Işığın Kutuplanması

Işığın Kutuplanması
© 2008 HSarı
1
Ders İçeriği
•
•
•
•
•
© 2008 HSarı
Kutuplanma
Doğrusal Kutupluluk
Dairesel Kutuplanma
Eliptik Kutuplanma
Jones Vektörleri ve Matrisleri
2
Işığın Kutuplanması
z-yönünde ilerleyen EM dalga (ışık) için elektrik ve manyetik alan bileşenleri
x
E
E(z, t) = Eo ei (k.z −ωt +φ )
y H
z,
k
H (z, t) = H o ei (k.z −ωt +φ )
Işığın kutuplanma doğrultusunu elektrik alanın doğrultusudur.
Manyetik alan doğrultusunu değil de elektrik alanı seçmek optikte gelenektir.
x
i
Eo
z
j
y
© 2008 HSarı
E (z, t) = Eo e − i(kz −ωt +φ) = ( Eox iˆ + Eoy ˆj )e − i(kz −ωt +φ )
k
Eo alanının yönü ışığın kutuplanma doğrultusudur
3
Kutuplanmamış Işık
Doğal ışık (kutuplanmamış ışık) anlık elektrik alan doğrultusu (Eo) ışığın yayılma
doğrultusuna dik düzlem içinde (ışık z-doğrultusunda yayılıyor ise, xy düzlemi)
kalacak şekilde zaman içinde sürekli değişim göstermektedir.
Kutuplanmamış ışığın kutuplanma yönü gelişigüzel değişir.
KutuplanMAmış Işık
k
E
(örnek: Termal ışık
kaynakları, LED,
güneş ışığı)
ε2
E
E
k
ε1
E
x
y
k
ν=(ε2-ε1)/h
z
t=0
Kutuplanmış Işık
(örnek: lazerler)
E
E
ε2
k
x
E
k
ε1
© 2008 HSarı
E
ν=(ε2-ε1)/h
k
y
z
t=0
4
Işığın Kutupluluğunun Önemi
- Kırılma indisleri farklı iki ortamın ara yüzeyinden yansıyan ve
ikinci ortama geçen ışığın miktarı kutuplanmaya bağlıdır
- Işığın ortamda soğrulması
doğrultusuna bağlıdır
ve
saçılması
kutuplanma
- Anizotropik ortamdaki hız kutuplanmaya bağlıdır
- Işığın kutuplanma özelliğine dayanan bir çok optoelektronik
devre elemanı vardır (sıvı kristaller, genlik modülatörleri)
© 2008 HSarı
5
Işığın Kutupluluğu
+z doğrultusunda ilerleyen, genlikleri (Eo1 ve Eo2) olan, birbirlerine dik iki EMD’yi düşünelim.
Bu iki dalganın aralarında birbirlerine göre faz farkı δ ise bu dalgaları
ˆ o 2 cos(kz − ωt )
E1 = iE
x
j
E1
z
i
y
x
k
δ
E2 = ˆjEo 2 cos(kz − ωt ± δ )
z
k
y
E2
Toplam elektrik alan bu iki alanın vektörel toplamı olacağı için E=E1+E2
ˆ o1 cos(kz − ωt ) + ˆjEo 2 cos(kz − ωt ± δ )
E = iE
Alan genlikleri ve faz farkı δ’ye bağlı olarak
Her hangi Eo1 ve Eo2 ve δ=0 ve π
Eo1=Eo2=Eo ve δ = π/2
© 2008 HSarı
Eo1≠Eo2
ve δ = π/2
Doğrusal Kutuplu
Dairesel Kutuplu
Eliptik Kutuplu
6
Doğrusal Kutupluluk
δ=0 Doğrusal Kutuplu
ˆ o1 cos(kz − ωt ) + ˆjEo 2 cos(kz − ωt )
E = iE
Doğrusal kutuplanmış ışıkta alan doğrultusu zaman içinde değişmez
x-doğrultusunda kutuplanmış ışığın doğrultusu zamanla değişmez (yönü ise ω sıklığı ile değişir)
x
x
x-Kutuplanma doğrultusu
E
Eo
x
E
+z
y
H
y
y
H
z, k
z=0 , E(t)
© 2008 HSarı
t=0, E(z)
x-doğrultusunda doğrusal kutuplanmış ışık
7
Doğrusal Kutuplulu Işık-2
Eo1≠Eo2 ve δ =0
x
φ
x
tan φ =
Eo φ Eox
Eoy
Eox
+z
y
Eoy
y
z
H
z=0 , E(t)
© 2008 HSarı
E
t=0 , E(z)
Eo1=Eo2 ve δ=0 tanφ=45o
8
Doğrusal Kutuplayıcı
Doğrusal kutuplayıcı, kutuplanmamış ışığı doğrusal olarak kutuplayan optik elemandır.
