Document

LİMİT
I. TANIM:
f, a yakınındaki x değerleri için tanımlı bir fonksiyon olsun.
Alınan ε>0 sayısına karşılık
|f(x)-L| < ε olacak şekilde |x-a| < δ koşulunu sağlayan
δ > 0 sayısı bulunabiliyorsa ;
x , a’ya yaklaşırken f(x) , L ye yaklaşır denir.
lim f(x) = L yazılır.
x a
II. TANIM:
Terimleri
A-{a}
kümesinde bulunan ve
a
sayısına
yakınsayan her (xn) dizisi için elde edilen (f(xn)) dizileri
aynı bir L sayısına yakınsıyorsa , bu L sayısına
x , a ya yaklaştığında f(x) in limiti denir.
III. TANIM:
x’ i a’nın yeterince küçük bir komşuluğu içinde aldığımızda,
f(x)’in olabildiğince yaklaşabileceği sayıya
‘’x , a ya giderken f(x) in limiti’’ denir.
a, c  R için;
lim x  a
x a
lim c  c
x a
dir.
dır.
lim ( f ( x)  g ( x))  lim f ( x)  lim g ( x)
x a
x a
x a
lim (cf ( x))  c lim f ( x)
x a
x a
lim ( f ( x) g ( x))  lim f ( x) lim g ( x)
x a
x a
lim
f ( x)
f ( x) lim
 x a
g ( x) lim g ( x)
x a
x a
lim g ( x)  0
x a
x a
lim x n  a n
x a
134
ÖRNEK:
lim (3x 2  2 x  1)  3.2 2  2.2  1  9
x 2
f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0
polinom fonksiyonlar için ;
( a R )
lim f ( x)  f (a) dır.
şeklindeki
x a
ÖRNEK:
( x 2  3x  2) (1) 2  3(1)  2
x 2  3x  2 xlim
6
 1
lim 3



3
3
x 1 2 x  x  4
7
lim (2 x  x  4) 2(1)  (1)  4
x 1
lim f ( x)  f (1)  
x 1
6
7
ÖRNEK:
( x 3  x 2  4 x  3)
x 3  x 2  4 x  3 lim
x 2
lim

x 2
x 2  3x  6
lim ( x 2  3x  6)
x2

2  2  4(2)  3
1

2
4
2  3(2)  6
3
2
lim f ( x)  f (2)  
x 2
f ( x) 
P( x)
Q( x)
1
4
şeklindeki Rasyonel fonksiyonlar için;
a tanım kümesinin bir elemanı ise
lim f ( x)  f (a) dır.
x a
ÖRNEK:
lim
x 2
x2
?
x x2
2
lim ( x 2  x  2)  2 2  2  2  0
x 2
lim
x 2
lim ( x  2)  2  2  0
x 2
x2
x2
1
1
 lim
 lim

x

2
x

2
( x  1)( x  2)
x 1 3
x x2
2
135
ÖRNEK:
x 2  4x  3
?
x 1 2 x 2  x  1
lim
lim ( x 2  4 x  3)  (1) 2  4(1)  3  0
x 1
lim (2 x 2  x  1)  2(1) 2  (1)  1  0
x 1
x 2  4x  3
( x  1)( x  3)
x3
2
 lim
 lim

2
x 1 2 x  x  1
x 1 ( x  1)(2 x  1)
x 1 2 x  1
3
lim
ÖRNEK:
x3  x 2  2x
lim 2
?
x 2 x  x  6
lim ( x 3  x 2  2 x)  2 3  2 2  2(2)  0
x 2
lim ( x 2  x  6)  2 2  2  6  0
x 2
lim
x 2
x 3  x 2  2x
x( x  2)( x  1)
x( x  1) 6
 lim
 lim

2
x 2 ( x  2)( x  3)
x 2 x  3
5
x  x6
ÖRNEK:
3x 2  2 x  1
?
1
3x  1
x
lim
3
lim (3x 2  2 x  1)  0
x
1
3
lim (3x  1)  0
x
1
3
3x 2  2 x  1
(3x  1)( x  1)
4
 lim
 lim ( x  1) 
1
1
1
3x  1
3x  1
3
x
x
x
lim
3
ÖRNEK:
3
lim
t 1
3
t 2  2t 1  1
?
t 1  t 2
t 2  2t 1  1
t 2 (1  2t  t 2 )
(t  1) 2
lim 1 2  lim
 lim
 lim (t  1)  0
t 1
t 1
t 1 t  1
t 1
t t
t 2 (t  1)
136
x( x  1) 3 3000

19
2x 2  1
ÖRNEK:
lim
ÖRNEK:
lim ( x 2  1) 23  10 23
ÖRNEK:
lim 17 x 3  23x 2  9  7
x 3
x 3
x 1
lim g ( x)  b ve b , f ’in tanım kümesinde ise ;
x a
dir.
lim f ( g ( x))  f (lim g ( x))
x a
n N
x a
ve a , tanım kümesinde ise ;
için :
f ( x)  n x
lim f ( x)  lim n x  n a
dır.
lim n g ( x)  n lim g ( x)
dir.
x a
x a
x a
x a
ÖRNEK:
lim x 2  3x  lim ( x 2  3x)  10
ÖRNEK:
lim (t  5t  1)  lim (t  5t  1)
ÖRNEK:
x 2
x 2

2
3
3
t 1
3
t 1
x 4
x 4
3
2

lim (2 x  3x  5)  lim (2 x  3x  5)
x 1
5
2
3
lim 4 x 3  2 x  4 lim ( x 3  2 x)  4 56
ÖRNEK:
2

