Teoremi) [14] B Banach uzayı,
P de B uzayında bir koni olsun.
Pr :  x  P : x  r,
P( , a, b) :  x  P : a   ( x), x  b
şeklinde tanımlansın. A : Pr  Pr tamamen sürekli operatör ve  , P üzerinde
negatif olmayan, sürekli, konkav fonksiyonel olmak üzere
u  Pr için  (u )  u
olsun. Eğer
(i) x  P( , q, d ) :  ( x)  q    ve x  P ( , q, d ) için  ( Ax)  q ;
(ii)
x  a için Ax  p ;
(iii) x  P ( , q, r ) ve
Ax  d ise  ( Ax)  q
64
koşullarını sağlayan 0  p  q  d  r sayıları var ise A operatörünün Pr içinde
x1  p,  ( x 2 )  q,
p  x 3 ,  ( x3 )  q
eşitsizliklerini gerçekleyen en az üç pozitif u1 , u 2 ve u3 çözümü vardır.
Teorem 4.4.2 (H1)-(H3) koşullarının sağlandığını kabul edelim.
B
  B
0  p  q  min   ,
r negatif olmayan sayılar olmak üzere
r 
A 
A

(i) t  0,1  ve u  0, r  için f (t , u ) 
r
,
A
 q
q
(ii) t   1 ,1  ve u   q,  için f (t , u ) 
,
B
 
(iii) t  0,1  ve u  0, p  için f (t , u ) 
p
A
koşulları sağlansın. O zaman (4.2.1)-(4.2.2) sınır değer probleminin
u1  p ,  (u 2 )  q
ve
u 3  p ,  (u 3 )  q
olacak şekilde Pr na ait en az üç pozitif u1,u2 ve u3 çözümü vardır.
65
İspat  : P  0,   negatif olmayan, sürekli, konkav fonksiyoneli
 (u )  min t1 ,1 u (t )
şeklinde tanımlayalım. Burada u  P için  (u )  u olduğu açıkça görülür.
İlk önce A : Pr  Pr olduğunu gösterelim. u  Pr alalım. (i) sıkkını kullanarak,
1
Au  max  G (t , s ) f ( s, u ( s )) s
0
1

r
 ( s)  s
A 0
r
elde edilir. O halde Önerme 4.2.1 ve Önerme 4.2.2 ile birlikte A : Pr  Pr
tamamen sürekli operatördür.
Şimdi,
u  P( , q, d ) :  (u)  q   
ve u  P ( , q, d ) için  ( Au )  q
olduğunu gösterelim.
q
q
q
q
 P ( , q, ) ve  ( )   q




olması nedeniyle u  P( , q, d ) :  (u )  q    olur. u  P ( , q,
q
) alalım.

66
Bu halde, t   1 ,1 için q  u (t ) 
 ( Au )  min t [
q
elde edilir. (ii) şıkkını kullanarak,

1
1 ,1]
 G (t , s) f ( s, u (s))  s
0
1
 min t [ ,1]
1
 G(t , s) f (s, u ( s))  s
1
1
    ( s ) f ( s, u ( s ))  s
1
1
q

 ( s)  s  q
B 
1
bulunur. Böylece Teorem 4.4.1 in (i) koşulu sağlanmış olur.
Diğer taraftan,
u  p için Au  p
olduğunu gösterelim. u  p alalım. (iii) şıkkı gereği,
1
Au  max  G (t , s ) f ( s, u ( s ) )  s
0
1
p
   (s)  s  p
A
0
bulunur. O halde Teorem 4.4.1 in (ii) koşulu gerçeklenmiş olur.
67
Son olarak,
u  P ( , q, r ) ve Au  d ise  ( Au )  q
olduğunu gösterelim. Eğer u  P ( , q, r ) ve Au 
 ( Au )  min t [
1 ,1]
q
ise

