trigonometri - Google Sites

TRİGONOMETRİ
Trigonometrinin Tarifi:
Trigonometri,en az bir kenarı olmak üzere 3 elemanı verilen bir üçgenin diğer
elemanlarını hesap ederek bulan matematik koludur.
Trigonometri , topoğrafya, arazi taksimi, analitik geometri ve mekanik gibi ilimlerde
çok önemli yer tutar.
Trigonometri Çemberi:
Yarıçapı uzunluk birimine eşit olan çembere trigonemetri çemberi denir.Bu çemberin
merkezinden geçen yatay ve düşey doğruları, bu çemberin eksenleri; bunların kesim
noktasına başlangıç noktası veya orijin adı verilir.Matematikte yatay eksen apsis ekseni;
düşey eksende ordinat ekseni olarak kullanılmakta ve saat yönünün tersi, açılarda ve
yaylarda (+) yön olarak alınmaktadır.
y
Çember üzerindeki bir M noktasının, apsis ekseni
üzerindeki izdüşümü P,ordinat ekseni üzerindeki
M
izdüşümü de K olduğuna göre, OP ye bu M noktasının
K
apsisi; OK ya bu M noktasının ordinatı; her ikisinede bu
x
M noktasının kordinatlarıdır.
O
Birim Çember:
Merkezi orijin, yarıçap uzunluğu 1 birim olan çembere denir.Sembolik olarak;
Ç={(x,y) |x2+y2=1, x,y R} şeklinde tanımlanır.
B(0,1)
K
A(-1,0)
A(1,0)
O
B(0,-1)
Her reel sayıya birim çemberin bir tek noktası ve birim çemberin bir noktasına sonsuz
reel sayı karşılık gelir.Tanımlanan fonksiyon örtendir ve birebir değildir.Bu şekilde kZ
olmak üzere A noktasına 0+2k , B noktasına 90+2k , A noktasına 180+2k ,B noktasına
270+2k şeklindeki reel sayılar karşılık gelmiş olur.
Açı ve Yay Birimleri:
A ) derece: Bir çemberin 360 eşit parçada birine bir derecelik yay; bu yayı gören
merkez açının büyüklüğüne bir derecelik açı denir.Bir derecelik yay ve açının 1/60 ına bir
dakikalık yay veya açı; bir dakikalık yay veya açının 1/60 ına bir saniyelik yay veya açı denir.
Derece,dakika,saniye işaretleri sırası ile  dir.
Derece, açı birimlerinin en eskisi ve tatbikatta en çok kullanılanıdır.Fakat ,ondalık
sisteme uygun olarak yazılıp okunması zor olduğundan pratik değildir.
B) grad: Bir çemberin 400 eşit parçada birine bir gradlık yay; bu yayı gören merkez
açının büyüklüğüne bir gradlık açı denir.Bir gradlık yay veya açının 1/10 una bir desigradlık
yay veya açı; 1/100 üne bir santigradlık yay veya açı; 1/1000 ine bir miligradlık yay veya açı
adı verilir.
Borda tarafından ortaya konan grad, ondalık sisteme uygun olarak yazılıp
söylendiğinden tatbikatta kolaylık sağlar.
C) radyan: Bir çemberde, yarıçapa eşit uzunlukta bulunan bir yaya bir radyanlık yay;
bu yayı gören merkez açının büyüklüğüne bir radyanlık açı denir.
Bir çemberin yarıçapı r olduğuna göre bu çemberin uzunluğu 2r dir. Bu sebeple bir
çemberin bütünü
2r/r=2=6.2832 radyanlık yay; bir çemberin bütün merkez açısıda 2
radyanlık açıdır. Bu açıklamadan anlaşıldığına göre 360=400g =2r dir.
Açı ve Yay Birimlerinin Birbirine Çevrilmeleri:
Derece,grad veya radyan cinsinden verilen yay veya açıyı birbiri cinsinden ifade
etmek için 180=200g=r olduğunu göz önünde bulundurmak ve basit bir orantı kurmak
yeterlidir.
