7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

7. BÖLÜM
DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
Bir V vektör uzayını bir başka W vektör uzayına dönüştüren fonksiyonlar
şu şekilde gösterilir:
T :V  W
Burada kullanılan terminoloji fonksiyonlarla aynıdır. Örneğin, V vektör
uzayına T fonksiyonunun tanım kümesi denir. Eğer v vektörü, V vektör
uzayının elemanı ve w vektörü de W vektör uzayının elemanı ise
T v   w
w vektörü, T fonksiyonu için v vektörünün görüntüsüdür. V uzayında tanımlı
tüm v vektörlerine T fonksiyonunun tanım kümesi, T v   w şeklinde tanımlanmış
w vektörlerine de görüntü kümesi denir.
DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
Örnek:
 2 de
tanımlı herhangi bir v   v1 , v2  vektörü için
T : 2  2
tanımlanmıştır:
T  v1 , v2    v1  v2 , v1  2v2 
a) v   1, 2  vektörünün görüntü kümesini
b) w   1,11 vektörünün tanım kümesini bulunuz.
şu şekilde
DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
Çözüm:
a) v   1, 2  için,
T  1, 2    1  2, 1  2  2  
  3,3
b) Eğer T  v1 , v2    v1  v2 , v1  2v2    1,11 ise
v1  v2  1
v1  2v2  11 olur.
Bu denklem sisteminin tek çözümü v1  3 ve v2  4 ‘tür. Bu durumda  1,11 ’in R2’deki
tanım kümesi  3, 4  ‘tür.
DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
Tanım: Doğrusal Dönüşüm
V ve W birer vektör uzayı olmak üzere,
T :V  W
fonksiyonu aşağıdaki özellikleri her bir u ve v için sağladığında V vektör uzayını
W vektör uzayına dönüştüren bir doğrusal dönüşümü tanımlar:
a.
b.
T(u+v)=T(u)+T(v)
T(cu)=cT(u) , tüm c   için.
DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
T(cu)=cT(u)
T(u+v)=
u+v
T(u)
cT(u)
v
T(u)+T(v)
u
T(v)
Yukarıdaki iki koşul birleştirilerek,
T(cu+dv)=cT(u)+dT(v)
şeklinde doğrusal olma koşulu olarak ifade edilebilir.
T(u)
u
cu
DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
Örnek: T, vektörlere u0 ekleyen bir dönüşüm olsun. Bu dönüşüm doğrusal mıdır?
Çözüm:
T(u)=u+ u0
T(v)=v+ u0
olup, V uzayında
T(u+v)= u+v+ u0
ve W uzayında
T(u)+ T(v)= u+ u0+ v+ u0
olur ve doğrusallık şartı sağlanmaz.
Sıfır Dö üşü -Biri
Dö üşü
Teorem:
İki vektör uzayı V ve W için, T : V  W dönüşümü aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:
T  v   0 , tüm v V için
Bu durumda T bir doğrusal dönüşümdür ve sıfır dönüşümü olarak adlandırılır.
Teorem:
Bir vektör uzayı V için T : V  V dönüşümü aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:
T  v   v , tüm v V için
Bu durumda T bir doğrusal dönüşümdür ve V uzayının birim dönüşümü olarak adlandırılır
DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
Doğrusal Dönüşümün Özellikleri:
T : V  W ve u ile v, V’de tanımlı birer vektör olmak üzere, doğrusal dönüşüm T
şu özellikleri sağlamaktadır:
1.
T 0  0
İspat: T 0  T 00  0T 0  0 T  0   T  0 v   0T  v   0
2.
T ( v)  T ( v)
İspat: T   v   T
3.
 1 v    1 T  v   T  v 
T u  v   T u   T  v 


İspat: T  u  v   T u   1 v  T  u   T  v 
4. Eğer v  c1v1  c2 v 2 
 cn v n ise,
T  v   c1T  v1   c2T  v 2  
 cnT  v n 
Bir Matris ile Ta ı la a Doğrusal
Dö üşü
Bir A matrisi, bir x vektörüyle çarpıldığında bu işlem x’i bir başka
vektör Ax’e dönüştürür. İşlemin girdisi x vektörü, çıktısı Ax vektörüdür.
Bu dönüşüm işleminin mantığı fonksiyonlarla aynıdır. Fakat burada amaç
tüm x vektörlerindeki değişimi görmektir. Her bir x vektörü, A matrisi ile
çarpılarak aslında x vektörünün tanımlı olduğu tüm uzay dönüştürülmüş olur.
Bir Matris ile Ta ı la a Doğrusal
Dö üşü
Boyutlu m×n olan bir A matrisi ele alınsın. Aşağıdaki gibi tanımlanan bir T fonksiyonu,
T v   Av
 n ’den m ’e bir doğrusal dönüşümdür. Burada m×n boyutlu bir matrisle çarpım
kuralı dikkate alınarak  n uzayındaki vektörler n×1 boyutlu, m uzayındaki vektörler de
m×1boyutlu vektörlerle temsil edilmektedir.
m×n boyutlu sıfır matrisi  n ’den m ’e sıfır dönüşümünü, n×n boyutlu birim matris de
 n ’den  n ’e birim dönüşümü tanımlamaktadır.
Bir Matris ile Ta ı la a Doğrusal
Dö üşü
 u1   a11 a12
u   a
 2    21 a22
  
  
un   an1 an 2
a1m   v1   a11v1  a12v2 
a2 m   v2   a21v1  a22v2 

  
  
anm  vm   an1v1  an 2v2 
 a1mvm 
 a2 mvm 


 anmvm 
R m ’de
R n ’de
bir vektör
bir vektör
Bir Matris ile Ta ı la a Doğrusal
Dö üşü
ya da
u1  a11v1  a12v2 
 a1m vm
u2  a21v1  a22v2 
 a2 m vm
un  an1v1  an 2v2 
 anm vm
Burada ui’ler vj’lerin doğrusal birer fonksiyonlarıdır.
DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
Teorem:
Bir A matrisinin boyutu m×n olmak üzere, verilen bir v vektörü için,
 v1 
v 
v   2  n
 
