Fresnel Denklemleri

Fresnel Denklemleri
© 2008 HSarı
1
Ders İçeriği
•
•
•
•
© 2008 HSarı
Ara Yüzeyde Maxwell Denklemleri
Fresnel Eşitlikleri
Yansıma
Kırılma
2
Kaynak
Optics
Eugene Hecht, Alfred Zajac
Addision-Wesley,1990
© 2008 HSarı
3
Geometrik Optik
Kırılma indisleri farklı olan ortam arayüzeyinde ışığın davranışı
Geometrik optik bilgilerimizden
ni: Işığın geliş
ortamın kırılma
indisi
θi
θr
θt
1. ortam
nt: Işığın geçtiği
ortamın kırılma
indisi
Yansıma Yasası
θi=θr
2. ortam
θC
θt
θr
Snell Yasası
nisinθi=ntsinθt
İç Yansıma
θC=sin-1(ni/nt)
Gelen ışığın ne kadarı yansır, ne kadarı geçer?
© 2008 HSarı
Işığın dalga özelliklerini kullanarak ışığın farklı kırılma
indisine sahip ortam arayüzeyindeki davranışını inceleyelim
4
Fresnel Eşitlikleri-1
yz düzleminin, kırılma indisleri ni ve nt olan iki ortamı ayıran ara yüzey
olduğunu kabül edelim. θi açısı ile gelen bir elektromanyetik dalgayı düşünelim
Eoi
x
ki, ωi
Geliş düzlemi
ni: Işığın geliş ortamın
kırılma indisi
θi
1. ortam
un
z
2. ortam
nt: Işığın geçtiği ortamın
kırılma indisi
y
ki = gelen ışığın dalga vektörü,
ωi = ışığın açısal frekansı
Eoi= gelen dalganın genliği
© 2008 HSarı
ki , ωi ve Eoi değerlerini bildiğimizi kabül edelim
5
Fresnel Eşitlikleri-2
Geliş Düzlemi: ki ve düzlem normal vektörü un ile tanımlanan düzlem
E
un
Ei alanının yönelimi
φi: Geliş düzlemi ile elektrik alan Eo’nin yaptığı açı
Geliş düzlemi
Eo
k
φi
ni
Eo
nt
© 2008 HSarı
Eoi
G
Eoi = ( Eoi′′ ) 2 + ( Eoi⊥ ) 2
Eoi⊥
tan Φ i =
Eoi′′
6
Fresnel Eşitlikleri-3
Durum-I:p-kutuplanması (alan vektörü (E) geliş düzlemine paralel ise
Eo
( E oi′′ ≠ 0, E oi⊥ = 0)
k
Eop = Eoi′′
Transverse Magnetic (TM Kutuplanması)
Durum-II: s-kutuplanması (alan vektörü(E) geliş düzlemine dik ise
( E oi′′ = 0, E oi⊥ ≠ 0)
E os = E oi⊥
Eo
k
Transverse Electric (TE Kutuplanması)
Geliş düzlemi ile herhangi bir açıda olan elektrik alan s- ve p- bileşenleri cinsinden ifade edilebilir
© 2008 HSarı
G
Gs
Gp
Eo = aEo + bEo
7
Fresnel Eşitlikleri-4
Gelen (Ei), yansıyan (Er) ve geçen dalgalar (Et) için elektrik alan vektörleri
E i = E oi e i ( k i r −ωi t )
y
Ei
ki, ωi
E r = E or e i ( k r r −ωr t +φr )
θi
Er
θr
x
θt
Et
E t = E ot e i ( k t r −ωt t +φt )
© 2008 HSarı
8
Fresnel Eşitlikleri-5
Er ve Et alanlarını nasıl bulabiliriz?
Sınır değerlerden Er ve Et’nin değerlerini bulabiliriz.
