Proje 1 4. Eşlik ve Benzerlik teoremi AKA, KAK, KKK eşlik teoremleri ve AA, KAK, KKK benzerlik teoremleri dışında başka bir eşlik ve benzerlik teoremi var mıdır? Büyük olduğu bilinen kenarların karşısındaki açılar eş ise üçgenlerin eş olduğunu söyleye biliriz. 4. Eşlik teoremi (BKA eşliği) D A B C E F ˆ m(E) ˆ ise AB DE AC DF ve AB AC olmak üzere, m(B) B A C E D F dir. İSPAT Verilenlere göre BC EF olduğunu gösterirsek KKK eşliğine göre BAC üçgeni ile EDF üçgeninin eş olduğunu göstermiş oluruz. BC EF olsa ya BC EF ya da EF BC olması gerekir. Şimdi bu iki durumun olmadığını gösterelim EF BC olsa [BC] üzerinde BD’ EF olacak şekilde bir D' noktası bulunur. Bu durumda KKK eşliğine göre D'BA ile FED üçgenleri eş olacak dolayısıyla AD’ AC olacaktır yani D'CA ikizkenar üçgeninin taban açıları dar olacağından AD'B geniş açıdır. Bu durumda B açısı da geniş olmak zorunda olacağından bir çelişki meydan gelir çünkü bir üçgenin iki açısı birden geniş olamaz. O halde EF BC olamadığına göre geriye BC EF veya BC EF olma durumları kalır. BC EF olsa [BC üzerinde BD’ EF olacak şekilde bir D' noktası bulunur. Bu durumda KKK eşliğine göre D'BA ile FED üçgenleri eş olacak dolayısıyla AD' AC olacaktır yani D'AC ikizkenar üçgeninin taban açıları dar olacağından ACB geniş açıdır. ABC üçgeninde küçük kenarın karşısına geniş açı gelmiş olur ki bu da bir çelişkidir çünkü bir üçgenin iki açısı geniş olamaz. Aynı şartlarda [CB üzerinde alınacak D' noktası zaten teorem verilerine uymaz. O halde BC < EF ve EF < BC olması mümkün olmadığına göre BC EF olması gerekir. Bu durumda da KKK eşlik teoremi gereği BAC ile DEF üçgenleri eştir. 4. Benzerlik teoremi (BKA benzerliği) D A Her eşlik teoremine karşılık gelen bir benzerlik teoremi olduğuna göre BKA benzerlik teoremi de olabilir. Peki, böyle bir teorem varsa nasıl ifade edilebilir ve ispatlanır? E B F C | AB | | AC | ve |DE| < |DF| olmak üzere | DE | | DF | m B̂ m Ê ise B A C E D F dir. İSPAT İÇİN YOL GÖSTERME Diğer benzerlik teoremlerinde olduğu gibi olmayana ergi metodu dediğimiz yöntemle ispat yapmak mümkündür. Teoremde verilen orantının sabiti k olsa; k>1, k<1 ve k=1 olması göz önünde tutularak 3 aşamada inceleme yapılmalıdır. 1. aşamada küçük olan üçgen büyük olan üçgene taşınır ve temel orantı gösterilir. 2. aşamada küçük olan üçgenin kenar uzunluklarına büyük üçgen taşınır ve temel orantı gösterilir. 3. aşama eşlik olduğundan zaten ispatını yukarıda yapmıştık. Değerli arkadaşlar 4. eşlik ve benzerlik teoremleri değişik biçimlerde de karşımıza gelebilir; Örneğin yukarıdaki benzerlik teoreminde DE DF şartı yerine E geniş açı (veya dik açı) şartının verilmesi durumlarında da teoremimiz doğru olacaktır. Teoremin ifadesini ve ispatını geometri severlere bırakıyorum. Hayal gücünüzü kullanarak bu proje ile ilgili güzel sorular yazabilirsiniz. Eyüp Kamil YEŞİLYURT www.tmoz.info