2
3
2
x 1
137

1
3 2
 
 4
1
3 2
8
ÖRNEK:
3
lim
x 4
x 2  3x  3
x  2x
3

3
4 2  3(4)  3
4  2(4)
3

1
4
ÖRNEK:
x2 1 1
x2 1 1 x2 1 1

lim
x 0
x 0
x2
x2
x2 1 1
x2
1
1
 lim
 lim

2
2
x 0 2
x 0
x ( x  1  1)
x 1 1 2
lim
ÖRNEK:
3x  4  2
3x  4  2 3x  4  2
 lim
x 0
x 0
x
x
3x  4  2
3
3
 lim

x 0
3x  4  2 4
lim
ÖRNEK:
lim
x 4
x 2
x 2
 lim
x 4 x  4
x4
g ( x)  f ( x)  h( x)
lim f ( x)  L
x a
ÖRNEK:
ve
x 2
x 2
x 4
1
x 2
lim g ( x)  lim h( x)  L
x a
x a

1
4
ise;
dir.
1
lim x 2 sin( )  ?
x 0
x
1
( x  0 için )
 1  sin( )  1
x
1
 x 2  x 2 sin( )  x 2
x
2
g ( x)   x
h( x)  x 2 dersek
ve
lim g ( x)  lim h( x)  0 olduğundan ;
x 0
 lim
x 0
1
lim x 2 sin( )  0
x 0
x
dır.
138
g ( x)  f ( x)  h( x)
lim sin x  0
x 0
dir.
lim cos x  1
x 0
sin x
1
x 0
x
dir.
lim
ÖRNEK:
1  2 sin 2
x
1
2
cos x  1
 lim
x 0
x 0
x
x
x
x
sin
sin
x
2 )  lim ( sin x ) lim
2  0.1  0
 lim ( sin
x 0
x

0
x

0
x
2 x
2
2
2
lim
ÖRNEK:
lim
x 0
sin 4 x
sin 4 x
 4 lim
 4(1)  4
x

0
x
4x
x
x
sin
5  1 lim
5 1
x
5 x 0 x
5
5
sin
ÖRNEK:
lim
ÖRNEK:
lim
ÖRNEK:
lim
ÖRNEK:
lim
ÖRNEK:
lim
x 0
x 0
sin 99 x
sin 99 x
 99 lim
 99
x

0
x
99 x
x
1
1
 lim

x 0 sin 99 x
x 0 sin 99 x
99
x
tan x
sin x 1
 lim
 1.1  1
x 0
x 0
x
x cos x
x 0
tan 7 x
tan 7 x
 7 lim
 7.1  7
x

0
x
7x
139
ÖRNEK:
sin 4 x
sin 4 x
4
sin 4 x
4 x  4 lim
lim
 lim x  lim
x 0 sin 6 x
x 0 sin 6 x
x 0
sin 6 x 6 x0
6
x
6x
sin 4 x
4x  2
sin 6 x 3
6x
ÖRNEK:
sin 5 x
sin 5 x
5
sin 5 x
5 x  5 lim
lim
 lim x  lim
x 0 sin 3 x
x 0 sin 3 x
x 0
sin 3x 3 x0
3
x
3x
sin 5 x
5x  5
sin 3x 3
3x
ÖRNEK:
x
x
sin
sin
1
x
5
5
sin
x
x
1
x
5
5
sin
5
x
5  5 lim 5  1
lim
 lim
 lim
x 0 sin 3 x
x 0 sin 3 x
x 0
sin 3x 3 x0 sin 3x 15
3
x
3x
3x
ÖRNEK:
tan 8 x
tan 8 x
tan 8 x
8
tan 8 x
8 x  8 lim 8 x  2
lim
 lim x  lim
x 0 tan 4 x
x 0 tan 4 x
x 0
tan 4 x 4 x0 tan 4 x
4
x
4x
4x
lim f ( x)  lim f ( x)  L  lim f ( x)  L
x a 
x a
x a
ÖRNEK:
f(x) =
x2 ;
x 2
x3 ;
x>2
lim f ( x)  ?
x 2
lim f ( x)  lim x 2  2 2  4
x 2
lim f ( x)  lim x 3  2 3  8
x 2
x 2
lim f ( x)  lim f ( x)  lim f ( x)
x 2 
x 2
x 2
140
YOK
x 2
ÖRNEK:
f(x) =
6x2-3x+1
;
x < -1
3-3x2-2x3
;
x  1
lim f ( x)  ?
x 1
lim f ( x)  lim (6 x 2  3x  1)  lim (6(1) 2  3(1)  1)  10
x 1
x 1
x 1
lim f ( x)  lim (3  3x  2 x )  lim  (3  3(1) 2  2(1) 3 )  2
2
x 1
3
x 1
x 1
lim f ( x)  lim f ( x)  lim f ( x) YOK
x 1
x 1
x 1
ÖRNEK:
f(x)=
x2-2x
1-2x3
7x-1
; x  2
; -2 < x  1
; x>1
lim f ( x)  ?
lim f ( x)  ?
x 2
x 1
lim f ( x)  lim ( x 2  2 x)  lim ((2) 2  2(2))  8
x  2 
x 2
x 2
lim f ( x)  lim (1  2 x )  lim (1  2(2) 3 )  17
3
x  2 
x 2
x 2
lim f ( x)  lim f ( x)  lim f ( x)
x 2 
x 2
x 2
YOK
lim f ( x)  lim (1  2 x 3 )  lim (1  2(1) 3 )  1
x 1
x 1
x 1
lim f ( x)  lim (7 x  1)  lim (7(1)  1)  6
x 1
x 1
x 1
lim f ( x)  lim f ( x)  lim f ( x) YOK
x 1
x 1
x 1
a  R için ;
lim x  a
x a
dır.
141
()  ()  
a  ()  
()  ()  
a  ()  
a  0  a()  
a  0  a()  
a  0  a()  
a  0  a()  
a0
a
  ,
0
a
 