 
vn 
 v1 
v 
T  v   Av  A  2 
 
 
vn 
şeklinde tanımlanan bir T dönüşümü n ’den  m ’e tanımlı bir doğrusal dönüşümdür.
DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
İspat:
u, v n ve c bir skaler olmak üzere, matris çarpımları ile ilgili özellikler kullanılarak;
T u  v   A u  v   A u   A  v   T u   T  v 
ve
T  cu   A  cu   cA  u   cT  u 
olur.
DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
Örnek: Bir doğrusal dönüşüm T : n  m , T v   Av şeklinde tanımlanmıştır.
Buna göre aşağıdaki matrisler için doğrusal dönüşümün boyutlarını bulunuz.
 0 1 1


a) A  2 3 0


 4 2 1 
 2 3


b) A  5 0


 0 2 
1 0 1 2
c) A  

3 1 0 0 
DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
Çözüm:
a) Matrisin boyutu 3×3 olduğu için bu dönüşüm 3 ‘ten 3 ’e tanımlıdır.
0 1 1  v1   u1 
Av   2 3 0  v2   u2 
 4 2 1   v3   u3 
R 3 ’te
R 3 ’te
bir vektör
bir vektör
b)Matrisin boyutu 3×2 olduğu için bu dönüşüm  2 ‘den 3 ’e tanımlıdır.
c)Matrisin boyutu 2×4 olduğu için bu dönüşüm  4 ‘den  2 ’e tanımlıdır.
BAZ DEĞİŞİMİ
Her bir çalışmada hangi bazın kullanılacağına dair bir seçim işlemi uygulanır.
Baz değişimi temel olarak vektör koordinatlarının, başka bir koordinat sistemine
dönüştürülmesi işlemidir.
Eğer S  v1 , v 2 ,..., v n  kümesi V uzayı için bir baz tanımlıyorsa, bu uzaydaki her bir
v V vektörü, baz vektörler v1 , v 2 ,..., v n ’in doğrusal kombinasyonu olarak şu şekilde
v  c1v1  c2 v 2  ...  cn v n
İfade edilebileceği daha önce açıklanmıştı.
BAZ DEĞİŞİMİ
Burada
 c1 
c 
vs   2 

 
c n 
katsayıları S bazına göre v vektörünün koordinatlarıdır. Eğer V uzayı n boyutluysa,
bu uzaydaki her bir n adet doğrusal bağımsız vektör V uzayı için bir baz tanımlar.
 1   0  
Örneğin,  uzayında standart bazlar    ,    ‘dir. Diğer bazlar bu koordinat
  0  1  
2
sistemi referans alınarak belirlenir.
BAZ DEĞİŞİMİ
Eğer F  f1 ,f 2 matrisinin sütunları  2 uzayı için bir baz tanımlıyorsa, bu uzaydaki
bir v vektörü
v  F.v f
şeklinde tanımlanabilir.  2 uzayındaki bir diğer baz g1 ,g 2  ise aynı v vektörü, bu baz
vektörlerin bir doğrusal kombinasyonu olarak yazılabilir. Baz değiştiği için koordinarlar
da değişecektir. Yeni koordinat vektörü v g ise,
v  G.v g
şeklinde yazılabilir. Sonuç olarak,
v  F.v f  G.v g
eşitliğinin geçerli olduğu görülebilir.
 2 uzayı için tanımlanan bu ifadeler, F  f1 ,..., f n baz vektörleri içeren n×n boyutlu matris
ve v f ise n×1 boyutlu koordinat vektörleri olmak üzere,  n uzayı için genellenebilir.
BAZ DEĞİŞİMİ
Herhangi bir baza ait vektörler, bir diğer baza ait baz vektörlerin
doğrusal kombinasyonu olarak yazılabilir. Örneğin, g1 ,g 2  bazındaki
vektörlerin doğrusal kombinasyonu olarak,
g1  af1  bf 2
g 2  cf1  df 2
yazılabilir. Bu denklem sistemi
G  F.P
ile tanımlanır ve P matrisi
a c 
P

b
d


F bazından G bazına geçiş matrisidir ve baz değişim matrisi olarak adlandırılır.
BAZ DEĞİŞİMİ
g 11
g 12


 g 11 g 12  f11 f12  a c  af11  bf12


g




 21 g 22  f 21 f 22  b d  af 21  bf12

g 21
cf11  df12
cf 21  df12

g 22
Burada P matrisi tersi alınabilir bir matris olduğundan, G bazından F bazına
geçiş ise,
F  G.P 1
eşitliği ile tanımlanır. Burada P 1 matrisi G bazından F bazına geçişte kullanılan
baz değişim matrisidir. Bu matris için P  F 1 .G eşitliği de geçerlidir.
BAZ DEĞİŞİMİ
Eğer bazlar arasındaki geçişi sağlayan baz değişim matrisi biliniyor ise, bu baz
yapıları ile ilgili bilinmek istenen her şey elde edilebilir.

Bir v vektörünün F bazındaki v f koordinatlarının bilindiği varsayılsın,
v  F.v f  G.P 1 .v f  G.v g
Koordinat vektörleri eşsiz olduğundan,
v g  P 1 .v f
eşitliği elde edilebilir.
Eğer P matrisi F bazından G bazına geçişi sağlıyor ise P 1 matrisi, koordinatları
v f ’den v g ’ye değiştirir.

Tekil olmayan herhangi bir P matrisi için aşağıdaki eşitlikler geçerlidir.
v  F.v f  F.P.P 1 .v f  G.v g
BAZ DEĞİŞİMİ
Elde edilen sonuçlar standart baz ile de uyumludur. Örneğin  2 için
standart baz e1 ,e 2 ele alındığında,
E  e1 , e 2   I 2
ve
v  I.v
olduğu görülebilir. Diğer bir ifade ile standart bazdan bir f1 ,f 2  bazına
geçiş yapıldığında
F  I.P
yazılabilir. Diğer bir deyişle baz değişim matrisi, F matrisinin kendisidir.
ORTOGONAL VE ORTANORMAL
MATRİSLER
Boyutu n×n olan ve  n uzayında tanımlı bir θ  g1 | ... | g n  matrisinin
sütunları bu uzay için bir ortogonal baz g1 , g 2 ,...,g n olsun. Bu durumda,
 g1T 
 