D/180 = G/200 = R/
Sinüs ve Cosinüs Fonksiyonları:
Bir R ye birim çember üzerinde karşılık gelen nokta K olsun.K noktasının apsisine
R nin cosinüsü, ordinatına R nin sinüsü denir. Kcos,sin olarak yazılır.
B
K
A
A
B
R, AK yayının ve AOK açısınınölçüsü olduğundan K nın
apsisine cos AK=cos AOK ve ordinatı da sin AK=sin AOK da
da denilir.Cosinüs ve sinüs fonksiyonları reel sayılardan birim
çemberin noktalarının apsis ve ordinatlarına tanımlanan
fonksiyonlardır.
Cosinüs ve Sinüs Fonksiyonlarının Özellikleri:
1) Birim çemberin denklemi x2+y2=1 dir. K(cos,sin) noktası birim çember üzerinde
olduğundan denklemini sağlar.O halde cos+sin=1 dir.
2) R için cos+sin=1 olduğundan
R için cos 1  -1cos1
R için sin1  -1sin1 dir.
3) K noktasına (0,2 aralığında karşılık gelen sayı  olsun
a. 1. bölgede yani 0 ise cos 0 ve sin 0 dır
b. 2.bölgede yani /2 ise cos0 ve sin0 dır
c. 3.bölgede yani 3/2 ise cos0 ve sin0 dır
d. 4.bölgede yani 3/22 ise cos0 ve sin0 dır
4)K noktasına (0,2 aralığında  reel sayısı karşılık gelsin.K noktasına kZ olmak
üzere +k.2 şeklindeki reel sayılarda karşılık geleceğinden K noktasının apsisi bu
sayıların cosinüsü ve ordinatı da bu sayıların sinüsü olacaktır.O halde  kZ ve  R
için:
cos= cos+2k ve sin= sin+2k dir.
5)Özelik 4ten  xR için cosx= cos(x+2 ve sinx=sin(x+2 olduğundan sinx ve
cosx fonksiyonları periyodiktir.Periyotları ise 2 dir.
6)Cosinüs ve sinüs fonksiyonlarının görüntü kümeleri -1,1 dir.
i.
f:0,2-1,1 , f(x)=sinx fonksiyonunun grafiği:
1
/2

3/2
2
-1
f:0,2-1,1 , f(x) = cosx fonksiyonunun grafiği:
ii.
1
/2

3/2
2
-1
7) f:R  , f(x) = cosx ve f:R  , f(x) = sinx fonksiyonları birebir
değil fakat örten fonksiyonlardır.
8)  ise  nın trigonometrik değerlerinin hesaplanması:
  ise: i.sinsin ii. coscos
B)  ise: i.sinsin ii. coscos)
  ise: i.sinsin ii.coscos
NOT: coscos ve sinsin dır
9)Bir dik üçgende bir dar açının fonksiyonları:
a) sinüskarşı dik kenar/hipotenüs sin c/b
b) cosinüskomşu dik kenar/hipotenüs  cos a/b
A
c
b
B
a
C
Sinüs Teoremi:
Köşeleri R yarıçaplı çember üzerinde olan bir üçgenin kenar ve açıları
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
bağıntısı vardır.Bu çembere üçgenin çevrel çemberi denir.
TEOREM:Herhangi bir ABC üçgeninin alanı S ise:
S= ½.b.c.sinA = ½.a.c.sinB = ½.a.b.sinC dir.
Cosinüs Teoremi:
Herhangi bir ABC üçgeninin kenarlarıyla açıları arasında aşağıdaki bağıntılar vardır:
a2=b2+c2-2bc.cosA
b2=a2+c2-2ac.cosB
c2=a2+b2-2ab.cosC
Tanjant,Kotanjant,Sekant,Kosekant Fonksiyonları:
B
Merkezi orijin olan birim çemberin x eksenini kestiği noktadan Oy
eksenine, Oy eksenini kestiği noktadan Ox eksenine paraleler çizildiğinde,
AOP açısının ölçüsü x ise AA teğeti üzerindeki AT nin uzunluğu tanx,
sekant üzerindeki |OT| uzunluğu secx, BB teğeti üzerindeki |BK| uzunluğu
kotanjant, sekant üzerindeki |OK| uzunluğu cscx olur, sinx ve cosx cinsinden
aşağıdaki şekilde ifade edilir.
