FZM450 Elektro-Optik 3. Hafta Işığın Elektromanyetik Tanımlanması

FZM450 Elektro-Optik
3. Hafta
Işığın Elektromanyetik Tanımlanması-2:
Madde Ortamında Elektromanyetik Dalgalar
© 2008 HSarı
1
3. Hafta Ders İçeriği
•
•
•
•
© 2008 HSarı
Madde içinde Maxwell Denklemleri
Dielektrik Ortamda Maxwell denklemleri
Metal Ortamda Maxwell Denklemleri
Maddenin Optik Sabitleri Arasındaki İlişkler
2
Madde İçinde Elektromanyetik Dalga
Maxwell denklemleri
∇.E =
ρ
ε0
∇.B = 0
∂B
∂t
⎡ ∂E
⎤
∇ × B = μ 0 ⎢ε 0
+ J⎥
⎣ ∂t
⎦
∇× E = −
Boşluk için yukardaki denklemi çözüp ve hem E hemde B alanının dalga denklemini
sağladığını göstermiştik
Şimdi bu denklemleri maddesel bir ortam içinde çözmeye çalışalım
Birbirinden farklı iki tür ortamdan bahsedebiliriz. Bunlar;
Durum I:
J=0 ( Dielektrik ortam, veya yalıtkan ortam veya transparent ortam) ρserbest=0
Durum II:
J≠0 ( İletken ortam veya metalik ortam veya yansıtıcı ortam) ρserbest=0
© 2008 HSarı
3
Madde İçinde Elektromanyetik Dalga
Dielektrik Ortam: J=0 ( Dielektrik ortam, veya yalıtkan ortam veya transparent ortam) ρserbest=0
Metalik Ortam:
J≠0 ( İletken ortam veya metalik ortam veya yansıtıcı ortam) ρserbest=0
e
e
e
e
e
e
Dielektrik
ρ=0, J=0
Net yük yoğunluğu sıfırdır ve serbest
dolaşan yük bulunmaz
© 2008 HSarı
Metal
ρ=0, J≠0
Net yük yoğunluğu sıfırdır Ancak serbest
dolaşan yük(elektron) bulunur
4
Madde İçinde Elektromanyetik Dalga
• Maddenin elektrik alan etkisine tepkisinin nasıldır?
• Bu elektrik alan elektromanyetik dalgayı oluşturan elektrik alan bileşeni olduğunda
maddenin tepkisi nasıl olur?
• Bu tepkinin frekansa bağlılığı nasıldır?
• Malzemenin elektrik alana tepkisini karakterize eden nicelikler ile maddenin optik sabitleri
arasındaki ilişki nasıldır?
© 2008 HSarı
5
Madde İçinde Elektromanyetik Dalga-Dielektrik Ortam-1
Durum I:
J=0 ( Dielektrik ortam, veya yalıtkan ortam veya transparent ortam)
ρserbest=0
Dielektrik malzemeleri (SiO2 gibi) mükemmel yalıtkan olarak düşüneceğiz
∇.E = 0
∇.B = 0
∂B
∂t
⎡ ∂E ⎤
∇ × B = μ 0 ⎢ε 0
⎥
⎣ ∂t ⎦
∇× E = −
Dielektrik ortam olduğu için E alanını ortamın karakteristiğini yansıtacak şekilde yeniden ifade etmemiz
gerekmektedir
Çünkü dış elektrik alan E, ortamdan dolayı değişikliğe uğrayacaktır
© 2008 HSarı
6
Madde İçinde Elektromanyetik Dalga-Dielektrik Ortam-1
Dış elektrik alanın malzeme üzerindeki toplam etkisi malzemenin Polarizasyonu olarak adlandırılır.