 gT2 
T
θ θ   g1 | ... | g n   Dn
  
 gT 
 n
olur. Burada D köşegen bir matristir. Çünkü
gTi g j  gi .g j  dij
olup. Burada d ij elemanları
d
d ij   i
0
ile tanımlanmıştır.
i j
i j
ORTOGONAL VE ORTANORMAL
MATRİSLER
Eğer q1, q 2 ,...,qn  kümesi ortanormal vektörlerden oluşmuş ise ortanormal vektörler
daima bağımsız oldukları için. ortanormal bir baz tanımlar. Her hangi bir Q matrisinin
sütunları bu ortanormal baz vektörlerden, Q  q1 ...q n  oluşmuş ise bu tür matrislere
ortanormal matrisler denir. Sütunları ortanormal olan matrisler, üçgensel, köşegen, simetrik,
echelon ve izdüşüm matrisleri gibi önemli bir matris sınıfıdır. Bu sınıfa giren matrisler,
QT Q  I
eşitliği geçerlidir.
T
Kare ortanormal matrislere, ortogonal matris denir. Eğer Q matrisi kare matris ise, Q Q  I eşitliği
QT  Q 1
olduğu anlamına gelmektedir.
ORTOGONAL VE ORTANORMAL
MATRİSLER
Tanım: Bir kare matris Q için QT  Q1 eşitliği sağlanıyorsa,
bu Q matrisine ortogonal matris denir.
ORTOGONAL VE ORTANORMAL
MATRİSLER
Örneğin,
0 0 1 
Q  1 0 0
0 1 0
ise
0 1 0 
Q T  0 0 1
1 0 0
olur. Bu iki matris de ortogonal matrislerdir ve iç çarpımları birim matrise eşittir.
Ortogonal matrislere bir diğer örnek
cos 
Q
 sin 
matrisidir.
 sin  
cos  
ORTOGONAL VE ORTANORMAL
MATRİSLER





Eğer Q matrisi ortogonalse, bu Q matrisinin sütunları  n uzayı için
bir ortanormal baz tanımlar.
Eğer Q matrisi ortogonalse (ki bu aynı zamanda QT matrisine eşittir),
Q matrisinin satırları  n uzayı için bir ortanormal baz tanımlar.
Eğer Q ve F matrisleri aynı boyuta sahip ve ortogonal matris ise, Q.F
matrisi de ortogonaldir.
Eğer Q matrisi ortogonalse, det Q  1 ’dir.
Eğer Q ve F matrisleri iki ortanormal baza karşılık gelen ortogonal matrisler
iseler, F  Q.P eşitliği geçerlidir. Burada P matrisi, Q matrisinden F matrisine
baz değişimi matrisidir ve ortogonaldir.
ORTOGONAL İZDÜŞÜM
İki boyutlu uzayda w vektörü ile belirlenen bir doğru ve bir v vektörü ele alınsın.
Eğer v vektörü olmasaydı w vektörü bir boyutlu uzayda tanımlı olacaktı.
v
--------------------
ε
w
vi
Problem w vektörü üzerinde v vektörüne en yakın noktanın(vektörün) belirlenmesidir.
Şekilden de görülebileceği üzere, bu nokta vi ile belirtilmiştir ve bu nokta v vektöründen
w vektörüne indirilen dik doğrunun kesişiminde yer alır. İlgilenilen vi vektörünü bulmak
için trigonometri ya da kalkülüs kullanılabilir. Fakat en kolayı doğrusal cebri kullanmaktır.
vi vektörü w vektörü üzerinde yer aldığı için c  olmak üzere, vi  cw yazılabilir.
ORTOGONAL İZDÜŞÜM
Ayrıca şekilden görülebileceği üzere v    vi olup ε vektörü
w vektörüne dik olduğundan nokta çarpımları,
wT ε  0
wT v  vi   0
wT v  cw   0
cwT w  wT v
wT v
c T
w w
c bir skaler olduğu için,
vi  wc
wT v
w T
w w
izdüşüm vektörü elde edilir. Burada u, v i  bazı, u, v bazı için ortogonal bir bazdır.
ORTOGONAL İZDÜŞÜM
Bu işlem ortogonal parçalama (ayrışım) olarak adlandırılır. Burada u ve vi
ortogonal vektörleri kullanılarak 3 vektör uzayı için u, vi , u  vi  ile
tanımlanan bir ortogonal baz elde edilebilir.
 n uzayında tanımlı izdüşümler aynı zamanda bir doğrusal dönüşümdür.
ORTOGONAL İZDÜŞÜM
Tanım: a  n ‘de tanımlı bir vektör olmak üzere, b  n için
izd a b   a
a.b
a
2
olsun.
1. izd a : n  n doğrusal bir dönüşümdür.
Çünkü bir başka w  n vektörü ve c skaleri için,
izda  b  w   izda  b   izda  w  ve izda  cb   c izda  b 
olur.
2. Her hangi bir b n vektörü için izdüşüm noktaları a vektörü
ve a vektörüne dik olan vektörlerin toplamı olarak yazılabilir.
b  izda  b   b  izda  b 
Burada b  izda  b   ve izda  b  birbirine diktir.
ORTOGONAL İZDÜŞÜM
Teorem:
n uzayının bir alt uzayı olan W için bir baz a1 ,, ak  olsun. Sütun vektörleri
baz vektörlerden oluşan n×k boyutlu bir A matrisi,
A  a1 | a2 |
| ak 

ise W alt uzayı üzerine izdüşüm matrisi A AT A
Burada izdüşüm matrisi H ile tanımlanırsa,
H : n  k
doğrusal dönüşümü gerçekleşir.