tanx=sinx / cosx , x (2n+1)/2 , nZ (tanjant x)
secx=1 / cosx , x (2n+1)/2 , nZ (sekant x)
cotx=cosx / sinx , xn , nZ (kotanjant x)
cscx= 1 / sinx , x (2n+1)/2 , nZ (kosekant x)
Özellikler:
1) 1/tanx=cotx
2) 1+tan2x=sec2x
3) 1+cot2x=csc2x
4) cscx=sec(/2-x)
5) cotx=tan(/2-x)
6) tan=karşı dik kenar / komşu dik
kenar
7) cot=komşu dik kenar / karşı dik
kenar
tan  0
 + - 
 + - 
0
cot  +  0 0  - +  0 0  
sec  1
 + -  -1 -1  - + 
1
csc  +  1 1  + -  -1 -1  
0
0
y=tanx in grafiği
/2
y=cotx in grafiği:

3/2

O
/2

3

O
y=secx in grafiği:
y=cscx in grafiği:
1
1
/2

3/2

-1
 
-1
NOT:
1)90180
2)180270
3)270360
a. tan-tan b.cot-cot
a. tantan b.cotcot
a.tan-tan
b.cot-cot
Toplam ve Fark Formülleri:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
sin(a+b)= sina.cosb+cosa.sinb
sin(a-b) = sina.cosb-cosa.sinb
cos(a+b)= cosa.cosb-sina.sinb
cos(a-b)= cosa.cosb+sina.sinb
tan(a+b)= (tana+tanb) / (1-tana.tanb)
tan(a-b)= (tana-tanb) / (1+tana.tanb)
cot(a+b)=(cota.cotb-1) / (cota+cotb)
cot (a-b)= (-cota.cotb-1) / (cota-cotb)
Açı Formülleri:
1) i.sin2a=2.sina.cosa
ii.sin2a=2tana/ (1+tan2a)
2) i.cos2a=cos2a-sin2a
ii.cos2a=2.cos2a-1
iii.cos2a=1-2sin2a
iv.cos2a= (1-tan2a) / (1+tan2a)
3) tan2a=2.tana / 1-tan2a
4) cot2a=cot2a-1 / 2.cota
Yarım Açı Formülleri
1) sina=2.sin a/2.cos a/2
2) i. cosa=cos2 a/2-sin2 a/2
ii. cosa=2cos2 a/2 –1
iii. cosa=1- 2sin2 a/2
3) i. tana=2.tan a/2 / 1-tan2 a/2
ii. cota=cot2 a/2-1 / 2.cot a/2
 tan a/2= 1-cosa / sina , ak
5) tan a/2=sina / (1+cosa) , a2k
Dönüşüm Formülleri
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
sinp+sinq=2.sin (p+q)/2.cos (p-q)/2
sinp-sinq=2.sin (p-q)/2.cos (p+q)/2
cosp+cosq=2.cos (p+q)/2.cos (p-q)/2
cosp-cosq=-2.sin (p+q)/2.sin (p-q)/2
tanp+tanq=sin(p+q) / cosp.cosq
tanp-tanq=sin(p-q) / cosp.cosq
cotp+cotq=sin(p+q) / sinp.sinq
cotp-cotq=-sin(p-q) / sinp.sinq
Ters Dönüşüm Formülleri
1) sinx.cosy= ½ [sin(x+y)+sin(x-y)]
2) sinx.siny=- ½ [cos(x+y)-cos(x-y)]
3) cosx.cosy= ½ [cos(x+y)+cos(x-y)]
NOT: i. 1+cosx=2.cos2 x/2 ii. 1-cosx=2.sin2 x/2 dir.
Periyot Bulma:
f: AB fonksiyonunda xA için f(x+T)= f(x) ise f(x) fonksiyonu periyodik
fonksiyon, T de f(x)’in periyodudur. Trigonometrik fonksiyonların periyotları bulunurken
aşağıdaki kurallar uygulanır.