Elektromanyetik dalga için sınır değer koşulları:
1) Elektrik alanın E teğetsel bileşenleri iki ortamın sınırı boyunca süreklidir
2) D alanının normal bileşenleri iki ortamın sınırı boyunca süreklidir
3) Manyetik alanın H normal bileşenleri iki ortamın sınırı boyunca süreklidir
4) B alanının teğetsel bileşeni iki ortamın sınırı boyunca süreklidir
D=εE ve H=B/μ
© 2008 HSarı
9
Fresnel Eşitlikleri-6
Ei
Yukarıdaki şartları matematiksel olarak ifade etmeye çalışırsak:
ki, ωi
(Elektrik alanın sürekliliğinden)
1)
2)
y
θ
θ
i
r
θ
G
G
( E i + E r ) y =0
[
]
tegetsel
G
= ( E t ) y =0
G
G
ε i ( E i + E r ) y =0
[
]
G
= ε t ( E t ) y =0
normal
[
[
Er
x
Et
t
]
tegetsel
]
normal
(Manyetik alanın sürekliliğinden)
© 2008 HSarı
4)
G
⎤
⎡1 G
⎤
⎡1 G
= ⎢ ( Bt ) y =0 ⎥
⎢ ( Bi + Br ) y =0 ⎥
⎦ tegetsel
⎦ tegetsel ⎣ μ t
⎣ μi
3)
[
G
G
( B i + Br ) y =0
]
normal
[
G
= ( Bt ) y =0
]
normal
10
Fresnel Eşitlikleri-7
E ve B alanlarını birbirleri cinsinden ifade edersek
E
B
= vm =
c
nm
B =
nm
E
c
vm: ışığın madde içindeki hızı, nm: k. indisi
n= ε
⇒ n2 = ε
εm
n =
εo
μi = μ r = μt = μo
2
m
Ortamlar manyetik olmadığından
Yukarıdaki 3 ve 4 nolu denklemler şu şekilde tekrardan yazılabilir:
3’)
4’)
© 2008 HSarı
G
⎤
⎡ nt G
⎤
⎡ ni G
(
E
E
)
(
E
)
=
+
i
r y =0 ⎥
t y =0 ⎥
⎢
⎢c
⎦ tegetsel
⎦ tegetsel ⎣ c
⎣
G
⎡ nt G
⎤
⎡ ni G
⎤
(
E
E
)
(
E
)
+
=
i
r y =0 ⎥
t y =0 ⎥
⎢c
⎢c
⎣
⎦ normal ⎣
⎦ normal
11
Fresnel Eşitlikleri-8
Faz eşleme şartından (y=0 da gelen, yansıyan ve geçen dalganın fazları eşit olacağından)
Ei
ki, ωi
E i = E oi e i ( k i r −ωi t )
y
θ
θ
i
r
θ
Er
x
Et
t
G
G
G
( E i + E r ) y =0 = ( E t ) y =0
E r = E or e i ( k r r −ωr t +φr )
E t = E ot e i ( k t r −ωt t +φt )
eşitliğinin sağlanması için üstel ifadelerin eşit olması gerekmektedir.
( k i .r − ω i t ) y =0 = ( k r .r − ω r t + φ r ) y =0 = ( k t .r − ω t t + φ t ) y =0
Bu ifadenin önce zaman kısmının eşitliğine bakalım
ωi = ωr = ωt = ω
© 2008 HSarı
(frekansı her ortamda aynı)
12
Fresnel Eşitlikleri-9
( k i .r − ω i t ) y =0 = ( k r .r − ω r t + φ r ) y =0 = ( k t .r − ω t t + φ t ) y =0
Uzaysal kısmına bakarsak
(k i .r ) y =0 = (k r .r + φ r ) y =0 ⇒ [(k i − k r ).r ]y =0 = φ r
( k i − k r ) x .x + ( k i − k r ) z .z = φ r
(ki-kr)x= sabit=α
(ki-kr)z= sabit=γ
αx+γz=φr
• (ki-kr) sınıra diktir
• k vektörünün büyüklüğü |k|=2π/λ dir. ki ve kr aynı ortamda olduğu için |ki|=|kr|
• un birim vektörü x-z düzlemine dik olduğundan (ki-kr), un’e paraleldir.
ki
kr
© 2008 HSarı
ki
θi
u
ki-kr
y
θr
kr
un
x
ki-kr
Et
13
Fresnel Eşitlikleri-10
y
θr
θi
ki
Bu sebepten unx(ki-kr)=0
kr
un
x
unxki= unxkr
ki-kr
Et
|un||ki|sin(π-θi)=|un||kr|sin(θr)
sin(π-θi)=sin(θr)
θi
ki
θi=θr
sin(θi)=sin(θr) =>
y
θr
π-θi
un
x
θ
ki
Et
© 2008 HSarı
Yansıma Kanunu
ki
y
θ
θi=θr =θ
kr
x
14
Fresnel Eşitlikleri-11
Ödev Değil:
Sahilde güneşlenirken
kıyıda boğulan birini
kurtarmak için ışık gibi
davranırmısınız?
