ankara ün˙ıvers˙ıtes˙ı fen b˙ıl˙ımler˙ı enst˙ıtüsü doktora tez˙ı lorenz

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DOKTORA TEZİ
LORENZ UZAYINDA CEBİRSEL METOTLARLA KİNEMATİK
Zafer ÜNAL
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ANKARA
2007
Her hakkı saklıdır
ÖZET
Doktora Tezi
LORENZ UZAYINDA CEBI·RSEL METOTLARLA KI·NEMATI·K
Zafer ÜNAL
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dal¬
Dan¬şman: Prof. Dr. Yusuf YAYLI
Bu tez beş bölümden oluşmaktad¬r.
Birinci bölümde tezin önemi irdelenmiştir.
I·kinci bölümde, tezde kullan¬lan temel tan¬m ve kavramlar verilmiştir.
Üçüncü bölümde, helisel vektör alanlar¬ve bunlar¬n dual kuaterniyonlarla ilişkisi ele
al¬nm¬şt¬r.
Dördüncü bölümde, Öklid uzay¬nda helisel vektör alanlar¬yard¬m¬yla bir parametreli
hareketlerin integral e¼
grilerinin cinsi belirlenmiştir.
Son bölümde, Öklid uzay¬nda yap¬lan işlemler Lorenz uzay¬na genelleştirilmiştir.
2007, 64 sayfa
Anahtar Kelimeler : Helisel vektör alan¬, I·ntegral e¼
grisi, Vida hareketi, 1-Parametreli hareket, Dual kuaterniyon, Öklid uzay¬, Lorenz uzay¬, Kinematik.
i
ABSTRACT
Ph.D. Thesis
KINEMATICS WITH ALGEBRAIC METHODS IN LORENTZIAN SPACES
Zafer ÜNAL
Ankara University
Graduate School of Natural And Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Prof. Dr. Yusuf YAYLI
This thesis consists of …ve chapters.
In the …rst chapter, is given the importance of thesis
The second chapter, is devoted to the introduction.
In the third chapter, the relationship between helicoidal vector …elds and Dual
quaternions is examined.
In the fourth chapter, in Euclidean space, the classi…cation of the integral curves of
the one parameter motions are given by the help of the helicoidal vector …elds.
In the last chapter, the results which are required in Euclidean space are generalized
into Lorentzian space.
2007, 64 pages
Key Words : Helicoidal vector …eld, Integral curve, Screw motion, 1-parameter
motion, Dual quaternion, Euclidean space, Lorentzian space, Kinematics.
ii
TEŞEKKÜR
Bana araşt¬rma olana¼
g¬sa¼
glayan ve çal¬şmalar¬m¬n her safhas¬nda yak¬n ilgi ve önerileri ile beni yönlendiren dan¬şman hocam, Say¬n Prof. Dr. Yusuf YAYLI (Ankara
Üniversitesi Fen Fakültesi)’ya ve yard¬mlar¬n¬ esirgemeyen hocalar¬m, Say¬n Prof.
¼
Dr. H. Hilmi HACISALI·HOGLU
(Ankara Üniversitesi)’na ve Say¬n Prof. Dr. Baki
¼ (Gazi Üniversitesi)’ya teşekkürlerimi bir borç bilirim.
KARLIGA
Son olarak, her aşamada bana destek olan sevgili eşim Derya ÜNAL ve biricik o¼
glum
Burak ÜNAL’a teşekkürlerimi sunar¬m.
Zafer ÜNAL
Ankara, Eylül 2007
iii
I·ÇI·NDEKI·LER
ÖZET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
TEŞEKKÜR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
SI·MGELER DI·ZI·NI·. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
ŞEKI·LLER DI·ZI·NI·. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
1. GI·RI·Ş . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. TEMEL KAVRAMLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3. HELI·SEL VEKTÖR ALANLARI VE DUAL KUATERNI·YONLAR 6
3.1 Vidalar Üzerinde I·şlemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.1.1 D Vektör uzay¬. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.1.2 D Vektör uzay¬üzerinde Lie operatörü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.1.3 D üzerinde iççarp¬m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.1.4 D de D nin temsili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.1.5
işlemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Dual Say¬lar ve D Üzerinde Modül Yap¬s¬. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3 Dual Kuaterniyonlar¬n Yeni Bir Geometrik Tan¬m¬. . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4 Norm ve H da Ters Eleman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
4. ÖKLI·D UZAYINDA HELI·SEL VEKTÖR ALANLARI . . . . . . . . . . . . 20
4.1 1-Parametreli Hareketler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
iv
4.2 E 3 de Helisel Vektör Alanlar¬n¬n I·ntegral E¼
grileri . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3 E 2n+1 Öklid Uzay¬nda Helisel Vektör Alanlar¬. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5. LORENZ UZAYINDA HELI·SEL VEKTÖR ALANLARI . . . . . . . . . . 40
5.1 1-Parametreli Hareketler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2 Lorenz Uzay¬nda Helisel Vektör Alanlar¬. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46
5.2.1 D vektör uzay¬. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2.2 D de Lie operatörü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2.3 D de iççarp¬m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2.4 D de D nin temsili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3 Helisel Vektör Alanlar¬n¬n I·ntegral E¼
grileri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.4 E12n+1 Lorenz Uzay¬nda Helisel Vektör Alanlar¬. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
KAYNAKLAR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64
ÖZGEÇMI·Ş . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
v
SI·MGELER DI·ZI·NI·
En
n-boyutlu Öklid uzay¬
Rn
n-boyutlu reel vektör uzay¬
E1n
n-boyutlu Lorenz uzay¬
O(n)
n-boyutlu ortogonal matrislerin grubu
SO(n)
n-boyutlu ortogonal matrislerin özel altgrubu
so(n)
SO(n) matris Lie grubuna karş¬l¬k gelen Lie cebiri
SE(n)
Rn de kat¬cisim hareketlerinin grubu
se(n)
SE(n) Lie grubuna karş¬l¬k gelen Lie cebiri
A
A…n dönüşüm
A
A dönüşümünün lineer k¬sm¬
X
Helisel vektör alan¬
D
Helisel vektör alanlar¬n¬n cümlesi
yh
Homogen çözüm
yo•
Özel çözüm
D
Dual say¬lar
N (q)
q dual kuaterniyonunun normu
vi
ŞEKI·L DI·ZI·NI·
Şekil 4.1 Ani hareket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
vii
1. GI·RI·Ş
Son zamanlarda Diferensiyel Geometri konular¬n¬n Kinematikte yo¼
gun bir şekilde
ele al¬nd¬g¼¬ görülmektedir. Özelikle kat¬ cisimlerin hareketlerinin Lie grup ve Lie
cebir yap¬s¬yard¬m¬yla vida operatörlerinin geniş bir uygulamas¬verilebilmektedir.
Uygulamalara cebirsel metotlar da epey zenginlik katmaktad¬r. Kinematikte temel
kavramlar, modül yap¬lar¬yla daha da zenginleştirilmiştir.
Chevallier (1991), modül yap¬s¬n¬ kullanarak, kinematikteki kavramlar¬ genişletmiş
ve bu sayede Dual Kuaterniyonlar¬n yeni yap¬s¬n¬ vermiş ve bu yeni yap¬y¬ kat¬
hareketlere uygulam¬şt¬r.
Bu çal¬şmada, Chevallier (1991)’in ele ald¬g¼¬helisel vektör alanlar¬n¬n Kinematikte
yeni uygulamalar¬verilmiştir.
Lineer vektör alanlar¬n¬n tan¬m ve uygulamalar¬, Karger and Novak (1985) taraf¬ndan
verilmiştir. Acratalishian (1989), lineer vektör alanlar¬n¬n integral e¼
grilerini Öklid
uzay¬için incelemiş. Fakat hareketler ile ilişkisini vermemiştir.
Helisel vektör alanlar¬, lineer vektör alanlar¬olarak ele al¬n¬p, bu vektör alanlar¬n¬n
ani hareketlerle ilişkisi incelenmiştir.
Ani hareketlerde; bir noktan¬n yörüngesinin, helisel vektör alanlar¬n¬n integral e¼
grileri
olarak verilebilece¼
gi gösterilmiştir. Helisel vektör alanlar¬, lineer vektör alan¬olarak
verilebildi¼
ginden, bu vektör alanlar¬na bir matris karş¬l¬k getirilmiş ve bu matrisin
rank¬yard¬m¬yla, yörüngelerin cinsi belirlenmiştir.
Helisel vektör alanlar¬ ile ani hareketlerin yörüngeleri aras¬ndaki ilişki, önce Öklid
uzay¬nda, daha sonra da Lorenz uzay¬ndaki hareketler için verilmiştir.
1
2. TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölümde, tez için gerekli olan baz¬temel kavram ve teoremleri verece¼
giz.
Tan¬m 2.1. V bir vektör uzay¬ ve S de boş olmayan bir nokta cümlesi olsun.
Aşa¼
g¬daki şartlar¬sa¼
glayan bir
f :S
S!V
fonksiyonu varsa, S ye V ile birleştirilmiş bir a…n uzay denir.
(i) Her P; Q; R 2 S için f (P; Q) + f (Q; R) = f (P; R)
(ii) Her P 2 S, her ~v 2 V için f (P; Q) = ~v olacak şekilde bir tek Q 2 S noktas¬
vard¬r (Hac¬saliho¼
glu 1993).
Tan¬m 2.2. A : E 3 ! E 3 dönüşümüne a…ndir denir e¼
ger,
A : R3
! R3
!
!
!
M N ! A(M N ) = A(M )A(N )
olacak şekilde bir A lineer dönüşümü varsa. A ya A n¬n lineer k¬sm¬denir. (Hac¬saliho¼
glu 1998).
Tan¬m 2.3.
Her M; N 2 E 3 için d(M; N ) = d(A(M ); A(N )) uzakl¬k koruyan
A : E 3 ! E 3 dönüşümüne izometri denir (Hac¬saliho¼
glu 1998).
Tan¬m 2.4. R3 de ortogonal matrislerin cümlesi;
O(3) = fA 2 R33 : AT A = AAT = Ig
şeklinde tan¬mlan¬r. Bu cümle standart matris çarp¬m¬ işlemine göre bir gruptur.
Bu gruba ortogonal grup denir (Karger and Novak 1985).
2
Tan¬m 2.5. O(3) ortogonal grubunun bir altgrubu olan ve
SO(3) = fA 2 R33 : AT A = AAT = I; det A = 1g
şeklinde tan¬mlanan gruba özel ortogonal grup denir (Karger and Novak 1985).
SO(3) grubunun tan¬m¬n¬aşa¼
g¬daki şekilde de verebiliriz:
SO(3) = fA 2 R33 :< AX; AY >=< X; Y >; A 2 O(3); det A = 1; 8X; Y 2 R3 g:
SO(3) bir matris Lie grubudur.
Tan¬m 2.6. SO(3) Lie grubuna karş¬l¬k gelen so(3) Lie cebiri aşa¼
g¬daki şekilde
tan¬mlan¬r:
2
0
6
6
so(3) = f! 2 R33 : ! = 6 ! 3
4
!2
!3
0
!1
!2
3
7
7 T
!1 7 ; ! =
5
0
!g
(Karger and Novak 1985).
Tan¬m 2.7. E n de parametrik bir e¼
gri
: I ! En
t ! (t) = (
1 (t); :::;
n (t))
ve X; E n üzerinde bir vektör alan¬olmak üzere, her t 2 I için
d
= X( (t))
dt
ise,
Yani,
e¼
grisine X vektör alan¬n¬n bir integral e¼
grisi denir (Hac¬saliho¼
glu 1993).
e¼
grisinin her noktas¬ndaki h¬z vektörü X vektör alan¬n¬n bu noktadaki de¼
geri
3
ile çak¬ş¬r.
Tan¬m 2.8. V ; n-boyutlu bir vektör uzay¬, X; V üzerinde bir vektör alan¬olsun.
E¼
ger,
A:V !V
bir lineer dönüşüm olmak üzere, her v 2 V için
Xv = A(v)
ise, X vektör alan¬na lineerdir denir (Karger and Novak 1985).
