MSGSÜ Mat122–Analiz 2 Vize 08 Mayıs 2015. Süre: 90 dk. İsim: No:

MSGSÜ
Mat122–Analiz 2
Vize
08 Mayıs 2015.
Süre: 90 dk.
İsim:
No:
Sınavda toplam 105 puanlık 6 soru var.
Soru
1
2
3
4
5
6
Toplam
Puan
20
15
20
10
20
20
105
Kazanılan
1. [1, 3] üzerinde tanımlı f (x) = 2x + 1 fonksiyonunu alalım ve P = {1; 3/2; 2; 3} olsun.
(a) (10 Puan) L(f, P ), U (f, P ) ve U (f, P ) − L(f, P ) değerlerini hesaplayınız.
(b) (5 Puan) Eğer P parçalanışına 5/2 eklenirse, U (f, P )−L(f, P ) değerinin büyüklüğü
nasıl değişir?
(c) (5 Puan) [1, 3] aralığının öyle bir Q parçalanışını bulunuz ki U (f, Q) − L(f, Q) < 2
olsun.
2.
f (x) =
1 , eğer n ∈ N olmak üzere x = 1/n ise
0 ,
diğer durumlar
fonksiyonu verilsin.
(a) (10 Puan) Gösteriniz ki, f fonksiyonu [0, 1] üzerinde integrallenebilirdir.
Z 1
(b) (5 Puan)
f değerini bulunuz.
0
3. (20 Puan) Diyelim ki, g fonksiyonu bir [a, b] aralığında türevlenebilir olsun; F fonksiyonu
da g’nin değer kümesi üzerinde türevlenebilir olsun. Verilen her x ∈ [a, b] için F 0 (x) =
f (x) olmak üzere, aşağıdaki adımları izleyerek
Z b
Z g(b)
0
(f ◦ g)g =
f
a
g(a)
eşitliğini kanıtlayınız.
(a) (F ◦ g)0 (x) fonksiyonu [a, b] üzerinde integrallenebilir midir? Neden?
(b) Gösteriniz ki
Z
b
(f ◦ g)g 0 = F (g(b)) − F (g(a))
a
dır.
Z g(b)
f = F (g(b)) − F (g(a)) olduğunu gösteriniz ve kanıtı tamamlayınız.
(c)
g(a)
4. (10 Puan) Bir önceki soruda kanıtladığınız özdeşliği kullanarak b ∈ (0, 1) için
Z
0
b
x3
√
dx =
1 − x2
arcsin b
Z
sin3 xdx
0
eşitliğini kanıtlayınız.
5. Diyelim ki, f ve g fonksiyonları [a, b] üzerinde sürekli olsun.
Z b
f = 0 ise, bu durumda f (c) = 0 olacak şekilde bir
(a) (10 Puan) Gösteriniz ki,
c ∈ [a, b] vardır.
a
Z
b
Z
a
b
g ise, f (c) = g(c) olacak şekilde bir c ∈
f =
(b) (10 Puan) Gösteriniz ki, eğer
a
[a, b] vardır.
6. (a) (10 Puan) Gösteriniz ki, 0 ≤ x ≤ 1 için |R(x)| < 1/6! olmak üzere,
sin x = x − x3 /3! + x5 /5! + R(x)
dir.
(b) (10 Puan) sin x fonksiyonunun Taylor polinomumun ilk üç terimi yardımı ile
Z 1
sin x
x
0
değerinin yaklaşık değerini hesaplayınız ve yapılan hata için bir üst sınır bulunuz
sin x
(x = 0 için
= 1 olarak düşünülebilir).
x