Document

Bölüm 6
Sürekli Rastsal Değişkenler
6.1 Normal Dağılım: Giriş
Normal Dağılım:
Tamamen ortalaması ve standart sapması ile tanımlanan bir rastsal
değişken, X, için oluşturulan sürekli olasılık dağılımına normal
dağılım denir.
– Örnek: uzunluk, ağırlık, vb.
Uzunluk dağılımı için oluşturulan histogram
a
b
c
d
a) 100 bayandan oluşan rastsal bir örneklem
b) Örneklem büyüklüğü arttı, sınıf genişliği azaldı.
c) Örneklem büyüklüğü daha da arttı, sınıf genişliği daha
da azaldı.
d) Popülasyonun normal dağılımı
Normal dağılımın özellikleri:
1. Simetrik ve çan eğrisi biçimindedir.
2. Tamamen ortalaması, , ve standart sapması, , ile
tanımlanmaktadır.
3. Normal dağılım eğrisi altında kalan alan 1’e eşittir.
4. x-eksenine yatay asimtotiktir (x-eksenine yaklaşmakta
fakat dokunmamaktadır).
Simetrik ve çan eğrisi şeklinde:
Simetrik ve çan şeklinde.
Normal dağılım eğrisidir.
Simetrik, ama çan şeklinde
değil. Normal dağılım eğrisi
değildir.
Normal dağılıma uygun olan veri setlerinde ortalama, medyan ve mod
aynı değerdir.
Tamamen ortalaması ve standart sapması ile tanımlanmaktadır.
•Bükülme noktası eğrinin yön
değiştirdiği noktalardır.
• - ve  +  bükülme
noktalarıdır.
•Standart sapma eğrinin şeklini
belirlemektedir.
•Standart sapma ne kadar büyük
olursa, normal dağılım eğrisinin
kuyruk kısmında kalan alan
daha büyük olmaktadır (eğri
daha yassıdır).
Eğrinin altında kalan alan = 1:
Belli bir rastsal değişkenin (x) aldığı herhangi bir değerin solunda kalan
alan, rastsal olarak seçilen bir değerin x değerinden daha az olma olasılığına
eşittir [P(X < x)].
x-eksenine yatay asimtotiktir:
Doğru
Yanlış
Kaç tane normal dağılım eğrisi vardır?
 ve  için sonsuz ihtimal olduğu için sonsuz sayıda normal dağılım eğrisi
bulunmaktadır.
Standart Normal Dağılım:
Standart normal dağılım normal dağılımla aynı özellikleri
taşımakla birlikte, standart sapması 1 ve ortalaması 0’dır.
Standart Normal Dağılımın Özellikleri:
1. Standard normal normal dağılım eğrisi simetrik ve çan
şeklindedir.
2. Tamamen ortalaması, , ve standart sapması, , ile
tanımlanmaktadır,  = 0 and  = 1.
3. Eğrinin altındaki alan 1’e eşittir.
4. x-eksenine yatay asimtotiktir.
Standart Normal Dağılıma Dönüştürme:
Standard Skor Formülü (z-değeri):
Normal dağılım eğrisini çiziniz:
 = 40 ve  = 5 ise, ortalama değerini, bükülme noktalarını
ve her bir x değerinin nerede olacağını belirtiniz.
x1 = 33 ve x2 = 51
Çözüm:
35
33
40
45
51
Standart Normal Dağılıma Dönüştürünüz:
= 40 ve  = 5, ise her bir x değeri için standart skoru
hesaplayınız ve standart normal dağılım eğrisindeki yerini
belirtiniz.
x1 = 33 and x2 = 51
Çözüm:
-1
-1.4
0
1
2.2
Standart Normal Dağılıma Dönüştürünüz:
 = 48 ve  = 5, ise x = 45 değerini standart normal dağılım
eğrisi üzerinde gösteriniz.
Çözüm:
43
45
48 53
-1 0
-0.6
1
Örnek
Her bir soru için normal dağılım eğrisi çiziniz. Ortalama,
bükülme noktaları ve verilen x değerlerinin nerede olması
gerektiğini gösteriniz.
 Standart normal dağılım eğrisini çiziniz. Verilen x değeri
için standart skoru hesaplayınız. z-değerini gösteriniz.
– μ=65, σ=20, x=40
– μ=5, σ=0.25, x=4.8
– μ=15, σ=2, x=19
– μ=0.023, σ=0.001, x=0.02
– μ=12000, σ=2000, x=10750