Teorem 2.9. A; E 3 de bir anti-simetrik matrisle verilen lineer dönüşüm olsun. Bu
durumda A n¬n matris formu,
6= 0 olmak üzere
2
6
6
A=6
4
0
0
0
3
7
7
0 0 7
5
0 0
olacak şekilde E 3 ün bir ortonormal baz¬vard¬r (Karger and Novak 1985).
Tan¬m 2.10.
2
SE(3) = fA : A = 4
g c
0 1
3
5 ; g 2 R33 ; g T g = I3 ; c 2 R31 ; det g = 1g
cümlesi, standart matris çarp¬m¬ işlemiyle bir gruptur. (SE(3); :) grubuna R3 de
kat¬cisim hareketlerinin özel grubu denir (Karger and Novak 1985).
SE(3) grubu topolojik yap¬s¬yla ele al¬nd¬g¼¬nda, 6-boyutlu bir topolojik manifolddur. Bu durumda, SE(3) bir matris Lie grubudur. Zaman zaman SE(3) yerine D
notasyonunu da kullanaca¼
g¬z.
4
Tan¬m 2.11. SE(3) Lie grubuna karş¬l¬k gelen se(3) Lie cebiri;
2
se(3) = f4
! v
0 0
3
5 : ! 2 R33 ; ! T =
!; v 2 R31 g
şeklinde tan¬mlan¬r (Karger and Novak 1985).
Buradaki !; 3
3 anti-simetrik matrisi, !
~ 2 R3 vektörü ile tek türlü belirlidir:
2
0
6
6
!
~ = (! 1 ; ! 2 ; ! 3 ) 2 R3 ) ! = 6 ! 3
4
!2
!3
!2
0
!1
3
7
7
3
! 1 7 2 R3 :
5
0
Tan¬m 2.12. SE(3) Lie grubunun tanjant operatörü;
2
T =4
! v
0 0
3
5 $ f~! ; ~v g
şeklinde tan¬ml¬bir operatördür. Burada ! 2 R33 ; ! T =
~ ; ~v 2 R3 dir
!; v 2 R31 ; !
(Karger and Novak 1985).
Her T 2 se(3) eleman¬na bir f~! ; ~v g vektör çifti karş¬l¬k gelir.
A(t) 2 SE(3) e¼
grisi, kat¬cismin hareketini göstermek üzere, T (t) $ f~! (t); ~v (t)g için,
!
~ ; cismin hareketinin aç¬sal h¬z¬n¬ve ~v ; cismin hareketinin lineer h¬z¬n¬belirtir.
Tan¬m 2.13. Plücker koordinat sisteminde (~a; ~a ) bir vida olmak üzere,
X : E 3 ! R3
!
M ! X(M ) = ~a + ~a ^ OM
şeklinde tan¬mlanan X dönüşümüne helisel vektör alan¬denir. ~a ya X in ekseni denir
ve ! X ile gösterilir.
5
3. HELI·SEL VEKTÖR ALANLARI VE DUAL KUATERNI·YONLAR
3-boyutlu Öklid uzay¬ E 3 ve buna karş¬l¬k gelen vektör uzay¬ R3 olmak üzere, her
!
M; N 2 E 3 noktas¬, R3 de bir tek M N vektörü belirtir. ~u; ~v 2 R3 için < ~u; ~v > ve
~u ^ ~v , R3 de s¬ras¬yla iççarp¬m ve vektörel çarp¬m¬göstersin.
3.1 Vidalar Üzerinde I·şlemler
3.1.1 D Vektör uzay¬
Tan¬m 2.13 de verilen X helisel vektör alan¬n¬ göz önüne alal¬m. Helisel vektör
alanlar¬n¬n cümlesini D ile gösterelim.
(X + Y )(M ) = X(M ) + Y (M ); M 2 E 3
( X)(M ) =
X(M );
2R
işlemleriyle birlikte D cümlesi bir reel vektör uzay¬oluşturur.
Şimdi bu vektör uzay¬üzerinde tan¬mlanan di¼
ger işlemleri ele alal¬m.
3.1.2 D Vektör uzay¬üzerinde Lie operatörü
D üzerinde tan¬mlanan
[; ] : D
D !D
(X; Y ) ! [X; Y ](M ) = ~a ^ Y (M )
~b ^ X(M )
!
!
işlemini göz önüne alal¬m. Burada X(M ) = ~a + ~a ^ OM , Y (M ) = ~b + ~b ^ OM
de¼
gerleri yerlerine yaz¬l¬rsa,
!
[X; Y ](M ) = ~a ^ ~b + ~a ^ ~b + (~a ^ ~b) ^ OM
!
= [X; Y ](N ) + (! X ^ ! Y ) ^ M N
6
(3:1:1)
elde edilir ki, bu da [X; Y ] nin de bir helisel vektör alan¬oldu¼
gunu gösterir. Ayr¬ca,
! [X;Y ] = ~a ^ ~b
şeklindedir.
[ ; ] operatörü, antisimetrik, bilineer ve Jacobi özdeşli¼
gi özeliklerini
sa¼
glar. Dolay¬s¬yla D; R üzerinde bir Lie cebiridir.
3.1.3 D Üzerinde iççarp¬m
[j] : D
D !R
(X; Y ) ! [X j Y ] =< ~a; ~b > + < ~a ; ~b >
(3:1:2)
şeklinde tan¬mlanan simetrik, bilineer, non-dejenere form, D de iççarp¬m olarak adland¬r¬l¬r. Bu iççarp¬m ifadesi M nin seçilişinden ba¼
g¬ms¬zd¬r. E¼
ger
[X j Y ] = 0
ise, X ile Y karş¬l¬kl¬vidalar olarak adland¬r¬l¬rlar.
3.1.4 D de D nin temsili
A 2 D bir kat¬hareket olsun.
A : D !D
X ! A (X)(M ) = A(X(A 1 (M )))
(3:1:3)
dönüşümü yard¬m¬yla D deki elemanlar D vektör uzay¬n¬n elemanlar¬ cinsinden
tan¬mlanm¬ş oldu. A lineer oldu¼
gundan A dönüşümü de lineerdir. Ayr¬ca, her
A; B 2 D için
(A:B)
!A
X
= A
B ve
= A(! X )
7
dir.
3.1.5
işlemi
D üzerinde tan¬mlanan
: D !D
X ! X(M ) = ~a
dönüşümü lineerdir ve
X sabit bir vektör alan¬d¬r.
n¬n görüntüsü ve çekirde¼
gi
E 3 üzerinde de¼
ger alan altuzaylard¬r. Ayr¬ca,
2
= ~0
=
d¬r.
D vektör uzay¬, D Lie grubuna karş¬l¬k gelen Lie cebirine izomorftur. Bunu 3.1.1,
3.1.4 ve 3.1.5 işlemleri yard¬m¬yla söyleyebiliriz. Bu işlemler aras¬nda çok say¬da
ba¼
g¬nt¬vard¬r. Şimdi bunlar¬n baz¬lar¬n¬ele alal¬m:
[X j [Y; Z]] = [Y j [Z; X]]
[X; [Y; Z]] = [X j Z] Y
(3:1:4)
[X j Y ] Z+ < ~a; ~c > Y
< ~a; ~b > Z:
(3:1:5)
Bu ba¼
g¬nt¬lar adi anlamda vektörel çarp¬m¬n ve karma çarp¬m¬n genişletilmişi görünümündedir. I·kinci eşitlikten Jacobi özdeşli¼
gini görmek kolayd¬r. Ayr¬ca,
[ X j Y ] = [X j Y ] =< ~a; ~b >
(3:1:6)
[ X; Y ] = [X; Y ] = [X; Y ]
(3:1:7)
8
dir. D de D nin temsilinden
[A X j A Y ](M ) = [X j Y ](M )
[A X; A Y ] = A [X; Y ]
A X = !A
X
= A(! X )
(3:1:8)
(3:1:9)
(3:1:10)
elde edilir.
3.2 Dual Say¬lar ve D Üzerinde Modül Yap¬s¬
Tan¬m 3.2.1. x; y 2 R olmak üzere z = x + "y; "2 = 0, " 6= 0 şeklindeki say¬lara
dual say¬lar denir ve D ile gösterilir. D s¬f¬r bölenli, birimli ve de¼
gişmeli bir halkad¬r.
R; D n¬n bir althalkas¬d¬r (Chevallier 1991).
Teorem 3.2.2. D bir D-modüldür (Chevallier 1991).
I·spat. z = x + "y 2 D olmak üzere,
+: D
D !D
(X; Y ) ! (X + Y )(M ) = X(M ) + Y (M )
: D
D !D
(3:2:1)
(z; X) ! z X = (x + "y) X = xX + y X
işlemleri modül aksiyomlar¬n¬sa¼
glar.
D, D üzerinde bir Lie cebiridir. Burada Lie cebiri aksiyomlar¬ndan bilineerlik sa¼
glatt¬r¬l¬rken, z 2 D; X; Y 2 D için
[z X; Y ] = [X; z Y ] = z [X; Y ]
eşitli¼
ginde z 2 R yerine z 2 D al¬nm¬şt¬r. z [X; Y ] işlemi (3:2:1) deki gibidir.
9
z 2 R için zX çarp¬m¬ile z 2 D için z X çarp¬m¬farkl¬d¬r. Şayet, z 2 D ise,
z X = 0 , z = 0 veya X = 0 veya (Re z = 0 ve
X = ~0)
d¬r. Dolay¬s¬yla ikinci çarp¬m daha geneldir.
D de R-lineerlik ve D-lineerlik farkl¬d¬r.
f (zX) = zf (X)
ifadesinde z 2 D ise f D-lineerdir. f nin D-lineer olmas¬ halinde matris gösterimi
vard¬r. f R-lineer ise (z 2 R) yoktur.
f; D-lineer , f; R-lineer ve f
=
f:
Kinematikte genellikle D-lineer operatörler kullan¬l¬r. Dinamikte bu do¼
gru de¼
gildir.
Çünkü, momentum hesab¬nda, h¬zlar 3
3 dual matrislerle ifade edilemez.
R3 reel vektör uzay¬olmak üzere,
D3 = R 3
"R3
bir D-modüldür. D3 de zX bir dual say¬ile bir vektörün çarp¬m¬d¬r.
(~e1 ; ~e2 ; ~e3 ), R3 uzay¬n¬n bir baz¬ise, D3 uzay¬n¬n da D üzerinde bir baz¬d¬r. Key… bir
b 2 D3 eleman¬ X
b =x
b ya D3 de bir
X
b1~e1 + x
b2~e2 + x
b3~e3 ; x
bi 2 D şeklinde yaz¬labilir. X
dual vektör ad¬verilir. R3 de bilinen skalar ve vektörel çarp¬m D3 e genişletilebilir.
D3 de skalar ve vektörel çarp¬m
b : Yb = x
X
b1 yb1 + x
b2 yb2 + x
b3 yb3 2 D
10
(3:2:3)
~e1 ~e2 ~e3
b
X
Yb =
x
b1 x
b2 x
b3
(3:2:4)
yb1 yb2 yb3
= (b
x2 yb3
yb2 x
b3 )~e1 + (b
x3 yb1
yb3 x
b1 )~e2 + (b
x1 yb2
yb1 x
b2 )~e3
şeklinde tan¬mlan¬r. D3 , D-modül yap¬s¬n¬n yan¬s¬ra bir Lie cebiri de yap¬labilir.
[ ; ] : D3
D3 ! D 3
b Yb )
(X;
b Yb ] = X
b
! [X;
şeklinde tan¬mlanan işlemle D3 bir Lie cebiridir.
Yb
f : R3 ! R3
X
! f (X)
lineer dönüşümü,
fb : D3
! D3
"X ! fb("X) = "f (X)
(3:2:5)
şeklinde bir lineer dönüşüme genişletilebilir.
Şimdi D D-modülü ile D3 D-modülü aras¬ndaki ilgiyi veren bir dönüşüm verelim. Bu
dönüşüm iki cümle aras¬nda bir köprü oluşturur.
Teorem 3.2.3. P 2 E 3 sabit bir nokta olmak üzere
JP : D ! D 3
X ! JP (X) = ~a + "X(P )
dönüşümü D-lineer ve D üzerinde bir Lie cebir izomor…zmidir. Yani, JP birebir ve
örten ayr¬ca, JP ([X; Y ]) = JP (X)
JP (Y ) dir (Chevallier 1991).