Malzemenin elektriksel karekteristiği polarizasyonudur. Bunu ifade edebilmek için kutuplanma vektörü
(Polarizasyon Vektörü) kullanırız
+
+
-
-
EA
+
EA
+
-
VA
VA
E≠EA, P≠0
E=EA, P=0
Uygulanan dış alan madde içinde:
• İndüksiyon yolu ile elektrik dipoller oluşturur (önceden olmayan dipoller-atomun yük yoğ. değişmesi gibi)
• Var olan dipollerin (dış alan olmadan da var olan dipollerin, örneğin su molekülünde olduğu gibi)
alan ile aynı doğrultuya getirilmesini sağlar
C+
O-
C+
e
e
e
e
e
e
© 2008 HSarı
E
Enet
Po=0
OPo
EA
H+
H+
7
P
Madde İçinde Elektromanyetik Dalga-Dielektrik Ortam-2
Polarizasyona katkı, atom içinde var olan atom ve moleküllerden gelmektedir
Malzemeyi oluşturan bir atomun polarizasyona katkısını düşünelim
-Ze
P
+Ze
+Ze
-Ze
E=0
-q
p
E
+q
μatom=Bir atomun dipol momentidir
d
μatom=qd
Aralarındaki mesafe d olan iki
zıt yükün dipol momenti (p)
EA
-e
© 2008 HSarı
P
+e
Enet
Malzeme içindeki net elektrik alan
Enet=EA-Eind
8
Madde İçinde Elektromanyetik Dalga-Dielektrik Ortam-2
Malzemenin elektriksel karekteristiği polarizasyonudur. Bunu ifade edebilmek için kutuplanma vektörü
(Polarizasyon Vektörü) kullanırız. Buna göre Polarizasyon vektörü
P= Polarizasyon vektörü
P=∑μ/V
μatom=Bir atomun dipol momentidir
V=Hacim
Büyüklüğü |P| dipol moment/hacim
P=
Yönü ise dipol momentin yönündedir
Dipol momenti ise p=qd şeklindedir. Burada q yük, d ise yükler arasındaki uzaklıktır.
Yoğunluğu ρ, atomik kütlesi A olan bir maddenin hacim başına atom sayısı
Polarizasyon vektörü
© 2008 HSarı
P =(
NA
ρ)μ atom
A
9
Madde İçinde Elektromanyetik Dalga-Dielektrik Ortam-3
Uygulanan dış elektrik alan ile P arasında nasıl bir ilişki vardır?
P(EA)=P0+εoχ(1)EA+(χ(2).EA).EA+...
Burada χ elektriksel alınganlıktır (electric susceptibility) ve madenin optik özelliklerini
incelemede oldukça önemli bir parametredir
χ(1)= 1. dereceden elektriksel alınganlık
χ(2)= 2. dereceden elektriksel alınganlık (doğrusal olmayan optik parametresi)
Birçok malzeme için Po sıfırdır (Dış elektrik alan olmadan var olan polarizasyon, Örneğin H2O)
C+
O-
O-
C+
P=0
Sadece birinci dereceden katkıyı göz önüne alırsak
P(EA)=εoχ(1)EA
P
H+
H+
Burada χ(1) skaler bir niceliktir. Fakat en genel olarak χ matris formundadır.
Çünkü malzemeler izotropik ve homojen olmayabilir. İzotropik ortamda (ve kübik kristallerde)
ortamdaki yön önemli değildir. E, D ve P vektörleri paralel ve ε, n ve χ skaler niceliklerdir.
Böyle bir ortamda elektromanyetik dalganın hızı ilerleme yönünden bağımsız olacaktır.
© 2008 HSarı
10
Madde İçinde Elektromanyetik Dalga-Dielektrik Ortam-4
İzotropik olmayan malzeme için P vektörünü tanımlarsak:
x
Px=εoχxEx
Py=εoχyEy
Pz=εoχzEz
z
y
Burada elektriksel alınganlıklar farklı yönler için en genel olarak farklı olabilir χx≠χy≠χz.