Genel Kurallar:
A) y=A.sin(mx+n)
y=A.cos(mx+n)
fonksiyonlarının periyodu T=2/m dir.
y=A.sec(mx+n)
y=A.csc(mx+n)
B) y=A.tan(mx+n)
y=A.cot(mx+n)
C) y=A.sin2k+1(mx+n)
y=A.cos2k+1 (mx+n)
y=A.sec2k+1 (mx+n)
fonksiyonlarının periyodu T=/m dir.
fonksiyonlarının periyodu T=2/m dir.
y=A.csc2k+1 (mx+n)
D) y=A.sin2k(mx+n)
y=A.cos2k(mx+n)
y=A.sec2k (mx+n)
y=A.csc2k (mx+n)
fonksiyonlarının periyodu T=/m dir.
k
y=A.tan (mx+n)
y=A.cotk (mx+n)
NOT: Trigonometrik fonksiyonların toplam veya farkları şeklinde tanımlanmış ifadelerin
periyotları bulunurken, ifade içerisindeki trigonometrik fonksiyonların her birinin ayrı ayrı
periyotları bulunur. Bulunan bu periyotların paydaları eşitlenir. Sonra payların en küçük
ortak katı alınır paya yazılır, ortak payda ise paydaya yazılır.
Ters Trigonometrik Fonksiyonlar:
Sinüs fonksiyonunu tersi var mıdır?Hayır.Sinüs fonksiyonunun tanım kümesi (-)
aralığı,değer kümesi  aralığıdır. y sayısı için y=sinx denkleminin bir değil
sonsuz tane çözüm kümesi vardır.
Aslında hiçbir trigonometrik fonksiyonun tersi yoktur.Fakat trigonometrik
fonksiyonların tanım kümelerini daraltarak tersleri olan yeni fonksiyonlar kurulabilir.
Arksinüs Fonksiyonu:
Sinüs fonksiyonunu tanım kümesi  aralığı olarak seçildiğinde,sinüs
fonksiyonunun tersi vardır.Bu ters fonksiyonuna arksinüs fonksiyonu denir.Sinüs
fonksiyonunu değer kümesi  aralığı olduğundan,arksinüs fonksiyonunun tanım kümesi
 aralığı olacaktır.Arksinüs fonksiyonunun tanım kümesinde verilen y sayısına karşılık
gelen sayıya arcsiny yada sin-1y sembolleri ile gösterilir.
sinüsx,y x, ysinx olarak tanımlandığında bunun tersi,
arksinüs=y,x x ,y=sinx olur.
y=arcsinx’in grafiği y=sinx fonksiyonunun y=x doğrusuna göre simetriktir.
Arckosinüs Fonksiyonu:
Kosinüs fonksiyonunun tanım kümesi  aralığı olarak seçildiğinde,kosinüs
fonksiyonu birebir ve örtendir.Bu sebeple tersi vardır.Bu ters fonksiyona,arckosinüs
fonksiyonu denir.Bu fonksiyonun tanım kümesi [-1,1] aralığıdır.
kosinüs={(x,y) |x[0,], y=cosx} olarak tanımlandığında
arckosinüs={(y,x) |x[0,], y=cosx} olur.
y=arccosx’in grafiği y=cosx fonksiyonunun y=x doğrusuna göre simetriktir.
Arctanjant Fonksiyonu
Tanjant=x,y x/2, y=tanx olarak tanımlandığında, bunun tersi
arctanjant=y,x x/2, ytanx olur. y=arctanx in grafiği y=tanx fonksiyonun y=x
doğrusuna göre simetriktir.
Arckotanjant Fonksiyonu
Kotanjant=x,y x0, ycotx olarak tanımlandığında, bunun tersi
arccot=y,xx0, ycotx olur. y=arckotx in grafiği y=cotx fonksiyonunun y=x
fonksiyonuna göre simetriktir.
Arcsekant Fonksiyonu
Bu fonksiyon, y=secx in ters fonksiyonudur. y=arcsecx, x in (-1,1) aralığındaki
değerlerinden başka diğer bütün değerleri için tanımlıdır. Bunun grafiği, y=secx in grafiğinin
y=x doğrusuna göre simetriği olan eğridir.