11
I·spat. X; Y 2 D olmak üzere,
JP (X + Y ) = ~a + ~b + "(X(P ) + Y (P ))
= ~a + ~b + "X(P ) + "Y (P )
= ~a + "X(P ) + ~b + "Y (P )
= JP (X) + JP (Y )
dir. z 2 D için
JP (zX) = x ~a + "(xX(P ) + y ~a)
(3:2:6)
zJP (X) = (x + "y)(~a + "X(P ))
= x ~a + "(xX(P ) + y ~a)
(3:2:7)
dir. (3:2:6) ve (3:2:7) den
JP (zX) = zJP (X)
elde edilir. O halde JP lineer bir dönüşümdür. D3 deki vektörel çarp¬m¬n genişletilmişi
JP (X)
JP (Y ) = (~a + "X(P ))
(~b + "Y (P ))
= ~a ^ ~b + "(~a ^ Y (P )
~b ^ X(P ))
= ~a ^ ~b + "[X; Y ](P )
= JP ([X; Y ])
(3:2:8)
şeklindedir. Dolay¬s¬yla JP bir Lie cebir izomor…zmidir.
Ayr¬ca,
JP (X) : JP (Y ) = < ~a; ~b > +"(< ~a; Y > + < X; ~b >)
= < ~a; ~b > +"[X j Y ]
dir.
12
(3:2:9)
Tan¬m 3.2.4.
fjg: D
D ! D
(3:2:10)
(X; Y ) ! fX j Y g =< ! X ; ! Y > +"[X j Y ]
şeklinde tan¬mlanan dönüşüm simetrik, D-bilineer formdur. Özel olarak, D-bilineerlikten
fzX j Y g = zfX j Y g; z 2 D; X; Y 2 D
dir (Chevallier 1991).
Teorem 3.2.3 den aşa¼
g¬daki sonucu verebiliriz:
Sonuç 3.2.5. JP , D deki f j g D-bilineer form ile D3 deki ":" iççarp¬m¬n¬n izomor…zmas¬d¬r, yani JP (X) : JP (Y ) = fX j Y g dir (Chevallier 1991).
fX j [Y; Z]g = fY j [Z; X]g
[X; [Y; Z]] = fX j ZgY
(3:2:11)
fX j Y gZ
(3:2:12)
formülleri (3:1:4) ve (3:1:5) formüllerinin genişletilmiş halleridir. Bundan sonraki
işlemlerimizde bunlar¬kullanaca¼
g¬z.
D deki f j g iççarp¬m D de¼
gerli olup, reel de¼
gerli olan [ j ] iççarp¬mdan daha ilginç
bir yap¬ya sahiptir. (3:1:5) ve (3:2:12) karş¬laşt¬r¬ld¬g¼¬nda (3:2:12) daha basit bir
formdur.
fX j Y g = 0 , X ve Y secant ortogonal eksenlerdir
fX j Xg = 0 , ("X = 0) , (! X = 0)
(3:2:13)
fX j Xg = 1 , (j! X j = 1 ve X s¬f¬r ad¬ma sahiptir).
Normlanm¬ş bir X vidas¬E 3 de bir do¼
gru belirtir. Tersine, E 3 deki her do¼
gru bir X
vidas¬ile gösterilebilir.
13
D D-modülde f ; ; g bir yönlendirilmiş ortonormal baz olsun. fO; i; j; kg, E 3 de
ortonormal bir çat¬olmak üzere, ; ; 2 D baz elemanlar¬
! = i; ! = j; ! = k ve (O) = (O) = (O) = O
(3:2:14)
şeklinde tan¬mlan¬r. Bu durumda
f j g = f j g = f j g = 1; f j g = f j g = f j g = 0 (ortogonallik)
; [ ; ] = ; [ ; ] = ; f j[ ; ]g = 1 (sa¼
g el kural¬)
[ ; ] =
özelikleri sa¼
glan¬r.
3.3 Dual Kuaterniyonlar¬n Yeni Bir Geometrik Tan¬m¬
Kuaterniyon 1830 da Sir W.R. Hamilton taraf¬ndan keşfedilmiştir.
Hamilton
kompleks say¬lar¬n bir benzerini R3 de aram¬şt¬r. R3 de C deki gibi bir yap¬n¬n bulunmad¬g¼¬n¬10 y¬ll¬k bir çal¬şman¬n sonucunda farketmiştir. Daha sonra bu yap¬n¬n
R4 deki karş¬l¬g¼¬n¬kuaterniyon olarak tan¬mlam¬şt¬r.
Kuaterniyonlar cebirini ve kinematikteki uygulamalar¬n¬ Agrawal (1987), Hac¬saliho¼
glu (1983), Veldkamp (1976), ve Yayl¬(1988) referanslar¬nda bulabiliriz.
Bilindi¼
gi gibi basit kuaterniyonlar (s; ~v ) ikilisi ile tan¬mlanabilir. Burada s 2 R skalar
k¬s¬m ve ~v 2 R3 vektörel k¬s¬md¬r. Bu durumda bu operatörler üzerinde aşa¼
g¬daki
toplama ve çarpma işlemleri tan¬mlanabilir:
q + q1 = (s + s1 ; ~v + ~v1 );
qq1 = (ss1
(s; ~v ) = ( s; ~v );
< ~v ; ~v1 >; s~v1 + s1~v + ~v ^ ~v1 ):
2R
(3:3:1)
(3:3:2)
(3:3:1) işlemleri ile kuaterniyonlar¬n H cümlesi birimi (0; ~0) olan bir reel vektör uzay¬d¬r. (3:3:1) ve (3:3:2) işlemleriyle birimi (1; ~0) olan H bir reel cebirdir. Kuaterni-
14
yonlar¬n birleşme özeli¼
gini sa¼
glad¬g¼¬n¬göstermek için, vektörel çarp¬m¬n
~u ^ (~v ^ w)
~ + ~v ^ (w
~ ^ ~u) + w
~ ^ (~u ^ ~v ) = ~0
~u ^ (~v ^ w)
~ =< ~u; w
~ > ~v
< ~u; ~v > w
~
özeliklerini kullan¬r¬z. Kuaterniyonlar¬n tan¬m¬n¬, D üzerinde Lie cebirine sahip D
cümlesine (ve D de¼
gerli) genişletebiliriz. Benzer özelikleri sa¼
glatabiliriz.
H=R
R3 yerine H =D
D3 cümlesini alaca¼
g¬z. q = (z; X), z 2 D, X 2 D olmak
üzere H üzerinde toplama, skalarla çarpma ve çarpma işlemleri
q+q
0
0
0
= (z + z ; X + X )
(z; X) = ( z; X);
qq
0
= (zz
0
2D
0
(3:3:3)
0
0
0
fX j X g; zX + z X + [X; X ])
şeklinde tan¬mlan¬r.
Şimdi aşa¼
g¬daki sonucu verelim:
Sonuç 3.3.1. H cümlesi e = (1; 0) birim eleman¬olan bir halkad¬r. (3:3:3) de verilen
ilk iki operatörle bir D-modül, son operatörle D üzerinde bir cebirdir (Chevallier
1991).
D yi [:j:] iççarp¬m¬ ile ve reel Lie cebir yap¬s¬yla alsayd¬k bu do¼
gru olmazd¬. D
yi D üzerinde modül ve Lie cebir yap¬s¬yla al¬rsak, Kuaterniyonlar Cebirine (dual)
geometrik bir destek vermiş oluruz.
(z; 0) 2 H bir skalar kuaterniyon olup ze veya basitçe z ile gösterilir. (0; X) 2 H bir
pür dual kuaterniyon olup, [X] şaklinde tan¬mlan¬r. Genel olarak, q = (z; X) 2 H
kuaterniyonunda Sc(q) = z ve V e(q) = X; s¬ras¬ile, q nun skalar ve vektörel k¬s¬mlar¬n¬tan¬mlar. q nun eşleni¼
gini q = (z; X) ile gösterece¼
giz. Aşa¼
g¬daki eşitliklerin
15
sa¼
gland¬g¼¬n¬kolayca söyleyebiliriz:
q1 q2 = q2 q1 ; Sc(q1 q2 ) = Sc(q2 q1 )
fX j Y g; V e([X][Y ]) = [X; Y ]:
Sc([X][Y ]) =
(3:3:4)
(3:3:5)
E¼
ger H n¬n bir eleman¬di¼
ger bütün elemanlarla de¼
gişimli ise, bu eleman bir skalard¬r.
3.4 Norm ve H da Ters Eleman
q 2 H için q nun normu
N (q) = q q = q q = (z 2 + fX j Xg)e
şeklinde tan¬mlan¬r. N (q) pozitif reel k¬s¬ml¬bir dual kuaterniyondur. Kolayca,
0
0
0
N (qq ) = N (q q) = N (q)N (q ); N (q) = N (q)
(3:4:1)
oldu¼
gu söylenebilir.
N (q) dual say¬s¬n¬n tersinin olmas¬ için reel k¬sm¬n¬n s¬f¬rdan farkl¬ olmas¬ gerekir.
Bunun için q 2 H n¬n tersinin olmas¬ için Re N (q) 6= 0 dolay¬s¬yla bu pozitif olaca¼
g¬ndan Re N (q) > 0 olmal¬ve q nun tersi q
1
= N (q) 1 q şeklindedir.
Yukar¬da Chevallier (1991) taraf¬ndan verilen işlemleri, helisel vektör alan¬n¬matris
formunda yazarak farkl¬bir biçimde verebiliriz:
16
D Vektör uzay¬
Bir (~a; ~a ) vidas¬n¬, matris formunda
2
4
a a
0
0
3
5
şeklinde ifade ederiz. Burada ~a; ~a 2 R3 ve a 2 R33 , a 2 R31 dir. Bu matrisi, X
helisel vektör alan¬na karş¬l¬k gelen matris olarak alabiliriz. Bu durumda
2
X(M ) = 4
a a
0
0
32
54
M
1
3
2
5=4
!
~a ^ OM + ~a
0
3
5
yaz¬labilir.
D de Lie operatörü
!
!
X(M ) = ~a + ~a ^ OM ve Y (M ) = ~b + ~b ^ OM olmak üzere, X ve Y nin matris
ifadeleri
için
2
X!4
[X; Y ] = XY
2
a
= 4
0
2
ab
= 4
0
2
ab
= 4
a a
0
0
3
2
5; Y ! 4
b b
0 0
3
5
YX
32
3 2
32
3
a
b b
b b
a a
54
5 4
54
5
0
0 0
0 0
0 0
3 2
3
ab
ba ba
5 4
5
0
0 0
3
ba ab
ba
5
0
0
17
olur ki, bunun vida karş¬l¬g¼¬
!
[X; Y ](M ) = ~a ^ ~b + ~a ^ ~b + (~a ^ ~b) ^ OM
dir.
D de D nin temsili
D kat¬hareketlerin grubu olmak üzere, A 2 D olsun.
A : D !D
X ! A (X)(M ) = A(X(A 1 (M )))
dönüşümü yard¬m¬yla D deki elemanlar D vektör uzay¬n¬n elemanlar¬ cinsinden
tan¬mlanm¬ş olur. A lineer oldu¼
gundan A dönüşümü de lineerdir. Ayrca, her
A; B 2 D için
(A:B)
!A
= A
X
B ve
= A(! X )
dir. A dönüşümünü matris formunda ifade edecek olursak, A (X) = AXA
1
şek-
lindedir. Yani,
2
A (X) = 4
A d
0 1
32
54
dir, burada A!A 1 , 3
! v
0 0
32
54
A
0
1
1
A d
1
3
2
5=4
A!A
1
0
3 tipinde anti-simetrik bir matris ve
vektördür. Şimdi matrisleri kullanarak, (A:B) = A
18
1
A!A d + Av
1
3
5
A!A 1 d + Av, bir
B oldu¼
gunu gösterelim.
