Düzgün Yaklaşım - Çukurova Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

DÜZGÜN YAKLAŞIM *
Uniform Approximation 1
Itır KÜÇÜK
Ç.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Yusuf KARAKUŞ
Ç.Ü. Fen-Edebiyat Fakültesi
Matematik Bölümü
ÖZET
Bu çalışmada Yaklaşım Teorisi içinde önemli yeri olan ‘Düzgün Yaklaşım’ veya diğer bir
deyişle ‘Chebyshev Yaklaşımı’ incelenmiştir. Ayrıca, Düzgün Yaklaşımın karakterizasyonu yanında
Weierstrass Teoremi ile Düzgün Yaklaşım arasındaki ilişki de incelenmiştir.
ABSTRACT
In this thesis, Uniform Approximation, which has got an important part in approximation theory.
In other words, ‘Chebsyev Approximation’ is studied in details. In addition, beside Uniform
Approximation characteristics, Weierstrass Theorem, and also the relations between Uniform
Approximation is studied.
Giriş
Düzgün Yaklaşım ile ilgili temel tanım ve teoremleri verelim.
Tanım 1.
V lineer bir uzay olsun.Aşağıdaki koşulların sağlanması durumunda . ’a V ’den
negatif olmayan gerçel sayılara bir Norm fonksiyonu denir ve
. : V → R + ∪ {0}
V ’deki uzaklık hakkında bilgi verir. Eğer w , v ∈ V ise o zaman w ’dan v
’ye olan uzaklığı ( veya v ’den w ’ya olan uzaklığı ) v − w ile gösteririz.
şeklinde ifade edilir. Norm,
≥ 0 dır.
1)
v
2)
λv
3)
v+w
=
λ
≤
v
.
v
=0⇔
v
+
v =θ ∈ V
;λ∈R.
w
; (üçgen eşitsizliği).
W ⊆ V olsun. Verilen v ∈ V için uzaklığı v ’ye en az olan bir w ∈ W ,yani; bir w *
v−w
bulmalıyız öyle ki w = w * için
en küçük olsun. Böyle w * ’a W alt kümesinden v ’ye
Tanım 2.
bir en iyi yaklaşık denir.
Biz buradaki teoremleri ispatsız olarak vereceğiz. İlgi duyanlar; bunların ispatını kaynakçada
verilen kaynaklardan bulabilirler.
Teorem 1. V bir normlu lineer uzay ve W , V ’nin sonlu boyutlu bir alt uzayı olsun. O
zaman
v ∈ V verildiğinde ; ∀ w ∈ W için
v − w*
olacak biçimde ∃
diyebiliriz.
1
≤
v−w
w * ∈ W vardır. Kısaca ; bu koşullar altında v ’ye ∃ w * en iyi yaklaşığı vardır
Yüksek Lisans Tezi-MSc.Thesis
Tanım 3. [a,b] üzerinde sürekli fonksiyonlar kümesini C[a,b] ile gösterirsek, C[a,b] bir lineer
uzaydır ve f∈ C[a,b] için
f
C [ a ,b ]
= max f ( x)
a ≤ x ≤b
eşitliği ile tanımlanan norm C[a,b] ’de düzgün norm veya Chebyshev normu olarak adlandırılır.
Polinomlarla Düzgün Yaklaşım
Tanım 4. Eğer Pn ile en fazla n. dereceden polinomların uzayını gösterirsek,
f ∈ C [ a,b
] verilsin. O zaman bir
p n* ∈ Pn polinomu vardır. Öyle ki ∀p ∈ Pn için;
f − p n* ≤ f − p
dir.
Burada;
. , [a,b] aralığı üzerinde düzgün normdur. Yani; g ∈ C[a,b] için;
g = max g ( x)
a≤ x≤b
dir.
E n ( f ; [a,b]) = E n ( f ) =
f − p n*
olsun. Burada; E n ( f ) ’e polinomlarla en iyi yaklaşım derecesi denir.
Bir sonlu aralık üzerindeki sürekli fonksiyonlara polinomlarla önceden belirlenmiş herhangi bir
hatayla düzgün olarak yaklaşılabilir. Bu sonuç aşağıda ispatsız olarak vereceğimiz ünlü ‘Weierstrass
Yaklaşım Teoremi ’dir.