0
a 0
a
  ,
0
a
 
0
a
0



BELİRSİZ
()  () BELİRSİZ
0.()
0
0
ÖRNEK:
ÖRNEK:
ÖRNEK:
BELİRSİZ
BELİRSİZ
lim
x
1
   
x 1 0
lim
x2  x  3 1
  
1 x
0
x 1
x 1
lim
1
x ( ) 
2
1
1  2x

1

0
142
ÖRNEK:
ÖRNEK:
lim
x 1
1
  
2
6 x x
0
lim
x 1
?
( x  2)( x  3)
x 2
x 3
x 1
2
   
x 3 ( x  2)( x  3)
0
x 1
2
lim
  
x 3 ( x  2)( x  3)
0
lim
lim
x 3
x 1
( x  2)( x  3)
ÖRNEK:
YOK
lim 2 x 2  3x  5  lim (2 x 2  3x  5)   6  6
x 1
x 1
t 6
ÖRNEK:
lim
t 4
2t  1
ÖRNEK:
lim
1

x2
ÖRNEK:
lim sin
x 0
x 0
1
x
 lim
t 4
t 6
2t  1

2
3
YOK
ÖRNEK:
f(x) =
x ; x 2
x2 ; x > 2
lim f ( x)  ?
x 2
lim f ( x)  lim x  2
x 2 
lim f ( x)  lim x 2  4
x 2 
x 2
lim f ( x)  lim f ( x)  lim f ( x)
x 2 
x 2
x 2
143
YOK
x 2
ÖRNEK:
lim (2 x  5)  2(3)  5  6  5  11
ÖRNEK:
lim (6 x  1)  6(1)  1  5
ÖRNEK:
x 3
x 1
lim (3x  1)  3(1)  1  4
x 1
2
32
x) 
5
5
ÖRNEK:
lim (7 
ÖRNEK:
lim (5 x  2)  8
ÖRNEK:
3
x
2
x 2
lim (4  6 x)  22
x 3
lim (mx  b)  ma  b
x a
ÖRNEK:
lim x 2  25
ÖRNEK:
lim x  2
ÖRNEK:
lim
x 5
x 4
x 2
x2
x2
1
1
 lim
 lim

x

2
x

2
( x  2)( x  1)
x 1 3
x x2
2
f(x) , a’nın çıkartılmış komşuluğunda sınırlı bir fonksiyon
ve lim g(x) = 0 iken ;
x a
lim f(x).g(x) = 0 dır.
x a
ÖRNEK:
1
lim (x.sin ) = 0 dır.
x 0
x
144
lim
x 0
sin x
=1
x
,
lim
x 0
tan x
=1
x
Eğer lim f(x) = L ve g(x), L de sürekli ise
x a
lim g[f(x)] = g(L) dir.
x a
ÖRNEK:
lim cos(sin x) = 1
x 0
∞ ; n çift
lim
x 0
1
1
=∞ , lim n =
n
x 0 x
x
-∞ ; n tek
lim
x  
1
=0
xn
 , m çift
lim x
x 
m
n
= ∞ , lim x
x  
m
n
=
-  , m,n tek
L  ()  
L  ()  
L()   (L  0)
L
0

()  ()  
()()  
L
 
0

 
0
145
ÖRNEK:
1
lim (cos x + ) = 
x 0
x
2
5
lim ( x 3  x 3 ) = 
x 
sin x
 
x2
lim
x 0 
a >0 olmak üzere ;
lim
x  
00 ,
b
dır.
2a
ax 2  bx  c  a lim x 
x  
0
,
1
BELİRSİZDİR.
ÖRNEK:
lim
2 x 3  128
x 2
x 4
lim
2.4 3  128
2 x 3  128
x4
x 2
4 2
 lim
x 4

0
0
olduğundan;
2( x  4)( x 2  4 x  16)( x  2)
( x  2)( x  2)
 lim 2( x 2  4 x  16)( x  2)  384
x4
146
lim [f(x)]g(x) = c
şeklindeki ifadelerde;
x a
lim f(x) = A
ve
x a
lim g(x) = B ise ;
x a
c=AB dir.
lim f(x) = 1 ve lim g(x) =  ise ;
x a
x a
lim p(x)=0 koşulu ile f(x)=1+p(x) değişkeni kullanılarak
x a




c= lim 1  p( x) p ( x ) 
x a
1
p ( x ). g ( x )
 e lim[ f ( x ) 1]. g ( x )
lim [f(x)]g(x) = lim eg(x).lnf(x) = eL dir.
x a
x a
ÖRNEK: lim xx = lim ex.ln x = e0 = 1
x 0
x 0
1
1
lim x x = lim e x
x 
ln x
x 
 e0  1
1
lim 1  x  x = lim e x
1
x 0
ln(1 x )
x 0
e
x
1
 1
lim 1   = lim 1  t t = e
x  
t 0
x

r

lim p.1  
x 
x

t.x
 p.e r .t
lim
a x 1
 ln a
x
lim
x 1
1
ln x
x 0
x 1
,
lim
x 0
147
ex 1
1
x
SÜREKLİLİK:
f(x) , x=a da tanımlı , lim f(x) limiti var ve
x a
lim f(x) = f(a) ise
f , x=a da süreklidir denir.
x a
ÖRNEK:
f(x) =
x2 ,
x  0 ise
17 ,
x = 0 ise
fonksiyonu ;
lim f ( x)  4  f (2) olduğundan
x=2 için sürekli ,
lim f ( x)  0  f (0) olduğundan
x=0 için sürekli değildir.
x 2
x 0
ÖRNEK:
-2 sin x
f(x) =
; x< 
a sin x + b ; 
cos x

2
; x>

ise
2

x
ise
2

ise
2
fonksiyonu x  R için sürekli ise a=? ve b=?
ÇÖZÜM:
f( 

2
) = a.sin( 

2
)+b=-a+b
lim (-2.sin x) = 2

x (  ) 
2
-a+b = 2
f(
lim (a.sin x + b) = -a+b

x (  ) 
2
(1)