2
A =4
A d1
0
1
3
2
5; B =4
B d2
0
02
B d2
02
B!B
= A @4
= 4
2
5 ve X = 4
1
A (B (X)) = A @4
2
3
0
1
! v
0 0
32
3
5 olmak üzere,
32
! v
1
B!B 1 d2 + Bv
54
0 0
0
54
1
B
B 1 d2
0
0
1
AB!B A
1
1
1
Ab!B A d1
1
31
5A
31
5A
(3:4:2)
1
AB!B d2 + ABv
0
0
3
5
ve di¼
ger taraftan
2
(AB) (X) = 4
2
= 4
2
= 4
AB Ad2 + d1
0
1
AB! ABv
0
0
1
AB!B A
32
54
32
54
1
! v
0 0
1
B A
1
32
54
1
B A
1
1
B A
1
1
B d2
0
1
B A
1
0
1
1
B d2
1
B A d1
1
1
1
Ab!B A d1
0
1
AB!B d2 + ABv
0
elde edilir. (3:4:2) ve (3:4:3) den (A:B) = A
19
1
B oldu¼
gu görülür.
3
5
1
1
B A d1
3
3
5
5
(3:4:3)
4. ÖKLI·D UZAYINDA HELI·SEL VEKTÖR ALANLARI
4.1 1-Parametreli Hareketler
Tan¬m 4.1.1.
f : E3 ! E3
(4:1:1)
! f (x) = g(t)x + c(t)
x
dönüşümüne 1-parametreli hareket denir. Burada, g(t) 2 SO(3); c(t) 2 R31 dir. Bu
hareketin matris formunda ifadesi
2
4
y(t)
3
2
5 = 4
g(t) c(t)
1
| {z }
|
Y (t)
=
0
1
{z
A(t)
32
54
x
3
5
1
} | {z }
:
X
şeklindedir. A(t) formundaki 1-parametreli matrisler, matris çarp¬m¬na göre bir grup
oluştururlar. Bu grubu SE(3) ile gösterece¼
giz. Yani,
2
SE(3) = fA : A = 4
3
g c
5 ; g 2 SO(3); c 2 R31 g:
0 1
SE(3) bir Lie grubudur. Bu gruba karş¬l¬k gelen Lie cebirini de se(3) ile gösterelim.
2
A 1 (t) = 4
g 1 (t)
0
g 1 (t)c(t)
1
3
2
5 ve A(t) = 4
g(t) c(t)
0
oldu¼
gundan
2
g c
2
gg
A(t)A 1 (t) = 4
= 4
0 0
1
0
20
32
54
1
g
0
g 1c
1
3
1
gg c + c
5
0
3
5
0
3
5
elde edilir. ! = gg
1
ve v =
gg 1 c + c dersek, !; 3
3 tipinde anti-simetrik bir
matristir. Bu durumda SE(3) Lie grubunun Lie cebiri
2
se(3) = f4
! v
0 0
3
5 : ! 2 SO(3); v 2 R31 g
olarak elde edilir. Lie cebirinin elemanlar¬helisel vektör alanlar¬ile bire bir eşlenirler.
Şimdi helisel vektör alanlar¬ile ani hareketler aras¬ndaki ilişkiyi verelim:
1-parametreli harekette x noktas¬n¬n yörüngesi y(t) = g(t)x+c(t) dir. Buradan türev
al¬n¬rsa,
y(t) = g(t)x + c(t)
= g(t)g 1 (t)(y(t)
= !(t)y(t)
c(t)) + c(t)
!(t)c(t)
c(t)
y(t) = !(t)y(t) + v(t)
elde edilir. Burada !(t) = g(t)g 1 (t); v(t) =
!(t)c(t)
c(t) dir. t = 0 an¬nda h¬z
vektörü y(0) = !(0)y(0) + v(0) d¬r.
Şekil 4.1. Ani hareket
Şimdi y1 (0) = y(0) = M noktas¬nda h¬z¬ y(0) ile ayn¬olan ani hareketi bulal¬m. Bu
hareketi y1 (t) ile gösterelim. Bu durumda
y1 (t) = !y1 (t) + v
diferensiyel denklemini
y1 (0) = y(0) = M
21
başlang¬ç şart¬alt¬nda çözersek,
2
4
y1
0
3
2
5=4
32
M
! v
31 2
! v
54
0 0
1
3
5
olmak üzere
2
4
y1 (t)
1
3
0 2
5 = exp @t 4
2
= 4
0 0
g1 (t) c1 (t)
0
1
5A 4
32
54
M
1
M
1
3
3
5
5
elde edilir. Burada g1 (t) 2 SO(3); c1 (t) 2 R31 dir.
2
Bulunan y1 (t) e¼
grisi, X = 4
2
0
6
6
Örnek 4.1.2. ! = 6 1
4
0
! v
0 0
3
3
5 helisel vektör alan¬n¬n integral e¼
grisidir.
2
0
6
7
6
7
0 0 7; v = 6 0
4
5
1
0 0
1 0
2
0
6
6
6 1
X=6
6
6 0
4
0
3
7
7
7 olmak üzere,
5
1 0 0
3
7
7
0 0 0 7
7
7
0 0 1 7
5
0 0 0
22
helisel vektör alan¬n¬ele alal¬m.
1
X
(sX)k
exp (sX) =
k!
2
k=0
I4
+s
0! 2
=
6
6
6
6
6
6
4
0
6
6
6 1
6
6
6 0
4
0
3
1 0 0
7
7
0 0 0 7
7
7
0 0 1 7
5
0 0 0
1!
0 1 0 0
3
7
7
1 0 0 0 7
7
7
0 0 0 0 7
5
0 0 0 0
+s3
3!
2
s2 s4
6 1 2! + 4! :::
6
s
s3
6
+
:::
6
= 6
1! 3!
6
6
0
4
0
2
cos s
sin s 0
6
6
6 sin s cos s 0
= 6
6
6 0
0
1
4
0
0
0
2
+ s2
2
+ s4
(
1
0
6
6
6
6
6
6
4
1 0
6
6
6 0 1
6
6
6 0 0
4
0 0
s
s3
+
1!2 3!4
s
s
+
2!
4!
0
3
0
1
0 0 0
7
7
1 0 0 7
7
7
0 0 0 7
5
0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
4!
3
2! 3
0
7
7
0 7
7
7
0 7
5
0
:::) 0
:::
0
1
0
+ :::
3
0 7
7
7
0 7
7
7
s 7
5
1
7
7
0 7
7
7
s 7
5
1
bulunur. exp(sX) ile bir parametreli hareket tan¬mlanabilir. Bir noktan¬n yörüngesi
bir helis e¼
grisidir.
Şimdi bir parametreli hareketlerin h¬z da¼
g¬l¬m¬ile vida hareketleri aras¬ndaki ilgiyi
Bottema and Roth (1979)’un bak¬ş aç¬s¬yla ele alal¬m:
Tan¬m 4.1.3.
f
:
R3
!
R3 lineer dönüşümü, her ~u; ~v
2
R3 için
< f (~u); f (~v ) >=< ~u; ~v > ise, yani iççarp¬m¬ koruyorsa, f dönüşümüne ortogonal
dönüşüm denir. Ortogonal dönüşümler cümlesi O(3) ile gösterilen bir grup oluştu23
rurlar. f 2 O(3) ve det f = 1 olan dönüşümlerin grubuna SO(3) denir ve SO(3),
O(3) ün altgrubudur.
Tan¬m 4.1.4. A : E 3 ! E 3 dönüşümüne a…ndir denir e¼
ger,
A : R3
! R3
!
!
!
M N ! A(M N ) = A(M )A(N )
olacak şekilde bir A lineer dönüşümü varsa. A ya A n¬n lineer k¬sm¬denir.
Tan¬m 4.1.5. E 3 , 3 boyutlu Öklid uzay¬olmak üzere,
f : E3 ! E3
P
! f (P )
a…n dönüşümü, E 3 ün her P; Q noktas¬için
d(P; Q) = d(f (P ); f (Q))
şart¬n¬sa¼
gl¬yorsa, f dönüşümüne izometri denir ve f (P ) = AP + C şeklinde tan¬mlan¬r.
Farkl¬bir notasyonla ifade edecek olursak,
P = AP + d
(4:1:2)
dir. 1-parametreli hareketi gözönüne alal¬m. Yani,
P = A(t)P + d(t)
(4:1:3)
olsun. Bunun h¬z da¼
g¬l¬m¬,
_ + d_
P· = AP
şeklindedir. Di¼
ger taraftan, (4:1:2) den P = A 1 (P
24
d) ifadesi (4:1:3) de yerine
yaz¬l¬rsa,
_ 1 (P
P· = AA
_
veya AA
1
d) + d_
= ! olmak üzere vektörel olarak
P· = !
~ ^ (P
d) + d_
elde edilir.
Şimdi h¬z¬~! ya paralel olan P noktalar¬n¬n geometrik yerini bulal¬m. Yani,
d) + d_ = !
~
!
~ ^ (P
(4:1:4)
şart¬n¬ sa¼
glayan P noktalar¬n¬ belirleyelim. Bunun için (4:1:4) eşitli¼
ginin her iki
taraf¬n¬n !
~ ile iççarp¬m¬n¬al¬rsak,
<!
~ ^ (P
d) + d;_ !
~ >=
ve
=
<!
~;!
~ >
<!
~ ; d_ >
<!
~;!
~ >
bulunur. Bu son ifadeyi (4:1:4) de yerine yazarsak,
!
~ ^ (P
d) =
<!
~ ; d_ >
!
~
d_ +
<!
~;!
~ >
(4:1:5)
elde edilir.
a ^ x = b ve < a; b >= 0 şeklindeki bir denklemin çözümü
x=
a^b
+ a
< a; a >
şeklindedir (Bottema and Roth 1979). Buna göre, (41:5) denkleminin çözümü
P =d+
!
~ ^ d_
+ !
~
<!
~;!
~ >
25
olarak bulunur. Bu ise, bir do¼
gru belirtir. Bu do¼
gruyu s ile gösterelim. S, bu do¼
gru
üzerinde bir nokta olsun. Bu durumda
P· = !
~ ^ (P
S) + !
~
veya
!
P· = !
~ ^ SP + !
~
yaz¬labilir. Bu ise, ekseni s do¼
grusu olan !
~ aç¬sal h¬z ve !
~ ötelemesine sahip vida
hareketindeki h¬z da¼
g¬l¬m¬ile ayn¬d¬r.
4.2 E 3 de Helisel Vektör Alanlar¬n¬n I·ntegral E¼
grileri
Helisel vektör alanlar¬ile bir parametreli hareketlerin Lie cebirinin elemanlar¬eşlenebilir. Dolay¬s¬yla, bunlar yard¬m¬yla 1-parametreli (ani) hareketleri elde ederiz. Bu
ani hareketlerin yörüngelerini bir teoremle verelim:
Teorem 4.2.1. X bir helisel vektör alan¬olsun. Yani,
2
4
X(M )
0
3
2
5=4
! v
0 0
32
54
M
1
3
2
5=4
!
!
! ^ OM + !
v
0
3
5:
(4:2:1)
1. rank[!; v] = 3 ise, X in integral e¼
grileri helislerdir.
2. rank[!; v] = 2 ise, X in integral e¼
grileri çemberlerdir.
3. rank[!; v] = 1 ise, X in integral e¼
grileri paralel do¼
grulard¬r.
I·spat.
2
6
6
6
6
6
6
4
0 1 0 p
32
3
2
x
76 7 6
76 7 6
1 0 0 q 76 y 7 6
76 7 = 6
76 7 6
0 0 0 r 76 z 7 6
54 5 4
0 0 0 0
1
26
x
0
3
7
7
y 7
7
0 7
z 7
5
0
0
(4:2:2)
(t) = (x(t); y(t); z(t)),
Xj
(t)
=
0
(4:2:3)
(t)
nin integral e¼
grilerini hesaplayal¬m.
1. rank[!; v] = 3 olsun. Bu durumda r 6= 0 d¬r ve (4:2:3) den
dx
= y+p
dt
dy
=
x+q
dt
dz
= r
dt
elde edilir. Üçüncü eşitlikten
z(t) = rt + s
bulunur. I·kinci eşitlikte türev al¬n¬r ve birinci eşitlik kullan¬l¬rsa,
d2 y
=
dt2
y
p
d2 y
+y =
dt2
p
ve buradan
(4:2:4)
ikinci basamaktan diferensiyel denklemi elde edilir. Bu denklemin özel çözümü
yo• =
p
ve homogen k¬sm¬n¬n çözümü
yh = c1 cos t + c2 sin t
olur genel çözüm ise
y = yo• + yh
y(t) = c1 cos t + c2 sin t + p
27
(4:2:5)
olarak bulunur. Buradan
x(t) = c1 sin t
c2 cos t + q
yani,
(t) = (c1 sin t
c2 cos t + q; c1 cos t + c2 sin t + p; rt + s)
(4:2:6)
şeklindedir.