Teorem 2. [a,b] aralığı üzerinde sürekli f x fonksiyonu ve ε>0 verilsin. ∀ x ∈ a, b için
( )
[ ]
f ( x) − p ( x) < ε
p(x ) polinomu vardır.
Tanım 5. f ( x ) [a,b] ’de tanımlı olsun. δ >0 için,
olacak şekilde bir
ω (δ ) = sup
x1 , x2 ∈[ a ,b ]
x1 − x2 ≤δ
f ( x1 ) − f ( x 2 )
ω (δ ) ’ya f ( x ) ’in [a,b] üzerinde süreklilik modülü denir. Süreklilik modülü; δ
fonksiyonuna ve [a,b] aralığına bağlıdır. ω ( f ; [ a, b]; δ ) ’yı çoğu zaman kısaca ω (δ ) ile
kuralı ile tanımlanan
’ya, f
gösteririz. Süreklilik modülü için bilmemiz gereken bazı özellikleri aşağıda göreceğiz.
Teorem 3.
0 < δ 1 < δ 2 ise, ω (δ 1 )≤ ω (δ 2 ) dır.
İspat :
ω (δ 1 ) = sup
x1 , x2 ∈[ a ,b ]
x1 − x2 ≤δ 1
f ( x1 ) − f ( x 2 ) ≤ sup
x1 , x2 ∈[ a ,b ]
x1 − x2 ≤δ 2
f ( x1 ) − f ( x 2 ) = ω (δ 2 )
olup,
ω (δ 1 )≤ ω (δ 2 )
dır.
f ( x ) ’in [a,b] ’de düzgün sürekli olması için gerek ve yeter koşul lim ω (δ ) =0
Teorem 4.
δ →0
olmasıdır.
Teorem 5. λ>0 ise,
ω (λδ)≤(1+λ). ω (δ) dır.
h(t ) fonksiyonu için m=1,2,... olmak üzere m.
Tanım 6. [0,1] ’de verilen herhangi sınırlı
dereceden Bernstein polinomu;
Bm (h; t ) =
⎛ k ⎞ ⎛ m⎞
m
∑ h⎜⎝ m ⎟⎠ ⎜⎜ k ⎟⎟ t
⎝ ⎠
k =0
k
(1 − t ) m − k
olarak tanımlanır. Bm (h; t ) ∈ Pm ’ dır. Bernstein polinomları aşağıdaki özellikleri sağlar;
1.
Bm (α h; t ) = α. Bm (h; t )
2.
Bm (h1 + h2 ; t ) = Bm (h1 ; t ) + Bm (h2 ; t )
3. ∀ t ∈ [0,1] için
h1 (t ) ≤ h2 (t ) ise ,o zaman ∀ t ∈[0,1] için; Bm (h1 ; t ) ≤ Bm (h2 ; t )
h(t ) , 0 ≤ t ≤ 1 için sınırlı ise, o zaman ,
Teorem 6.
h − Bn (h)
≤
3 ⎛ 1⎞
w⎜ ⎟
2 ⎝ n⎠
dır.