Au (t )   Au  q
elde edilir. Buradan Teorem 4.4.1 in (iii) koşulu sağlanmış olur. LeggettWilliams sabit nokta teoreminin tüm koşulları gerçeklendiğinden (4.2.1)-(4.2.2)
sınır değer probleminin en az üç tane pozitif çözümü vardır.
Örnek 4.4.1
  0  1 / 3n : n   0  zaman skalasında
u  (t ) 
2000 u 3
u  (0)  0,
 0,
t  [0,1],
(4.4.1)
1 1 1 1
u (1)  u ( )  u ( )
3 9 9 3
(4.4.2)
u 3  4000
sınır değer problemini dikkate alalım. Burada,
1
1
1
1
  0,   1, m  4, 1  ,  2  ,  1  ,  2 
3
9
9
3
olduğu görülür.
5
36
16
5
, B  , 
Basit hesaplamalar ile, d  , A 
elde edilir.
9
20
15
54
2000 u 3
f (t , u )  f (u )  3
u  4000
68
[0, ) üzerinde sürekli ve artan fonksiyondur. Şimdi, Teorem 4.4.2 nin
koşullarının sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim. Eğer r  4000 alırsak,
lim u   f (u )  2000 olduğundan,
f (u )  2000 
r
 2222.2 , u  [0, r ]
A
bulunur. Böylece Teorem 4.4.2 nin (i) şartı gerçekleşmiş olur. f (5)  60.606
olduğundan
f (u ) 
54
q
 50.625 , u  [q, q ]
B
5
elde edilir. Böylece Teorem 4.4.2 nin (ii) şartı gerçekleşmiş olur. Son olarak
p  1 alalım. f (1)  0.499 olması nedeniyle
f (u ) 
p
 0.555 , u  [0, p ]
A
sağlanır. Böylece Teorem 4.4.2 nin (iii) şartı gerçekleşmiş olur. Yani, Teorem
4.4.2 nin tüm koşullarını sağlayan p  1, q  5 ve r  4000 sayıları vardır öyle ki
0 pq
B
r eşitsizliği gerçeklenir. O halde, (4.4.1)-(4.4.2) sınır değer
A
probleminin üç pozitif u1 , u 2 ve u 3 çözümü için
u1  1, min t[1 ,1] u 2 (t )  5, 1  u 3 , min t[1 ,1] u 3 (t )  5
eşitsizlikleri sağlanır.
69
5. SONUÇ
Bu tez çalışmasında ikinci mertebe lineer olmayan m-nokta sınır değer problemi
ele alınmıştır. Krasnosel’skii ve Leggett-Williams sabit nokta teoremleri ile koni
üzerindeki iki ve üç pozitif çözümünün varlığı incelenmiştir.
70
KAYNAKLAR DİZİNİ
1. Bohner, M. and Peterson, A., “Dynamic Equations on Time scales, An
Introduction with Applications”, Birkhauser, (2001).
2. Bohner, M. and Peterson, A., 2003, “Advances in Dynamic Equations on
Time Scales”, Birkhauser Boston.
3. S. Hilger, Analysis on measure chains a unifed approach to continuous and
discrete calculus, Results Math. 18 (1990) 18-56.
4. Deimling, K., 1985, “Nonlinear Functional Analysis, Springer, Newyork”.
5. C.P. Gupto, Solvability of a three-point nonlinear boundary value problem for
a second order ordinary differential equations, Journal of Mathematical
Analysis and Applications 168 (1992) 540-551.
6. V.A. I1’in, E.I. Moiseev, Nonlocal boundary value problem of the second kind
for a Sturm-Lioville operator, Differential equations 23 (8) (1987) 979-987.
7. V.A.I1’in, E.I. Moiseev, Nonlocal boundary value problem of the first kind
for a Sturm-Lioville operator in its differential and finite difference, aspects
Differential equations 23 (7) (1987) 803-810.
8. Atıcı, F.M. and Guseinov, G.Sh., 2002, “On Green’s functions and positive
solutions for boundary value problems on time scales”,
J. Comput. Appl. Math.,
141(1-2): 75-99 p.
71
9. Ruyun Ma, Multiplicity of positive solutions for second order three-point
boundary value problems, An Internal journal computers and mathematics
with applications 40 (2000) 193-204.
10. Ruyun Ma, Positive solutions of a nonlinear m-point boundary value problem,
An Internal journal computers and mathematics with applications
42 (2001) 755-765.
11. I.Y. Karaca, Multiple positive solutions for dynamic m-point boundary value
problems, dynam. Systems Appl. 17 (2008) 25-42.
12. J.R.L. Webb, Positive solutions of some three point boundary value problems
via fixed point index theory, Nonlinear Analysis 47 (2001) 4319-4332.
13. D. Guo, V. Lakshmikantham, Nonlinear Problems in Abstract cones,
Academic Pres, San Diego, 1988.
14. R.W.Leggett, L.R.Williams, Multiple positive fixed points of nonlinear
operators on ordered Banach spaces, Indiana Univ. Math. J. 28 (1979) 673688.
15. Bing Liu, Positive solutions of a nonlinear Three-point boundary value
problem, An Internal journal computers and mathematics with applications 44
(2002) 201-211.
72
16. Wing-Sum Cheung, Jingli Ren, Positive solution for m-point boundary value
problems, Journal of Mathematical Analysis and Applications 303 (2005)
565-575.
17. Xiujun Liu, Jiqing Qiu, Yanping Guo, Three positive solutions for second
order m-point boundary value problems, Applied Mathematics and
Computation 156 (2004) 733-742.
18. Yanping Guo, Jiwei Tian, Positive solutions of m-point boundary value
problems for higher order ordinary differential equations , Nonlinear Analysis
66 (2007) 1573-1586.
19. Wang Tong Li, Hong Rui Sun, Positive solutions for second order m-point
boundary value problems on time scales, Acta Mathematics Sinica, English
Series 22 no.6 (2006) 1797-1804.
20. G. Infante, J.R.L. Webb, Nonzero solutions of Hammerstein integral
equations with discontinuous kernels, Journal of Mathematical Analysis and
Applications 272 (2002) 30-42.
21. N. Aykut, Existence of positive solutions for boundary value problems of
second order functional difference equations, Computers and Mathematics
with Applications 48 (2004) 517-527.
22. Kaymakçalan, B. , Laksmikatham, V. and Sivasundaram, S. , “Dynamical
Systems on Measure Chains”, Math. And its Appl., Vol.
370, Kluwer Acedemic Publishers, Dordrecht, (1996).
73
ÖZGEÇMİŞ
26.04.1983
yılında
Çanakkale’de
doğdu.
İlk
öğrenimini
İstiklal
ilkokulunda, orta ve lise öğrenimini İzmir Anadolu Lisesinde tamamladı. 2006
yılında Ege Ünversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, Teorik Matematik
Ağırlıklı Matematik Lisans öğretim programından birincilikle mezun oldu. 2006
yılında Ege Ünversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, Analiz ve
Fonksiyonlar
Teorisi
Anabilim
dalında
yüksek
lisansa
başladı.