godeldersnotu

ITU-2017-002
Gödel’den Einstein’a Doğum Günü Hediyesi: Gödel
uzayzamanı
Utku Zorba
Fizik Mühendisliği Bölümü, İstanbul Teknik Üniversitesi
Maslak 34469 İstanbul, Türkiye.
zorba@itu.edu.tr
ÖZET
Bu notlar 12. Fizik Haftası için hazırladığım özeti içeriyor. Bu konu ile ilgili doyurucu
bir referans olamasına rağmen teknik olarak giriş niteliğinde olduğu söylenebilir. Aşağıda, 12. Fizik Hafta’sında ele aldığım özete bakabilirsiniz. Ne yazık ki notlar Gödel
metriğinin elde edilmesi ve en temel özelliklerinin kısaca tartışılmasına kadarlık kısmı
içeriyor. Bu notları, elimden geldiğince el yazılarımdan buraya ekleyerek güncellemeyi
düşünüyorum.
Öncelikle, genel görelilikte bir sistemin evriminin ışık konileri ile nasıl temsil edildiği
anlatılacak. Bu temsilde uzaysı ve zamansı eğrilere karşılık gelen durumlar örneklendirildikten sonra, yüksek kütle çekimi etkisiyle ışık konilerinin bükülmesi ve zamansı
eğrilerin kendi üzerine kapanması tartışılacak. Bu lisans seviyesindeki girişin ardından,
genel göreliliğin kapalı zamansı eğrilere izin veren çözümleri – 1949’da keşfedilen Gödel
metriği ve (Tipler silindiri ve geçilebilir solucan delikleri gibi) bazı diğer ünlü çözümler
– yapılacak. Bu çözümlerin Einstein denklemlerine uymalarına rağmen fiziksel kabul
edilmemelerine sebep olan (büyükbaba ve ispatlanmamış teorem gibi) bazı paradoksları
tartışarak bu alt başlık sonlandırılacak.
12-14 Ocak 2016
İçindekiler
1 Özet
1
2 Giriş
2
3 Doğum Günün Kutlu Olsun Einstein
2
4 Kapalı Zamansal Eğriler Nasıl Kapanır?
5
5 Ayrıntılar Geliyor...
6
6 Evren dönüyor sen ne dersen de
7
1
Özet
Hiç bir şey bildiğin gibi değil.
Anonim
Gödel metriği 1949 yılında Einstein alan denklemlerinin bir çözümü olarak dönen bir uzayzamanı tasvir etmek için Gödel tarafından bulunmuştur[1]. Bu metriğin en önemli ve ilginç özelliği kapalı zamansal eğrilere (KZE) izin vermesidir. Bu çalışmada Gödel metriğini orjinal haliyle
doğrudan yazıp bazı genel özellikleri merak eden dinleyiciler için çok ayrıntısına girmeden elde
edilecekitir. Ardından KZE’lerin nasıl ortaya çıktıkları gösterilecektir. Bu dersin amacı bir sonraki dersler için bir alt yapı oluşturmak olduğundan özel ayrıntılar üzerinde gerektiğinden fazla
durulmayacaktır1 .
Aslında içeriğin 12. Fizik Haftasında ele alınan kapsmamı aşağıdaki gibidir. Ancak özetler Gödel’in metiriğini elde etmeye ve onun en temel özelliklerini tartışmaya ayrılmıştır.
Öncelikle, genel görelilikte bir sistemin evriminin ışık konileri ile nasıl temsil edildiği anlatılacak.
Bu temsilde uzaysı ve zamansı eğrilere karşılık gelen durumlar örneklendirildikten sonra, yüksek
kütle çekimi etkisiyle ışık konilerinin bükülmesi ve zamansı eğrilerin kendi üzerine kapanması tartışılacak. Bu lisans seviyesindeki girişin ardından, genel göreliliğin kapalı zamansı eğrilere izin
veren çözümleri – 1949’da keşfedilen Gödel metriği ve (Tipler silindiri ve geçilebilir solucan delikleri gibi) bazı diğer ünlü çözümler – yapılacak. Bu çözümlerin Einstein denklemlerine uymalarına
rağmen fiziksel kabul edilmemelerine sebep olan (büyükbaba ve ispatlanmamış teorem gibi) bazı
mantık paradoksları ile bu alt başlık sonlandırılacak.
1
Burada ifade edilen önceki ve sonraki derslerden kasıt 12. Fizik Haftası programında olan birbirine bağlı
dersler serisidir.
1
2
Giriş
Uzayzamanın nedensel yapısını anlamak için geometriden faydalanalım. Öyleki dört boyutlu evrenimizin uzaysal kısmını iki boyutlu bir düzlem gibi ele alalım(uzaysal kısım üç boyutlu çünkü).