0
(t) = (c1 cos t + c2 sin t; c1 sin t + c2 cos t; r)
ve
<
0
(t); (0; 0; 1) >= r = sabit
oldu¼
gundan (t) bir helistir.
2. rank[!; v] = 2 olsun. Bu durumda (4:2:2) den r = 0 olaca¼
g¬ndan
dx
= y+p
dt
dy
=
x+q
dt
dz
= 0
dt
d¬r. Denklemler çözülünce
(t) = (c1 sin t
c2 cos t + q; c1 cos t + c2 sin t + p; s)
elde edilir.
3. rank[!; v] = 1 ise,
dx
= 0
dt
dy
= 0
dt
dz
= 0
dt
28
(4:2:7)
denklem sistemi çözüldü¼
günde
(4:2:8)
(t) = (pt + s1 ; qt + s2 ; rt + s3 )
bulunur. Bu da paralel do¼
grular verir.
Sonuç 4.2.2. E 3 deki 1-parametreli uzay hareketlerinde, ani hareketler alt¬nda bir
noktan¬n yörüngesi, ya bir helis, ya bir çember veya bir do¼
grudur.
Şimdi E 3 deki hareketler için yap¬lanlar¬E 2n+1 Öklid uzay¬na genelleştirelim.
4.3 E 2n+1 Öklid Uzay¬nda Helisel Vektör Alanlar¬
Tan¬m 4.3.1. E 2n+1 üzerinde
f : E 2n+1 ! E 2n+1
! f (x) = y(t) = g(t)x + c(t)
x
şeklinde tan¬mlanan dönüşüme 1-parametreli genel hareket denir.
Burada,
g(t) 2 SO(2n + 1), c(t) 2 R2n+1
dir. Bu hareketin matris formundaki ifadesi
1
2
4
y(t)
3
2
5 = 4
1
| {z }
|
Y (t)
=
g(t) c(t)
0
1
{z
A(t)
32
54
x
3
5
1
} | {z }
:
X
şeklindedir. A(t) formundaki 1-parametreli matrisler, matris çarp¬m¬na göre
2
G = fA : A = 4
g c
0 1
3
5 ; g 2 SO(2n + 1); c 2 R2n+1
g:
1
şeklinde bir grup oluştururlar. G bir Lie grubudur. Bu gruba karş¬l¬k gelen Lie
29
cebirini de g ile gösterelim. O zaman,
2
g = f4
S V
0
0
3
2n+1
5 : S 2 R2n+1
anti-simetrik; V 2 R12n+1 g
olarak elde edilir. Lie cebirinin elemanlar¬helisel vektör alanlar¬ile bire bir eşlenirler.
2n+1
Tan¬m 4.3.2. S 2 R2n+1
olmak üzere
2n+1 bir anti-simetrik matris ve V 2 R1
X : E 2n+1 ! R2n+1
1
M
!
! X(M ) = V + S:M
(4:3:1)
şeklinde tan¬mlanan lineer dönüşüme helisel vektör alan¬denir.
Tan¬m 4.3.3. X bir helisel vektör alan¬ve
E¼
ger her t 2 I için
oluyorsa,
: I ! E 2n+1 , t ! (t) bir e¼
gri olsun.
d
= X( (t))
dt
(4:3:2)
e¼
grisine X helisel vektör alan¬n¬n integral e¼
grisi denir.
1-parametreli harekette x noktas¬n¬n yörüngesi y(t) = g(t)x+c(t) dir. Buradan türev
al¬n¬rsa,
y(t) = g(t)x + c(t)
= g(t)g 1 (t)(y(t)
= !(t)y(t)
c(t)) + c(t)
!(t)c(t)
c(t)
y(t) = !(t)y(t) + v(t)
elde edilir. t = 0 an¬nda h¬z vektörü y(0) = !(0)y(0) + v(0) d¬r.
Şimdi y1 (0) = y(0) = M noktas¬nda h¬z¬ y(0) ile ayn¬olan ani hareketi bulal¬m. Bu
30
hareketi y1 (t) ile gösterelim. Bu durumda
y1 (t) = !y1 (t) + v
diferensiyel denklemini
y1 (0) = y(0) = M
başlang¬ç şart¬alt¬nda çözersek,
2
4
y1
0
3
2
5=4
! v
0 0
32
M
! v
31 2
54
1
3
5
olmak üzere
2
4
y1 (t)
1
0 2
3
5 = exp @t 4
2
= 4
0 0
g1 (t) c1 (t)
0
1
5A 4
32
54
M
1
M
1
3
3
5
5
elde edilir. Burada g1 (t) 2 SO(2n + 1); c1 (t) 2 R12n+1 dir.
2
Bulunan y1 (t) e¼
grisi, X = 4
! v
0 0
3
5 helisel vektör alan¬n¬n integral e¼
grisidir.
Teorem 4.3.4. X; E 2n+1 de bir helisel vektör alan¬ve X in f0; u1 ; :::; u2n+1 g ortonormal çat¬s¬na göre matrisi;
2
4
! v
0 0
3
5
2n+1
olsun. Burada ! 2 R2n+1
bir sütun matristir.
2n+1 bir anti-simetrik matris ve v 2 R1
Bu durumda;
1. rank[!; v] = 2n + 1 ise, X in integral e¼
grileri, ortak eksenli ayn¬parametreli
dairesel helis e¼
grileridir.
31
2. rank[!; v] = 2k, 1
n ise, X in integral e¼
grileri, paralel düzlemlere dik
k
olan bir eksen üzerinde bulunan çemberlerdir.
3. rank[!; v] = 2k + 1, 1
n ise, X in integral e¼
grileri, dairesel helislerdir.
k
4. rank[!; v] = 1 ise, X in integral e¼
grileri, paralel do¼
grulard¬r.
I·spat. X helisel vektör alan¬, her M = (x1 ; :::; x2n+1 ) 2 E 2n+1 için
2
4
X(M );
0
3
2
5 = 4
2
6
6
6
6
6
6
6
6
= 6
6
6
6
6
6
6
4
X(M ) = ( 1 x2 + a1 ;
0 0
32
0
1
! v
54
3
M
5
1
0
0
0
0
a1
0
..
.
0
..
.
a2
..
.
..
.
0
..
.
0
.. . .
.
.
0
..
.
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1 x1
+ a2 ; :::;
n
0 a2n
1
0
0
0
0
0 a2n+1
0
0
0
n
n x2n
32
+ a2n 1 ;
a2n
0
n x2n 1
x1
76
76
7 6 x2
76
7 6 ..
76 .
76
76
7 6 x2n 1
76
76
7 6 x2n
76
76
7 6 x2n+1
54
1
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7(4:3:3)
7
7
7
7
7
7
5
+ a2n ; a2n+1 ) (4:3:4)
olarak bulunur. E 2n+1 de
: I ! E 2n+1
t ! (t) = (
1 (t); :::;
2n+1 (t))
e¼
grisini ele alal¬m.
1.
n¬n X vektör alan¬na ait bir integral e¼
grisi olabilmesi için
d
= X( (t))
dt
(4:3:5)
diferensiyel denklemini sa¼
glamas¬ gerekir. O halde bu diferensiyel denklemin
çözümünü arayal¬m.
32
(4:3:5) diferensiyel denkleminin
(t) = M ve M = (x1 ; :::; x2n+1 ) başlang¬ç
şartl¬integral e¼
grisi
X(M ) = ( 1 x2 + a1 ;
1 x1
+ a2 ; :::;
n x2n
+ a2n 1 ;
n x2n 1
+ a2n ; a2n+1 )
için
d
= X(M )
dt
(4:3:6)
diferensiyel denkleminin çözüm e¼
grisidir.
(4:3:6) denkleminin aç¬k ifadesi
dx1
dt
dx2
dt
dx3
dt
dx4
dt
=
1 x2
=
+ a1
1 x1
=
2 x4
=
+ a2
+ a3
2 x3
+ a4
..
.
(4:3:7)
dx2n 1
= n x2n + a2n 1
dt
dx2n
=
n x2n 1 + a2n
dt
dx2n+1
= a2n+1
dt
şeklindedir.
(4:3:7) denklem sisteminde işlemleri basitleştirmek amac¬yla
33
i
= 1, 1
i
n
almam¬z genelli¼
gi bozmaz. Bu durumda (4:3:7) sistemi;
dx1
dt
dx2
dt
dx3
dt
dx4
dt
= x 2 + a1
=
x 1 + a2
= x 4 + a3
=
x 3 + a4
..
.
(4:3:8)
dx2n 1
= x2n + a2n 1
dt
dx2n
=
x2n 1 + a2n
dt
dx2n+1
= a2n+1 = c
dt
şeklini al¬r.
(4:3:8) sisteminde son denklemin çözümü
x2n+1 = ct + d
(4:3:9)
şeklindedir.
Geriye kalan 2n tane denklem ikişer ikişer çözülürler.
(4:3:8) sisteminde ilk iki denklemi ele alal¬m:
dx1
= x 2 + a1
dt
dx2
=
x 1 + a2 :
dt
I·kinci denklemin türevi al¬n¬r ve
dx1
de¼
geri yerine yaz¬l¬rsa,
dt
d2 x2
+ x1 =
dt2
34
a1
(4:3:10)
bulunur. Bu denklemin çözümü
x2 = A1 cos t + B1 sin t
a1
şeklinde bulunur. Bu de¼
gerin yerine yaz¬lmas¬yla
x1 = A1 sin t
B1 cos t + a2
elde edilir.
Bu şekilde devam edilirse, (2n
x2n
1) ve 2n-inci denklem çiftinin çözümü
= An sin t
1
Bn cos t + a2n
x2n = An cos t + Bn sin t
a2n
1
şeklinde bulunur.
Buradan X lineer vektör alan¬na karş¬l¬k gelen (t) integral e¼
grisinin ifadesi;
(t) = (A1 sin t
B1 cos t + a2 ; A1 cos t + B1 sin t
An sin t
Bn cos t + a2n ; An cos t + Bn sin t
a1 ; :::;
a2n 1 ; ct + d)
(4:3:11)
olur.
0
(t) = (A1 cos t + B1 sin t; A2 sin t + B2 cos t; :::;
An cos t + Bn sin t; An sin t + Bn cos t; c)
olmak üzere
<
0
(t); (0; :::; 0; 1) >= c = sabit
oldu¼
gundan (t) bir helis belirtir.
2. rank[!; v] = 2k, 1
k
n olsun.
35
(a) E¼
ger rank[!; v] = 2n ise, bu durumda
a2n+1 = 0
olmas¬gerekir. Bu durumda (4:3:8) diferensiyel denklem sistemi
dx1
dt
dx2
dt
dx3
dt
dx4
dt
= x 2 + a1
=
x 1 + a2
= x 4 + a3
=
x 3 + a4
..
.
(4:3:12)
dx2n 1
= x2n + a2n 1
dt
dx2n
=
x2n 1 + a2n
dt
dx2n+1
= a2n+1 = 0
dt
olur. Bu denklem sisteminin çözümü (4:3:11) den
(t) = (A1 sin t
An sin t
B1 cos t + a2 ; A1 cos t + B1 sin t
Bn cos t + a2n ; An cos t + Bn sin t
a1 ; :::;
a2n 1 ; d)
bulunur. Bu integral e¼
grilerinin çember oldu¼
gu aşikard¬r.
(b) rank[!; v] = r, r = 2; 4; :::; 2n
2 olsun. Bu durumda (4:3:3) deki matris-
ten
rank[!; v] = r ,
36
i
= 0;
r
+1
2
i
n
yaz¬labilir. Böylece (4:3:8) diferensiyel denklem sistemi;
dx1
= x 2 + a1
dt
dx2
=
x 1 + a2
dt
..