Doğrusal kutuplayıcının bir çok çeşidi vardır. “dichroism” olarak bilinen özellik doğrusal
kutuplayıcılarda ışık soğurması izotropik olmayan maddelerdir. Bu özellikteki maddelerde
belli bir doğrultuda kutuplanmış ışığın soğrulması diğer doğrultulara göre daha fazladır
dolayısı ile bu maddede ilerleyen ışığın sadece bir doğrultuda alan çizgileri soğrulmadan geçebilir
Doğrusal Kutuplanmış ışık
Kutuplanmamış ışık
E
Gelen ışık
Kutuplanmamış ışık
E
Geçiş Ekseni, çok az kayıpla veya kayıpsız olarak ışığın geçebildiği eksen
© 2008 HSarı
9
Doğrusal Kutuplayıcı
Doğrusal
Kutuplanmış ışık
E
Kutuplanmamış ışık
I
Gelen
ışık
I1
E1=E.cos[θ(t)]
θ
Işık şiddeti
Ortalaması alındığında
I1=I.cos2θ
I1=I<cos2θ>=Ι/2
Geçiş Ekseni, çok az kayıpla veya kayıpsız olarak ışığın geçebildiği eksen
© 2008 HSarı
10
Dairesel Kutuplu Işık-1
Genlikleri aynı (Eo), doğrusal olarak birbirlerine dik iki kutuplanmış EMD’yi düşünelim.
Bu iki dalganın aralarındaki faz farkı δ=±π/2 ise
Eo1=Eo2=Eo ve δ=±π/2 Dairesel Kutuplu
x
ˆ o cos(kz − ωt )
E1 = iE
E1
π
E2 = ˆjEo cos(kz − ωt ± ) = ∓ ˆjEo sin(kz − ωt )
2
φ=π/2
z
k
y
Toplam elektrik alan E=E1+E2
E2
E = Eo ⎡⎣iˆ cos(kz − ωt ) ∓ ˆjEo sin(kz − ωt ) ⎤⎦
x
E1
k
y
z
E2
Bu eşitlik, elektrik alan vektörü (Eo) bir noktada sabit genliği olan fakat ω açısal hızı ile dönen
bir dalga denkleminin çözümü olarak yorumlanabilir.
Bu tür bir dalgaya dairesel olarak kutuplanmıştır denir.