Örneğin izotropik olmayan bir malzemeye y doğrultusunda dış bir elektrik alan uygulandığında, malzemeyi oluşturan
atom veya molekülleri Ey doğrultusunda hizaya getirmek Ex doğrultusunda hizaya getirmekten eğer χx>χy ise daha
kolaydır
Elektriksel yerdeğiştirme vektörü D (malzeme içindeki alan)
uygulanan dış elektrik alan EA, polarizasyondan dolayı madde içinde oluşan
elektrik alan Eind, net elektrik alan Enet arasındaki ilişki
Enet=EA-Eind
şeklinde olacaktır. Yani madde içindeki elektrik alan her zaman uygulanan dış alandan daha küçüktür.
E’yi P cinsinden yazarsak yerdeğiştirme vektörü D’yi
D=ε0(EA+P)
şeklinde tanımlarız. P’yi uygulanan alan cinsinden (1. dereceden katkı alınarak) ifade edersek
P(EA)=ε0χ(1)EA
EA cinsinden D yerdeğiştirme vektörü
© 2008 HSarı
D=εo(EA+ χ(1)EA)
=> D=(εo+εoχ)EA
=> D=εEA
11
Madde İçinde Elektromanyetik Dalga-Dielektrik Ortam-5
ε≡ε0(1+χ) kısaltması yapılırsa ε niceliğine maddenin elektriksel geçirgenliği
D=εEA
ε=maddenin geçirgenliği
Burada D kutuplanabilen madde içersindeki toplam (net) elektrik alandır
Dolayısı yük yoğunluğunu ve Maxwell denklemini D cinsinden şu şekilde yazabiliriz
Elektrik Özellikler
E => D
(D=εE)
Gauss yasasında εo => ε
Manyetik Özellikler
B => H (B=μH)
μo => μ
İki sabit μ ve ε, malzemenin özelliğini belirler. Optikde (yani EM dalgalarda) μ≈μ0 olarak
alınabileceği için biz sadece ε’nin özellikleri ile ilgileniriz. Dielektrik ortamda dalga denklemini
∂2E
∇ E=μ ε
∂t 2
2
μ≈μ0 olduğu için
∂2E
∇ E = μ 0ε
∂t 2
2
Madde içinde Elektromanyetik dalganın(ışığın) hızı
© 2008 HSarı
yazabiliriz
vortam ≡ vm =
1
1
≅
<c
με
μ 0ε
12
Madde İçinde Elektromanyetik Dalga-Dielektrik Ortam-6
Madde ortamındaki (Dielektrik) EM dalganın(ışığın) hızını boş uzay çözümleri ile karşılaştıralım
Boş uzaydaki EM’nın hızı
c=
1
ε oμ 0
Kırılma indisi (n) tanımı
Madde ortamında EM’nın hızı
(
vm =
1
μ 0ε
1
)
μ 0ε 0
c
ε
=
=
n≡
ε0
vm ( 1 )
μ 0ε
Kırılma indisi ışığın boşluktaki hızının (c), madde içindeki hızına (vm) oranıdır
Dielektrik sabiti (κ) tanımı ise:
ε
κ≡
= n2
εo
(κ-ksi okunur)
Gerçekte ε ve κ frekasına bağlıdır ama şimdilik incelemelerimize bunu dahil etmeyeceğiz
Yukarıda bulunan sonuçlar dielektrik ortam için geçerlidir
© 2008 HSarı
13
Dielektrik durum için dalga denkleminin çözümleri
E(z,t)=EoSin(kmz-ωt+φ)
km=2π/λm (madde içindeki optik dalganın dalga sayısı)
ω=2πν (dalganın açısal frekansı, ki boş uzaydaki ile aynıdır)
vm=ω/km veya vm=νλm (dalganın madde içindeki yayılma hızı)
ko
c
E(z)
ω
E(t)
v
ω
t
km
Boş uzay
© 2008 HSarı
z=0
dielektrik
z
Boş uzay
z=0 dielektrik
14
Madde İçinde Elektromanyetik Dalga-İletken Ortam-1
