Zamanla Değişen Alanlar ve Maxwell Denklemleri

Zamanla Değişen Alanlar ve
Maxwell Denklemleri
Elektrik ve Manyetik Kuvvet
Bir elektrik alan içerisine küçük bir q test yükü yerleştirildiğinde, q’nun
konumunun fonksiyonu olan bir elektrik kuvveti oluşur.


Fe  q.E
[N]
Manyetik alan içindeki test yükü hareket ettiğinde, q yükü aynı zamanda bir
manyetik kuvvet ile karşılaşır.

v

B

 
Fm  q.v  B [N]
: Hareket eden yükün hızı [m/s]
: Manyetik akı yoğunluğu [Wb/m2] veya [T]
Elektrik ve Manyetik Kuvvet
arasındaki farklar
• Elektrik alan tarafından uygulanan kuvvet
alan çizgileri ile aynı yöndedir. Manyetik
alan tarafından uygulanan kuvvet ise
alana diktir.
• Elektrik alan kuvveti hem hareketli hem de
hareketsiz yükler üzerinde etkiliyken,
manyetik kuvvet sadece hareketli yüklere
etki eder.
Sağ el kuralı
Hız
Manyetik Akı
Yoğunluğu B
Kuvvet F
Elektrik ve Manyetik Kuvvet
Elektromanyetik Kuvvet
(Lorentz Kuvveti)
• Hareketli yüke etki eden Elektromanyetik kuvvet;

  
F  q(E v B)
örnek

v  (ıˆx  ıˆy ) [m / s]
hızıyla hareket eden q yüklü bir parçacığa

2
ˆ
ˆ
B  (ıx  2.ız ) [Wb / m ]
alanı içinde kuvvet etki etmiyorsa elektrik alan
vektörünü bulunuz.

F 0

 
0  q.E  q.v  B

   
E  v  B  B  v

E  (2ıˆx  2ıˆy  ıˆz ) [V / m]
Örnek


ˆ
Bir bölge için E  E0 .ı y ve B  B0 .ıˆz dik alanları verilsin.
Küçük bir test yükü t=0 anında alan içinde hareketsiz olsun. Hareket
denklemlerini bulalım.

  
F  q( E  v  B)
dv y
dv
dv
q[ E0 .ıˆy  (v x .ıˆx  v y .ıˆy  v z .ıˆz )  B0 .ıˆz ]  m[ x .ıˆx 
.ıˆy  z .ıˆz ]
dt
dt
dt
dv y
dvx
dv
ˆ
ˆ
ˆ
[q.E0  q.vx .B0 ].ı y  q.v y .B0 .ıx  m[
.ıx 
.ıˆy  z .ıˆz ]
dt
dt
dt
dv y
dv
q.E0  q.vx .B0  m.
q.v y .B0  m. x
dt
dt
2
2
d 2vx  q.B0 
q