) = a.sin( )+b=a+b
2
2
lim (a.sin x + b) = a+b

x ( ) 
2
a+b = 0
(2)
lim (cos x) = 0

x ( ) 
2
(1) ve (2) den
148
a=-1 ve b=1 bulunur.
ÖRNEK:
lim f ( x)  ?
-1
lim f ( x)  ?
YOK
lim f ( x)  ?
0
lim f ( x)  ?
-2
lim f ( x)  ?
-2
lim f ( x)  ?
0
lim f ( x)  ?
2
lim f ( x)  ?
YOK
x 4 
x 4
x 2 
x 0 
x 0
x 2 
x 4 
x 4
lim f ( x)  ?
2
lim f ( x)  ?
0
lim f ( x)  ?
0
lim f ( x)  ?
-2
lim f ( x)  ?
-2
lim f ( x)  ?
YOK
lim f ( x)  ?
-2
f (4)  ?
-1
x 4 
x 2 
x 2
x 0 
x 2 
x 2
x 4 
f (2)  ?
0
f (0)  ?
-2
f (2)  ?
0
f (4)  ?
-1
ÖRNEK:
lim
x  ?
0
lim
x   ?

lim
x   ?
2
x 1
x
x 0
x
x  1
x
lim
x 1
x  ?
1
x
lim
x   ?
0
lim
x   ?
1
x 0
x  1
x
x
ÖRNEK:
lim
x 1
1 x
1 x
3
?
3/2
lim
x 1
149
x
x
2
2

1
10

 2x  1
5
?
210
Aşağıdaki limitleri (varsa)
bulunuz?
x 
1
a > 0 için
lim
x 
x
 k
lim 1    ?
x 
x

1
3
25  x 2
lim
?
x 5 x  5
1
lim x cos  ?
x 0
x
x 9
lim
x 4
9 x
x 3
x  43
4 x
?
?
x 5
x 2  10 x  25
lim
x 2  7 x  10
?
x2  4
x 0
lim
x 0
x
x sin x
?
x
1
?
lim x 3  ?
x 0
3
lim
x 0
x 0
1 1

3
8 ?
lim x
x2 x  2
x 0
x 2  12  12
?
3

x  3  27
lim
?
lim e 2 x  ?
lim
x 0
x 2
3 1
1 
lim 

?
x 0 x 5  x
5 x

3x  15
x2
lim
5 x
lim
?
x 25 25  x
lim
x 
xn
?
n  n!
lim a x  ?
ln x
lim
?
x  x
lim
lim a x  ?
-1 < a < 1 için
lim x x  ?
lim
x 1
9 x 3
?
x
lim
x 
150
x3  8  2
?
x3
x2
x 2  5x  4
?
4x 2  2
?
3x  1


lim 4 x 2  7 x  2 x  ?
x 
lim
x  
4x 2  2
?
3x  1
YANITLAR :
1) 1
2) 0
15) -6/25
16) 0
3) 1
4) 0
17) YOK
18) 0
k
5) 0
6) e
19) 1
20) 1/12
7) 0
8) -10
21) -3/16
22) + 
9) -6
10) 4 3
23) -1/6
24) 2/3
11) 0
12) -3/4
25) 7/4
26) -2/3
13) 1/10
14) 27
Yukarıda grafikleri verilen
f ve g fonksiyonları için
aşağıdaki limit değerlerini (varsa) bulunuz?
1. lim f ( x)  ?
x 1
lim f ( x)  ?
x 1
lim f ( x)  ?
x 1
f (1)  ?
2. lim f ( x)  ?
x 0 
lim f ( x)  ?
x 0
3. lim f ( x)  ?
x 11
lim f ( x)  ?
x 0 
f (0)  ?
lim f ( x)  ?
x 1
f (1)  ?
4. lim g ( x)  ?
x 0 
lim g ( x)  ?
x 0
5. lim g ( x)  ?
x 2 
lim g ( x)  ?
x 2
lim g ( x)  ?
x 0 
g (0)  ?
lim g ( x)  ?
x 2 
g (2)  ?
151
lim f ( x)  ?
x 1
6. lim f ( x  2)  ?
 
lim f x 2  ?
x 1
x 0 
7. lim f g x   ?
x 1
lim g  f x   ?
x 2
8. lim  f x   g x   ?
x 1
lim 2 f ( x)  3g ( x)   ?
lim  f x .g x   ?
x 2
x 0
YANITLAR:
1) 2 ; 2 ; 2 ; 3
2) 2 ; 2 ; 2 ; 2
3) 2 ; 1 ; YOK ; 3
4) 1 ; 1 ; 1 ; 2
5) 1 ; 0 ; YOK ; 0
6) 1 ; 2
7) 1 ; 1
8) 4 ; YOK ; 7
ALIŞTIRMALAR:
1. Yukarıda
grafiği verilen f ve g fonksiyonları
x’in hangi değerleri için sürekli değildir?
x 1
x3 x 2
; x  1 için
2. f(x) =
-2
fonksiyonu
; x=1 için
x = 1 de süreklimidir?
1
x
;
0
; x=0 için
x  0 içn
3. f(x) =
fonksiyonu x = 0 da süreklimidir?
152
x ; 0  x  1 için
4. f(x) =
x
;
x > 1 için
0
;
x = 1 için
fonksiyonu x = 1 de süreklimidir?
5. f
fonksiyonu için ;
f(1) = 1 , f(2x) = 4f(x)+6
ve f(x+2) = f(x)+12x+12
f(6) = ?
6. f(x) = x2+6x+2
fonksiyonu için ;

YANITLAR:
1) f fonksiyonu x=-1 ve
x=1 de
g fonksiyonu x=0 ve
x=2 de
2) SÜREKLĠDĠR.
3) DEĞĠLDĠR.
4) DEĞĠLDĠR.
5) 106
Aşağıdaki LİMİT değerlerini bulunuz:
5x
1. lim
x 3
2
3x
2. lim
x 2
2
3. lim
x 3
 8 x  13
x2  5
 x  10
x2  4
x 4  81
2 x 2  5x  3
153

f f 1 x   ?
6) 2 ?
ise
4.
1 1

x
2
lim
x  2 x 3  8
3
5. lim
x 4
x5
x4
x  27
6. xlim
1
 27
x3 3
7. lim
x 1
1
3
x 1
1
x 4 1
sin 5 x
8. lim
x 0
3x
cos 2 x  1
9. lim
x 0
cos x  1
x3  7x
x3
10.
lim
11.
lim
12.
x3 1
lim
x 1 ( x  1) 2
13.
lim
x 0
x 0
x