Örnek
Her bir soru için normal dağılım eğrisi çiziniz. Ortalama,
bükülme noktaları ve verilen x değerlerinin nerede olması
gerektiğini gösteriniz.
 Standart normal dağılım eğrisini çiziniz. Verilen x değeri
için standart skoru hesaplayınız. z-değerini gösteriniz.
– μ=65, σ=20, x=40 (z = -1.25)
– μ=5, σ=0.25, x=4.8 (z = -0.08)
– μ=15, σ=2, x=19 (z = 2.00)
– μ=0.023, σ=0.001, x=0.02 (-3.00)
– μ=12000, σ=2000, x=10750 (z = -0.63)

6.2 Normal Dağılım Tablosunun Okunması
Normal Dağılımın Olasılığı:
Belirli bir aralıkta değerler alan rastsal bir değişkenin
olasılığı, ilgili bölgedeki eğrinin altında kalan alana eşittir.
P(X > 80) = P(X ≥ 80)
Standart Normal Dağılım Tablosu:
Standart Normal Dağılım Tablosu (– – z)
z
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.0
0.5000
0.5040
0.5080
0.5120
0.5160
0.1
0.5398
0.5438
0.5478
0.5517
0.5557
0.2
0.5793
0.5832
0.5871
0.5910
0.5948
0.3
0.6179
0.6217
0.6255
0.6293
0.6331
0.4
0.6554
0.6591
0.6628
0.6664
0.6700
0.5
0.6915
0.6950
0.6985
0.7019
0.7054
0.6
0.7257
0.7291
0.7324
0.7357
0.7389
0.7
0.7580
0.7611
0.7642
0.7673
0.7704
0.8
0.7881
0.7910
0.7939
0.7967
0.7995
z-değerinin sol tarafındaki alan:
z-değerinin sol tarafındaki alanı bulunuz:
a. z = 1.69
0.9545
b. z = -2.03
0.0212
c. z = 0
0.5000
d. z = 4.2
Yaklaşık olarak 1
e. z = - 4.2
Yaklaşık olarak 0
z-değerinin sağ tarafındaki alan:
z-değerinin sağ tarafındaki alan= 1 – “z-değerinin sol tarafındaki alan”
z-değerinin sağ tarafındaki alanı bulunuz:
a. z = 3.02
0.0013
b. z = -1.70
0.9554
c. z = 0
0.5000
d. z = 5.1
Yaklaşık olarak 0
e. z = - 5.1
Yaklaşık olarak 1
z1 ve z2 arasındaki alan:
z1 ve z2 arasındaki alanı bulunuz:
a. z1 = 1.16, z2 = 2.31
0.1126
b. z1 = -2.76, z2 = 0.31
0.6188
c. z1 = -3.01, z2 = -1.33
0.0905
Kuyruklardaki alan:
Kuyruklardaki alanı bulunuz:
a. z1 = 1.25, z2 = 2.31
0.9048
b. z1 = -2.50, z2 = 3.00
0.0075
c. z1 = -1.23, z2 = 1.23
0.2186
Örnek

Verilen z değerleri arasındaki alanı bulunuz.
1) z = 0.35 and z = 1.85
2) z = -1.25 and z = 2.16

z1 in solundaki ve z2 nin sağındaki alanı bulunuz.
1) z1 = -2.31, z2 = 1.67
2) z1 = 1.31, z2 = 1.93

Verilen olasılıkları bulunuz.
1) P(z < -3.14)
2) P(-1.86 < z < 3.14)
3) P(z < -1.26 or z > 1.26)
Örnek

Verilen z değerleri arasındaki alanı bulunuz.
1) z = 0.35 and z = 1.85 (0.3310)
2) z = -1.25 and z = 2.16 (0.8790)

z1 in solundaki ve z2 nin sağındaki alanı bulunuz.
1) z1 = -2.31, z2 = 1.67 (0.0579)
2) z1 = 1.31, z2 = 1.93 (0.9317)