.
dxr 1
= x r + ar 1
dt
dxr
=
x r 1 + ar
dt
dxj
= 0; r + 1 j
dt
(4:3:13)
2n + 1
şekline dönüşür. Bu durumda denklem sisteminin çözümü (4:3:11) den
(t) = (A1 sin t
Ar=2 sin t
B1 cos t + a2 ; A1 cos t + B1 sin t
a1 ; :::;
Br=2 cos t + ar ; Ar=2 cos t + Br=2 sin t
ar 1 ;
dr+1 ; :::; d2n+1 )
bulunur. Bu integral e¼
grileri yine birer çemberdir.
3. rank[!; v] = 2k + 1, 1
k
n olsun.
(a) rank[!; v] = 2n + 1 ise, bu teoremin birinci ş¬kk¬n¬verir.
(b) rank[!; v] = 2k + 1 = r + 1, r = 2; 4; :::; 2n
2 olsun. Bu durumda (4:3:3)
deki ilk matristen
rank[!; v] = r + 1 ,
i
37
= 0;
r
+1
2
i
n ve ar+1 6= 0
yaz¬labilir. Böylece (4:3:8) diferensiyel denklem sistemi;
dx1
= x 2 + a1
dt
dx2
=
x 1 + a2
dt
..
.
dxr 1
dt
dxr
dt
dxr+1
dt
dxj
dt
= x r + ar
=
xr
1
(4:3:14)
1
+ ar
= ar+1
= 0; r + 2
j
2n + 1
olur. Bu durumda (4:3:14) sisteminin çözümü
(t) = (A1 sin t
Ar=2 sin t
B1 cos t + a2 ; A1 cos t + B1 sin t
a1 ; :::;
Br=2 cos t + ar ; Ar=2 cos t + Br=2 sin t
ar 1 ;
(4:3:15)
ar+1 t; dr+2 ; :::; d2n+1 )
olarak bulunur.
Görüldü¼
gü gibi (4:3:15) e¼
grileri dairesel helislerdir.
4. rank[!; v] = 1 olsun. Bu ise, her i = 1; :::; n için
i
= 0 olmas¬demektir. Bu
durumda (4:3:8) diferensiyel denklem sistemi
dx1
= a1
dt
dx2
= a2
dt
..
.
(4:3:16)
dx2n+1
= a2n+1
dt
olur. Bu denklem sisteminin çözümü;
(t) = (a1 t + d1 ; a2 t + d2 ; :::; a2n+1 t + d2n+1 )
38
(4:3:17)
şeklindedir. Bu ise, paralel do¼
grular verir. Böylece teoremin ispat¬tamamlanm¬ş olur.
Bundan sonraki bölümde, Öklid uzay¬için yap¬lanlar, Lorenz uzay¬na genelleştirilecektir.
39
5. LORENZ UZAYINDA HELI·SEL VEKTÖR ALANLARI
5.1 1-Parametreli Hareket
Tan¬m 5.1.1. R3 üstünde,
< ; >L : R 3
R3 ! R
! <!
v ;!
w >L =
(~v ; w)
~
ile tan¬mlanan < ;
v1 w1 + v2 w2 + v3 w3
>L metrik tensörünü ele alal¬m. Bu durumda (R3 ; < ; >L )
ikilisine 3-boyutlu Lorenz uzay¬ad¬verilir ve R31 ile gösterilir.
Tan¬m 5.1.2. E13 üzerinde
f : E13 ! E13
(5:1:1)
! f (x) = y(t) = g(t)x + c(t)
x
2
6
6
dönüşümünü göz önüne alal¬m. Burada, g(t) 2 SO(3; 1) yani, " = 6
4
olmak üzere, g T = "g 1 " dur. Bunun matris formunda ifadesi
2
4
y(t)
3
2
g(t) c(t)
5 = 4
1
| {z }
|
Y (t)
=
0
1
{z
A(t)
32
54
x
1 0 0
3
7
7
0 1 0 7
5
0 0 1
3
5
1
} | {z }
:
X
(5:1:2)
şeklindedir. A(t) formundaki 1-parametreli matrisler, matris çarp¬m¬na göre bir grup
oluştururlar. Bu grubu SE(3; 1) ile gösterece¼
giz. Yani
2
SE(3; 1) = fA(t) : A(t) = 4
g(t) c(t)
0
1
3
5 ; g(t) 2 SO(3; 1); c(t) 2 R31 g
(5:1:3)
şeklindedir. Bu gruba R31 kat¬hareketlerinin Özel Öklidiyen grubu denir. SE(3; 1)
40
bir matris Lie grubudur.
(5:1:2) nin her iki taraf¬n¬n türevini al¬rsak,
(5:1:4)
Y (t) = A(t)X
bulunur ve (5:1:2) den X çekilerek, (5:1:4) de yerine yaz¬l¬rsa;
Y (t) = A(t)A 1 (t)Y (t)
elde edilir. W = A(t)A 1 (t) diyelim.
2
A 1 (t) = 4
1
g (t)
0
1
g (t)c(t)
1
3
2
5 ve A(t) = 4
g(t) c(t)
0
0
3
5
oldu¼
gundan
W = A(t)A 1 (t)
2
32
3
1
1
g c
g
g c
54
5
= 4
0 0
0
1
2
3
1
1
gg
gg c + c
5
= 4
0
0
elde edilir. gg
!T =
1
= ! dersek, ! Lorenz anlam¬nda anti-simetrik bir matristir. Yani,
" ! " dur.
Gerçekten,
2
0
6
6
!=6 a
4
b
41
a b
3
7
7
0 c 7
5
c 0
olmak üzere,
"!" =
2
=
2
6
6
6
4
2
6
6
6
4
32
1 0 0
0 0
1 0
0 1
0 0
= !T
a b
32
1 0 0
76
76
76
76
7
6
0
a
0 c 76
54
54
1
b
c 0
32
3
0
0
a b
76
7
76
7
0 76 a
0 c 7
54
5
1
b
c 0
3
0 1
0 a
6
6
= 6 a 0
4
b c
0
b
3
7
7
0 1 0 7
5
0 0 1
7
7
c 7
5
0
dir.
se(3; 1) ile SE(3; 1) Lie grubunun Lie cebirini gösterecek olursak, se(3; 1) i elde
edelim.
oldu¼
gundan
2
A 1 (t) = 4
1
1
3
2
g c
32
2
gg
1
g (t)
g (t)c(t)
0
A(t)A 1 (t) = 4
= 4
elde edilir. ! = gg
1
ve v =
bir matristir. Yani, ! T =
0 0
1
0
2
5 ve A(t) = 4
54
1
g
0
1
g(t) c(t)
g c
1
3
gg 1 c + c
5
0
0
0
3
5
3
5
gg 1 c + c dersek, ! Lorenz anlam¬nda anti-simetrik
" ! " dur. Bu durumda SO(3; 1) Lie grubunun Lie cebiri
2
se(3; 1) = f4
! v
0 0
3
5 : ! 2 SO(3; 1); v 2 R31 g
42
(5:1:4)
olarak elde edilir.
Şimdi, Lorenz anlam¬nda 3
3 tipinde anti-simetrik matrislerde matris çarp¬m¬ile
Lorenz anlam¬nda vektörel çarp¬m¬verelim.
2
0
a
6
6
!X = 6 a
4
b
b
32
x
3
76 7
76 7
0 c 76 y 7
54 5
c 0
z
= (ay + bz; ax + cz; bx
veya
olmak üzere,
2
0
6
6
!=6 a
4
b
!
! ^L !
x =
a b
3
7
7
0 c 7
5
c 0
!!
! = ( c;
c
b a
x
y z
= ( ( bz
cy)
ay);
( cz
= (ay + bz; ax + cz; bx
ax);
b; a)
cy + bx)
cy)
= !X
dir.
Şimdi (5:1:1) ifadesini yeniden ele alal¬m.
y(t) = g(t)x + c(t) ) x = g 1 (t)(y(t)
43
c(t))
olmak üzere, bunun h¬z da¼
g¬l¬m¬,
(5:1:5)
y = gx + c
şeklindedir. Di¼
ger taraftan, (5:1:1) den x = g 1 (y
c) ifadesi (5:1:5) de yerine
yaz¬l¬rsa,
y = gg 1 (y
= !(y
c) + c
c) + c
= ! ^L (y
c) + c
elde edilir.
Her iki uzayda h¬z¬sabit olan noktalar¬(Pol noktalar¬n¬) bulal¬m. Bunun için
y=0
denklemini çözmeliyiz.
!
~ ^L (y
c) + c = 0
denkleminde y nin tek olarak bulunmas¬için det ! 6= 0 olmal¬. Fakat,
!T
=
" ! " ) det ! = ( 1)3 det !
) det ! = 0
d¬r. Yani tek çözüm yoktur.
O halde h¬z¬~! ya paralel olan x noktalar¬n¬n geometrik yerini bulal¬m. Yani,
!
~ ^L (y
c) + c =
!
~
(5:1:6)
şart¬n¬ sa¼
glayan x noktalar¬n¬ belirleyelim. Bunun için (5:1:6) eşitli¼
ginin her iki
44
taraf¬n¬n !
~ ile iç çarp¬m¬n¬al¬rsak,
<!
~ ^L (y
c) + c; !
~ >L =
<!
~;!
~ >L
veya
=
<!
~ ; c >L
<!
~;!
~ >L
bulunur. Bu son eşitli¼
gi (5:1:6) da yerine yazarsak,
!
~ ^L (y
c) =
c+
<!
~ ; c >L
!
~
<!
~;!
~ >L
(5:1:7)
elde edilir.
a ^L u = b ve < a; b >L = 0 şeklindeki bir denklemin çözümü
u=
a ^L b
+ a
< a; a >L
şeklindedir. Buna göre, (5:1:7) denkleminin çözümü
y=c
!
~ ^L c
+ !
~
<!
~;!
~ >L
olarak bulunur. Bu ise, bir do¼
gru belirtir. Bu do¼
gruyu s ile gösterelim. S, bu do¼
gru
üzerinde bir nokta olsun. Bu durumda
y=!
~ ^L (y
c) + c
d¬r. (5:1:6) dan
!
~ ^L (S
c) = !
~
c
ve son iki eşitlikten
!
y=!
~ ^L Sy + !
~
yaz¬labilir. Bu ise, ekseni s do¼
grusu olan !
~ aç¬sal h¬z ve !
~ ötelemesine sahip vida
45
hareketindeki h¬z da¼
g¬l¬m¬ile ayn¬d¬r. Gerçekten,
!
!
y = !
~ ^L Oy !
~ ^L OS + !
~
!
!
!
~ ^L Oy
= !
~ + OS ^L !
~ + |{z}
{z
}
|
~a
~a
!
= ~a + ~a ^L Oy
elde edilir.
5.2 Lorenz Uzay¬nda Helisel Vektör Alanlar¬
Plücker koordinat sisteminde (~a; ~a ) ile ifade edilen bir vida
X : E13 ! R31
!
M ! X(M ) = ~a + ~a ^L OM
helisel vektör alan¬ile birleşir. !
a ya X in ekseni denir ve ! X ile gösterilir.
Helisel vektör alanlar¬n¬n cümlesini D ile gösterecek olursak, D,
(X + Y )(M ) = X(M ) + Y (M ); M 2 E 3
( X)(M ) =
X(M );
2R
işlemleriyle birlikte bir reel vektör uzay¬d¬r. Bir (~a; ~a ) vidas¬n¬, matris formunda
2
4
şeklinde ifade ederiz. Burada a; 3
matris ve a ; 3
a a
0
0
3
5
3 tipinde Lorenz anlam¬nda anti-simetrik bir
1 tipinde sütun matrisi formundad¬r. Buna göre X helisel vektör
alan¬n¬n matris gösterimi
2
4
X(M )
0
3
2
5=4
a a
0
0
32
54
M
1
46
3
2
5=4
!
~a ^L OM + ~a
0
3
5
şeklindedir.