Arckosekant Fonksiyonu
y=cosecx in ters fonksiyonu olan bu fonksiyon da, x in (–1,1) aralığındaki
değerlerinden başka diğer bütün değerleri için tanımlıdır. Bunun grafiği y=cosecx in
grafiğinin y=x doğrusuna göre simetriği olan eğridir.
Trigonometrik Denklemler ve Eşitsizlikler
Trigonometrik fonksiyonları içinde bulunduran denklemlere, trigonometrik
denklemler denir. Ör: 1+cosx =0 , cotx =0 , sinx-cosx=0
Trigonometrik denklemlerin çözüm kümesi bulunurken aşağıdaki özelliklerden yararlanılır.
1) sinP(x)=sinQ(x) ise P(x)=2k+Q(x)
Not: -sinQ(x) yerine sin[+Q(x)] alınır.
2) cosP(x)=cosQ(x) ise P(x)=2kQ(x)
Not: -cosQ(x) yerine cos[-Q(x)] alınır.
3) tanP(x)=tanQ(x) ise P(x)=kQ(x)
Not: -tanQ(x) yerine tan[-Q(x)] alınır.
A)Basit Trigonometrik Denklemler
a) cosx=a
b)sinx=a
cosx=cos=cos(-)
sinx=sin=sin
x=+2k veya x=-+2k
x=+2k veya x=k
c)tanx=a
d)cotx=a
tanx=tan
cotx=cot
x=+k
x=k
B)Lineer Denklemler
a,b,c R olmak üzere, asinx+bcosx=c şeklindeki denklemlere cosx ve sinx e göre
lineer denklemler denir.
asinx+bcosx=c denkleminin iki tarafı a’ya bölünür.
sinx+b/acosx=c/a olur. b/a=tan yazılarak çözülür.
C)Homojen denklemler
Bütün terimlerinin dereceleri aynı olan denklemlere homojen denklemler denir.
a,bR olmak üzere, acosx+bsinx=0 homojen trigonometrik denklemdir.
Eşitliğin iki tarafı cosx ile bölünürse
a+b.sinx/cosx=0 (cosx
a+b.tanx=0  tanx= -a/b elde edilerek çözüme gidilir.
KONUYLA İLGİLİ ÖRNEK SORULAR:
1) (-2580 lik bir açının esas ölçüsü kaç radyandır?
Çözüm: (-2580nin ölçüsü  derece olsun
-2580=+2k , k koşulu gerçeklenmelidir.
-2580=-60(-7)  -2570=360-60-8360  dir
D/180=R/ 300/180=R/ R=
2)  , tg=1/2 , tg1/5 , tg=1/8 ise 
Çözüm:tg((tgtg)(1-tgtg)tg(-tg1/3
tgtgtg/ 1-tgtgtg( -tg(1
 bulunur.
3)0 , k ise cosk+1/2)(-1)k - nin değeri nedir?
Çözüm:k bir çift sayı ise k=2m yazılır.
cosk+1/2)+(-1)k(-cosm+1/2)+(-1)2m-
=cos(2m- cos(2mCos
k bir tek sayı ise k=2m+1 yazılır.
cos2m+1+1/2+(-1)2m+1-
cos(2m- cos2m Cos
4)ABC üçgeninde mC=2.mB dir.Üçgenin alanının b kenarı ve B açısı cinsinden değeri
nedir?
Çözüm:Üçgenin alanı s=1/2.b.c.SinA dır.
A+B+C= A+B+2.B= A=-3.B dir.
sinA=sin(-3B) sinA=sin 3B dir.
sin teoremine göre, b/sinB=c/sin2B b/sinB=c/2.sinB.cosB  c=2b.cosB bulunur.
alan formülünde yerine konulursa,
S=1/2.b.2b.cosB.sin3B  S=b2.sin3B.CosB  S=b2/2 (Sin4B+Sin2B)
5)Kenar uzunlukları a ve C=b olan kağıttan yapılmış bir ABCD dikdörtgeni,C
köşesi A köşe noktasına gelecek şekilde katlanıyor.Elde olunacak ABEFD beşgeninin,şekilde
gösterilen  köşe açısının tangentinin a ve b cinsinden eşiti nedir?