© 2008 HSarı
Eo1=Eo2=Eo ve δ= − π/2 Dairesel Sağ El Kutuplu
Eo1=Eo2=Eo ve δ= + π/2 Dairesel Sol El Kutuplu
11
Sağ El Yönünde Dairesel Kutuplanmış Işık
Eo1=Eo2=Eo ve δ= - π/2 Dairesel Kutuplu
Faz farkının φ=- π/2 olduğu duruma ( veya - nπ/2 n:tamsayı) bakalım
E = Eo ⎡⎣iˆ cos(kz − ωt ) + ˆjEo sin(kz − ωt ) ⎤⎦
z=0
E
x
z=λ/4
x
-z
E
ω
k= ExH
+z
y
z=λ/2
H
x
E
y
k=ExH
z=0
y
+z
z=0 , E(t)
(a)
t=0 , E(z)
(b)
(Akılda kalması için eğer yayılma yönünü sağ elin baş parmağı ile gösterirsek
diğer parmakların yönü elektrik alanın uzay içinde yönünün değişme yönünü gösterecektir)
© 2008 HSarı
12
Sol El Yönünde Dairesel Kutuplanmış Işık
Eo1=Eo2=Eo ve δ=+π/2 Dairesel Kutuplu
Faz farkının φ=+π/2 olduğu duruma ( veya +nπ/2 n:tamsayı) bakalım
E = Eo ⎡⎣iˆ cos(kz − ωt ) − ˆjEo sin(kz − ωt ) ⎤⎦
z=0
E(z)
x
z=λ/4
x
E(t)
-z
ω
k= ExH
+z
y
z=0
z=λ/2
H
k
y
k=ExH
t=0
z=0 , E(t)
(a)
+z
t=0 , E(z)
(b)
Akılda kalması için eğer yayılma yönünü sol elin baş parmağı ile gösterirsek diğer parmakların
yönü elektrik alanın uzay içinde yönünün değişme yönünü gösterecektir
© 2008 HSarı
13
Dairesel Kutupluluk-Kompleks Gösterim
Yukarıdaki dairesel kutuplanmış ışığın gösteriminde kompleks notasyon kullanırsak
E = iˆEo exp i (kz − ωt ) + ˆjEo exp i (kz − ωt ± π 2)
e iπ
2
=i
E = Eo ei ( kz −ωt )
E = Eo (iˆ ∓ ˆji )ei ( kz −ωt )
Bu denklem genel olarak dairesel kutuplanmış ışığı göstermektedir
Eğer işaret (+) ise dalganın alan genliği sağ, (-) ise sol el yönünde dönüyor demektir
Her iki durumda da dalganın gerçek genliğinin büyüklüğünün aynı olduğuna dikkat ediniz
© 2008 HSarı
14
Eliptik Kutuplu Işık
Genlikleri farklı, doğrusal olarak birbirlerine dik iki kutuplanmış EMD’yi düşünelim.
Bu iki dalganın aralarındaki faz farkı δ= ± π/2 ise
Eo1 ≠ Eo2 ve δ= ± π/2 Eliptik Kutuplu
x
ˆ o1 cos(kz − ωt )
E1 = iE
E1
π
E2 = ˆjEo 2 cos(kz − ωt ± ) = ∓ ˆjEo 2 sin(kz − ωt )
2
φ=π/2
z
k
y
Toplam elektrik alan E=E1+E2
E2
E = Eo1iˆ cos(kz − ωt ) ∓ ˆjEo 2 sin(kz − ωt )
x
H
ω
E
ω
y
Eliptik kutuplanmış ışık
Dairesel kutuplanmada olduğu gibi δ= ± π/2 işaretlerine bağlı olarak eliptik kutuplanmada
da sağ el ve sol el yönlü kutuplanma sözkonusu olabilir.
Dairesel ve Eliptik kutuplanmanın en büyük farkı dalganın genliğinin büyüklüğünün değişiyor olmasıdır.
© 2008 HSarı
15
Dairesel kutuplanmada genliğin vektörü dönmesine rağmen hep sabit kalmaktadır.
Eliptik Kutuplulu Işık
E = Eo1iˆ cos(kz − ωt ) ∓ ˆjEo 2 sin(kz − ωt )
x
x
Eo(t)
-z
δ= − π/2
k= ExH
+z
δ= + π/2
y
z=0
z=0 , E(t)
© 2008 HSarı
Ex
x
δ= ± π/2
y
E
ω
Ey
+z
y
t=0 , E(z)
16
Ödev 4.1:
(a) Genlikleri farklı
E x ( z , t ) = Eox cos(kz − ωt )
π
E y ( z , t ) = Eoy cos(kz − ωt + )
2
2
olarak verilen ışığın
⎛ Ex ⎞ ⎛ E y
⎜
⎟ + ⎜⎜
⎝ Eox ⎠ ⎝ Eoy
2
⎞
⎟⎟ = 1
⎠
elips denklemini sağladığını gösteriniz.