2
x 4  5x  3
2  x2  4
tan 2 x
x

2
154
14.
f(x) =
1
x2
;
x < -1 ise
2
;
-1  x < 1 ise
3
;
x = 1 ise
x+1 ;
1 < x  2 ise
1
; x > 2 ise
( x  2) 2
lim f ( x)
lim f ( x)
x 1
x  1
lim _ f ( x)
lim f ( x)
lim f ( x)
x2
lim f ( x)
x  1
x 1
x2
lim f ( x)
lim f ( x)
lim f ( x)
lim f ( x)
lim f ( x)
x 1
x  1
x 3
x5
fonksiyonu için ;
x2
lim f ( x)
x1, 5
değerlerini bulunuz.
15.
f(x) =
a + bx
; x > 2 ise
3
; x = 2 ise
b – ax2 ; x < 2 ise
fonksiyonunun x=2 noktasında sürekli olması için
a ve b kaç olmalıdır?
155
ÇÖZÜMLER :
1.
5 x 2  8 x  13 5.32  8.3  13 8
=
lim
 2
x 3
4
x2  5
32  5
 x  10 3.2 2  2  10 0
=

0
22  4
x2  4
( x  2)(3x  5)
3x  5 3.2  5 11
lim
 lim


x 2 ( x  2)( x  2)
x 2 x  2
22
4
3x
2. lim
x 2
2
x 4  81
3 4  81
0
=

2
2
2 x  5 x  3 2.3  5.3  3 0
3. lim
x 3
( x  3)( x  3)( x 2  9)
( x  3)( x 2  9)
 lim
x 3
x 3
( x  3)(2 x  1)
2x  1
lim

4.
(3  3)(3 2  9) 108

2.3  1
7
1 1
1
1


0
lim x 2 =  2 3 2 
x  2 x 3  8
(2)  8 0
x2
1
 lim
2
2
x


2
2 x( x  2)( x  2 x  4)
2 x( x  2 x  4)
1
1


2
2.(2)((2)  2.(2)  4) 48
lim
x  2
3
5. lim
x 4
x5 4 45
0
=

x4
44
0
lim
(3  x  5 )(3  x  5 )
4 x
 lim
x4
( x  4)(3  x  5 )
( x  4)(3  x  5 )
1
1
1
 lim


x4
6
3 x 5 3 45
x 4
x  27 27  27
6. xlim
=
1
1
 27
x3 3
27 3  3
1
3
lim
2
3
1
3

0
0
( x  3)( x  3x  9)
1
3
x  27
x 3
2
3
2
3
1
3
 lim ( x  3x  9)
x  27
1
3
 27  3.27  9  9  3.3  9  27
156
7. lim
x 1
1
3
x 1
1
4
x 1
1 1
=

1
4
x 1
1 1
1
lim
1
3
2
1
1
1
( x 3  1)( x 3  x 3  1)( x 4  1)( x 2  1)
1
1
2
1
1
( x 4  1)( x 4  1)( x 2  1)( x 3  x 3  1)
1
 lim
1
1
( x  1)( x 4  1)( x 2  1)
2
3
x 1

0
0
1
3
 lim
x 1
( x  1)( x  x  1)
1
4
1
2
(1  1)(1  1)
2
3
1
3
1 1 1
sin 5 x sin 0
8. lim
=
x 0

1
( x 4  1)( x 2  1)
2
3
1
3
x  x 1
4
3
0
3x
0
0
5 sin 5 x
5 sin 5 x
sinh
lim .
 lim .
 lim
1
x 0 5
x 0 3
h 0 h
3x
5x
5
tür.
3

cos 2 x  1 cos 0  1
9. lim
=

x 0
cos x  1
cos 0  1
0
0
cos 2 x  2 cos x  1
2
2 cos 2 x  2
2(cos x  1)(cos x  1)
 lim
x 0
x 0
cos x  1
cos x  1
 lim 2(cos x  1)  2(cos 0  1)  2(1  1)  4
lim
x o
x3  7x
0
=
3
x 0
0
x
7 
7

lim 1  2   1    1    
x 0
x 
0

10.
lim
11.
lim
x 0
x 4  5x  3
2  x2  4
=
3
 
0
157
12.
x3 1
=
lim
x 1 ( x  1) 2
0
0
( x  1)( x 2  x  1)
x2  x 1

lim
BULUNAMAZ...
x 1
x 1
x 1
( x  1) 2
lim
ÇÜNKÜ :
13.
h x
3
 
0
lim
x


2
3
  dur.
0
tan 2 x
x
=

0
0
2
dersek ;
2
tan(2h   )
1 tan 2h  tan 
tan 2h
lim
 lim .
 lim
2
h 0
h 0 h 1  tan 2h. tan 
h 0
h
h
14.
f(x) =
1
x2
;
x < -1 ise
2
;
-1  x < 1 ise
3
;
x = 1 ise
x+1 ;
1 < x  2 ise
1
; x > 2 ise
( x  2) 2
lim f ( x)
lim f ( x)
x  1
x 1
lim _ f ( x)
lim f ( x)
lim f ( x)
x2
lim f ( x)
x  1
x 1
x2
lim f ( x)
lim f ( x)
lim f ( x)
lim f ( x)
lim f ( x)
x 1
x  1
x 3
x5
x2
lim f ( x)
x1, 5
değerlerini bulunuz.
lim f ( x)  lim 2  2
x  1
x  1
 1 
lim _ f ( x)  lim  2   1
x  1  x 
x  1
lim f ( x) BULUNAM AZ
x  1
158
fonksiyonu için ;
lim f ( x)  lim ( x  1)  2
x 1
x 1
lim f ( x)  lim 2  2
x 1
x 1
lim f ( x)  2
x 1
 1  1
    
lim f ( x)  lim 
2 
x2
x2
 ( x  2)  0
lim f ( x)  lim_ ( x  1)  3
x2
x2
lim f ( x) BULUNAM AZ
x 2
 1  1
lim f ( x)  lim  2  
x 3
x 3 x