Işık θi=θr olduğunu nasıl anlar? (faz eşlemesi)
( k i .r ) y =0 = ( k t .r + φ t ) y =0
[(k i - k t ).r ]y =0 = φt
θi
y
θr
ki
kr
Sınıra paralel ve (ki-kt) normal düzlem denklemi
un
x
ki-kr
Et
Bu sebepten
unx(ki-kt)=0
unxki= unxkt
|un||ki|sin(π-θi)=|un||kt|sin(θt)
Ödev 1:
unx(ki-kt)=0
Ortamlar farklı olduğundan |ki|≠|kt|
olduğunu gösteriniz
u
ki
kt
© 2008 HSarı
|ki|sin(θi)=|kt|sin(θt)
|ki|=ωi/vi= ωi/(c/ni)=(ωi /c).ni
|kt|=ωt/vt= ωt/(c/nt)=(ωt/c).nt
θi
y
ki
x
ki-kr
nisin(θi)=ntsin(θt) Snell Yasası
kt
θt
15
Fresnel Eşitlikleri-12
Genliklerin Eşitliği Şartından
s-kutuplanmış ışın:
1)
2)
Gs Gs
Gs
( E oi + E or ) tegetsel = ( E ot ) tegetsel
Gs
Gs
Gs
uˆ n .(ε i Eoi + ε i Eor ) = (ε t Eot ).uˆ n
(s-kutuplanmış dalgada hiç normal bileşen yoktur)
Bir denklem ve iki tane bilinmeyen var. Dolayısı ile bir denkleme, ki bu da manyetik alanı içeren
denklem olacaktır, daha ihtiyacımız olacaktır.
(Teğetsel H bileşeni sürekli olacaktır)
3)
−
Bois
μi
cos θ i + −
Bors
Ortamlar manyetik olmadığı için
μr
cos θ r = −
Bots
μt
cos θ t
μi = μ r = μt = μo
Eoi
n
c
= vi = ⇒ Boi = i Eoi
ni
c
Boi
© 2008 HSarı
3’)
− E ois ni cos θ i + E ors ni cos θ r = − E ots nt cos θ t
16
Fresnel Eşitlikleri-13
3’)
− E ois ni cos θ i + E ors ni cos θ r = − E ots nt cos θ t
θi=θr olduğundan => cosθr= cosθi
E ors
ni cos θ i − nt cos θ t
=
ni cos θ i + nt cos θ t
E ois
Benzer işlemler gelen ve geçen ışık için de yapılırsa
© 2008 HSarı
E ots
2ni cos θ i
=
ni cos θ i + nt cos θ t
E ois
17
Fresnel Eşitlikleri-14
Fresnel Katsayılarının Tanımı:
Fresnel Katsayıları s- ve p-kutuplu ışık için yansıma ve geçiş katsayılarını verir.
s-kutuplu ışık
p-kutuplu ışık
© 2008 HSarı
E ors
rs ≡ s
E oi
s-kutuplu ışık için yansıtma katsayısı
Eots
ts ≡ s
Eoi
s-kutuplu ışık için geçirme katsayısı
E orp
rp ≡ p
E oi
p-kutuplu ışık için yansıtma katsayısı
E otp
tp ≡ p
E oi
p-kutuplu ışık için geçirme katsayısı
18
Fresnel Eşitlikleri-15
s-kutuplanmış ışık için Fresnel katsayıları:
E ors
n cos θ i − nt cos θ t
rs ≡ s = i
E oi ni cos θ i + nt cos θ t
E ots
2ni cos θ i
ts ≡ s =
E oi ni cos θ t + nt cos θ i
p-kutuplanmış ışık için Fresnel katsayıları:
E orp nt cos θ i − ni cos θ t
rp = p =
E oi nt cos θ i + ni cos θ t
E otp
2ni cos θ i
tp = p =
E oi nt cos θ i + ni cos θ t
© 2008 HSarı
19
Fresnel Eşitlikleri-16
Ödev 2:
Yukarıdaki Fresnel katsayılarını daha da basitleştirerek (Snell Kanunu
kullanılarak yapılabilir)
sin(θ i − θ t )
rs = −
sin(θ i + θ t )
2 sin θ i sin θ t
ts = +
sin(θ i + θ t )
tan(θ i − θ t )
rp = +
tan(θ i + θ t )
2 sin θ t cosθ i
tp = +
sin(θ i + θ t ) cos(θ i − θ t )
sadece açılar cinsinden ifade ediniz.