Verilen olasılıkları bulunuz.
1) P(z < -3.14) (0.0008)
2) P(-1.86 < z < 3.14) (0.9678)
3) P(z < -1.26 or z > 1.26) (0.2076)
6.3 Normal Dağılım Kullanılarak Olasılıkların Bulunması
• Standart olmayan normal dağılım eğrisinin
altındaki alanı bulurken;
• x değerleri standart skorlara dönüştürülür ve
standart normal dağılım kullanılır.
Olasılığı hesaplayınız:
ABD’de yaşayanların IQ skorlarının ortalaması 100, standart
sapması ise 15 olduğu bilinmektedir. Popülasyonun yüzde
kaçının IQ skorları 92’den daha azdır?
Çözüm:
 = 100,  = 15, x = 92
P(z < -0.53) = 0.2981 = 29.81%
Olasılığı hesaplayınız:
ABD’de yaşayanların IQ skorlarının ortalaması 100, standart
sapması ise 15 olduğu bilinmektedir. Popülasyonun yüzde
kaçının IQ skorları 130’dan daha fazladır?
Çözüm:
 = 100,  = 15, x = 130
P(z > 2.00)
= 0.0228 = 2.28%
Olasılığı hesaplayınız:
ABD’de yaşayanların IQ skorlarının ortalaması 100, standart
sapması ise 15 olduğu bilinmektedir. Popülasyonun yüzde
kaçının IQ skorları 90 ve 110 arasındadır?
Çözüm:
 = 100,  = 15, x1 = 90 ve x2 = 110
P(-0.67 < z < 0.67) = 0.4972 = 49.72%
Olasılığı hesaplayınız:
ABD’de yaşayanların IQ skorlarının ortalaması 100, standart
sapması ise 15 olduğu bilinmektedir. Popülasyonun yüzde
kaçının IQ skorları 80’den daha az veya 120’den daha
fazladır?
Çözüm:
 = 100,  = 15, x1 = 80 ve x2 = 120
P(z < -1.33 veya z > 1.33) = 0.1835 = 18.35%
Olasılığı hesaplayınız :
Bir spor merkezinin üyelerinin yaşlarının normal olarak
dağıldığı, yaş ortalamasının 24.2 ve standart sapmanın 4.2
olduğu bildirilmiştir. Seçilen bir üyenin yaşının 20’nin altında
olma olasılığı nedir?
Çözüm:
 = 24.2,  = 4.2, x = 20
P(z < -1.00) = 0.1587 = 15.87%
Olasılığı hesaplayınız :
Bir spor merkezinin üyelerinin yaşlarının normal olarak dağıldığı,
yaş ortalamasının 24.2 ve standart sapmanın 4.2 olduğu
bildirilmiştir. Seçilen bir üyenin yaşının 31’in üzerinde olma
olasılığı nedir?
Çözüm:
 = 24.2,  = 4.2, x = 31
P(z > 1.62)
= 0.0526 = 5.26%
Olasılığı hesaplayınız :
Bir spor merkezinin üyelerinin yaşlarının normal olarak dağıldığı,
yaş ortalamasının 24.2 ve standart sapmanın 4.2 olduğu
bildirilmiştir. Seçilen bir üyenin yaşının 25 ve 32 arasında olma
olasılığı nedir?
Çözüm:
 = 24.2,  = 4.2, x1 = 25 ve x2 = 32
P(0.19 < z < 1.86)
= 0.3933 = 39.33%
Örnek
Buffalo Ticaret Odası’ndan alınan verilere göre,
çalışanların haftalık maaşlarının normal dağılım
özelliği gösterdiği, ortalamanın 700$ ve standart
sapmanın 50$ olduğu tespit edilmiştir. Buffalo’dan
rastsal olarak seçilen bir çalışanın;
a) 600$’ın altında haftalık maaş alma olasılığı nedir?
b) 810$’ın üzerinde haftalık maaş alma olasılığı nedir?
c) 620$ ve 770$ arasında haftalık maaş alma olasılığı
nedir?
d) 620’den daha az veya 780$’den daha fazla haftalık
maaş alma olasılığı nedir?