 9
 1
lim f ( x)  lim 
x 5
x 5 ( x  2) 2

 1
 
 9
lim f ( x)  lim ( x  1)  2,5
x 1, 5
x 1, 5
Fonksiyonun grafiği aşağıdadır.
Bulunan limit değerleri grafikten de görülebilir.
 1  1
lim f ( x)  lim  2  
0
x 
x  x

 
 1
lim f ( x)  lim 
x 
x  ( x  2) 2

 1
 
0
 
159
15.
f(x) =
a + bx
; x > 2 ise
3
; x = 2 ise
b – ax2 ; x < 2 ise
fonksiyonunun x=2 noktasında sürekli olması için
a ve b kaç olmalıdır?
lim f ( x)  lim (a  bx)  a  2b
x 2 
x 2
lim f ( x)  lim (b  ax 2 )  b  4a
x 2 
x 2
f (2)  3
x=2 de sürekli olması için
lim f ( x)  lim f ( x)  f (2) olmalıdır.
x 2 
x 2
a + 2b = 3
b - 4a = 3
a
1
3
denklem sisteminden
ve
b
5
bulunur.
3
NOT: 14. Sorudaki fonksiyon ;
x=-1 ,
x=1 ve
x=2 noktalarında sürekli DEĞĠLDĠR.
160
Aşağıdaki LİMİT değerlerini bulunuz.
1.
2.
3.
4.
100
x2  5
lim
x 
lim
x  
7
x  20
3
lim (3x 3  1000 x 2 )
x 
lim ( x 4  5 x 2  1)
x 
5.
lim ( x 5  x 2  x  10)
6.
x7
x   3 x  5
7.
7 x 2  x  100
lim
x 
2 x 2  5x
8.
lim
x 2  3x  7
x 3  10 x  4
9.
lim
7 x 2  x  11
4 x
10.
lim
x3  7x
4x3  5
x 
lim
x 
x
x 
161
11.
12.
13.
14.




lim x  x 2  7
x 
lim x  x 2  7
x 
x3
lim
x 
9 x 2  5x
lim
x  
x3
9 x 2  5x
x 6  500
x 6  500
15.
lim log
16.

x
3

lim arccos  2


x  
2
x

10


17.
lim
x 
x  
ex
4  5e 3 x
5x
x  3 x  2 x
18.
lim
19.
lim 3 x  3 2 x
x 


1
x
162
ÇÖZÜMLER :
1.
lim
2.
lim
100
100

0
2

x 5
x 
x 
3.
7
7

0
x  20  
3
lim (3x 3  1000 x 2 )    
x 
UYARI :     0 dır.
lim x 2 (3x  1000)  .  
x 
4.
lim ( x 4  5x 2  1)      
x 
5.
lim ( x 5  x 2  x  10)    

x 

lim x 2 ( x 3  1)  ( x  10)  .        
x 
6.
x7


x  3 x  5

lim

x1 
lim 
x   
x 3 

7

1
x
 lm
5  x
3

x
7
x  1 0  1
5
30 3
x
7 x 2  x  100


2
x 

2 x  5x
1 100 

1 100
x2 7   2 
7  2
x x 
x x  700  7
lim 
 lim
x 
x 
5
5
20
2

2
x2 2  
x
x

7.
lim
UYARI : 6 ve 7. sorularda pay ve paydanın dereceleri eşit
olduğundan limit değeri ;
En büyük dereceli terimlerin katsayıları oranıdır.
163
x 2  3x  7

8. lim

x  x 3  10 x  4

7 
1 3
1 3
7
x3   2  3 
 2  3
x x
x 
x  000  0  0
lim 
 lim x x
x 
x


10 4
1 0  0 1
 10 4 
1 2  3
x 3 1  2  3 
x
x
x
x 

7 x 2  x  11   
9. lim

x
4 x

1 11 

1 11
x2 7   2 
7  2
x x 
x x  700  7  
lim 
 lim
x  
x


4 1
0
0
 4 1

x2  2  
2
x
x
x
x
10.
x3  7x

4x3  5
lim
x 


lim
x3  7x
x3  7x
 lim 3

x  4 x  5
4x 3  5
11.
lim x  x 2  7    
x 
lim
x 
x 
x 
lim
x 
12.



x2  7 x  x2  7
x 
7
x  x2  7
x2  7


1
1

4
2

7
7

0




lim x  x 2  7      
x 
UYARI : lim

lim x 
x  
x 2  ax  b  lim x 
x  
a
dır.
2

 7   lim x  x   lim 2 x  
lim x  x 2  7  lim x  x   lim 0  0
m
x 
x 
x2
x 
x 
x 
164
13.
lim
x 
x3
9 x 2  5x



3

3
x1  
1
x
  lim
x  1 0  1
lim 
x 
x 
3
5
5
90
x 9
9
x
x
14.
lim
x 
x3
9 x  5x
2



 3
3
x 1  
1
x
x   1 0   1
lim 
 lim (1)
x  
x  
3
5
5
90
x 9
9
x
x
15.
lim log
x 
x 6  500

 log
6

x  500

x 6  500
x 6  500 
  log(1)  0
lim log 6
 log lim 6
x 
x  500
 x x  500 
16.

