ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIF FİNAL SORULARI
1. a,b,c,d sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere,
x2 + cx + 4d = 0 denkleminin kökleri a ve b,
x2 + ax + 4b = 0 denkleminin kökleri c ve d ise b + d değerini bulunuz.
2.
sin 4 x + 4 cos 2 x −
cos 4 x + 4 sin 2 x ifadesinin en sade halini bulunuz.
3. x,y ∈ R ve x ≥ 0 olmak üzere,
x3 + 3y2 = 6x x + 15y eşitliğini sağlayan en büyük y değerini bulunuz.
4. a ≠ 0 ve a,b,c ∈ R olmak üzere
ax2 + bx + c ⟩ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi (-1,3) açık aralığıdır.
Buna göre, cx2 + bx + a ⟨ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
5. a ⟩ 0 olmak üzere, denklemi y = ax2 + bx + c olan parabolün tepe noktasının
1 5
koordinatı ( ,− ) dır. a + b + c toplamı bir tamsayı olduğuna göre,
2 3
a’ nın alabileceği en küçük değeri bulunuz.
6. P(x) = a 50 x 50 + a 49 x 49 + ...... + a1x + a 0 polinomunda
der [P( x )] = 50, a 50 ⟩ a 49 ⟩.....⟩ a 2 ⟩ a1 ve
her i ∈ {1,2,3...,50} için a i terimleri 3’ün katı olan ardışık tek sayılardır. P(x) polinomunun
sabit terimi 5 olduğuna göre, bu polinomun x + 1 ile bölümünden kalanı bulunuz.
ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIF FİNAL SORULARI
7.
Yandaki şekilde ABC üçgen
[AB] ⊥ [AC] , [PK ] ⊥ [BC] ,
∧
∧
BK = KC , m( ATP ) =m( PTC ) ,
AT = 3 cm, BT = 5 cm olduğuna göre,
CT nin kaç cm olduğunu bulunuz.
→
→
→
8. ABC üçgeninin iç bölgesinde bir P noktası alınıyor. PA + 2 PB +3 PC = 0 olduğuna göre,
ABC üçgeninin alanının, APC üçgeninin alanının kaç katı olduğunu bulunuz.
9.
Yandaki şekilde ABC üçgen
∧
∧
∧
m( BAC) =1100, m( BDA ) =600, m( BCA ) =400,
AB = 2 cm olduğuna göre, DC nin kaç cm
olduğunu bulunuz.
10.
Yandaki şekilde ABC üçgen
TK doğrusu [BC] doğru parçasının orta dikme
doğrusudur. [AK ] ve [TK ], ABC üçgeninin
çevrel çember üzerindeki K noktasında
∧
∧
kesişmektedirler. m( ABC) =510, m( ACB) =210
∧
∧
olduğuna göre, sin( TKA ) +cos( TKA ) ifadesinin
sayısal değerini bulunuz.
ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIF FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ
1. a,b,c,d sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere,
x2 + cx + 4d = 0 denkleminin kökleri a ve b,
x2 + ax + 4b = 0 denkleminin kökleri c ve d ise b + d değerini bulunuz.
Çözüm:
x 2 + cx + 4d = 0 ⇒ a + b = −c ⇒ a + c = −b
⇒b=d
x 2 + ax + 4b = 0 ⇒ c + d = −a ⇒ a + c = −d
a ⋅ b = 4d ⇒ a = 4
⇒ b = −8 ve
c ⋅ d = 4b ⇒ c = 4
2.
sin 4 x + 4 cos 2 x −
d = −8 ⇒ b + d = −16
Cevap: -16
cos 4 x + 4 sin 2 x ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözüm:
(sin 2 x ) 2 + 4 cos 2 x − (cos 2 x ) 2 + 4 sin 2 x = (1 − cos 2 x ) 2 + 4 cos 2 x − (1 − sin 2 x ) 2 + 4 sin 2 x
= cos 4 x + 2 cos 2 x + 1 − sin 4 x + 2 sin 2 x + 1
= cos 2 x + 1 − sin 2 x + 1
= cos 2 x + 1 − sin 2 x − 1
= cos 2 x − sin 2 x
= cos 2x
Cevap: cos 2x
ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIF FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ
3. x,y ∈ R ve x ≥ 0 olmak üzere,
x3 + 3y2 = 6x x + 15y eşitliğini sağlayan en büyük y değerini bulunuz.
Çözüm:
x 3 − 6 x 3 + 3 y 2 − 15 y = 0
5
75
=0
( x 3 − 3) 2 − 9 + 3( y − ) 2 −
2
4
5
111
(
x 3−
3
) 2 + 3( y − ) 2 =
2
4
min
max
5
111
x 3 − 3 = 0 ⇒ 3( y − ) 2 =
2
4
⇒y=
5
37
+
2
2
Cevap:
5
37
+
2
2
4. a ≠ 0 ve a,b,c ∈ R olmak üzere
ax2 + bx + c ⟩ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi (-1,3) açık aralığıdır.