© 2008 HSarı
20
Fresnel katsayıları
Yüzey normali
rp,s
Ep
k
1,0
0,8
tp
rp
θi
ts
θB
0
Es
-0,8
rs
tp,,s
Hava-cam arayüzey
-1,0
0o
θi (derece)
90o
- Eğer nt > ni olduğunda θi > θt ve rs bütün θi değerleri için negatiftir
- rp, θi=0o da pozitif bir değerden başlayarak yavaşca azalır,
θi+θt =90o olduğu zaman sıfıra eşit olur ve θi’nin bu değerinin
ötesindeki değerlerde de negatif olur
- Negatif değer, gelen ve yansıyan dalga arasında 180o’lik faz farkının
oluşaçağını göstermektedir
© 2008 HSarı
Eors
n cos θt
= −1
rs ≡ s = − t
Eoi
nt cos θt
Eors = − Eois
21
Dış Yansıma (ni < nt)
Fresnel Katsayıları
1,0
0,8
tp
rp
Yüzey normali
Ep
ni
k
rp,s
ts
θB
0
-0,8
θi
rs
Hava-cam yüzeyi
Es
-1,0
nt
θi (derece)
0o
tp,s
90o
Faz (Yansıyan ışık)
180o
Δφs
Δφp
© 2008 HSarı
ni < nt
0o
0o
θi (derece) θB
90o
22
Dış Yansıma (ni < nt)
x
s-kutuplu ışık
180o
Ei
Δφs
ki
ni
Δφp
Eors
n cos θt
= −1
rs ≡ s = − t
Eoi
nt cos θt
kr
ni < nt
Er
θi =0o
Eors = − Eois
z
nt
kt
ni < nt
0o
0o
θi (derece) θB
90o
Dağıtılmış Bragg Yansıtıcısı-Aynası
(Distributed Bragg Reflector (DBR))
d=λ/4
R
yansıtma önleyici kaplamalar
d=λ/4
1
R = r.r * =
Δλ
λ
nk nb nk nb
⎡ ( − nb / nk ) N − ( − nk / nb ) N
2
R= r =⎢
N
N
© 2008⎢⎣ (HSarı
− nb / nk ) + ( − nk / nb )
⎤ ⎡ ( nb / nk )2 N − 1 ⎤
⎥ =⎢
⎥
2N
⎥⎦ ⎢⎣ ( nb / nk ) + 1 ⎥⎦
x
no
N
2
(no n2 − n )
(no n2 − n )
2 2
1
2 2
1
2
R=0
n12 = no n2 ⇒ n1 = no n2
n1
d=λ/4
n2
23
Brewster Açısı
rp‘nin sıfır olduğu bu özel geliş açısına kutuplanma açısı (veya Brewster açısı) denir ve θB ile gösterilir
1,0
0,8
x
p-kutuplu
gelen ışın
kr
rp
ni
θp
0
yansıyan
ışık yok !
θp
ki
z
nt
-0,8
rs
ni
Hava-cam θp=56.3o
-1,0
θi (derece)
0o
kt
90o
x
kutuplanmamış ışık
kr
bu değerde gelen kutuplanmamış
ışık, yansıdıktan sonra
kutupanacaktır
© 2008 HSarı
ni
p-kutuplu
geçen ışın
s-kutuplu (TE)
p-kutuplu (TM)
θp
ki
z
nt
θt
24
İç Yansıma (ni > nt)
Yüzey normali
Ep
ni
k
rp,s
Fresnel Katsayıları
1,0
θi
ts
Es
nt
tp
0
rs
rp
tp,s
-1,0
ni > nt
θ‘B θc
0o
θi (derece)
90o
Faz (Yansıyan ışık)
180 o
Δφs
0
© 2008 HSarı
Δφp
ni > nt
0o
θ'p θc
θi (derece)
90o
25
Yansıtma ve Geçirme Katsayıları-1
Yansıma (r) ve geçirme (t) katsayıları, gelen, geçen ve yansıyan ışığın
genlikleri (karmaşık sayı) hakkında bilgi verir
Geçen ve yansıyan ışığın şideti (parlaklığı) hakkında ne söylenebilir?
Ii=<Si>
Ir=<Sr>
θi
θr
ni
z
A
y
nt
θt
Yansıtma
I r cos θ r I r
R≡
=
I i cos θ i I i
Geçirme
I t cos θ t
T≡
I i cos θ i
© 2008 HSarı
It=<St>
R +T =1
R= r
2
nt cos θt 2
T=
t
ni cos θi
26
Yansıtma ve Geçirme Katsayıları-2
Yansıtma (reflectance) R
R p = rp
2
Rs = rs
2
Normal doğrultuda gelen ışın için θ=0 Rs ve Rp değerleri aynı değere yaklaşır
1,0
Tp
Ts
Rs
Rp
0
0o
n −n
R (θ = 0) = Rs = R p = t i
nt + ni
θi (derece)
θp
90o
2
T (θ = 0) = Ts = Tp =
4nt ni
( ni + nt ) 2
Ödev 3: Havadan cam yüzeyine normal geliş açısında gelen ışığın yüzde kaçı geri yansır?
© 2008 HSarı
27
Fresnel Eşitlikleri-16
Havadan kırılma indisi nt olan ortama giren ışın için
R (θ = 0) = Rs = R p =
nt − 1
nt + 1
2
Ödev 4: Havadan, kırılma indisi tümüyle sanal olan bir ortama θ=0 açıda giren ışık için
yansıtma katsayısını (R) bulunuz?
© 2008 HSarı
28
Özet
Yansıtma (reflectance) R
R≡ r
2
R p = rp
Rs = rs
I t cos θt
T≡
I i cos θi
2
2
nt cos θt 2
T=
t
ni cos θi
R +T =1
Normal doğrultuda gelen ışın için θ=0 Rs ve Rp değerleri aynı değere yaklaşır
© 2008 HSarı
29