Olasılık ve Rastlantı Değişkenleri
advertisement
OLASıLıK VE RASTLANTı DEĞIŞKENLERI Ayrık Rastlantı Değişkenleri 1) BERNOULLI RD VE BERNOULLI DAĞıLıMı Sonucunda 2 çıkış olan rastlantı değerlerini modellemede kullanılır. Sonuçlar; Başarılı-başarısız, geçerli- geçersiz ya da olumlu olumsuz şeklinde olabilir. Bernoulli deneyinde ortaya çıkan sonuçlardan birisi başarı, diğer başarısızlık olarak ifade edilir. Başarılı olasılığı p, başarısız olma olasılığı (1-p) ise bu değişkene Bernoulli RD, dağılıma da Bernoulli dağılımı denir. Bernoulli Deneyinin Varsayımları Ayrık R.D. Dağılımları 24.10.2016 1. Deneyler aynı koşullarda tekrarlanabilir özelliğe sahip olmalıdır. 2. Deneylerin sadece iki mümkün sonucu olmalıdır. 3. Başarı olasılığı p deneyden deneye değişmemelidir. 4. Deneyler birbirinden bağımsız olmalıdır. 2 1) BERNOULLI RD VE BERNOULLI DAĞıLıMı 𝐸𝑥 = 𝐸 𝑥2 = 𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 𝐸 𝑋2 − 𝐸 𝑋 Ayrık R.D. Dağılımları 24.10.2016 1−𝑝=𝑞 𝑋=0 𝑋=1 𝑝 𝑥 = 𝑝 𝑥 0 𝑋 ≠ 0,1 𝑥𝑝 𝑥 = 0𝑝 0 + 1𝑝 1 = 0 1 − 𝑝 + 𝑝 = 𝑝 𝑥2 𝑝 𝑥 = 02 𝑝 0 + 12 𝑝 1 = 02 1 − 𝑝 + 𝑝 = 𝑝 2 = 𝑝 − 𝑝2 = 𝑝 1 − 𝑝 = 𝑝𝑞 3 Örnek: Bir sporcunun yaptığı müsabakada kazanma olasılığı 0,8 kaybetme olasılığı ise 0,2 olarak verilmiştir. Bu sporcu için Olasılık fonksiyonunu yazınız, Sporcunun beklenen (ortalama) kazanma olasılığını ve varyansını bulunuz. 24.10.2016 Ayrık R.D. Dağılımları 4 2) BINOM RD VE BINOM DAĞıLıMı 24.10.2016 Bernoulli deneyinin n kez tekrarlandığını varsayalım. Binom RV, deney sonucunda çıkan toplam başarı sayısının olasılığını verir. Bernoulli dağılımında deney bir kez yapılıyor ve olumlu veya başarılı sonuçla ilgileniyordu. Eğer deney bir defa değil, n defa peş peşe birbirinden bağımsız olmak üzere tekrarlandığında yine olumlu veya başarılı sonuçla ilgileniyorsa, Bernoulli dağılımının özel bir genel hali ortaya çıkar ve bu dağılıma Binom dağılımı denir. Ayrık R.D. Dağılımları 5 2) BINOM RD VE BINOM DAĞıLıMı Ayrık R.D. Dağılımları X, Binom RD’nin olasılık yoğunluk fonksiyonu; n deneyde k kez başarılı olma olasılığı 𝑛 𝑘 𝑛−𝑘 𝑃 𝑋=𝑘 = 𝑝 𝑞 𝑘 𝐸 𝑥 = 𝜇 = 𝑛𝑝 İspatı: Binom RD’i X, n bağımsız Bernoulli değişkeninin toplamıdır. 𝑋 = 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑛 𝐸[𝑋] = 𝐸[𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑛 ] 𝐸 𝑋 = 𝐸 𝑋1 + 𝐸 𝑋2 + ⋯ 𝐸 𝑋𝑛 = p + p + ⋯ + p = np 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑛 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋1 + 𝑉𝑎𝑟 𝑋2 + ⋯ 𝑉𝑎𝑟 𝑋𝑛 = pq + pq + ⋯ + pq = npq 24.10.2016 6 Örnek: Bir işletmede üretilen ürünlerin % 6 ‘sının hatalı olduğu bilinmektedir. Rasgele ve iadeli olarak seçilen 5 üründen, a) 1 tanesinin hatalı olmasının olasılığını, b) En az 4 tanesinin hatalı olmasının olasılığını hesaplayınız. 24.10.2016 Ayrık R.D. Dağılımları 7 24.10.2016 Örnek: Bir para 64 kez atılsın. Bulunan turaların sayısının ortalanması ve standart sapmasını bulunuz. Ayrık R.D. Dağılımları 8 Ayrık R.D. Dağılımları 24.10.2016 Örnek: Bir işletmede çalışan işçilerin işe geç kalma oranının %15 olduğu bildirilmiştir. Bu işletmede çalışan işçilerden 20 tanesi rastgele seçildiğinde; a) 4 tanesinin işe geç kalmış olma olasılığı ne olur? b) En az 3 tanesinin işe geç kalmış olma olasılığı ne olur? c) 20 işçi için işe geç kalan işçi sayısının beklenen değer ve varyansı ne olur? d) Yukarıdaki şıklardan bağımsız olarak rastgele seçilen 10 işçiden en az birinin işe geç kalma olasılığı 0,85 olduğuna göre işletmede