1
AT şeklinde tanımlanır.
ORTOGONAL İZDÜŞÜM
İspat:
Sütunları doğrusal bağımsız olan n×k bir boyutlu A matrisi ele alınsın. Bu durumda
boyutu kk olan AT A matrisinin tersi alınabilir.
Bu ifadenin doğruluğunun kanıtlanabilmesi için A matrisi ile belirlenen A : k  n
dönüşümü ele alınsın. A matrisinin sütunları doğrusal bağımsız oldukları için bu dönüşüm
birebirdir. Ayrıca AT matrisinin boş uzayı AT matrisinin satır uzayına dik olduğundan A
matrisinin sütun uzayına diktir. Sonuç olarak AT A : k  k birebirdir ve AT A tersi
alınabilir bir matristir.
Şimdi A matrisinin sütun uzayı için izdüşüm matrisi hesaplanılabilir. W alt uzayındaki
herhangi bir vektör bu alt uzayın bazını tanımlayan A matrisinin sütunlarının doğrusal bir
kombinasyonudur:
ORTOGONAL İZDÜŞÜM
x1a1  x2a2 
 xk ak
A matrisinin sütunlarının tanımladığı baza göre koordinatlar dikkate alınarak
bu vektör;
 x1 
x   
 xk 
şeklinde tanımlı olup
x1a1  x2a2 
 xk ak  Ax
eşitliği yazılabilir. W alt uzayında tanımlı bu x vektörleri izdüşüm vektörleridir.
 n uzayında verilen bir v vektörü için, xp vektörü W alt uzayında v vektörünün
izdüşüm vektörü olsun.
ORTOGONAL İZDÜŞÜM
Diğer bir ifadeyle,
izdW v  Ax p
olup, araştırılan izdüşüm matrisi xp vektörü hesaplanarak bulunur. W uzayında v
vektörünün izdüşümü,
v  izdW v
vektörü yardımı ile belirlenebilir.
ORTOGONAL İZDÜŞÜM
Bu vektör W uzayındaki her bir w vektörüne diktir.
w  v  izdW v   0
 n uzayında tanımlanan her hangi bir vektörün A matrisinin sütun
uzayı ile gerçekleştirilen izdüşümü W alt uzayındadır ve
w  Ax
olmak üzere, herhangi bir x izdüşüm vektörü için,


Ax v  Ax p  0 tüm x  k için
tanımlanabilir. İç çarpımlar matris formunda yazılırsa,
 Ax   v  Ax p   0
T
 x A   v  Ax   0
T
T
p
ORTOGONAL İZDÜŞÜM
ve tekrar iç çarpımlar cinsinden,
x.AT  v  Ax p   0


olur. Bir başka deyişle AT v  Ax p vektörü k uzayında tüm x vektörlerine
diktir. k uzayında bu özelliklere sahip tek vektör, sıfır vektörüdür. Buradan hareketle,
AT  v  Ax p   0
AT v  AT Ax p
AT A matrisinin tersi alınabilir bir matris olduğu biliniyor. Bu bilgiden hareketle,
A A
T
1
AT v  x p
ORTOGONAL İZDÜŞÜM
Araştırılan izdüşüm vektörü Ax p olduğu
için,

A AT A
bulunur.

1
AT v  Ax p  izd w v
ORTOGONAL İZDÜŞÜM
Böylece W alt uzayı için izdüşüm matrisi,

HAA A
T

1
AT
olur.
İzdüşüm matrisleri nn boyutludur, rankları ise W alt uzayının boyutuna
(burada k ile belirtilmiştir) eşittir ve daima simetriktir.
Herhangi bir izdüşüm matrisi H, şu özellikleri sağlamaktadır:

H matrisi idempotenttir. H 2  H

H matrisi simetriktir.
Aynı zamanda n uzayının herhangi bir alt uzayında bu özellikleri sağlayan
herhangi bir matris, izdüşüm matrisidir.
ORTOGONAL İZDÜŞÜM
Sonuç 1. Eğer H matrisi W üzerine izdüşüm matrisi ise,
W  sütunuzayıH
Sonuç 2. Her hangi bir simetrik idempotent matris H için Hx  x  Hx
olduğundan ortogonal izdüşüm matrisi olarak adlandırılır.
HxT x  Hx  xT HT x  xT HT Hx  0
Sonuç 3. Eğer H simetrik bir izdüşüm matrisi ise I-H matrisi Null(H)
alt uzayı üzerine izdüşüm gerçekleştiren simetrik bir izdüşüm matrisidir.
n uzayının herhangi bir alt uzayında bu özellikleri sağlayan herhangi
bir matris, izdüşüm matrisidir.
ORTOGONAL İZDÜŞÜM: EKK YÖNTEMİ
 n uzayında tanımlı doğrusal bağımsız x1 ,..., x k vektörleri ele alınsın ve
X  x1 ,..., x k 
olsun. Bir başka deyişle x1 ,..., x k vektörleri  n uzayının k-boyutlu alt uzayı
X’te bir baz tanımlar.
 n uzayında bir başka y   n vektörü incelensin. Verilen bu y vektörünün X
uzayında ortogonal izdüşümü nasıl bulunabilir? Ya da ŷ   n olmak üzere tüm
X uzayına dik bir y  yˆ vektörü bulunabilir mi?
ORTOGONAL İZDÜŞÜM: EKK YÖNTEMİ
ORTOGONAL İZDÜŞÜM: EKK YÖNTEMİ
Yukarıda belirtilen ifade doğrusal cebir dilinde yazılırsa,
y  yˆ   z ,
tüm z  X için
Aslında y  yˆ vektörünün x1 ,..., x k vektörlerine dik olduğunun bilinmesi
yukarıdaki koşulun sağlandığını gösterir. Skaler çarpımlarla ifade edilirse,
xTi y  yˆ   0 , tüm i  1,2,..., k için
(1)
Bu koşulda her bir x i vektörü için k adet skaler çarpım yapılmalıdır. Belirtilen bu
k adet işlemi tek tek yapmak yerine x i vektörlerini sütunlarında barındıran X vektörü
yazılabilir.
ORTOGONAL İZDÜŞÜM: EKK YÖNTEMİ
X  x1 | x 2 | ... | x k 
Her bir x i vektörünün x i   n olmak üzere n adet koordinatı vardır. Bu yüzden X
matrisi n×k boyutludur. Bu bilgilere göre (1) koşulu düzenlenirse,
XT y  yˆ   0
ya da
XT y  XT yˆ
yazılabilir.
(2)
ORTOGONAL İZDÜŞÜM: EKK YÖNTEMİ
Oluşturulmak istenen izdüşüm vektörü ŷ ’in X uzayında tanımlı olması gerekmektedir.
Bunun anlamı, ŷ vektörü x1 ,..., x k vektörlerini kapsayan uzayda bulunmaktadır. Bir başka
deyişle,
 b1 
b 
yˆ  b1 x1  b2 x 2  ...  bk x k  X  2   Xβ

 
bk 
Burada β, k-boyutlu bir sütun vektörüdür. Verilen bu eşitlik (2) nolu denklemde yerine
konulursa,
XT y  XT Xβ
(3)
Eğer β vektörü biliniyorsa, ŷ vektörü de bulunabilir. (3) nolu eşitlikte β vektörü için çözüm
bulunabilmesi için k×k boyutlu XT X matrisinin tersinin alınması gerekir.
ORTOGONAL İZDÜŞÜM: EKK YÖNTEMİ
X X
T
1
XT y  β
(4)
Bu işlemlerden sonra izdüşüm vektörü ŷ bulunabilir. yˆ  Xβ olmak üzere,
(4) nolu eşitliğin her iki tarafı da X matrisi ile çarpılırsa,