.
v

 x   .B0 .E0
dt
m
 m 
İkinci dereceden
diferansiyel denklemin
çözümünden hız
bileşenleri bulunur.
E0
vx 
 C1. cos wc .t  C2 . sin wc .t
B0
q.B0
wc 
m
1 dvx
vy  .
 C1. sin wc .t  C2 . cos wc .t
wc dt
Başlangıç koşullarından C sabitleri hesaplanır. vx  v y  0
, t 0
E0 E0
vx 
 cos wc .t
B0 B0
E0
vy 
sin wc .t
B0
Hız bileşenlerinin zamana göre integrali, konumun zamana göre değişimini verir.
E0
E0
x
.t 
sin wc .t  C3
B0
wc .B0
y
E0
cos wc .t  C4
wc .B0
Başlangıç koşulları; t=0’da x=y=o
x
E0
E
.t  0 sin wc .t
B0
wc .B0
E0
E0
y   cos wc .t 
B0
wc .B0
z0
Hans Christian Ørsted, (d. 14 Ağustos 1777 – ö. 9 Mart 1851).
Danimarkalı profesör, fizikçi ve kimyager.
1819 yılında, Hollandalı bilim adamı Hans
Christian Oersted, manyetizma ile elektrik
arasında çok önemli bir ilişki keşfetti. Oersted, bir
iletkenden geçen elektrik akımının sadece
sürtünmeden dolayı ısı üretmediğini aynı
zamanda kendi çevresinde bir manyetik alan
oluşturduğunu fark etti.
Michael Faraday, (d. 22 Eylül 1791, 25 Ağustos 1867) İngiliz
bilim adamı
• Oersted’in bu keşfinden sonra 1831 yılında İngiliz bilim adamı
Michael Faraday, bir iletkenden geçen akımın manyetik alan
oluştururken acaba bir manyetik alanın da bir iletken üzerinde
akım oluşturup oluşturamayacağını (indüksiyon) merak etti.
Bunun üzerinde Faraday aşağıdaki resimdekine benzer bir
düzenek hazırladı.
• Düşüncesine göre anahtarı
kapattığında sağdaki sargı
nedeniyle demir çekirdek manyetik
olacak ve soldaki sargı da oluşan bu
manyetik alan nedeniyle üzerinden
akım geçirecekti. İndüklenen bu
akım da, Oersted’in keşfine göre
pusula etrafında manyetik alan
oluşturacak ve pusula iğnesi sapma
yapacaktı.
Ancak durum Faraday’ın tahmin ettiği gibi olmadı. anahtarı kapatıp beklediğinde
pusula da herhangi bir sapma olmuyordu ancak anahtarı kapattığı anda pusula çok
hızlı bir şekilde sapıyor ve eski pozisyonuna geri dönüyordu. Bunu bir de anahtarı
açarak denedi ve gördü ki bu kez pusula çok hızlı bir şekilde ters tarafa sapmış ve
eski pozisyonuna geri dönmüştü.
Faraday bu deneyden, akımın beklediği gibi sabit bir manyetik alandan değil
değişen manyetik alandan dolayı oluştuğunu (indüklendiğini) anladı ve Faraday
Yasası ortaya çıktı.
İntegral Formunda Faraday Kanunu
• Bir elektrik akımı sabit bir manyetik alan içerisinde
bulunduğu taktirde buna bir elektromanyetik kuvvetin etki
edeceğini biliyoruz. Meydana gelen ve akıma etkiyen bu
kuvvet etkisi ile, üzerinden akım geçen iletken hareket
eder.
• Bunun karşıtı olarak, iletken bir devre bir magnetik alan
içerisine konup hareket ettirilirse, bu devreden bir akımın
geçtiği görülür. Bu olay manyetik indüksiyon olayı
olarak adlandırılır ve devreden akım geçmesine neden
olan bu elektromotor kuvvete de indüksiyon
elektromotor kuvveti denir.
İntegral Formunda Faraday Kanunu
• İletken devrede böyle bir e.m. Kuvvetin doğuşu,
bu devre içinden B alanının geçirdiği  akısının
değişmesinden kaynaklanır. Devreyi sabit B
alanı içinde hareket ettirerek içinden geçen
akıyı değiştirebiliyoruz. Eğer devre hareket
etmezse akı sabit kalır ve e.m.k meydana
gelmez.
• emk, sabit bir devre içinden zamana göre
değişen bir akı geçirerek de elde edilebilir.
LENZ KANUNU
İndüksiyon e.m.k.’nın yönü, genel bir şekilde Lenz kanunu ile verilmiştir. Bu
kanun “İndüksiyon elektromanyetik kuvveti, kendini doğuran sebebe karşı
koyar “ diye ifade eder.
İndüksiyon akım yönlerini bulunuz
+++++++++
+++++++++
+++++++++
+++++++++
+++++++++
+++++++++
|B| artıyor
............
............
............
B
............
............
............
|B| artıyor
+++++++++
+++++++++
+++++++++
+++++++++
+++++++++
+++++++++
|B| azalıyor
............
............
............
B
............
............
............
|B| azalıyor
+++++++
+++++++
+++++++
+++++++
+++++++
Yol, B’nin
dışında
|B| azalıyor
Elektromanyetik İndüksiyon
DC Motor ve Jeneratörler
DC Motor
Jeneratörler
Elektrik motoru  jeneratör
• Elektrik motoru:
– Elektrik enerjisini mekanik
• Jeneratör:
enerjiye dönüştürür
– Üzerinden akım akan çevrim – Mekanik elektrik enerji.
manyetik alan içinde döner
– Manyetik alan içinde dönen
iletken çevrim, elektrik akımı
üretir.
Transformatör
Transformatör
Transformatör
Endüksiyon ile Isıtma Prensibi
Endüksiyon ısıtmanın genel prensibi elektromanyetik enerjinin ısı enerjisi haline
dönüştürülmesine dayanır. Değişken bir manyetik akım iletken madde üzerinde bir
gerilim indükler. ( Faraday kanunu ) İndüklenen bu gerilim , ( Lenz kanunu' na göre )
iletken üzerinde kendisine karşı oluşturulan akıma karşı koyacak şekilde bir akım yaratır.
İletkende yaratılan bu eddy akımı I²x R ile tanımlanan gücü ısı enerjisi halinde açığa
çıkarır.
B alanı içinde v hızı ile hareket eden elemanter dq yüküne etkiyen kuvvet:

 
dF  dq.v  B
olacaktır.
Bu eşitliğin her iki tarafını dq’ya bölersek;

dF  
vB
dq
olur. Bu da birim yüke etki eden kuvveti verir. Bir noktada birim yüke etki eden
kuvvet , o noktadaki elektrik alanın şiddetidir. Burada dq yükü hareketli bir yük
olduğu için bu ifade elektrik alanı şiddetinin tanımına tam olarak uymazsa da
boyut bakımından elektrik alandan farklı değildir. Biz bu alana dq yükü v hızı ile
hareket ettiği için, elektromotor alan diyeceğiz.



Em  v  B
Em’nin A ve B arasında hesaplanan eğrisel integrali bu iki nokta
arasında hareket eden elektrik yükünün meydana getirdiği ve yine Volt
cinsinden ifade edilen indüksiyon e.m kuvvetini verecektir.
  B   
e.m.k   Em .dl   (v  B).dl
b
a
A
Eğer dq yükü bir iletkenin A ve B gibi iki noktası arasında değil de kapalı bir
devre oluşturan bir C eğrisi boyunca hareket ederse, meydana gelen
indüksiyon elektromotor kuvveti aşağıdaki gibi olacaktır.
 
  
e.m.k   Em .dl   (v  B).dl
İndüksiyon e.m.k’nın Faraday tarafından deneyle bulunmuş olan
başka bir ifadesi aşağıdaki gibidir.
dm
d  
e.m.k   N .
  N .  B.ds
dt
dt s
 
d  
E
.
d
l


B
.
d
s
c

dt s
FARADAY
KANUNU
Bir kapalı eğri içinden geçen manyetik akı değişimi, bir gerilim
doğmasına sebep olur.
𝑒. 𝑚. 𝑘 =
𝑑∅
𝐸. 𝑑𝑙 = −
𝑑𝑡
Örnek
z=0 düzleminde 0.65 m2’lik bir alan bir iletkenle çevrilmiştir.

3  ıˆx  ıˆz 
B  0.05. cos 10 t 
 [T ] verildiğine göre indüklenen gerilimi bulunuz.
 2 
B
emk   
.ds.ıˆz 
t
s
 ıˆx  ıˆz 
s 50. sin 10 t  2 .ds.ıˆz
3
 23. sin 103 t
z
B
iz
ds
i
x
y
Alan kosinüs fonksiyonunun ilk yarı domeninde
azalmaktadır. Kapalı bir devrede i’nin yönü bu
azalmaya karşı koyacak şekilde olmalıdır.
Örnek
Yarıçapı 40cm olan dairesel iletken xy düzleminde yer almaktadır ve 20 ohm’luk
dirence sahiptir. Bölgedeki manyetik akı yoğunluğu;

B  0,2. cos 500t.ıˆx  0,75. sin 400t.ıˆy  1,2. cos 314t.ıˆz [T ]
olduğuna göre çerçevede akacak akımın efektif değerini bulunuz.

ds  r.dr.d .ıˆz
z
  0.42
   B.ds    1,2. cos 314t.r.dr.d
s
0 0
 0,603. cos 314t [W ]
d
 0,603.314. sin 314t
dt
0,603.314
133,9
efektif emk 
 133,9 [V ] I 
 6,69[ A]
20
2
emk  
y
R=20
ohm
x
Örnek
Şekildeki iletkende indüklenen gerilimi bulunuz.