işe geç kalma oranı ne olur? 9 3) GEOMETRIK RD VE GEOMETRIK DAĞıLıMı 24.10.2016 Ayrık R.D. Dağılımları Arka arkaya tekrarlanan bir Bernoulli deneyi ele alınsın. İlk başarıyı elde edinceye kadar bağımsız denemeleri yapmaya devam edersek ilk başarının elde edilmesi için gerçekleşen denemelerin sayısı Geometrik rastlantı değişkenidir. Bu değişkenin dağılımı Geometrik Dağılım adını alır. Bir tek denemede başarısızlık (1-p)=q, başarı olasılığı ise p olan geometrik RD X olsun. X’in olasılık fonksiyonu; 𝑥−1 𝑃 𝑋=𝑥 =𝑞 𝑝 𝑥 = 1,2, … 10 3) GEOMETRIK RD VE GEOMETRIK DAĞıLıMı 𝐸𝑋 =𝜇= 𝑞 𝑝2 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 1 𝑝 Ayrık R.D. Dağılımları İspat: 𝑃 𝐹𝐹𝐹 … 𝑆 = 𝑞𝑥−1 𝑝 𝐹𝐹𝐹 … 𝐹 𝑆, (x-1) kez başarısız, sonuncu başarılı 24.10.2016 11 24.10.2016 Ayrık R.D. Dağılımları NOT: Binom dağılımı ile Geometrik dağılım arasında çok önemli bir fark vardır. Binom dağılımında deneme sayısı önceden belli iken, geometrik dağılımda belli değildir. 12 Örnek: 1 elde edinceye kadar zarı atalım. Bağımsız atışlar dizisinde, ilk 1’in elde edilmesi için gereken atışların sayısının olasılık fonksiyonu nedir? 3. atışta 1 bulmanın olasılığı nedir? 24.10.2016 Ayrık R.D. Dağılımları 13 Örnek: Bir atıcının her atışta hedefi vurma olasılığı 3/4’tür. Arka arkaya yapılan atışlar sonucunda hedefi ilk kez vurması için gereken atış sayısı X olduğuna göre; Hedefi ilk kez üçüncü atışta Hedefi ilk kez en çok dördüncü atışta vurma olasılıklarını hesaplayınız. Hedefte ilk vuruşu elde edinceye kadar, atıcı ortalama olarak kaç atış yapmalıdır? 24.10.2016 Ayrık R.D. Dağılımları 14 4) POISSON RD VE POISSON DAĞıLıMı Örnekler: Bir şehirde bir aylık süre içerisinde meydana gelen hırsızlık olayların sayısı, Bir telefon santraline 1 dk içerisinde gelen telefon çağrılarının sayısı, Bir kitap içindeki baskı hatalarının sayısı, İstanbul’da 100 m2’ye düşen kişi sayısı, Ege Bölgesinde 3 aylık sürede 4,0 şiddetinden büyük olarak gerçekleşen deprem sayısı. Az rastlanılan hastalıklar Ayrık R.D. Dağılımları Ölçeği büyük ancak çok nadir meydana gelen olayları modellemede kullanılır. Poisson RD, birim zamanda meydana gelen olay sayısının olasılığını hesaplamada kullanılır. 24.10.2016 15 4) POISSON RD VE POISSON DAĞıLıMı Varsayımları: Belirlenen periyotta meydana gelen ortalama olay sayısı sabittir. Herhangi bir zaman diliminde bir olayın meydana gelmesi bir önceki zaman diliminde meydana gelen olay sayısından bağımsızdır (periyotların kesişimi olmadığı varsayımı ile) Mümkün olabilecek en küçük zaman aralığında en fazla bir olay gerçekleşebilir. Ortaya çıkan olay sayısı ile periyodun uzunluğu doğru orantılıdır. Poisson Dağılımı: X rassal değişkeni yukarıdaki özellikleri taşıyorsa X’e Poisson rassal değişkeni ve X’in fonksiyonuna da Poisson dağılımı denir. Ayrık R.D. Dağılımları 24.10.2016 16 4) POISSON RD VE POISSON DAĞıLıMı 𝑃 𝑋=𝑘 = 𝐸 𝑋 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝛼 𝑘 = 0,1,2 … . Ayrık R.D. Dağılımları 𝛼𝑘 −𝛼 𝑒 , 𝑘! 24.10.2016 𝛼 birim zamanda meydana gelen ortalama olay sayısı olsun, 𝜶 = 𝒏𝒑’dir. Burada n deney sayısı, p başarı olasılığıdır. Poisson olasılık yoğunluk fonksiyonu 17 24.10.2016 Örnek : Optik bir haberleşme sistemi 109 bit/sn hızında veri iletiyor. Bu haberleşme sisteminde 1 bitin hatalı iletilme olasılığı 10-9’dur. 1 sn’lik bir sürede 5 ya da daha fazla sayıda bitin hatalı gelme olasılığı nedir? Ayrık R.D. Dağılımları 18 Örnek: Bir telefon santralinde her bir dakikada ortalama 4 telefon bağlandığını kabul edelim. İki dakikalık bir zaman aralığında tam 6 telefon bağlanması olasılığını bulunuz. 