A
B
A
a
B
E
E
F
C
D
F
D
Çözüm: BE=x , AE=b-x olsun. ABE dik üçgeninde:
a +x =(b-x)2  x=(b2-a2)/ 2b bulunur.
tg=   tg(b2-a2)/2ab ,  dır.
tgtg -cot  -1/tg , tg-2ab/(b2-a2)  tg2ab/(a2-b2
2
2
6) sin6+sin12+sin18
işleminin sonucu nedir?
1+cos6+cos12
Çözüm: sin18+sin6+sin12
payda dönüşüm formülleri uygulanır.
2
1+cos6+(-1+2cos 6)
2sin12.cos6+sin12 sin12.(2cos6+1)
sin12
2.sin6.cos6
2
cos6+cos 6
cos6 (1+2cos6)
cos6
cos6
2.sin6
7)Şekilde m B=m C=m D=90 , AB=3, BC=4,CD=12 br olduğuna göreDD
D
12
C
4
D
A 3 B
Çözüm: DD=AD sin-D sin
C=5br (pisagor) AD=13br (pisagor)
DD=13 sin(sincossincos
sin, cos , cos= , sin değerleri yukarıda bağıntıda yerine yazılırsa
DD DD11,2
8)sin10=a ise sin70 in ‘a’ cinsinden eşiti nedir?
Çözüm: sin70=cos20 , 1-cos20=2.sin210
1-cos20=2a2 cos20=1-2a2 olur. sin70=1-2a2
9)İki düzlemli bir açının ölçek açısı 15dir.Yüzlerden biri içinde arakesitle 75lik bir
açı yapan bir doğrunun diğer yüzeyle yaptığı  açısının sinüsü nedir?
P
a
A
x
C
A
B y
Çözüm: |AC|=a olsun. |AA’|= a Sin (I) dır.
|AB|= a Sin 75 , |AA’|=|AB| Sin 15 
|AA’|= a Sin 75 Sin15 bulunur. (I) ile eşitlenirse,
a Sin=a Sin 75 Sin15Sin =Sin 75 Sin 15 olur.
Sin 75=Cos 15 olduğuna göre Sin =Cos 15 Sin 15Sin=Sin 30   Sin  ¼
10)tan2x .tan24x=1 denkleminin genel çözümü nedir?
Çözüm: tan x. tan 4x=1
tan x. tan 4x= 1 (Sin x / Cos x) . (Sin 4x / Cos 4x)=1
Cos 4x . Cos x – Sin 4x . Sinx =0Cos 5x=0
Cos 5x = Cos  5x= 2k    x=(2k)  ()
tan x. tan 4x = -1 Cos 4x . Cos x + Sin 4x . Sin x=0
Cos 3x= 0 Cos 3x= Cos 
3x = (2k)  () x= 2k  
11)ABC üçgeninin yükseklikleri arasında ha/hb=6/5 , ha/hc=3/5 bağıntıları olduğuna
göre Cos A’nın eşiti nedir?
Çözüm: Üçgenin alanı S ile gösterilirse
(I) 2S= a.ha = b.hb = c.hc yazılır.
ha/hb = 6/5  5 ha= 6 hb , ha/hc=3/5  5 ha = 3 hc olur. Buradan (II) 5 ha=6 hb= 3 hc
yazılır. I ile II taraf tarafa oranlanırsa , a/5=b/6=c/3 bulunur. Kenarları 5,6,3 birim olan üçgen
ABC üçgenine benzerdir.
Cos A=(b2+c2-a2)/2bc  Cos A= (36+9-25) / (2.6.3)  Cos A=5/9
12)ABC üçgeninde tan B=3/4 tan C= 8/15 olduğuna göre c/b nin değeri nedir?