(b) Faz farkının δ olduğu durumunda en genel olarak elips denkleminin
2
2
⎛ Ex ⎞ ⎛ E y ⎞
⎛ Ex ⎞ ⎛ E y
⎟⎟ − 2 ⎜
⎜
⎟ + ⎜⎜
⎟ ⎜⎜
⎝ Eox ⎠ ⎝ Eoy ⎠
⎝ Eox ⎠ ⎝ Eoy
© 2008 HSarı
⎞
2
⎟⎟ cos(δ ) = sin (δ )
⎠
17
Kutupluluk-Kompleks Gösterim
Kutuplamayı genelleştirmek istersek, eğer kompleks bir alan vektör genliği tanımlarsak
E = Eo ei ( kz −ωt )
ˆ o1 + ˆj (iEo 2 )
Eo = iE
iˆ ve ˆj
i
birim vektörler
karmaşık sayı
Yukarıdaki gösterim her türden kutuplanmayı ifade etmektedir
Eğer Eo;
Gerçek ise: doğrusal kutuplanmış dalgayı,
Karmaşık ise: eliptik kutuplanmış dalgayı,
Sanal ve gerçek kısımları eşit ise: dairesel kutuplanmayı temsil edecektir.
© 2008 HSarı
18
Kutupluluk-Jones Vektör Gösterimi
Bir EMD’nın kompleks genliği en genel şekilde
x
E = ˆiE ox + ˆjE oy
z
i
Burda Eox ve Eoy‘nin her ikisi de kompleks olabilir. Üstel şekilde
y
j
k
Eox = Eox e iφ x
E oy = E oy e
iφ y
şeklinde yazılabilir.
Yukarıdaki kompleks genlikli denklem çiftini Jones vektör olarak bilinen matris
formunda şu şekilde yazabiliriz
iφ
⎡ Eox ⎤ ⎡ Eox e x ⎤
E=⎢ ⎥=⎢
iφ y ⎥
E
⎣ oy ⎦ ⎢⎣ Eoy e ⎥⎦
Bu Jones vektörü
© 2008 HSarı
E ox
2
+ E oy
2
ifadesine bölerek normalize edilebilir
19
Kutupluluk-Jones Vektörleri
Örneğin
⎡E ⎤
⎡1 ⎤
E = ⎢ o ⎥ = Eo ⎢ ⎥
⎣0⎦
⎣0⎦
E
x
z
i
y
k
j
ifadesi, x-doğrultusunda doğrusal olarak kutuplanmış A genlikli bir dalgayı temsil etmektedir. Benzer şekilde
x
⎡0⎤
⎡0⎤
E = ⎢ ⎥ = Eo ⎢ ⎥
⎣1 ⎦
⎣ Eo ⎦
E
y
z
i
k
j
ise y-doğrultusunda kutuplanmış dalgayı temsil etmektedir.
x-ekseni ile 45o kutuplanmış dalga için ise gösterim
E
⎡ Eo ⎤ Eo ⎡1⎤
E=⎢ ⎥=
⎢⎥
2 ⎣1⎦
⎣ Eo ⎦
© 2008 HSarı
x
z
i
y
j
k
20
Kutupluluk-Jones Vektörleri
Dairesel olarak kutuplanmış dalgayı ise
sol el yönünde olduğu durumda
⎡1⎤
⎢i ⎥
⎣⎦
sağ el yönünde olduğu durumda
⎡1⎤
⎢− i ⎥
⎣ ⎦
Jones vektör gösteriminin en büyük kolaylığı kutuplanmış birden çok dalgayı topladığımızda ortaya çıkar.
Örnek olarak genlikleri aynı biri sağ, diğeri sol el yönünde dairesel olarak kutuplanmış
iki vektörün toplamının bulmada kullanalım.