Böylece 4 boyutlu uzayzaman üç boyutlu uzayzaman haline gelir. Bu ise işleri oldukça kolaylaştırır. Çünkü üç boyutlu bir geometrik nesneyi çizmek ve zihnimizde yorumlamak daha kolaydır.
Hatta bir adım daha ileri gidip uzaysal olan iki boyutu tek boyutlu hale getirelim, varsayalım
ki uzayımız tek bir çizgiden ibaret ve biz bu çizgi üzerinde hareket edebiliyoruz. Esasında burada gözlemci olan bizleri de noktasal parçacıklar haline getiriyoruz, yoksa düz bir çizgi üzerinde
iki doğrultuda serbestçe hareket edebilmek mümkün değildir, örneğin pozitif x yönünde ilerleyen
bir noktasal parçacık canı istediğinde ters yöne doğru gidebilir. Ama sonsuz uzunluklu bir çizgi
üzerinde yaşayan daha küçük uzunluklu bir çizgi olsaydık, anamızdan doğduğumuzda hangi doğrultuda isek o doğrultuda ilerlemek zorunda kalırdık. Ya da arkamızı görmeden geri geri gidecektik.
Belki iki tarafta da gözlerimiz olacaktı ama bu tartışma bizim için çok biyoloji kokuyor. Demek
ki boyut denilen ’şey’ bizi anamızdan doğduğumuza pişman edebilir de. Düzlemler ülkesinde nasıl
bir yaşam olurdu? Bununla ilgilenenler için Edwin Abbott’ un Düzlemler Ülkesi kitabını öneririm.
Konumuza dönelim.
Varsayalım ki merkezde yani bir zaman (t) ve bir uzay (x) koordinatının tam çakıştığı noktada
bir ışık kaynağımız olsun. Bu ışık kaynağından çıkan fotonlar düzleme yayılacaklardır. Ek olarak
biliyoruz ki bir nesne uzayda dursa dahi zamanda hep ileriye doğru hareket halinde olacaktır. Yani
zaman üzerinde hareketsiz kalamayacağımız yegane koordinatımızdır2 . O zaman ışık kaynağımızdan çıkan fotonlar bir koni kesiti oluşturur. (Bkz: Şekil-1). Bu koni kesitinin pozitif t düzlemi ile
kesiştiği alan gelecek ışık konisi iken altı geçmiş ışık konisi olarak adlandırılır. İki koninin kesiştiği nokta ise şimdiki andır. Geometrik olarak zamanın akışını görselleştirdiğmize göre biraz fizik
yapalım. Öncelikle koni kesitinin kenarları ışığın gidebileceği yolları göstermektedir. Işık kütlesiz
bir parçacıktır ve herhangi bir kütleli parçacık, ışıktan daha yavaş hareket edeceğine göre bu koni
kesitinin içinde hareket edecektir. Bu notlar boyunca geçmişten gelip geleceğe doğru gittiğimiz bu
hayat yolculuğunda acaba geçmişimize yolculuk mümkün müdür? Bu soruya cevap vereceğiz.
3
Doğum Günün Kutlu Olsun Einstein
Gödel’in Einstein’ a vereceği doğum günü hediyeside bu kadar olur. Einstein’ ın alan denklemlerinin bir çözümü daha. Diğer çözümler için herhangi bir Genel Görelilik kitabına bakabilirsiniz[2],
[4] ve [3]. Bildiğiniz gibi uzayın en önemli geometrik nesnelerinden biri uzunluktur. Öklit uzayından aşina olduğumuz gibi iki nokta arasındaki uzunluğu Pisagor teoremi yardımıyla buluruz. Aynı
şeyi genelleştirirsek, her uzay için bir yay elemanı yazılır. Bundan önceki derslerde görüldüğü için
2
Bu ifadeyi çok sık kullanıyorum. İlk olarak 31 Ağustos-05 Eylül 2015 tarihinde 100. Yılında Einstein’ın
Genel Görelilik Kuramı Yaz Okulu’nda İbrahim Semiz hoca bu ifadeyi ders anlatırken kullanmıştı ve ben çok
beğenmiştim.
2
Şekil 1
ayrıntılarına girmeyeceğim ve damdan düşer gibi Gödel geometrisini tasvir eden yay elemanını
yazacağım hatta orjinal haliyle aşağıda verelim (burada dikkat edilirse Gödel orjinal makalesinde
x0 alırken ben basitlik olsun diye t , x1 için ise x vb. yazacağım) : (NOT: bir süre dört işlem
yapacağımızdan fazla laf sarfetmeyeceğiz)
ds2 = a2 (dt2 − dx2 + (e2x /2)dy 2 − dz 2 + 2ex dtdy)
Metrik tensörün bileşenlerini matris halinde daha net görebilirsiniz. Metric tensör:


1
0
ex
0



−1
0
0
20

gµν = a  x

2x /2
e
0
e
0


0
0
0
−1
metrik tensörün tersi:

g µν
− 12
 a
 0
=
 2e−x
 a2
0
0
− a12
0
0
2e−x
a2
0
−2x
− 2ea2
0

0

0 

0 

1
− a2
(3.1)
(3.2)
(3.3)
Önceki derslerden bildiğimiz gibi metrik tensör verildimi o uzayın eğriliği hakkındaki bilgi
birkaç işlemden sonra açığa çıkar. Ara adımları izleyerek gidelim, şimdi ise Christoffel Sembolleri
dediğimiz tensöre benzeyen ama tensör olmayan nesneleri bulacağız (Ödev: neden tensör değil,
nasıl anladık?) :
3
1
Γµνλ = g µσ (gνσ,λ + gλσ,ν − gνλ,σ )
2
(3.4)
Öncelikle µ = 0 için örnek yapalım:
Γ0νλ =
Γ0νλ =
+
1 0σ
g (gνσ,λ + gλσ,ν − gνλ,σ )
2
1 00
g (gν0,λ + gλ0,ν − gνλ,0 )
2
1 02
g (gν2,λ + gλ2,ν − gν2,σ )
2
(3.5)
(3.6)
(3.7)
Bu durumda sıfırdan farklı bileşenler
Γ001 = 1
Γ012 = ex /2 .
(3.8)
Diğer bileşenleri de yazlım (Ödev-2: Christoffel Sembollerini Gödel metriği için bulun.) :
Γ102 = ex /2
Γ122 = e2x /2
Γ201 = −e−x
(3.9)
Geldik şimdi Ricci tensörünü bulmaya, biliyorsunuz ki Ricci tensörü doğrudan uzayın eğriliği ile ilgili ve Einstein alan denklemlerinde yer alıyor. Ricci Tensörünün, Christoffel sembolleri yardımıyla
aşağıdaki gibi olduğunu biliyoruz:
Rµν = Γανµ,α − Γααµ,ν + Γααβ Γβµν − Γανβ Γβµα
(3.10)
Güzel bir ödev daha, aşağıdaki sıfırdan farklı bileşenleri siz bulun:
R00 = 1 , R22 = e2x , R02 = ex = R20
(3.11)
Ricci skaleri için tek yapmamız gereken Ricci tensörünün izini almak:
R = g µν Rµν = g 00 R00 + g 02 R02 + g 20 R20 + g 22 R22
1
=
.
a2
(3.12)
Geometri yaptıktan sonra bu yaptıklarımızın fizikle olan ilişkisi nedir sorusunun cevabını Einstein Alan Denklemleri vermektedir. Bu denklemlerin özellikleri ile önceki derslerde alakadar olduğunuzdan direkt Gödel uzay-zamanı için bu denklemlerin çözümüne bakalım.
Alan Denklemleri :
4
1
Rµν − Rgµν + Λgµν = 8πGTµν
2
(3.13)
Peki Enerji- Momentum tensörü ile ilgili ne demeli? Gödel evrenin içeriğini sıfır basınçlı bir madde
olarak ele aldı. Madde dağılımının geometriyi nasıl etkilediğini bulmak için enerji-momentum
tensörü aşağıdaki gibi olsun
Tµν = ρuµ uν ,
(3.14)
burada ρ enerji yoğunluğu iken uµ ise kovaryant 4-hız vektörüdür. Varsayalım ki madde uzayda
durgun olsun, sadece zamanda hareket etsin o zaman kontravaryant hız bileşenlerini normalize bir
şekilde yazarsak,
uµ = (1/a, 0, 0, 0) ,
(3.15)
uµ = gµν uν = (a, 0, aex , 0)
(3.16)
ayrıca kovaryant bileşenler ise
olarak bulunur. Artık Tµν hazır. Alan denklemleri çözülebir. Örneğin 00- bileşeni için alan denklemleri
1
R00 − Rg00 − Λg00 = 8πGT00
2
(3.17)