X XT X

1
XT y  Xβ  yˆ
olur. Burada

H  X XT X

1
XT
matrisine X alt uzayı için izdüşüm matrisi denir. İzdüşüm matrisi H, alt uzay X’te
bir y   n vektörü için Hy  yˆ şeklinde bir fonksiyon tanımlar.
Yukarıda belirtilen izdüşüm matrisinin var olabilmesi için XT X matrisinin tersinin
alınabilir olması gerekir.
GRAM-SCHMİDT YÖNTEMİ
Doğrusal cebir hesaplamalarında ortanormal baz ya da ortanormal
sütunları olan matrislerle çalışmak işlemleri oldukça kolaylaştırır.
Gram-Schmidt yaklaşımında, herhangi bir baz ortanormal bir baza
dönüştürülerek, orijinal bazın türettiği uzay türetilir.
GRAM-SCHMİDT YÖNTEMİ
Ortogonal bir baz ile çalışmak çoğu zaman hesaplamaları oldukça kolaylaştırır.
Boyutu n olan bir vektör uzayı V için verilen bir baz v1 ,...., v n  kümesi için
Gram-Schmidt yöntemiyle oluşturulan ortanormal baz q1 ,....,q n  şu adımlarla elde edilir:
GRAM-SCHMİDT YÖNTEMİ
1.adım: g1  v1 olsun
2.adım: g 2  v 2  izd w1 ( v 2 )  v 2 
v 2 , g1  g
g1
1 ’dir.
2
Burada g1 vektörü W1
uzayını türetmekte ve izd w1 ( v 2 ) de v 2 vektörünün W1 uzayındaki dik izdüşümüdür.
3.adım: g 3  v 3  izd w2 ( v 3 )  v 3 
v3 , g1  g
g1
2
1
v 3 , g 2  g
g2
2
2
’dir. Burada g1 ve g 2
vektörü W2 uzayını türetmektedir.
4.adım: g 4  v 4  izd w3 ( v 4 )  v 4 
v 4 , g1  g
g1
2
1
g1 , g 2 ve g 3 vektörü W3 uzayını türetmektedir.

v 4 , g 2  g
g2
2
2 
v 4 , g 3  g
g3
2
3 ’dir.
Burada
GRAM-SCHMİDT YÖNTEMİ
Bu işlemler g n vektörüne kadar devam ettirilir. Böylece V uzayında n adet doğrusal
bağımsız vektörden oluşan g1 ,....,g n  kümesi, bu V uzayı için ortogonal bir baz tanımlar.
Bir vektör uzayı V için ortanormal baz oluşturulmak istenirse, Gram-Schmidt yöntemiyle
ortogonal bir baz elde edilir. Daha sonra elde edilen bu bazdaki her bir vektör normalize
edilerek ortanormal baz oluşturulur.
qi 
gi
gi
Bazı vektör uzaylarında ortanormal bazların elde edilmesi oldukça zordur. Gram-Schmidt
yöntemi herhangi bir vektör uzayı için ortanormal bir bazın nasıl bulunabileceğini gösterir.
GRAM-SCHMİDT YÖNTEMİ
QR AYRIŞIMI
QR ayrışımı (ya da QR faktörizasyonu), bir A matrisini, bir ortogonal
matris ile bir üst üçgen matrise ayrıştırmaktır. QR ayrışımı kare matrislere
uygulanabildiği gibi dikdörtgenmatrislere de uygulanabilir. Bu yaklaşım
n×n boyutlu bir doğrusal denklem sisteminin çözümünde kullanılabileceği
gibi en küçük kareler yönteminde olduğu gibi aşırı belirlenmiş, m×n ve
m  n , sistemlerin çözümünde de kullanılabilir.
Bu çarpanlara ayırma yöntemi bir matrisin tüm özdeğer ve özvektörlerinin
bulunmasında da kullanılabilir.Eğer A matrisi n adet bağımsız sütun vektörüne
sahip ise Q matrisinin ilk n sütunu A matrisinin sütun uzayı için ortanormal baz
tanımlayan vektörlerden oluşur.Bir QR ayrışımında boyutu n×n olan bir A kare
matrisi,
A  QR
şeklinde ayrıştırılır. Burada Q boyutu n×n olan ortogonal bir matris ve R ise
boyutu n×n, tersi alınabilir ve köşegen elemanları pozitif olan bir üst üçgen
matrisidir. Eğer A tekil olmayan bir matris ise, bu ayrışım eşsizdir.
QR AYRIŞIMI
Eğer A matrisi, m  n olmak üzere, m×n boyutlu dikdörtgen bir matris ise QR ayrışımıyla
ilgili iki farklı yaklaşım şu şekildedir:
1. İndirgenmiş ayrışım: A  QR
A matrisinin boyutu m×n, Q matrisinin boyutu m×n ve R matrisinin boyutu n×n
ˆR
ˆ
2. Tam ayrışım: A  Q
R 
 Q1 Q 2  1   Q1R1
0
A matrisinin boyutu m×n. Q̂ matrisinin boyutu m×m olup alt matrislerinin boyutu Q1 için
m×n ve Q2 için m×(m-n) olup R̂ matrisinin boyutu m×n ile tanımlanmıştır. Alt matrisleri ise R1
için boyut n×n olup üst üçgen matristir. 0 matrisi ise boyutu (m-n)×n olan bir sıfır matrisidir.
QR AYRIŞIMI
İndirgenmiş QR Ayrışımı:
Boyutu m×n olan bir A matrisi için m  n olmak üzere, A matrisinin daraltılmış QR ayrışımı
A  QR
şeklindedir. Burada Q matrisi boyutu m×n ve sütunları ortanormal olan bir matris, R boyutu n×n
olan , i=1,…,n için rii  0 koşulunu sağlayan bir üst üçgen matristir.
Q matrisi, A matrisinin sütun uzayı, range(A), için ortanormal bir baz oluşturur diğer bir deyişle
A matrisinin sütunları Q matrisinin sütunlarının doğrusal kombinasyonlarıdır. Aslında A matrisinin
sütun uzayı ile Q matrisinin sütun uzayı birbirine denktir. Her hangi bir matrisin sütun uzayı o
matrisin görüntü kümesini (range) tanımladığından range(A)= range(Q) yazılabilir. Bu eşitlik herhangi
bir y vektörü için Ax  QRx  Qy eşitliği sağlandığında geçerlidir. Böylece rangeA  rangeQ olur. R bir
üst üçgen matrisi ve köşegen elemanları pozitif olduğu için rangeQ  rangeA ifadesi AR 1  Q
yazılabildiğinde geçerlidir. Böylece herhangi bir y vektörü için Q x  AR 1x  Ay eşitliği geçerlidir.
QR AYRIŞIMI
Teorem: Boyutu m×n olan bir A matrisi için m  n olmak üzere, A matrisinin
bir QR ayrışımı vardır ve eğer A matrisi tam ranklıysa, rank(A)=n ise, A  QR
indirgenmiş ayrışımı rii  0 için eşsizdir
QR ayrışımını hesaplayabilmek için bir çok yöntem vardır. Bu yöntemlerden biri
yukarıda açıklanan Gram-Schmidt metodudur.
Bir QR ayrışımının elde edilmesinde kullanılabilecek yöntemlerden biri
Gram-Schmidt yöntemidir. Aşağıda indirgenmiş QR ayrışımının Gram-Schmidt
yöntemi ile nasıl elde edilebileceği açıklanmıştır.
Bir m×n boyutlu A matrisi,
A  a1, a2 ,, an 
olsun
QR AYRIŞIMI
Bu matrisin sütun vektörlerinin tanımladığı uzayın Gram-Schmidt yöntemi
ile elde edilen ortanormal bazı q1 ,....,q n  ise QR ayrışımı,
a1 .q1 a 2 .q1
 0
a 2 .q2