Şimdi helisel vektör alan¬için Öklid uzay¬nda yapt¬g¼¬m¬z tan¬mlar¬Lorenz uzay¬için
verelim:
5.2.1 D Vektör uzay¬
Helissel vektör alanlar¬n¬n cümlesini D ile gösterecek olursak, D,
(X + Y )(M ) = X(M ) + Y (M ); M 2 E13
( X)(M ) =
X(M );
2R
işlemleriyle birlikte bir reel vektör uzay¬d¬r. Bir (~a; ~a ) vidas¬n¬, matris formunda
2
4
şeklinde ifade ederiz. Burada a; 3
matris ve a ; 3
a a
0
0
3
5
3 tipinde Lorenz anlam¬nda anti-simetrik bir
1 tipinde sütun matrisi formundad¬r.
5.2.2 D de Lie operatörü
D üzerinde tan¬mlanan
[; ] : D
D !D
(X; Y ) ! [X; Y ](M ) = ~a ^L Y (M )
~b ^L X(M )
!
!
işlemini göz önüne alal¬m. Burada X(M ) = ~a + ~a ^L OM , Y (M ) = ~b + ~b ^L OM
de¼
gerleri yerlerine yaz¬l¬rsa,
!
[X; Y ](M ) = ~a ^L ~b + ~a ^L ~b + (~a ^L ~b) ^L OM
47
elde edilir ki, bu da [X; Y ] nin de bir helisel vektör alan¬oldu¼
gunu gösterir. Ayr¬ca,
! [X;Y ] = ~a ^L ~b
şeklindedir. [ ; ] antisimetrik, bilineer ve Jacobi özdeşli¼
gi özeliklerini sa¼
glar. Dolay¬s¬yla D; R üzerinde bir Lie cebiridir. Yine bunu matris formunda şöyle ifade edebiliriz:
!
!
X(M ) = ~a + ~a ^L OM ve Y (M ) = ~b + ~b ^L OM olmak üzere, X ve Y nin matris
ifadeleri
için
2
X!4
[X; Y ] = XY
2
a
= 4
0
2
ab
= 4
0
2
ab
= 4
a a
0
0
3
2
5; Y ! 4
b b
0 0
3
5
YX
32
3 2
32
3
a
b b
b b
a a
54
5 4
54
5
0
0 0
0 0
0 0
3 2
3
ab
ba ba
5 4
5
0
0 0
3
ba ab
ba
5
0
0
olur ki, bunun vida karş¬l¬g¼¬
!
[X; Y ](M ) = ~a ^L ~b + ~a ^L ~b + (~a ^L ~b) ^L OM
olup, yukar¬daki tan¬m ile çak¬şmaktad¬r.
48
5.2.3 D de iççarp¬m
D de
[j] : D
D !R
(X; Y ) ! [X j Y ] =< ~a; ~b >L + < ~a ; ~b >L
şeklinde tan¬mlanan simetrik, bilineer, non-dejenere form, D de iççarp¬m olarak adland¬r¬l¬r. Bu iççarp¬m ifadesi M nin seçilişinden ba¼
g¬ms¬zd¬r.
5.2.4 D de D nin temsili
D kat¬hareketlerin grubu olmak üzere, A 2 D olsun.
A : D !D
X ! A (X)(M ) = A(X(A 1 (M )))
dönüşümü yard¬m¬yla D deki elemanlar D vektör uzay¬n¬n elemanlar¬ cinsinden
tan¬mlanm¬ş olur. A lineer oldu¼
gundan A dönüşümü de lineerdir. Ayr¬ca, her
A; B 2 D için
(A:B)
!A
= A
X
B ve
= A(! X )
dir. A dönüşümünü matris formunda ifade edecek olursak, A (X) = AXA
1
şek-
lindedir. Yani,
2
A (X) = 4
A d
0 1
32
54
! v
0 0
32
54
A
1
0
1
A d
1
3
2
5=4
A!A
0
1
1
A!A d + Av
0
3
5
dir, burada A!A 1 d+Av, bir vektör ve A!A 1 , 3 3 tipinde Lorenz anlam¬nda antisimetrik bir matris, yani, (A!A 1 )T =
" (A!A 1 ) " dur. Gerçekten, A
49
1
= " AT "
ve ! T =
" ! " oldu¼
gundan
(A!A 1 )T = (A 1 )T ! T AT
= (" AT ")T ( " ! ")(" A
=
"A""!""A
=
" (A!A 1 ) "
1
bulunur. Şimdi matrisleri kullanarak, (A:B) = A
2
A =4
A d1
0
1
3
2
5; B =4
0
02
B d2
02
B!B
= A @4
= 4
2
5 ve X = 4
1
A (B (X)) = A @4
2
3
B d2
0
1
! v
0 0
B oldu¼
gunu gösterelim.
3
5 olmak üzere,
! v
1
B!B 1 d2 + Bv
0 0
0
54
1
B
1
B d2
0
0
1
AB!B A
1
")
"
32
54
32
1
1
1
Ab!B A d1
1
31
5A
31
5A
(5:2:1)
1
AB!B d2 + ABv
0
0
3
5
ve di¼
ger taraftan
2
(AB) (X) = 4
AB Ad2 + d1
0
1
2
AB! ABv
2
AB!B 1 A
= 4
= 4
0
0
32
54
32
54
1
! v
0 0
B 1A
1
32
54
1
B A
1
1
B A
1
B d2
0
B 1A
1
0
1
B 1 d2
B 1 A 1 d1
1
Ab!B 1 A 1 d1
0
AB!B 1 d2 + ABv
0
elde edilir. (5:2:1) ve (5:2:3) dan (A:B) = A
50
1
B oldu¼
gu görülür.
3
5
1
1
B A d1
3
3
5
5
(5:2:1)
5.3 Helisel Vektör Alanlar¬n¬n I·ntegral E¼
grileri
: I ! E13 , t !
Tan¬m 5.3.1. X bir helisel vektör alan¬ ve
E¼
ger her t 2 I için
oluyorsa,
(t) bir e¼
gri olsun.
d
= X( (t))
dt
e¼
grisine X helisel vektör alan¬n¬n integral e¼
grisi denir.
Teorem 5.3.2. X = (~! ; ~v ) bir helisel vektör alan¬olsun. Yani,
2
4
X(M )
0
3
2
5=4
! v
0 0
32
M
54
1
3
2
5=4
!
!
~ ^L OM + ~v
0
3
5:
1. rank[!; v] = 3 ise, X in integral e¼
grileri Lorenzian helislerdir.
2. rank[!; v] = 2 ise, X in integral e¼
grileri Lorenzian çemberlerdir.
3. rank[!; v] = 1 ise, X in integral e¼
grileri paralel do¼
grulard¬r.
I·spat.
(t) = (x(t); y(t); z(t)),
2
0 1
6
6
6 1 0
6
6
6 0 0
4
0 0
3
32
2
0
3
x
x
7
76 7 6
76 7 6 0 7
0 q 76 y 7 6 y 7
7
76 7 = 6
76 7 6 0 7
0 r 76 z 7 6 z 7
5
54 5 4
1
1
0 1
0 p
Xj
(t)
=
nin integral e¼
grilerini hesaplayal¬m.
51
0
(t)
(5:3:1)
(5:3:2)
1. rank[!; v] = 3 olsun. (5:3:2) den
dx
= y+p
dt
dy
= x+q
dt
dz
= r
dt
elde edilir. Üçüncü eşitlikten
z(t) = rt + s
bulunur. I·kinci eşitlikte türev al¬n¬r ve birinci eşitlik kullan¬l¬rsa,
d2 y
=y+p
dt2
ve buradan
d2 y
dt2
(5:3:3)
y=p
ikinci dereceden diferensiyel denklemi elde edilir. Bu denklemin özel çözümü
yo• =
p
ve homogen k¬sm¬n¬n çözümü
yh = c1 cosh t + c2 sinh t
olur genel çözüm ise
y = yo• + yh
y(t) = c1 cosh t + c2 sinh t
p
olarak bulunur. Buradan
x(t) = c1 sinh t + c2 cosh t
52
q
(5:3:4)
yani,
(t) = (c1 sinh t + c2 cosh t
q; c1 cosh t + c2 sinh t
p; rt + s)
(5:3:5)
şeklindedir.
0
(t) = (c1 cosh t + c2 sinh t; c1 sinh t + c2 cosh t; r)
ve
<
0
(t); (0; 0; 1) >L = r = sabit
oldu¼
gundan (t) bir Lorenzian helistir.
2. rank[!; v] = 2 olsun. Bu durumda (5:3:1) den c = 0 olaca¼
g¬ndan
dx
= y+p
dt
dy
= x+q
dt
dz
= 0
dt
d¬r. Denklem sistemi çözülürse,
(t) = (c1 sinh t + c2 cosh t
q; c1 cosh t + c2 sinh t
p; s)
(5:3:6)
elde edilir.
3. rank[!; v] = 1 ise,
dx
= 0
dt
dy
= 0
dt
dz
= 0
dt
denklem sistemi çözüldü¼
günde
(t) = (pt + s1 ; qt + s2 ; rt + s3 )
53
(5:3:7)
bulunur. Bu da paralel do¼
grular verir.
Şimdi, 3 boyutlu Lorenz uzay¬için verdi¼
gimiz ifadeleri 2n+1 boyutlu Lorenz uzay¬na
genişletelim.
5.4 E12n+1 Lorenz Uzay¬nda Helisel Vektör Alanlar¬
Tan¬m 5.4.1. E12n+1 üzerinde
f : E12n+1 ! E12n+1
! f (x) = y(t) = g(t)x + c(t)
x
şeklinde tan¬mlanan dönüşüme 1-parametreli genel hareket denir.
Burada,
g(t) 2 SO(2n + 1; 1); c(t) 2 R2n+1
dir. Bu hareketin matris formunda ifadesi
1
2
4
2
3
y(t)
5 = 4
1
|
| {z }
Y (t)
=
g(t) c(t)
0
1
{z
A(t)
32
54
x
3
5
1
} | {z }
:
X
şeklindedir. A(t) formundaki 1-parametreli matrisler, matris çarp¬m¬na göre
2
G = fA : A = 4
g c
0 1
3
5 ; g 2 SO(2n + 1; 1); c 2 R12n+1 g:
şeklide bir grup oluştururlar. G bir Lie grubudur. Bu gruba karş¬l¬k gelen Lie cebirini
g ile gösterecek olursak,
2
g = f4
S V
0
0
3
2n+1
5 : S 2 R2n+1
; ST =
"S"; V 2 R12n+1 g
şeklinde elde edilir. Lie cebirinin elemanlar¬helisel vektör alanlar¬ile bire bir eşlenirler.
54
2n+1
Tan¬m 5.4.2. S 2 R2n+1
olmak üzere
2n+1 bir anti-simetrik matris ve V 2 R1
X : E12n+1 ! R2n+1
1
M
!
! X(M ) = V + S:M
(5:4:1)
şeklinde tan¬mlanan lineer dönüşüme helisel vektör alan¬denir.
Tan¬m 5.4.3. X bir helisel vektör alan¬ve
E¼
ger her t 2 I için
oluyorsa,
: I ! E12n+1 , t ! (t) bir e¼
gri olsun.
d
= X( (t))
dt
(5:4:2)
e¼
grisine X helisel vektör alan¬n¬n integral e¼
grisi denir.
1-parametreli harekette x noktas¬n¬n yöüngesi y(t) = g(t)x + c(t) dir. Burada türev
al¬n¬rsa,
y(t) = g(t)x + c(t)
= g(t)g 1 (t)(y(t)
= !(t)y(t)
c(t)) + c(t)
!(t)c(t)
c(t)
y(t) = !(t)y(t) + v(t)
elde edilir. t = 0 an¬nda h¬z vektörü y(0) = !(0)y(0) + v(0) d¬r.
Şimdi y1 (0) = y(0) = M noktas¬nda h¬z¬ y(0) ile ayn¬olan ani hareketi bulal¬m. Bu
hareketi y1 (t) ile gösterelim. Bu durumda
y1 (t) = !y1 (t) + v
diferensiyel denklemini
y1 (0) = y(0) = M
55
başlang¬ç şart¬alt¬nda çözersek,
2
4
y1
0
3
2
5=4
! v
0 0
32
M
! v
31 2
54
1
3
5
olmak üzere
2
4
y1 (t)
1
3
0 2
5 = exp @t 4
2
= 4
0 0
g1 (t) c1 (t)
0
1
5A 4
32
54
M
1
M
1
3
3
5
5
elde edilir. Burada g1 (t) 2 SO(2n + 1; 1); c1 (t) 2 R12n+1 dir.