Durum II: İletken Ortam
İletken ortamda ρserbest=0 ve J≠0 (iletkenlerde serbest taşıyıcılar oldukça fazladır >1026 m-3)
Maxwell Denklemleri:
∇.D = 0
∇.B = 0
∂B
∂t
⎡ ∂E
⎤
∇ × B = μ ⎢ε
+ J⎥
⎣ ∂t
⎦
∇× E = −
Yukarıdaki Maxwell denklemlerini çözebilmek için J ile uygulanan elektrik alan E arasında bir ilişki
türetmemiz gerekmektedir
Eğer işlemlerimizi doğrusal malzemelere, ki bu malzemeler Ohm yasasının geçerli olduğu malzemelerdir,
sınırlandırırsak J ile E arasındaki bağıntıyı
J=σE (Doğrusal iletken için Ohm yasası) şeklinde yazarız. Burada σ=iletkenliktir ( ρ=1/σ)
© 2008 HSarı
⎡ ∂E
⎤
∇ × B = μ ⎢ε
+ σE ⎥
⎣ ∂t
⎦
∇× E = −
∂B
∂t
15
Madde İçinde Elektromanyetik Dalga-İletken Ortam-2
∂B
⎡ ∂E
⎤
∇× E = −
∇ × B = μ ⎢ε
+ σE ⎥
∂t
⎣ ∂t
⎦
Bu iki denklemi çözmek yerine, dielektrik ortam için bulduğumuz çözümlere yeni terimler ekleyerek iletken
ortam için optik sabitleri türetebiliriz
Dielektrik durum için dalga denkleminin çözümleri
E(z,t)=EoSin(kmz-ωt+φ)
km=2π/λm (madde içindeki optik dalganın dalga sayısı)
ω=2πν (dalganın açısal frekansı, ki boş uzaydaki ile aynıdır)
vm=ω/km veya vm=νλm (dalganın madde içindeki yayılma hızı)
Dalga denklemi için üstel gösterim kullanırsak
E ( z, t ) = E o e
i ( k m . z −ω t +φ )
B ( z, t ) = Bo e
İletken
vm =
i ( k m . z −ω t +φ )
Dielektrik
∇ × E = +iωB
∇ × E = +iωB
∇ × B = μ o [σE + ε (−iω ) E ]
∇ × B = μ o ε (−iω ) E
Eo
Bo
∇ × B = μ o [σ + ε (−iω )]E
© 2008 HSarı
⎡ σ
⎤
∇ × B = ( −iω ) μ o ⎢
+ ε ⎥E
⎦
⎣ ( −iω )
16
Ödev 3.1:
İletken ortamda
2
∂
E
∂E
2
∇ E = μoε 2 + μoσ
∂t
∂t
ile verilen diferansiyel dalga denkleminin çözümünün
E(z,t) = Eo e
ω
⎡ ω
⎤
i ⎢( nz + i Kz ) −ωt +φ ⎥
c
⎣ c
⎦
olduğunu gösterin.
© 2008 HSarı
17
Madde İçinde Elektromanyetik Dalga-İletken Ortam-3
Dielektrik
İletken
⎡ σ
⎤
∇ × B = (−iω ) μ o ⎢
+ ε ⎥E
⎣ (−iω )
⎦
∇ × B = μ o ε (−iω ) E
Yukardaki iki ortam için
∇× B
denklemlerini karşılaştırırsak ε yerine
σ
ε≡
+ε
− iω
∧
ε
∧
∧
=>
gibi dielektrik sabit tanımı yapabiliriz
ε ≡ε +i
σ
ω
∧
∇ × B = −i μ o ε E
İletken durumunda yeni dalga denklemi
∂2E
∇ E = μ 0εˆ 2
∂t
ε iletken durumunda kompleks!
2
ˆ E
− km 2 E = − μ0εω
Elektromanyetik dalganın iletken içinde ilerleme hızı
© 2008 HSarı
v=
ω
km
=
1
∧
μo ε
18
Madde İçinde Elektromanyetik Dalga-İletken Ortam-4
Kompleks ε’nin anlamı nedir? Dielektrik (σ=0) durumunda kırılma indisi
n=
c
ε
=
= κ
vm
εo
Dielektrik sabiti gerçek iletken durumunda kırılma indisi
Dielektrik sabiti kompleks
∧
∧
c
ε
n=
=
= κ
vm
εo
∧
Dolayısı ile en genel durumda n’nin kompleks bir nicelik olduğunu söyleyebiliriz. Peki gerçekte kompleks n ne demektir?