A  a1 , a 2 ,, a n   q1 ,....,q n 
 


0
 0
şeklinde tanımlanır.
 a n .q1 
 a n .q2 
 QR




 a n .qn 
QR AYRIŞIMI
Gerçekte R matrisi n  3 için,
 a1 .q1 a 2 .q1 a3 .q1 
R  a1 .q2 a 2 .q2 a3 .q2 
a1 .q3 a 2 .q3 a3 .q3 
şeklindedir. Fakat a1 ve q2, a1 ve q3, a2 ve q3 vektörleri Gram-Schmidt
yönteminde bir birine dik olarak seçildikleri için iç çarpımları sıfır
değerini alır. Bu işlem i  1,, n ve j  1,, n için ai .q j iç çarpımlarında
i  j olmak üzere ai .q j  0 sonucunu verir.
ORTANORMAL BAZ İÇİN İZDÜŞÜM
n uzayının bir alt uzayı W olsun. Bu V uzayında tanımlı ortogonal izdüşüm
matrisini bulabilmek için şu adımlar izlenmelidir:
1. V uzayı için v1 , v 2 ,..., v k gibi bir baz belirlenir.
2. Belirlenen v i bazı, Gram-Schmidt metoduyla q i ortanormal bazına
dönüştürülür.
3. Sonuçta elde edilecek olan izdüşüm matrisi Q 

qiqTi şeklindedir.
Burada bir sütun vektörü ile satır vektörü çarpılarak n×n boyutlu bir
matris elde edilir.
Yukarıda belirtilen 2. ve 3. adımlar (bir baz belirlendikten sonra) birlikte
değerlendirilebilir.
ORTANORMAL BAZ İÇİN İZDÜŞÜM
W uzayı için ortanormal olmayan bazlar w1, w 2 ,...,w k  olsun. Bu W uzayının aynı
zamanda ortanormal bazları da mevcuttur. Bu bazlar da u1 , u 2 ,...,u k  olsun. Sütunları
u i vektörlerinden oluşan Q matrisi ele alınsın.
Q  u1 u 2 u k 
u i vektörlerinin ortanormal olabilmeleri için QT Q  I m koşulu sağlanmalıdır.
vj 
 R u olmak üzere, A  QR yazılabilir. Burada R matrisi tersi alınabilir m×m
ij i
boyutlu bir matristir.
ORTANORMAL BAZ İÇİN İZDÜŞÜM
Bu bilgiler birlikte değerlendirildiğinde,
H  AA A
1
T
AT


 QRQR QR
T

T


T

1
R 
 QR R Q QR
T
 QR R R
 QRR
 QQT
1
1
1
QRT
R T QT
R T QT
T 1
R T QT
( QT Q  I )
ORTANORMAL BAZ İÇİN İZDÜŞÜM
Sonuç olarak, Q matrisinin sütunları W alt uzayındaki ortanormal bazlardan oluşuyorsa,
H  QQT
matrisi W uzayı için ortogonal izdüşüm matrisidir.