2
Bulunan y1 (t) e¼
grisi, X = 4
! v
0 0
3
5 helisel vektör alan¬n¬n integral e¼
grisidir.
Teorem 5.4.4. X; E12n+1 de bir helisel vektör alan¬ve X in f0; u1 ; :::; u2n+1 g ortonormal çat¬s¬na göre matrisi;
2
4
! v
0 0
3
5
2n+1
olsun. Burada ! 2 R2n+1
bir sütun matristir.
2n+1 bir anti-simetrik matris ve v 2 R1
Bu durumda;
1. rank[!; v] = 2n + 1 ise, X in integral e¼
grileri, ortak eksenli ayn¬parametreli
dairesel helis e¼
grileridir.
2. rank[!; v] = 2k, 1
n ise, X in integral e¼
grileri, paralel düzlemlere dik
k
olan bir eksen üzerinde bulunan çemberlerdir.
3. rank[!; v] = 2k + 1, 1
k
n ise, X in integral e¼
grileri, dairesel helislerdir.
4. rank[!; v] = 1 ise, X in integral e¼
grileri, paralel do¼
grulard¬r.
56
I·spat. X helisel vektör alan¬, her M = (x1 ; :::; x2n+1 ) 2 E12n+1 için
2
4
X(M )
0
3
2
! v
2
0
5 = 4
6
6
6
6
6
6
6
6
= 6
6
6
6
6
6
6
4
X(M ) = ( 1 x2 + a1 ;
0 0
32
54
1
M
1
0
3
5
0
0
0
a1
0
..
.
0
..
.
a2
..
.
..
.
0
..
.
0
.. . .
.
.
0
..
.
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1 x1
+ a2 ; :::;
n
1
0
0
0
0
0 a2n+1
0
0
0
n
n x2n
0 a2n
32
+ a2n 1 ;
a2n
0
n x2n 1
x1
76
76
7 6 x2
76
7 6 ..
76 .
76
76
7 6 x2n 1
76
76
7 6 x2n
76
76
7 6 x2n+1
54
1
+ a2n ; a2n+1 )
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7 (5:4:3)
7
7
7
7
7
7
5
(5:4:4)
olarak bulunur. E12n+1 de
: I ! E12n+1
t ! (t) = (
1 (t); :::;
2n+1 (t))
e¼
grisini ele alal¬m.
1.
n¬n X vektör alan¬na ait bir integral e¼
grisi olabilmesi için
d
= X( (t))
dt
(5:4:5)
diferensiyel denklemini sa¼
glamas¬ gerekir. O halde bu diferensiyel denklemin
çözümünü arayal¬m.
(5:4:5) diferensiyel denkleminin
(t) = M ve M = (x1 ; :::; x2n+1 ) başlang¬ç
şartl¬integral e¼
grisi
X(M ) = ( 1 x2 + a1 ;
1 x1
+ a2 ; :::;
57
n x2n
+ a2n 1 ;
n x2n 1
+ a2n ; a2n+1 )
için
d
= X(M )
dt
(5:4:6)
diferensiyel denkleminin çözüm e¼
grisidir.
(5:4:6) denkleminin aç¬k ifadesi
dx1
dt
dx2
dt
dx3
dt
dx4
dt
=
1 x2
+ a1
=
1 x1
+ a2
=
2 x4
+ a3
=
2 x3
+ a4
..
.
(5:4:7)
dx2n 1
= n x2n + a2n 1
dt
dx2n
=
n x2n 1 + a2n
dt
dx2n+1
= a2n+1
dt
şeklindedir.
(4:4:7) denklem sisteminde işlemleri basitleştirmek amac¬yla
i
= 1, 1
i
n
almam¬z genelli¼
gi bozmaz. Bu durumda (5:4:7) sistemi;
dx1
dt
dx2
dt
dx3
dt
dx4
dt
= x 2 + a1
= x 1 + a2
= x 4 + a3
=
x 3 + a4
..
.
dx2n 1
= x2n + a2n 1
dt
dx2n
=
x2n 1 + a2n
dt
dx2n+1
= a2n+1 = c
dt
58
(5:4:8)
şeklini al¬r.
(5:4:8) sisteminde son denklemin çözümü
(5:4:9)
x2n+1 = ct + d
şeklindedir.
Geriye kalan 2n tane denklem ikişer ikişer çözülürler.
(5:4:8) sisteminde ilk iki denklemi ele alal¬m:
dx1
= x 2 + a1
dt
dx2
= x 1 + a2 :
dt
I·kinci denklemin türevi al¬n¬r ve
dx1
de¼
geri yerine yaz¬l¬rsa,
dt
d2 x2
dt2
(5:4:10)
x 1 = a1
bulunur. Bu denklemin çözümü
x2 = A1 cosh t + B1 sinh t
a1
şeklinde bulunur. Bu de¼
gerin yerine yaz¬lmas¬yla
x1 = A1 sinh t + B1 cosh t
a2
elde edilir.
Bu şekilde devam edilirse, (2n
x2n
1
1) ve 2n-inci denklem çiftinin çözümü
= An sin t
Bn cos t + a2n
x2n = An cos t + Bn sin t
şeklinde bulunur.
59
a2n
1
Buradan X lineer vektör alan¬na karş¬l¬k gelen (t) integral e¼
grisinin ifadesi;
(t) = (A1 sinh t + B1 cosh t
a2 ; A1 cosh t + B1 sinh t
An sin t + Bn cos t + a2n ; An cos t + Bn sin t
a1 ; :::;
a2n 1 ; ct + d)
(5:4:11)
olur.
0
(t) = (A1 cosh t + B1 sinh t; A2 sinh t + B2 cosh t; :::;
An cos t
Bn sin t; An sin t + Bn cos t; c)
olmak üzere
<
0
(t); (0; :::; 0; 1) >= c = sabit
oldu¼
gundan (t) bir helis belirtir.
2. rank[!; v] = 2k, 1
k
n olsun.
(a) E¼
ger rank[!; v] = 2n ise, bu durumda
a2n+1 = 0
60
olmas¬gerekir. Bu durumda (5:4:8) diferensiyel denklem sistemi
dx1
dt
dx2
dt
dx3
dt
dx4
dt
= x 2 + a1
= x 1 + a2
= x 4 + a3
=
x 3 + a4
..
.
(5:4:12)
dx2n 1
= x2n + a2n 1
dt
dx2n
=
x2n 1 + a2n
dt
dx2n+1
= a2n+1 = 0
dt
olur. Bu denklem sisteminin çözümü (5:4:11) den
(t) = (A1 sinh t + B1 cosh t
a2 ; A1 cosh t + B1 sinh t
An sinh t + Bn cosh t + a2n ; An cosh t + Bn sinh t
a1 ; :::;
a2n 1 ; d)
bulunur. Bu integral e¼
grilerinin çember oldu¼
gu aşikard¬r.
(b) rank[!; v] = r, r = 2; 4; :::; 2n
2 olsun. Bu durumda (5:4:3) deki matris-
ten
rank[!; v] = r ,
i
= 0;
r
+1
2
i
n
yaz¬labilir. Böylece (5:4:8) diferensiyel denklem sistemi;
dx1
= x 2 + a1
dt
dx2
= x 1 + a2
dt
..
.
dxr 1
= x r + ar 1
dt
dxr
=
x r 1 + ar
dt
dxj
= 0; r + 1 j
dt
61
(5:4:13)
2n + 1
şekline dönüşür. Bu durumda denklem sisteminin çözümü (5:4:11) den
(t) = (A1 sinh t + B1 cosh t
Ar=2 sin t
a2 ; A1 cosh t + B1 sinh t
a1 ; :::;
Br=2 cos t + ar ; Ar=2 cos t + Br=2 sin t
ar 1 ;
dr+1 ; :::; d2n+1 )
bulunur. Bu integral e¼
grileri yine birer çemberdir.
3. rank[!; v] = 2k + 1, 1
n olsun.
k
(a) rank[!; v] = 2n + 1 ise, bu teoremin birinci ş¬kk¬n¬verir.
(b) rank[!; v] = 2k + 1 = r + 1, r = 2; 4; :::; 2n
2 olsun. Bu durumda (5:4:3)
deki ilk matristen
rank[!; v] = r + 1 ,
i
= 0;
r
+1
2
i
n ve ar+1 6= 0
yaz¬labilir. Böylece (5:4:8) diferensiyel denklem sistemi;
dx1
= x 2 + a1
dt
dx2
= x 1 + a2
dt
..
.
dxr 1
dt
dxr
dt
dxr+1
dt
dxj
dt
= x r + ar
=
xr
1
(5:4:14)
1
+ ar
= ar+1
= 0; r + 2
j
2n + 1
olur. Bu durumda (5:4:14) sisteminin çözümü
(t) = (A1 sinh t + B1 cosh t
Ar=2 sin t
a2 ; A1 cosh t + B1 sinh t
a1 ; :::;
Br=2 cos t + ar ; Ar=2 cos t + Br=2 sin t
ar 1 ;
ar+1 t; dr+2 ; :::; d2n+1 )
62
(5:4:15)
olarak bulunur.
Görüldü¼
gü gibi (5:4:15) e¼
grileri dairesel helislerdir.
4. rank[!; v] = 1 olsun. Bu ise, her i = 1; :::; n için
i
= 0 olmas¬demektir. Bu
durumda (5:4:8) diferensiyel denklem sistemi
dx1
= a1
dt
dx2
= a2
dt
..
.
(5:4:16)
dx2n+1
= a2n+1
dt
olur. Bu denklem sisteminin çözümü;
(t) = (a1 t + d1 ; a2 t + d2 ; :::; a2n+1 t + d2n+1 )
(5:4:17)
şeklindedir. Bu ise, paralel do¼
grular verir. Böylece teoremin ispat¬tamamlanm¬ş olur.
63
KAYNAKLAR
Acratalishian, A. 1989. E 2n+1 de Lineer Vektör Alanlar¬Üzerine. Gazi Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü Doktora Tezi, Ankara.
Agrawal, O. M. P. 1987. Hamilton Operators and Dual-Number Quaternions in
Spatial Kinematics. Mech. Mach. Theory, 22, 569-575.
Bottema, O. and Roth, B. 1979. Theoretical Kinematics. North Holland Publ.
Company New York.
Chevallier, D.P. 1991. Lie Algebras, Modules, Dual Quaternions and Algebraic Methods in Kinematics. Mech. Mach. Theory, 26, 613-627.
Hacisaliho¼
glu, H.H. 1983. Hareket Geometrisi ve Kuaterniyonlar Teorisi. Gazi
Üniversitesi Fen-Ed. Fakültesi Yay¬nlar¬Mat. No. 2, Ankara.
Hacisaliho¼
glu, H.H. 1993. Diferensiyel Geometri. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi
Yay¬nlar¬, Ankara.
Hacisaliho¼
glu, H.H. 1998. I·ki ve Üç Boyutlu Uzaylarda Dönüşümler ve Geometriler.
Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Yay¬nlar¬, Ankara.
Karger, A. and Novak, J. 1985. Space Kinematics and Lie Groups. Gordon and
Breach Science Publishers.
Veldkamp, G. R. 1964. Application of Dual-Number Quaternion Algebra to the
Analysis of Spatial Kinematics. J. Appl. Mech., 86, 300-308.
Yayl¬, Y. 1988. Hamilton Hareketleri ve Lie Gruplar¬. Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri
Enstitüsü Doktora Tezi, Ankara.
64
ÖZGEÇMI·Ş
Ad¬Soyad¬:
Zafer ÜNAL
Do¼
gum Yeri:
Aalen/Almanya
Do¼
gum Tarihi: 18.08.1974
Medeni Hali:
Evli
Yabanc¬Dili:
I·ngilizce
E¼
gitim Durumu
Lise:
Bursa Süleyman Çelebi Lisesi 1991
Lisans:
Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü 1998
Yüksek Lisans: Ankara Üniv. Fen Bil. Enst. Matematik Anabilim Dal¬2001
Çal¬şt¬g¼¬Kurumlar ve Y¬l
Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi 1998-2006
65