+
=
⎡ 1 ⎤ ⎡1⎤ ⎡ 1 + 1 ⎤ ⎡2⎤
⎡1 ⎤
⎢ − i ⎥ + ⎢i ⎥ = ⎢ − i + i ⎥ = ⎢ 0 ⎥ = 2 ⎢0 ⎥
⎦ ⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎣ ⎦ ⎣⎦ ⎣
Son ifade x-yönünde doğrusal olarak kutuplanmış genliği 2 kat olan dalgayı vermektedir
© 2008 HSarı
21
Kutupluluk-Jones Vektörleri
Bazı Jones vektörlerinin gösterimi:
x
0
1
x
y
x
1
i
y
x
y
x
2
i
y
© 2008 HSarı
1
0
1
-i
y
x
1
-2i
y
22
Kutupluluk-Jones Matrisleri
Işığın kutuplanma durumu düzlemde vektörlerle Jones Vektörleri ile temsil edildiği gibi
benzer şekilde optik elemanlar da Jones Matrisleri ile gösterebiliriz
⎡ A⎤
⎢B⎥
⎣ ⎦
Optik elemana gelen kutuplanmış ışık
Optik elemandan çıkan kutuplanmış ışık
y
⎡ A' ⎤
⎢ '⎥
⎣⎢ B ⎦⎥
y
A
B
x
A’
B’
x
⎡a b ⎤
⎢c d ⎥
⎣
⎦
⎡ a b ⎤ ⎡ A⎤ ⎡ A' ⎤
⎢c d ⎥ . ⎢B⎥ = ⎢ ' ⎥
⎣
⎦ ⎣ ⎦ ⎣B ⎦
⎡a
© 2008 HSarı
b⎤
Burada ⎢
⎥
⎣c d ⎦
optik elemanın Jones Matrisi dir
23
Kutupluluk-Jones Matrisleri
Birden fazla optik elemanın olduğu durumda
y
y
A
B
⎡ a1
⎢c
⎣ 1
⎡ an
⎢c
⎣ n
© 2008 HSarı
2
1
x
b1 ⎤
d1 ⎥⎦
⎡ a2
⎢c
⎣ 2
bn ⎤ ⎡ a2
..... ⎢
⎥
d n ⎦ ⎣ c2
n
b2 ⎤
d 2 ⎥⎦
⎡ an
⎢c
⎣ n
b2 ⎤ ⎡ a1
d 2 ⎥⎦ ⎢⎣ c1
b1 ⎤ ⎡ A⎤ ⎡ A' ⎤
= ⎢ '⎥
⎥
⎢
⎥
d1 ⎦ ⎣ B ⎦ ⎣ B ⎦
A’
B’
x
bn ⎤
d n ⎥⎦
24
Kutupluluk-Jones Matrisleri
Bazı optik elemanları da Jones matrisleri ile gösterebiliriz
Doğrusal Kutuplayıcı
Geçiş ekseni yatay eksen
⎡1 0 ⎤
⎢0 0⎥
⎣
⎦
Geçiş ekseni dikey eksen
⎡0 0⎤
⎢0 1 ⎥
⎣
⎦
Geçiş ekseni ± 45o
Çeyrek Dalga plakası
Yarım Dalga plakası
Hızlı eksen yatay eksen
⎡1 0 ⎤
⎢0 i ⎥
⎣
⎦
Hızlı eksen dikey eksen
⎡1 0 ⎤
⎢ 0 −i ⎥
⎣
⎦
Hızlı eksen ± 45o
1
2
Hızlı eksen yatay veya
dikey eksen
⎡ 1 ±i ⎤
⎢ ±i 1 ⎥
⎣
⎦
⎡1 0 ⎤
⎢ 0 −1⎥
⎣
⎦
Sağ el
1 ⎡ 1 i⎤
2 ⎢⎣ −i 1⎥⎦
Sol el
1 ⎡1 −i ⎤
2 ⎢⎣i 1 ⎥⎦
Dairesel kutuplayıcı
© 2008 HSarı
1 ⎡ 1 ±1⎤
2 ⎢⎣ ±1 1 ⎥⎦
25
Özet
© 2008 HSarı
26