3 dakika içinde en az 3 telefon bağlanma olasılığını bulunuz. 24.10.2016 Ayrık R.D. Dağılımları 19 Örnek: Acil servise saat 14.00-15.00 arasında her 15 dakikada ortalama 3 ambulans gelmektedir. Saat 14.00-15.00 arasında herhangi bir 15 dakika içinde acil servise, a) Hiç araç gelmemesi ,b) En az 1 araç gelmesi ,c) 4 araç gelmesi ,d) 5 araç gelmesi e) En çok 2 araç gelmesi olasılıklarını bulunuz. 24.10.2016 Ayrık R.D. Dağılımları 20 NOT: Deney sayısı n büyük iken p de çok küçük ise binom dağılımı Poisson dağılıma yakınsar. 24.10.2016 Ayrık R.D. Dağılımları 21 5) HIPERGEOMETRIK RD VE HIPERGEOMETRIK DAĞıLıMı 𝑝 𝑥 = Ayrık R.D. Dağılımları 𝑁 𝑀 ( ) 𝑥 𝑛−𝑥 𝑀+𝑁 ( ) 𝑛 24.10.2016 İçinde iki çeşit nesne bulunan sonlu sayıda nesneden oluşan bir topluluk düşünelim. Tekrar yerine koymaksızın ardışık şekilde sabit büyüklükte n tane çekim yaptığımızda X bu n tane nesne içinde ilgilenilen sonucu göstersin. X’e hipergeometrik RD denir, olasılığına da hipergeometrik dağılım denir. M+N topluluktaki nesne sayısı N ilgilenilen birim sayısı n=çekilen birim sayısı , 𝑥 = 0,1,2, … . , 𝑛 22 5) HIPERGEOMETRIK RD VE HIPERGEOMETRIK DAĞıLıMı Ayrık R.D. Dağılımları Örnek Durumlar Bir kavanozda 4 beyaz ve 6 siyah top vardır. Tekrar yerine koymaksızın 3 top çekiliyor. Bu durumda X rassal değişkeni “çekilen siyah topların sayısı” hipergeometrik rassal değişkendir. Bir kutuda 4 kusurlu, 8 kusursuz parça vardır. Çekileni yerine koymadan 3 parça çekiliyor. X rassal değişkeni “çekilen kusurlu parçaların sayısı” hipergeometrik rassal değişkendir. Bir eczanede 50 kutu Aspirin, 100 kutuda Vermidon hap vardır. Karışık kolilenmiş olan kutulardan kolinin üstünden yerine koymaksızın 10 kutu hap seçiyoruz. X rasgele değişkeni seçilen aspirin sayısıdır. Bir yarışma programı için 3 milyon tane telefon numarası belirleniyor. Bunlardan 2 milyonu ev, 1 milyonu işyeri telefonudur. 50 tane numara seçiliyor. Aranan numaralar içinde ev telefonu sayısı? 24.10.2016 23 Ayrık R.D. Dağılımları Binom dağılımları ile oldukça benzerlik gösteren hipergeometrik dağılımın farklı yanı deney sonuçlarının bağımsız olmaması ve birbirlerinin olma olasılıklarını etkilemesidir. 24.10.2016 24 Ayrık R.D. Dağılımları Binom dağılım çoğunlukla yerine koymak suretiyle yapılan örneklemelere tatbik edilmektedir. Örnek, kütleden yerine koymadan çekildiği takdirde artık bağımsız olay söz konusu olmadığından binom dağılım uygulanamaz. Bu gibi durumlarda yani deneylerin bağımsız olmadığı durumlarda Hipergeometrik dağılım uygulanır. 24.10.2016 25 Örnek :İçinde 10 tane sağlam, 4 arızalı ürün bulunan bir topluluktan 5 ürün seçiliyor. Bunların üçünün en fazla ikisinin en az üçünün sağlam çıkma olasılığı nedir? 24.10.2016 Ayrık R.D. Dağılımları 26 24.10.2016 Örnek: Yeni açılan bir bankanın ilk 100 müşterisi içinde 60 tanesi mevduat hesabına sahiptir. İadesiz olarak rasgele seçilen 8 müşteriden 5 tanesinin mevduat hesabına sahip olmasının olasılığı nedir? Ayrık R.D. Dağılımları 27 6) DÜZGÜN (UNIFORM) RD VE DAĞıLıMı 𝑃 𝑋=𝑥 = 𝐸𝑋 = 1 𝑁 Ayrık R.D. Dağılımları 24.10.2016 X rastlantı değişkeni tümü eşit olasılıklı N sonuca sahip ise X’e ayrık düzgün raslantı değişkeni denir. X RD’inin alabileceği değerler x1, x2, ..xn olsun. X’in olasılık fonksiyonu; 𝑁+1 2 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑁2 −1 12 28