Not: R T R

1
 
 R 1 R T
1
formülü kullanılmadan önce R ve R T matrislerinin terslerinin
alınabilir olduğu belirlenmelidir.
YANSIMALAR
Bir yansıma işleminde uzunluk ve açı aynı kalırken, yön değişmektedir. Bir matrisin
izdüşümü biliniyorsa, yansımasını bulmak oldukça kolaydır. Orijinden geçen bir W
düzlemi ele alınsın ve bu düzlemden geçen bir v vektörünün yansıması bulunmak istensin.
YANSIMALAR
W düzlemine dik olan birim vektör u ile gösterilsin. Belirtilen u ve v vektörleri
birer sütun vektörüdür. v vektörünün u vektörüne göre izdüşümü,
 
vˆ  izd u v   u u T u
1
uT v
Eğer u vektörü birim vektör olarak seçilirse, u T u  u.u  1olur. Böylece,
vˆ  izd u v   uuT v
olur.
YANSIMALAR
v vektörünün W düzlemindeki yansıması nedir? yansW v  vektörü, v vektörüne göre
W düzleminin diğer tarafında, v vektörünün W düzlemine olan uzaklığıyla aynı uzaklıkta
mı yer almaktadır ve aynı izdüşüme mi sahiptir? Bu soruların cevapları için yukarıdaki şekle
bakılmalıdır. v vektörü ile yansıması arasındaki mesafe, tam olarak v vektörü ile W düzlemi
arasındaki mesafenin iki katıdır ve v vektörü ile yansıması W düzlemine diktir. v vektörü ile
yansıması arasındaki fark, v vektörünün izdüşümü ile W düzlemine dik olan u birim vektörü
arasındaki farkın iki katıdır. Bu bilgilere göre,
v  yansW v   2uuT v


yansW v   v  2uuT v  Iv  2uuT v  I  2uuT v
yazılabilir.
YANSIMALAR
Burada HW  I  2uuT matrisine W düzlemine göre yansıma matrisi denir.
W düzleminde v vektörünün izdüşümü, v vektörü ile yansıması arasındaki
mesafenin orta noktasıdır.
izdW v  
1
v  yansW v  ya da yansW v  2izdW v  v
2
EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ
Elemanları reel sayılar olan ve R 1  R T eşitliğini (ya da buna eş olarak boyutunu
n×n olan I birim matrisi için RR T  I ) sağlayan, reel ortogonal bir matris olan R
 
matrisi ele alınsın. RR T  I eşitliğinin determinantı için det R T  det R  ve
 
det R 2  1 bilgisinden yola çıkarak det R   1 ya da det R   1 olur. Boyutu n×n
ve determinantı 1 olan reel ortogonal matrisler özel ortogonal matrislerdir ve n boyutlu
döndürme işleminin matris notasyonunda gösterilmesini sağlar.
Genellikle 3 boyutlu döndürme matrisleri, e birim vektörünün yanında yer alan sabit bir
eksene göre θ açısıyla saat yönünün tersine döndürmeyi temsil eder. Döndürme matrsileri,
koordinat eksenleri sabit tutularak vektörler üzerinden döndürülmüş vektörler üretir. Buna
aktif dönüşüm denir.
EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ
Boyutu 3×3 Olan Döndürme Matrisinin Özellikleri:
x-y düzleminde, pozitif x ekseninden saat yönünün tersine göre θ açısı kadar
döndürme, boyutu 2×2 olan özel ortogonal matris
cos 
 sin 

ile gösterilebilir.
 sin  
cos  
EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ
Şekil: İki boyutlu döndürme
EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ
Orijinal eksenlerin koordinatları x-eksenine göre (1,0) ve y-eksenine
göre (0,1)’dir. Uzunlukları 1’dir. Buna göre trigonometri bilgisi
kullanılarak yeni eksenlerin koordinatları, eski eksenler cinsinden
elde edilebilir.
EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ
Böylece yeni koordinatlar; x-ekseni için (cosθ, sinθ) ve y-ekseni
için (-sinθ, cosθ) olur.
EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ
EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ
Yukarıda belirtilen işlemlerin sadeleştirilmiş hali verilmiştir.
Döndürmeden önce koordinatlar;
x, y   x1,0  y0,1
Döndürmeden sonra koordinatlar;
Rx, y,   xcos  , sin    y sin  , cos  
 x cos  , x sin     y sin  , y cos  
 x cos   y sin  , x sin   y cos  
EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ
EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ
a
sin   '
y
cos  
b
x'
x ba
sin  
c
x'
 x  cos 
 y    sin 
  
cos 
A
 sin 
a  y sin 
'
b  x ' cos 
x  x ' cos   y ' sin 
cos  
d
y'
 sin    x ' 
 
cos    y ' 
 sin  
cos  
c  x ' sin 
d  y ' cos 
y cd
y  x ' sin   y ' cos 
x  x ' cos   y ' sin 
y  x ' sin   y ' cos 
A matrisi ortogonal matris olduğundan,
A T  A 1
x' 
T  x
 '  A  
 y
y 
EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ
Eğer döndürme 3 boyutlu ise, z ekseninden saat yönünün tersine göre
θ açısı kadar döndürme olarak ifade edilebilir. 3 boyutlu döndürme
boyutu 3×3 olan özel ortogonal matris ile
cos 
R z,    sin 
 0
 sin 
cos 
0
0
0
1
olur.
Elde edilen bilgilerle 3 boyutlu döndürmeler ele alınsın. Elemanter 3
boyutlu döndürme matrisleri, üç eksenden her birine göre ayrı ayrı döndürme
yapabilmek için oluşturulur. Öncelikle z-eksenine göre döndürme ele alınsın.
İki boyutlu döndürmede x ve y eksenleri için yapılan dönüşümlere ek olarak,
z-ekseni için birim dönüşüm uygulanmalıdır.
EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ
 x '   cos 
 y '    sin 
 ' 
 z   0
sin 
cos 
0
0  x 
 x

0  y   M   y 
 
z 
 
1  z 
EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ
Şimdi de x-eksenine göre döndürme ele alınsın. Bir önceki döndürme işlemi
dikkate alınırsa, bu defa x-ekseni sabit tutularak benzer işlemler yapılabilir.
EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ
 y '   cos  sin  0  y 
 z '    sin  cos  0  z 
 
  
'
 x   0
0
1  x 
Verilen bu denklem sistemi düzenlenerek,
0
0  x
 x '  1
 x
'


 y   0 cos  sin   y   M  y 

 
 ' 
z 
 
 z  0  sin  cos    z 
elde edilir.
EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ
Aynı işlemler y-eksenine göre döndürme için de geçerlidir.
EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ
 z '   cos 
 x '    sin 
 ' 
 y   0
 x '  cos 
y'    0
 ' 
 z   sin 
sin 
cos 
0
0  z 
0  x 
 y
1  
0  sin    x 
 x