İspat : Bernstein polinomundan,
⎛ n⎞
⎝ n ⎠ ⎦⎝ k ⎠
h(t) − Bn(h;t) = ∑ ⎡⎢h(t ) − h⎛⎜ k ⎞⎟⎤⎥⎜⎜ ⎟⎟t k (1 − t ) n − k
n
k =0
⎣
⎛ k ⎞ ⎛ n⎞
n
≤
∑ h(t) − h⎜⎝ n ⎟⎠ .⎜⎜ k ⎟⎟t
⎝ ⎠
k =0
≤
n
⎛
k =0
⎝
∑w⎜⎜
t−
k
n
k
(1 − t ) n−k
⎞ ⎛ n⎞ k
⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟t (1− t) n−k
⎠ ⎝k ⎠
dır. Şimdi Teorem 5 ’i uygulayalım:
ω
⎛
k
⎜⎜ t −
n
⎝
⎞=
⎟⎟
⎠
ω ⎛⎜⎜ n1/ 2 t − k n−1/ 2 ⎞⎟⎟ ≤ ⎛⎜⎜1 + n1 / 2 t − k ⎞⎟⎟ ω
⎝
n
⎠ ⎝
olur. Böylece,
h(t) −Bn (h;t) ≤ ∑ ⎛⎜⎜1 + n1 / 2 t − k
n
n
k =0
⎝
⎞
⎟⎟
⎠
ω
(n-1/2) ⎛⎜ n ⎞⎟ tk(1-t)n-k
⎜k ⎟
⎝ ⎠
n⎠
(n-1/2)
⎡
= ω (n-1/2) ⎢1 + n1 / 2
⎣
⎤
(1 − t ) n− k ⎥
⎝ ⎠
⎦
k ⎛ n⎞
n
∑ t − n ⎜⎜ k ⎟⎟t
k =0
(1.1)
k
olur. Schwarz eşitsizliğinden;
n
k ⎛ n⎞
∑ t − n ⎜⎜ k ⎟⎟t
k =0
⎝ ⎠
k
⎞
n ⎛
⎞ ⎛ ⎛n⎞
(1 − t ) n−k = ∑ ⎜ t − k ⎛⎜ n ⎞⎟t k (1 − t ) n −k ⎟ ⎜ ⎜⎜ ⎟⎟t k (1 − t ) n −k ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟⎜ k
n k
k =0
⎠⎝ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝
⎡ n ⎛ k ⎞2 ⎛ n⎞
⎤
≤ ⎢∑⎜ t − ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟t k (1 − t ) n−k ⎥
⎢⎣k =0 ⎝ n ⎠ ⎝ k ⎠
⎥⎦
1/ 2
⎠
⎡n n
⎤
. ⎢∑ ⎛⎜ ⎞⎟t k (1 − t ) n − k ⎥
⎜ ⎟
⎡ n ⎛ k ⎞2 ⎛ n⎞ k
⎤
n −k
= ⎢∑ ⎜ t − ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟t (1 − t ) ⎥
⎣⎢k =0 ⎝ n ⎠ ⎝ k ⎠
⎦⎥
⎣ k =0 ⎝ k ⎠
1/ 2
⎦
1/ 2
olur. Teorem 2 ’nin ispatında görüleceği gibi,
⎛ k⎞
⎜t − ⎟
∑
n⎠
k =0 ⎝
n
2
1
⎛ n⎞ k
t (1 − t )
≤
⎜⎜ ⎟⎟t (1 − t ) n−k =
4n
n
⎝k ⎠
dır. Dolayısıyla; (1.1) ’den
1 ⎤
⎡
h(t) − Bn (h; t) ≤ ω(n−1/ 2 )⎢1 + n1/ 2 1/ 2 ⎥
2n ⎦
⎣
=
3 ⎛ 1 ⎞
ω⎜
⎟
2 ⎝ n ⎠
elde edilir. Böylece teorem ispatı tamamlanmış olur.
Kaynaklar
BRAESS,D.,(1973)’Global Analysis and Chebyshev Approximation by
Exponentials’,
(EditedbyG.G.Lorentz), Academic Pres,Inc., NewYork, 277-282
CHENEY,E.,W.,(1966) ‘ Introduction to Approximation Theory’,McGraw-Hill Book Company NewYork
DAVIS,P.J.,(1975)‘Interpolation and Approximation’,Dover Publication,Inc.,New York
GOLDBERG,R.R.,(1964) ‘Methods of Real Analysis’,Ginn and Company Printed in the U.S.A.
HAASER,N.B.;SULLIVAN,J.A.,(1971) ‘Real Analysis’ Van Nostrand Reinhold Company, New York
HALLSTROM,A.P.,(1973) ‘ Some Spaces Where Best Uniform Approximation Always Fails’ Edited
by G.G.Lorentz,Academic pres,Inc.,New York
RIVLIN,T.J.,(1969) ‘An Introduction to theApproximation of Functions’,Blaisdell Publishing
Company,printen in U.S.A.
RIVLIN,T.J.,(1974)‘The Chebyshev Polinomials’, John Wiley and Sons., Inc., Printed in the U.S.A.
TONIMOTO,S.,(1985)‘Uniform Approximation and a Generalized Minimax Theorem’ Journal of
Approximation Theory 45,1-10
UBHAYA,V.A.,(1990), ‘Best Piecewise monotone Uniform Approximation’,Journal of Approximation
Theory 63.375-383