düzenlersek ve gerekli adamları (Rµν ’ nün diğer bileşenlerini de siz bulun) yerine koyarsak,
Λ=−
1
= −4πGρ
2a2
(3.18)
sonuçlarını elde ederiz (Yukardakiler Ödev-3 olarak bırakılmıştır).
4
Kapalı Zamansal Eğriler Nasıl Kapanır?
Gödel’ in orjinal haliyle gösterdiği aşağıdaki koordinat dönüşümlerini yapalım;
ex = cosh 2r + cos φ sinh 2r
√
2 sin φ sinh 2r
yex =
φ t − 2t0
φ
tan( + √ ) = e−2r tan
2
2
2 2
0
y = 2y
0
(4.1)
√ | < π . Bu dönüşümler altında yay elemanı yeniden yazılırsa (burada tüm t0 gibi
burada | t−2t
2
2 2
koordinatlarda " 0 " ifadesini kolaylık olsun diye dönüşümü yaptıktan sonra sileceğiz.)
5
Şekil 2
√
ds2 = 4a2 (dt2 − dr2 − dy 2 + (sinh4 r − sinh2 r)dφ2 + 2 2 sinh2 dφdt)
(4.2)
Genel görelilik derslerinden bildiğimiz gibi, eğer bir vektörün boyu(normu) pozitifse zamansal
vektör, negatis ise uzaysal vektör ve sıfır ise ışıksal vektördür. Biz ışıksal bir vektör için yay elemanı
sıfıra eşitleyip, t = r = y = sabit yüzeyini seçelim. Böylece herhangi bir r = R için,
ds2 = 4a2 (sinh4 R − sinh2 R)dφ2 = 0
(4.3)
√
buradan R = log (1 + 2) = c bir sabit çıkar. Demek ki bu yarıçap değerinde ışıksal bir yüzeyimiz
var. Peki bundan büyük R değerinde olur? Parçacığın ışık konisi tamamen yatar ve ışık konisinin
geleceği gösteren kısmı bir eğri üzerinden kendisinin geçmişi ile kesişebilir.(Bkz. Şekil-2)
5
Ayrıntılar Geliyor...
Gödel ’in orjinal metninde de görüldüğü gibi Gödel zaman konusuna ciddi manada kafayı takmış
durumda. Makalenin girişinde EAD ’nin kozmolojik sabit ve madde varlığında çözümleri incelenirken homojen ve izotrop evren modellerinin nedenselliğe uyan bir zaman koordinatına sahip olduğu
, ancak belli bir eksen etrafında dönen evren modellerinde bu nedenselliğe uyan zaman kavramından bahsedemeyeceğimizi söylemektedir. Birinci çözüm Einstein’in statik çözümüdür ve burada
zaman nedenseldir. Ancak Gödel kendi statik çözümünde bunun var olmadığını göstermektedir.
Bu sonuç bizi zamanda yolculuğa götürmektedir. Şimdi yavaşça ilerleyelim. Evrenin döndüğünü
kim söyledi? Matematiksel olrak basit olabildiği kadar basitleştirelim.
6
6
Evren dönüyor sen ne dersen de
Varsayalım ki 3 boyutlu uzayımızın herhangi bir boyutunda bir noktada olalım, örneğin z koordinatında olalım. Oradan diğer boyutlara bakınca bir düzlem görürsünüz. Görürsünüzde bomboş
uzay. Peki bu uzaya homojen bir şekilde dağılmış toz parçacıkları serpiştirelim. Bu toz parçacıklarının hareketini temsil eden bir hız vektörümz olsun. Buna v µ diyelim. Yavaş yavaş gidiyoruz,