B  0.04.ıˆy [T ]

v  2.5. sin 103 t.ıˆz [m / s]
z
  
Em  v  B  0.10. sin 103 t (ıˆx ) [V / m]
v
0.2
y
0
0
B
0.2
x
v
V   0.10. sin 103 t (ıˆx ).dx.ıˆx  0.02. sin 103 t [V ]
Diferansiyel Formda Faraday Kanunu
(Maxwell-Faraday denklemi)
Kapalı bir devre içerisinden geçen manyetik akının değişmesi devrenin uçlarında bir
akım indüklenmesine sebep olmaktadır. İndüksiyon elektromotor kuvveti aşağıdaki
gibi tanımlanmıştı:
 
d  
c E.dl   dt s B.ds
 
  
d  
c E.dl  s (  E ).ds   dt s B.ds

Maxwell 
B
Faraday
 E  
denklemi
t
Her iki tarafın diverjansı alınırsa;

  
B  
.  E  . (.B)  0
t
 
 
.B  sabit veya .B  0
Süreklilik Denklemi ve Kirchoff’un Akım
Yasası
• Durağan veya hareketli yükler yaratılamaz ve yok edilemez. S yüzeyi
tarafından sınırlandırılmış kapalı bir V hacmi düşünelim. Bu bölgede net Q
yükü olsun. Şayet bölgeden dışarıya bir I akımı akarsa, hacimdeki yük
miktarı akıma eşit şekilde azalır.
 
dQ
d
I   J .ds  
    v .dv
dt
dt v
 
d
I   (.J ).dv     v .dv
dt v
v
 
 v
3
.J  
[A/ m ]
t
Süreklilik
denklemi
Sabit akımlar için yük yoğunluğu zamanla değişmez,
 v
0
t
 
.J  0 
 
 J .ds  0
s
Bu denklem aşağıdaki gibi yazılabilir:
Ij  0
j
Kirchoff’un akım
yasası
• Bir iletkenin içinde üretilen yükler iletken yüzeyine doğru
hareket ederler, denge koşulları altında hacimsel yük
yoğunluğu ve elektrik alan sıfır olacak şekilde yeniden
dağılırlar.
 v   0 .e
0




.t

[C / m3 ]
: t=0 anı için yük yoğunluğudur.
Başlangıçta yük yoğunluğu 0 ise, =/ (s) zamanında 1/e değerine
düşer.
 : gevşeme zamanı
Maxwell-Amper Denklemi
• Gauss kanunu, integral formunda deplasman vektörü kullanılarak aşağıdaki
gibi yazılabilir.

J
 
 D.ds  q
Vektörünün sağladığı akım:
 
ia   J .ds
s
Deplasman akımı
Amper kanununda yerine konursa
Stokes teoriminden

 
  D 
  B  0  J 

t 

idep
dq d  

  D.ds
dt dt s
 
   d  
 B.dl  0 s J .ds  dt s D.ds 
  
   d  
s (  B)ds  0 s J .ds  dt s D.ds 
Maxwell-Amper denklemi

 
  D 
  B  0  J 


t


Eşitliğin her iki tarafının diverjansı alınırsa


J   v
t

      D 
.  B  .0  J 

t 

  
  
 0 .J  ( 0 ..E )  0
t


Süreklilik denklemi ile karşılaştırılırsa
   v
J 
0
t
  

( 0 .E ) 
t
t
 
 0 ..E  
  
.E 
0
Maxwell’in
diverjans
eşitliği
Deplasman (Yerdeğiştirme) akımı
ve kondansatörler
DC kaynak bağlandığı zaman devreden akan akım I=0’dır. Belli bir frekansa sahip
gerilim kaynağı bağlandığı zaman ise, zamana göre değişen bir akım aktığını
görürüz.
Deplasman (Yerdeğiştirme) akımı
ve kondansatörler
Plaka
üzerindeki
serbest yükler
1. tabaka
2. tabaka
Teldeki iletkenlik akımı
Kondansatördeki deplasman
akımı.
Gerilim zamana göre
değişince, yük de zamana
göre değişecektir.
Maxwell Denklemlerinin
Diferansiyel Formu
  
1  .E 
0

 
B
2  E  
t
 
3  .B  0

 
  D 
4    B  0  J 

t 

Maxwell Denklemlerinin
İntegral Formu
 
1   D.ds    v .dv
v

 
B 
2   E.dl    .ds
t
s
 
3   B.ds  0

 
  D  
.ds
4   H .dl    J 


t

s