Buna göre, cx2 + bx + a ⟨ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
y
b
c
x 2 + x + = ( x + 1)( x − 3) < 0 ⇒ x 2 − 2x − 3 < 0
a
a
b
⇒ = −2 ve
a
-1
0
3
a<0 olmalıdır.
x
cx 2 + bx + a < 0 ⇒
c
= −3
a
c 2 b
x + x +1> 0
a
a
⇒ −3 x 2 − 2x + 1 > 0
⇒ (3x - 1)(x + 1) < 0
1
⇒ Ç.K = x ∈ R : −1 < x <
3
1
Cevap: Ç.K = x ∈ R : −1 < x <
3
ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIF FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ
5. a ⟩ 0 olmak üzere, denklemi y = ax2 + bx + c olan parabolün tepe noktasının
1 5
koordinatı ( ,− ) dır. a + b + c toplamı bir tamsayı olduğuna göre,
2 3
a’ nın alabileceği en küçük değeri bulunuz.
Çözüm:
1
5
y = ax 2 + bx + c = a( x − ) 2 −
2
3
x = 1⇒ a + b + c = a
Diğer taraftan, −
1 5 3a − 20
− =
∈Ζ
4 3
12
5
fonksiyonun alabileceği en küçük değer olduğuna göre
3
a+b+c ≥ −
5
3a − 20
≅ −1,6 ⇒
≥ −1 ⇒ 3a − 20 ≥ −12
3
12
⇒ 3a ≥ 8
8
⇒a≥
3
Cevap:
8
3
6. P(x) = a 50 x 50 + a 49 x 49 + ...... + a1x + a 0 polinomunda
der [P( x )] = 50, a 50 ⟩ a 49 ⟩.....⟩ a 2 ⟩ a1 ve
her i ∈ {1,2,3...,50} için a i terimleri 3’ün katı olan ardışık tek sayılardır. P(x) polinomunun
sabit terimi 5 olduğuna göre, bu polinomun x + 1 ile bölümünden kalanı bulunuz.
Çözüm:
a 50 − a 49 = 6
a 48 − a 47 = 6
25 tane
a 2 − a1 = 6
P(-1) = 25 ⋅ 6 + 5 = 155
Cevap: 155
ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIF FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ
7.
Yandaki şekilde ABC üçgen
[AB] ⊥ [AC] , [PK ] ⊥ [BC] ,
∧
∧
BK = KC , m( ATP ) =m( PTC ) ,
AT = 3 cm, BT = 5 cm olduğuna göre,
CT nin kaç cm olduğunu bulunuz.
Çözüm:
Cevap:11
ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIF FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ
→
→
→
8. ABC üçgeninin iç bölgesinde bir P noktası alınıyor. PA + 2 PB +3 PC = 0 olduğuna göre,
ABC üçgeninin alanının, APC üçgeninin alanının kaç katı olduğunu bulunuz.
Çözüm:
D ve E noktaları sırasıyla AC ve BC kenarlarının orta noktası olsun.
→
→
→
PA + PC = 2.PD
→
→
→
2( PB+ PC) = 4.PE
→
→
→
→
→
PA + 2PB+ 3 PC = 2.(PD+ 2 PE) = 0
→
→
O halde PD ve PE vektörleri doğrusal ve PD = 2 PE olur.
Alan( ABC) 12S
=
=3
Alan( APC) 4S
Cevap:3
ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIF FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ
9.
Yandaki şekilde ABC üçgen
∧
∧
∧
m( BAC) =1100, m( BDA ) =600, m( BCA ) =400,
AB = 2 cm olduğuna göre, DC nin kaç cm
olduğunu bulunuz.
Çözüm:
1
3
2
3
Cevap:
2
3
ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIF FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ
Yandaki şekilde ABC üçgen
10.
TK doğrusu [BC] doğru parçasının orta dikme
doğrusudur. [AK ] ve [TK ], ABC üçgeninin
çevrel çember üzerindeki K noktasında
∧
∧
kesişmektedirler. m( ABC) =510, m( ACB) =210
∧
∧
olduğuna göre, sin( TKA ) +cos( TKA ) ifadesinin
sayısal değerini bulunuz.
Çözüm:
sin150 + cos150 = x ⇒ sin2150 + 2.sin150.cos150 + cos2150 = x2
1 + sin300 = x2
1+
1 2
3
6
=x ⇒
= x2 ⇒ x =
2
2
2
Cevap:
6
2