peki bir vektör alanının bir eksen etrafında dönüp dönmediğini rotasyonelden başka hangi matematiksel araç güzel açıklayabilir ki? Varsayalım ki elimde bir yüzey var ve bu yüzeyi Y (xµ )
ile gösteriyorum. Dikkat edilirse her vektörün 4 bileşeni vardır artık 4 boyutlu bir uzay-zamanda
yaşayan elemanlarla ilgileniyoruz. Peki bu yüzeyin normal vektörü nedir? tabiki gradyanıdır. Yani
∂µ Y . Peki bu yüzeyde yaşayan diğer vektör kimdir? Tabi ki dxµ ’dür. Peki bu yüzeyde tamamen
var olan bir vektörü bu yüzeyin normali ile çarparsam ne olur? Eğer birbirlerine diklerse sonuç
sıfırdır. O zaman eğer bu yüzeye dik bir vektörüm varsa bu vektörün ∂µ Y ile orantılı olmaması
için hiçbir neden yok. Şimdi tüm yaptıklarımızı toparlayalım. Birincisi toz parçacıklarının hareketini temsil eden normalize edilmiş bir vektörümün bileşeneri v µ = (1/a, 0, 0, 0). Dikkat edilirse bu
vektör zamansal koordinat boyunca hareketi temsil ediyor. Bu vektörün bir de kovaryant bileşeni
vardır ki şöyle bulunur:
vµ = gµν v ν = (a, 0, aex , 0)
(6.1)
Bu vektörün rotasyonelinin var olup olmadığını antisimetrik bir tensör yardımı ile bulabiliriz,
aµνη = [vµ (5ν vη − 5η vν ) + vν (5µ vη − 5η vµ ) + vη (5ν vµ − 5µ vν )]
(6.2)
Dikkat edilirse bu yüzey ve kovaryant hız birbirine dik ise zaten sonuç direk sıfır çıkıyor,
yukarıdaki son ifade rotasyonelin 4 boyutlu uzay-zamanda ki genelleştirilmiş halidir. Örneğin
kovaryant bir dört vektör ykarıdaki gibi bir yuzeyin gradyantı ∂µ Y ile orantılı ise, yukarıda vµ
yerine ∂µ Y ifadesini koyarsanız sonuç sıfır çıkmalıdır (Ödev). Ancak Gödel evreninde sonuç sıfırdan
farklı çıkacaktır. O zaman bir sonraki adımımız bu antisimetrik üç indisli bileşenin rotasyonun hızı
ile olan ilişkisini kabaca kurmak. Rotasyonun hızı için ise aşağıdaki ifade gayet uygundur:
ωµ =
µναβ
√ aναβ
6 g
(6.3)
√
burada g metriğin determinantıdır. Sonuç ise ω µ = (0, 0, 0, 2/a2 ) (ödev). Bu sonuç bize zamansal
koordinatımızın herzaman uzaysal hiper yüzeye dik olmadığını söylemektedir. Yani ışık konisi, r
yarıçapına bağlı olarak bükülmektedir (Bkz. Şekil-2).
Kaynaklar
[1] K. Godel, “An Example of a new type of cosmological solutions of Einstein’s field equations
of graviation,” Rev. Mod. Phys. 21 (1949), 447-450 doi:10.1103/RevModPhys.21.447
[2] Sean Carroll.
Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity , Pearson, 2003.
7
[3] Robert M. Wald.
General Relativity, University Of Chicago Press, 1984 .
[4] Öyvind Grön, Sigbjorn Hervik .
Einstein’s General Theory of Relativity:With Modern Applications in Cosmology, Springer,
2007.
8