1
0   y  M  y
z 
z 
 
0 cos    
Elde edilen bu elemanter matrisler, herhangi bir 3 boyutlu döndürme
için kullanılabilir. Genellikle döndürmelerin sıralaması omega(x), phi(y)
ve son olarak kapa(z) şeklindedir. Matris notasyonunda,
M  M  M M 
EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ
 cos  cos 
M   cos  sin 
 sin 
cos  sin   sin  sin  cos 
cos  cos   sin  sin  cos 
 sin  cos 
sin  sin   cos  sin  cos  
sin  cos   cos  sin  sin  

cos  cos 
ÖLÇEKLEME
Ölçekleme işlemi, vektörleri bir ölçek çarpanıyla tüm yönlerden
aynı şekilde genişletme ya da daraltma işlemidir. Uniform (isotropic)
ölçekleme işleminin sonucu orijinal vektörle aynıdır. Örneğin bir
fotoğrafın büyütülmesi ya da küçültülmesi, model araba ya da uçak
oluşturulması işlemleri birer uniform ölçeklemedir.
Ölçekleme işleminin daha genel yapısı da her bir eksen için farklı ölçek
çarpanlarının kullanıldığı durumdur. Buna unifrom olmayan (anisotropic)
ölçekleme denir. En az bir ölçek çarpanı diğerlerinden farklıdır. Bunun
özel bir durumu (tek bir yön için) gerdirme (stretching)’dir. Uniform
olmayan ölçekleme, nesnelerin şekillerini değiştirmektedir.
Örneğin bir kareyi, dikdörtgene ya da karenin kenarlarının ölçekleme
eksenlerine paralel olmadığı durumda bir paralel kenara çevirmektedir.
ÖLÇEKLEME
Ölçek çarpanı hem uniform hem de uniform olmayan ölçekleme için 1’den
büyük olduğunda, ölçekleme işlemine genişletme, 0’dan büyük fakat 1’den
küçük olduğunda da daraltma denir.
Genel olarak ölçekleme işleminde, ölçekleme yönlerinin birbirine dik olmadığı
durumlar da söz konusudur. Aynı zamanda ölçek çarpanlarının 1 ya da daha
fazlanın sıfır olması (yansıma) ve bir ya da daha fazla ölçek çarpanının negatif
olması (gerdirme işleminde -1’e göre yapılan ölçekleme bir yansımadır)
durumları da söz konusudur.
ÖLÇEKLEME
Ölçekleme işlemi bir doğrusal dönüşümdür ve bir ölçekleme matrisi ile gösterilir.
Herhangi bir v  v1 ,..., v n  vektörlerinin p   p1 ,..., pn  noktalarına göre
ölçeklenmesi,
 v1
0
S.p  


0
0   p1   v 1 p1 
v2
   p 2   v 2 p 2 




  
 0 
  

 0 v n   pn   v n pn 
0

işlemiyle gerçekleştirilir.
Ölçekleme işlemi sadece ve sadece ölçekleme çarpanları birbirine eşit olduklarında
uniform ölçeklemedir. Eğer biri hariç, diğer tüm ölçekleme çarpanları 1’e eşitse
yapılan işlem gerdirmedir.
Ölçekleme çarpanlarının v1  ...  v n  k olduğu durumda ölçekleme işlemi bir
yüzeyi k2 kadar artırırken hacim söz konusu olduğunda k3 kadar artırır.
ÖLÇEKLEME
Boyutu n olan  n uzayında, v faktörü kadar yapılan uniform ölçekleme işlemi, v
ile skaler çarpımı ifade etmektedir. Her bir koordinat, v vektörünün ilgili elemanıyla
çarpılır. Doğrusal dönüşümlerin özel bir durumu olarak bu işlem, köşegen elemanları
v’ye eşit olan bir köşegen matrisle çarpım olarak düşünülebilir( vI ).
Uniform olmayan ölçekleme, simetrik bir matris ile çarpım şeklinde ifade edilebilir.
Matrisin özdeğerleri ölçekleme çarpanı, ilgili özvektörleri ise her bir ölçek çarpanının
uygulandığı eksenlerdir.
Ölçekleme çarpanlarının sıfırdan farklı olduğu uniform ölçeklemede, ölçekleme
çarpanının işaretine bağlı olarak sıfırdan farklı tüm vektörler ya yönlerini korurular
ya da yön değiştirirler. Uniform olmayan ölçeklemede ise sadece öz uzayda yer alan
vektörlerin yönleri değişmez.
ÖLÇEKLEME
Homojen koordinatlar ile ölçekleme yapılırken, bir v1  ...  v n  k vektörüne
göre ölçeklemede homojen koordinat vektörü ile dönüşüm matrisi çarpılır.
 v1
0



0
 0  p1   v 1 p1 
v2
   p 2   v 2 p 2 

  



 0 

  
 0 1  1   1 
0
Homojen koordinatların son elemanı, diğer tüm elemanların paydası olarak
düşünülerek ortak s çarpanı için uniform ölçekleme,
1 0 
0 1




0  0

olur.
0   p1   p1 
   p 2   p 2 
 
0      
1  1   1 
s     s 
GENEL YORUMLAR
Ortogonal bir Q matrisi, geometrik olarak ya bir eksen döndürmesini ya da
bir yansımayı tanımlar. Hangi işlemin geçerli odluğu, det Q  ’nun işareti
ile belirlenir. Eğer det Q  1 ise bu işlem, bir eksen döndürmesi,
det Q  1ise yansımadır.
Q matrisi ortogonal sütunlara sahip kare olmayan bir matris olduğunda
QQT  I olur. Bununla birlikte QQT matrisi ortogonal bir izdüşüm gerçekleştirir.
Geometrik olarak bir simetrik matris, standart eksenlerin döndürülmesi ya da
yansıtılması ile elde edilen, farklı doğrultularda farklı miktarlardaki ölçeklemeyi tanımlar.
GENEL YORUMLAR
Aslında kuadratik formlarla çalışıldığında, standart elipsler ve hiperboller üzerinde
ölçekleme ve döndürme/yansıma işlemleriyle farklı kuadratik formlarla elipsler ve
hiperboller elde edilir. Bu işlemler, simetrik matrislerin geometrik karakterizasyonları
ile mümkündür.
2 boyutlu qx1 , x1   1 formu, q pozitif tanımlı olduğunda bir elips ve q tanımsız
olduğunda da hiperbol tanımlar. Bu eğrilerin temel eksenleri, farklı özdeğerlere karşılık
gelen özvektörlerle belirlenir.