x
3
lim arccos  2

x  
2
 x  10

 
3
 = arccos 


 
3







 x

3  
3
3
  arccos  0 
  arccos
arccos  lim  2




 x x  10 2 
2 
2






6
17.
ex
0
lim

0
x  4  5e 3 x
4  5.0
UYARI : lim e x  e  
x 
1
1

0


e
lim e x  e   
x 
165
5x

18. lim

x
x
x  3  2

x
5
x
1
lim x 5 x 

x  3
00
2

5x 5x
19.
x 

lim 3 x  3
x 

lim 3 x  3 2 x

1
x
 0
1
  1
 x
 lim  3 2 x  x  1 
x 

 3

1
2x x
1
1
x
lim 3 . x  1  9.(0  1) 0  9
x 
3

2
Aşağıdaki fonksiyonların verilen noktalarda SÜREKLİ olup
olmadıklarını belirtiniz?
1. f ( x)  x 2  4
x=0
2.
f (x) 
x2  x  2
x 2  3x  2
3
3.
;
x2
;
x=2
x=2
x 1
x 1
;
x 1
f (x) 
x=1
0
;
x=1
4.
;
x2
x  3
f (x) 
x=-3
-3
;
x  3
166
5.
2|x|
x  2
;
f (x) 
x=-2
2x
;
x < -2
6. f ( x) 
x3 1
x 1
x=1
7. f ( x) 
x
x
x=1
8. f ( x) 
2x
x  x 1
x=0
9.
2
2x
;
x<1
f (x) 
x=1
x+1
; x>1
10.
f (x) 
1
x
0
11.
x3
x0
;
x=0
;
x=0
x 1
;
f (x) 
x=1
-1
;
x=1
x
;
0  x 1
12.
f (x) 
x
; x>1
0
; x=1
x=1
167
13.
f (x) 
x 1
x3 x 2
x=1
-2
;
x=1
1
x 1
14. f ( x) 
x=1
15. f ( x)  3 x  1
16.
f (x) 
x 1
;
|x+2| ;
-1
;
x=0
x  1
x=-1
x=-1
17.
x2 1 1
; x0
x2
f (x) 
1
2
;
x=0
x=0
18.
x4 2
; x>0
x
f (x) 
x-0,25
19. f ( x) 
;
x=0
x0
1
x 1
x=-1
20.
f (x) 
x 1 ; x  1
x=1
x
;
x<1
168
21. f ( x) 
x 2  25
x5
x=5
22.
1
; x0
x
sin
f (x) 
0
23. f ( x) 
x=0
; x=0
cos x
x
24. f ( x)  tan
x=1
x 
x=1

 2 
25.
sin 2 x  cos 2 x ; x > 1
f (x) 
x=1
x 1
1 ;
26.
arctan
f (x) 
x
1
; x>0
x

x0
;
2
x=0
27.
sin( x 2  2 x  1)
x  12
;
x 1
f (x) 
x=1
0
;
x=1
28.
sin x
x
f (x) 
;
x0
x=0
0
;
x=0
169
29.
x 2 3
e
;
x2
f (x) 
x=2
e
x 1
; x<2
30.
1
ln x 
;x> e


2
f (x) 
x= e
0 ; x e

31. f (x)  e ln x
x=0
ex
32. f (x) 

x=0
ex
33.
x
;
e x 1
x  1
f (x) 
x=-1
e 1 ;
x=-1
34.
f (x) 
e

1
x
0 ;
;
x0
x=0
x=0
35.
ln x
ln x
; x>0
f (x) 
x=0
1 ;
x0
170
36. f ( x)  ln ln x 
37.
x=1
e x ln x ; x > 1
f (x) 
ex
; x<1
1
; x=1
x=1
Aşağıdaki limit değerlerini bulunuz :
25 x 2  64

1. lim
x 1.6
5x  8
2. lim
x 2  2x  3

x 2  2x  1
3. lim
x 3  64

x4
x 0
x 4
x3  2x 2  4x  8

4. lim 4
x 2
x  8 x 2  16
5. lim
x 0
(1  x)(1  2 x)(1  3x)  1

x
(1  x) 5  (1  5 x)

6. lim
x 0
x2  x5
7. lim cos 3 x  sin 3 x  
x 
8. lim
x 0
sin 2 x

x
171
ÇÖZÜMLER:
Aşağıdaki fonksiyonların verilen noktalarda SÜREKLİ olup
olmadıklarını belirtiniz?
1. f ( x)  x 2  4
f(0)=
4 R
x=0
tanımlı değildir. Sürekli değildir.
2.
f (x) 
x2  x  2
x 2  3x  2
3
;
x2
x=2
; x=2
x2  x  2
0
 belirsizliği var.
2
x 2 x  3 x  2
0
( x  2)( x  1)
x 1
lim
 lim
3
x 2 ( x  2)( x  1)
x 2 x  1
f(2) = lim f ( x)  3 Süreklidir.
lim
x 2
3.
x 1
x 1
;
x 1
f (x) 
x=1
0
;
x=1
x 1
x 1
 lim
 lim (1)  1
x 1 x  1
x 1  ( x  1)
x 1
x 1
x 1
lim
 lim
 lim (1)  1
x1 x  1
x1 x  1
x1
lim*
lim f ( x)  lim f ( x)
x 1
x 1
lim f ( x) bulunamaz.
x1
Sürekli değildir.
172
4.
;
x2
x  3
f (x) 
x=-3
-3
x  3
;
lim (3)  3
lim
x 3
x 3
lim f ( x)  lim f ( x)
x 3
x 2  lim x  3
x 3
lim f ( x) bulunamaz.
x 3
x 3
Sürekli değildir.
5.
2|x|
;
x  2
f (x) 
x=-2
2x
; x < -2
lim (2 x)  4
x  2 
lim (2 | x |)  lim (2 x)  4
x  2 
x  2
lim f ( x)  lim f ( x)
x  2 
x  2
lim f ( x) bulunamaz.
x  2
Sürekli değildir.
6. f ( x) 
f (1)
x3 1
x 1
Tanımlı değil.
x=1
(payda 0 oluyor.)
Sürekli değildir.
7. f ( x) 
x
x
x=1
 x 
 x 
lim    lim (1)  1 lim    lim (1)  1  lim f ( x)  1
x 1
x 1
x 1
 x  x1
 x  x1
f (1)  lim f ( x)  1 Süreklidir.
x 1
2x
x=0
x  x 1
lim f ( x)  f (0)  0 Süreklidir.
8. f ( x) 
2
x 0
173
9.
2x
; x<1
f (x) 
x=1
x+1
; x>1
f (1) Tanımlı değil.
Sürekli değildir.
10.
1
x
f (x) 
x0
;
x=0
0
; x=0
1
1
  , lim  
x