Örnek
Buffalo Ticaret Odası’ndan alınan verilere göre,
çalışanların haftalık maaşlarının normal dağılım
özelliği gösterdiği, ortalamanın 700$ ve standart
sapmanın 50$ olduğu tespit edilmiştir. Buffalo’dan
rastsal olarak seçilen bir çalışanın;
a) 600$’ın altında haftalık maaş alma olasılığı nedir?
(0.0228)
b) 810$’ın üzerinde haftalık maaş alma olasılığı nedir?
(0.0139)
c) 620$ ve 770$ arasında haftalık maaş alma olasılığı
nedir? (0.8644)
d) 620’den daha az veya 780$’den daha fazla haftalık
maaş alma olasılığı nedir? (0.1096)

Örnek

Akülerin ortalama ömürleri 148 hafta ve standart
sapması 8 haftadır.
– Bir firmanın aküsü için 3 yıl garanti verdiği
bilindiğine göre, satılan akülerin yüzde kaçının
garanti periyodu bitmeden geri iade edilmesi
beklenmelidir? (Normal dağılım dikkate
alınmalıdır)
– Garanti süresi azaltılırsa (mesela 2.5 yıl), ne ile
karşılaşılması beklenmelidir?
Örnek

Akülerin ortalama ömürleri 148 hafta ve standart
sapması 8 haftadır.
– Bir firmanın aküsü için 3 yıl garanti verdiği
bilindiğine göre, satılan akülerin yüzde kaçının
garanti periyodu bitmeden geri iade edilmesi
beklenmelidir? (Normal dağılım dikkate
alınmalıdır) (84.13%)
– Garanti süresi azaltılırsa (mesela 2.5 yıl), ne ile
karşılaşılması beklenmelidir?
Akülerin %1.22’si geri iade edilmesi
beklenmelidir. Dolayısıyla, firmanın geri iadelerden
kaynaklanan kaybı önemli ölçüde azalması
beklenmelidir.
6.4 Normal Dağılım Kullanılarak z-değerlerinin Bulunması
Hangi z-değerinin sol tarafında kalan alan 0.7357’dir?
z = 0.63
Hangi z-değerinin sol tarafında kalan alan 0.2000’dir?
z  -0.84
Hangi z-değerinin sağ tarafında kalan alan 0.0096’dır?
z = -2.34
z = 2.34
Hangi z-değeri 90. yüzdelik dilimi temsil eder?
90. yüzdelik dilim, belli bir z-değerinin sol tarafında kalan ve
standart normal dağılım eğrisinin altında yer alan %90’lık bir
alandır.
Tablodaki 0.8997 değeri 0.9000’ en yakın değerdir.
z = 1.28.
z = 1.28, 90. yüzdelik dilimi temsil etmektedir.
Yüzdelik dilimi belirleyiniz:
Yetişkinlerin vücut sıcaklıkları normal olarak dağılmaktadır, ort. = 98.6° F
ve s.s. = F. 90. yüzdelik dilimi temsil eden vücut sıcaklığı nedir?
Çözüm:
Öncelikle 90. yüzdelik dilimi temsil eden z-değeri bulunmalıdır.
Daha sonra, x değerini bulmak için, ilgili değerler (z, , ve ) formüle
yerleştirilir.
Önceki örnekte; z = 1.28 olarak bulunmuştu. Ayrıca;  = 98.6 ve  = 0.73.
Örnek

KSÜ öğrencilerinin aylık telefon görüşme süreleri normal olarak
dağılmaktadır, ve ort. = 110 dakika s.s. = 33 dakikadır. 67.
yüzdelik dilimi temsil eden konuşma süresi nedir?

X şehrindeki yangın ihbar merkezi haftada ort. 45 çağrı
almaktadır (s.s.=6). İtfaiye erlerinin çok yoğun bir hafta
beklediklerini düşünün. Haftanın %85 inden daha yoğun
olmaları durumunda, kaç ihbar gelmesini beklemelidirler?
Örnek

KSÜ öğrencilerinin aylık telefon görüşme süreleri normal olarak
dağılmaktadır, ve ort. = 110 dakika s.s. = 33 dakikadır. 67.
yüzdelik dilimi temsil eden konuşma süresi nedir?
24.52 dakika.