Çözüm: Sinüs teoremine göre c/b= Sin C / Sin B dir.
tan B=3/4  Sin B=4/5, tan C= 8/15 Sin C=8/17 olur.
c/b= (8/17) (4/5) c/b=10/17
13) A
Sin 3x
Cos 3x
B= Sin 3x
Cos 3x
Sin x
Cos x
Sin x
Cos x
olduğuna göre A.B=43 olması için x in 0x aralığındaki çözüm kümesi nedir?
Çözüm: A Sin 3x
Sin x
A
Sin 4x
½ Sin 2x
B
Sin 3x
Sin x
Cos 3x
Cos x
2.2.Sin 2x . Cos 2x
Sin 2x
Cos 3x
Cos x
Sin 3x . Cos x + Cos 3x . Sin x
Sin x . Cos x
4 Cos 2x
Sin 3x . Cos x- Cos 3x . Sin x
Sin x . Cos x
Sin 2x
Sin 2x
2
A.B=4  4 . Cos 2x . 2= 4Cos 2x =  olur.
Cos 2x = Cos   2x= 2k   , x=kolur.
k= 0,1,2 için çözüm kümesi {}
14) Sin 2(Arc cos ½ )=?
Çözüm: A= Arc cos ½  Cos A= ½ olur.
Sin 2(Arc cos ½ )Sin 2A= 2. Sin A. Cos A
Sin A= 1-cos2A , Sin A= 1- ¼ Sin A= 
Sin 2(Arc cos ½ )= 2 .  . ½ = 
15) Cos (Arc sin 12/13 – Arc cos 3/5) =?
Çözüm: Arcsin 12/13= u  Sin u = 12/13 , Arc cos 3/5 =v 
Cos v = 3/5 olur.
Cos (Arc sin 12/13 – Arc cos 3/5)= Cos (u-v)
= Cos u . Cos v + Sin u . Sin v
2
Cos u = 1-Sin u Cos u = 5/13 , Sin v=1-cos2u =4/5 olur.
Cos (Arcsin 12/13 – Arccos 3/5)= 5/13 . 3/5 + 12/13 . 4/5 = 63/65
16) Arcsin x + 2 . Arc cos x = 5/6 denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm: A= Arcsin x x= Sin A
B= Arc cos xx=Cos B
A+2B= 
Sin (A+2B) = Sin 5
Sin A . Cos 2B + Cos A. Sin 2B= ½
Sin A (2 Cos2B-1) + Cos A. 2 Sin B . Cos B = ½
x(2x2-1)+1-x2 .2 .  1-x2 .x = ½
2x3-x+2x(1-x2)= ½
{½}
17) f(x) = -3.Cos2 3x in periyodu nedir?
Çözüm: Cos23x = ( 1+Cos 6x)/2 dir.
f(x)= -3 . Cos23x = -3 . (1+Cos 6x)/2
f(x)= -3/2 . (1+Cos 6x) olur.
6 (x+w) = 2 + x w= 1/3
18) f(x) = 3 . sin 5x +cos (7x +  fonksiyonunun periyodu nedir?
Çözüm: f(x)= 3 . sin 5x +cos (7x+  ifadesi f1(x)= 3.sin 5x ve f2(x)=cos(7x+ )
f1(x)= 3.sin 5x  5T1 = T1 = 2
f2(x)=cos(7x+ )  7T2 = T2 = 27
T1= 14 T2= T=  = 2
19)Yandaki şekilde mA=90 , cm , AD|=8cm
|BC=12cm ise, sinB nin değeri nedir?
A
Çözüm:
6
B
D
12
B
D
E
20)y=sin (x-60) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
1
150
240
10
C
BD=10 cm bulunur.(pisagor bağıntısı)
D noktasından BCye dikme çizilir.BDC
ikizkenar olduğundan,yükseklik tabanı iki eş
parçaya ayırır.BEEC=6cm DEC üçgeninde
pisagordan DE8cm elde edilir.
C
BAD ile BDE eş üçgenlerdir.
m(DBA)=(DBE)= ve m(EBA) dır.
sinADBD , cosBD
sinB=sin22.sin.cos= 2.4/5.3/5 sinB=24/25
60
8
330
420