0
x
x
lim f ( x)  lim f ( x)
lim f ( x) bulunamaz.
lim
x 0 
x 0
x 0
x0
Sürekli değildir.
11.
x3
x 1
;
f (x) 
x=1
-1
lim x 3  1
;
x=1
f (1)  1
x 1
lim f ( x)  f (1)
Sürekli değildir.
x 1
12.
;
x
f (x) 
0  x 1
x
; x>1
0
; x=1
x=1
lim x  1 , lim x  1  lim f ( x)  1
x 1
x 1
x 1
f (1)  0
f (1)  lim f ( x)
x1
Sürekli değildir.
174
13.
x 1
f (x) 
x 1
lim
x 1
x=1
-2
lim
;
x3 x 2
;
x 1
x=1
0
belirsizliği var.
0

x3 x 2
( x  1)( x  1)
( x  1)( x  2)
f (1)  lim f ( x)  2
x 1
 lim
x 1
x 1
lim f ( x)  f (1) 
x 1
x 2
 2
Süreklidir.
1
x 1
14. f ( x) 
x 1
x=1
1
2
Süreklidir.
15. f ( x)  3 x  1
x=0
lim f ( x)  f (0)  1 Süreklidir.
x 0
16.
f (x) 
|x+2| ;
-1
;
x  1
x=-1
x=-1
lim x  2  1
f (1)  1
lim f ( x)  f (1)
Sürekli değildir.
x 1
x 1
17.
x2 1 1
; x0
x2
f (x) 
1
2
x=0
; x=0
x2 1 1 0

belirsizliği var.
x 0
0
x2
( x 2  1  1)( x 2  1  1)
 lim
lim
x 0
x 0
x 2 ( x 2  1  1)
1
Süreklidir.
f (0)  lim f ( x) 
x 0
2
lim
175
1
x2 1 1

1
2
18.
x4 2
; x>0
x
f (x) 
x-0,25
x=0
x0
;
lim ( x  0,25)  0,25
x 0 
lim
x 0
lim
x4 2 0

x
0
( x  4  2)( x  4  2)
1
 lim
x 0
x4 2
x( x  4  2)
lim f ( x)  lim f ( x)  lim f ( x) YOK.
x 0
x 0
x 0
x 0
Sürekli değildir.
19. f ( x) 
1
x 1
x=-1
1
1
1
 lim

x 1 x  1
x 1  x  1
2
1
Süreklidir.
f (1)  lim f ( x) 
x 1
2
lim
20.
x 1 ; x  1
f (x) 
x=1
x
; x<1
Soldan ve sağdan limitleri eşit değil.
Limit yok. Sürekli değildir.
x 2  25
21. f ( x) 
x5
x=5
f(5) Tanımlı değil. Sürekli değildir.
22.
sin
f (x) 
1
; x0
x
x=0
0
; x=0
1

lim  sin  bulunamaz.
x 0
x

Sürekli değildir.
176

1
 0,25
4
23. f ( x) 
Süreklidir.
cos x
x
24. f ( x)  tan
x=1
x 
x=1

 2 
f(1) Tanımlı değil. Sürekli değildir.
25.
sin 2 x  cos 2 x ; x > 1
f (x) 
x=1
x 1
1 ;
Süreklidir.
26.
arctan
f (x) 
x
Süreklidir.
1
; x>0
x

x0
;
2
x=0
27.
sin( x 2  2 x  1)
x  12
;
x 1
f (x) 
x=1
0
;
x=1
lim f ( x)  f (1)
x 1
Sürekli değildir.
28.
sin x
x
f (x) 
;
x0
x=0
0
;
x=0
Süreklidir.
177
29.
x 2 3
e
;
x2
f (x) 
x=2
e
x 1
;
x<2
Süreklidir.
30.
1
ln x 
f (x) 

;
x> e

2
x= e
x e
0 ;


Soldan ve sağdan limitler eşit değil. Limit yok.
Sürekli değildir.
31. f (x)  e ln x
x=0
f(0) tanımlı değil. Sürekli değildir.
ex
32. f (x) 
x=0
ex
Süreklidir.
33.
x
;
e x 1
x  1
f (x) 
x=-1
e 1 ; x=-1
Soldan ve sağdan limitleri eşit değil.
Limit yok. Sürekli değildir.
34.
f (x) 
e

1
x
;
x0
x=0
0 ; x=0
Soldan ve sağdan limitleri eşit değil.
Limit yok. Sürekli değildir.
178
35.
ln x
ln x
; x>0
f (x) 
x=0
x0
1 ;
soldan ve sağdan limitleri eşit değil.
Limit yok.
Sürekli değildir.
36. f ( x)  ln ln x 
x=1
f(1) tanımlı değil.
Sürekli değildir.
37.
e x ln x ; x > 1
f (x) 
ex
; x<1
1
; x=1
x=1
f (1)  lim f ( x)
x1
Sürekli değildir.
179
Aşağıdaki limit değerlerini bulunuz :
1. lim
25 x 2  64

5x  8
16
2. lim
x 2  2x  3

x 2  2x  1
-3
x 1.6
x 0
x 3  64
3. lim

x 4 x  4
48
4. lim
x3  2x 2  4x  8

x 4  8 x 2  16
1/4
5. lim
x 0
(1  x)(1  2 x)(1  3x)  1

x
6
6. lim
(1  x) 5  (1  5 x)

x2  x5
10
x 2
x 0
7. lim cos 3 x  sin 3 x  
-1
sin 2 x

x
0
x 
8. lim
x 0
180