X şehrindeki yangın ihbar merkezi haftada ort. 45 çağrı
almaktadır (s.s.=6). İtfaiye erlerinin çok yoğun bir hafta
beklediklerini düşünün. Haftanın %85 inden daha yoğun
olmaları durumunda, kaç ihbar gelmesini beklemelidirler?
x = 51.24. 52 ihbar için hazırlıklı olmalıdırlar.
6.5 t-dağılımı ve t-değerleri
t-dağılımı:
Şekli normal dağılım eğrisine benzemekle birlikte,
kuyruklarda daha fazla alanı bulunan ve
serbestlik derecesi ile tanımlanan dağılımdır.
t-dağılımının özellikleri:
1. t-dağılım eğrisi simetrik ve çan şeklindedir ve
merkezi 0 civarında bulunmaktadır.
2. Tamamen serbestlik derecesi, yada s.d. (bir
parametrenin tahmin edilmesinde kullanılan
bağımsız bilgi sayısı) ile tanımlanmaktadır
3. t-dağılım eğrisinin altında kalan alan 1’e eşittir.
4. x-eksenine yatay asimtotiktir.
Normal dağılım ve t-dağılımının karşılaştırılması:
t-dağılımı tablosu:
t-dağılımı tablosu
s.d.
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
1
3.078
6.314
12.706
31.821
63.657
2
1.886
2.920
4.303
6.965
9.925
3
1.638
2.353
3.182
4.541
5.841
4
1.533
2.132
2.776
3.747
4.604
5
1.476
2.015
2.571
3.365
4.032
t-dağılımı tablosu:
1. Üst satırdaki sayılar, t-değerinin sağındaki alanı ()
ifade etmektedir.
2. Sol sütundaki sayılar serbestlik derecesini ifade
etmektedir (s.d. = n – 1).
3. İlgili sütun ve satırın kesiştiği hücredeki değer tdeğeridir.
t0.025 ve s.d.= 25 ise t-değerini bulunuz.
t-dağılım tablosu
s.d.
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
23
1.319
1.714
2.069
2.500
2.807
24
1.318
1.711
2.064
2.492
2.797
25
1.316
1.708
2.060
2.485
2.787
26
1.315
1.706
2.056
2.479
2.779
t0.025 = 2.060
Kaç serbestlik derecesi t0.010 = 4.604 sonucunu vermektedir?
t-dağılımı tablosu
s.d.
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
1
3.078
6.314
12.706
31.821
63.657
2
1.886
2.920
4.303
6.965
9.925
3
1.638
2.353
3.182
4.541
5.841
4
1.533
2.132
2.776
3.747
4.604
5
1.476
2.015
2.571
3.365
4.032
d.f. = 4
s.d.=17 ve sağındaki alan 0.1’e eşit olan t-değerini
bulunuz.
t-dağılımı tablosu
s.d.
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
15
1.341
1.753
2.131
2.602
2.947
16
1.337
1.746
2.120
2.583
2.921
17
1.333
1.740
2.110
2.567
2.898
18
1.330
1.734
2.101
2.552
2.878
19
1.328
1.729
2.093
2.539
2.861
t0.100 = 1.333
Solundaki alan 0.05 ve s.d.=11 olan t-değerini
bulunuz:
t-dağılımı tablosu
s.d.
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
9
1.383
1.833
2.262
2.821
3.250
10
1.372
1.812
2.228
2.764
3.169
11
1.363
1.796
2.201
2.718
3.106
12
1.356
1.782
2.179
2.681
3.055
13
1.350
1.771
2.160
2.650
3.012
t0.050 = 1.796, fakat tablo t-değerinin sağ tarafındaki alanı ifade
etmektedir.
t-değeri t = 0 da simetrik olduğu için, t0.050 = -1.796
Kuyruklardaki alan 0.02 olan t-değerini bulunuz
(s.d.=7):
Bu tür probleme çift-kuyruk (two-tailed) denir.
İki kuyruktaki alan 0.02 ise, tek kuyrukta 0.01 lik bir alan
vardır.
t-dağılımı tablosu
s.d.
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
7
1.415
1.895
2.365
2.998
3.499
8
1.397
1.860
2.306
2.896
3.355
9
1.383
1.833
2.262
2.821
3.250
10
1.372
1.812
2.228
2.764
3.169
11
1.363
1.796
2.201
2.718
3.106
t0.010 = 2.998
-t ve t değerleri arasındaki alan %99 olan t değerini
bulunuz (s.d.=24).
Ortadaki alan %99 olursa, dışarıda kalan alan %1 yani 0.01
dir.
Simetri özelliğinden dolayı, kuyrukların her birinde
0.01/2=0.005 lik bir alan olacaktır.
t-dağılımı tablosu
s.d.
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
23
1.319
1.714
2.069
2.500
2.807
24
1.318
1.711
2.064
2.492
2.797
25
1.316
1.708
2.060
2.485
2.787
26
1.315
1.706
2.056
2.479
2.779
t = 2.797.