E(z, t) = Eo ei (k m .z −ωt +φ )
ω
Dielektrik durumunda
= vm =
km
Bunu ilekten durumu için genelleştirirsek
km =
Burada
km =
© 2008 HSarı
ω
c
∧
n
c
ω
⇒ km = n
n
c
∧
n = n + iK
∧
km =
ω
c
(n + iK )
Madde içindeki dalga sayısı
K=Maddenin sönüm katsayısı (extinction coefficient of medium) (kırılma indisinin imajiner kısmı)
19
Madde İçinde Elektromanyetik Dalga-İletken Ortam-5
kˆm =
E(z, t) = E o e
ω
c
Re( k m ) =
(n + iK )
Im(k m ) =
ω
c
ω
c
n
K
ω
ω
⎤
⎡ ω
i ⎢ ( nz + i kz ) −ωt +φ ⎥
c
⎦
⎣ c
E(z, t) = E o e
− Kz
c
e
⎤
⎡ω
i ⎢ nz −ωt +φ ⎥
⎣c
⎦
ω
− Kz ⎤
⎡
ω
E(z, t) = ⎢E o e c ⎥ sin( nz − ωt + φ )
c
⎣
⎦
Genlik z değişkenine yani yayılma doğrultusuna bağlı. Κ>0 için genlikte azalma söz konusudur.
Ortamın optik özelliği iki parametre ile verilir bunlar n ve Κ dır.
E(z,t)
E(z,t)
z
z
Boş uzay
© 2008 HSarı
z=0
dielektrik
Boş uzay
z=0 iletken
20
Maddenin Optik Sabitleri
ω
km = n
c
E(z, t) = Eo e
ω
kˆm = (n + iK )
c
E(z, t) = E o e
ω
E(z, t) = E o e
e
ω
nz − ωt + φ )
c
ω
⎤
⎡ ω
i ⎢ ( nz + i kz ) −ωt +φ ⎥
c
⎦
⎣ c
I=cεo<|E|2>
Parlaklık
− Kz
c
i(
⎤
⎡ω
i ⎢ nz −ωt +φ ⎥
⎦
⎣c
E alanını mutlak değerinin zaman ortalamasını alırsak
I = Io e −αz
Burada
© 2008 HSarı
α=
2ω
K
c
Maddenin soğurma katsayısı (boyutu=1/uzunluk)
21
Özet
Boş uzaydaki EM’nın hızı
c=
1
ε oμ 0
Madde ortamında EM’nın hızı
vm =
1
μ 0ε
Madde ortamında elektromanyetik dalganın hızı vm=c/n
(
n≡
1
)
μ 0ε 0
c
ε
=
=
ε0
vm ( 1 )
Kırılma indisi
μ 0ε
kırılma indisi en genel durumda kompleks bir niceliktir
Maddenin optik sabitleri
Gerçek kısmı => n=kırılma indisi,
Sanal kısmı => Κ=yok etme (extinction) katsayısı
© 2008 HSarı
22
Özet
εo: Boş uzayın elektrik geçirgenliği
μo: Boş uzayın manyetik geçirgenliği
χ
Elektrik alınganlık
P
Kutuplanma (birim hacim başına dipol momenti)
ε
Maddenin elektrik geçirgenliği
εr=ε/εo Nispi geçirgenlik
n=(εr)1/2 Kırılma indisi
κ=ε/εo Maddenin dielektrik sabiti
K=σ/εοω Yok etme (Extinction) katsayısı
n̂ = n + iK
Maddenin optik sabitleri
n=Kırılma indisi
Κ= Yoketme indisi (Extinction katsayısı )
© 2008 HSarı
23