Document

q-BASKAKOV-KANTOROVICH OPERATÖRLERİNİN
İSTATİSTİKSEL YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ
Bağdagül KARTAL
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
HAZİRAN 2014
Bağdagül
KARTAL
tarafından
hazırlanan
“q-BASKAKOV-KANTOROVICH
OPERATÖRLERİNİN İSTATİSTİKSEL YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ” adlı tez çalışması
aşağıdaki jüri tarafından OY
BİRLİĞİ ile Gazi Üniversitesi Matematik Anabilim Dalında
YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir.
Danışman: Doç. Dr. Hatice Gül İnce İLARSLAN
Matematik, Gazi Üniversitesi
Bu tezin kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu Onaylıyorum
…...…………….
Başkan: Prof. Dr. Ahmet Ali ÖÇAL
Matematik, Gazi Üniversitesi
Bu tezin kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu Onaylıyorum
…………………
Üye: Prof. Dr. Gülen BAŞCANBAZ TUNCA
Matematik, Ankara Üniversitesi
Bu tezin kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu Onaylıyorum
………………….
Tez Savunma Tarihi: 16/6/2014
Jüri tarafından kabul edilen bu tezin Yüksek Lisans Tezi olması için gerekli şartları yerine
getirdiğini onaylıyorum.
……………………………
Prof. Dr. Şeref SAĞIROĞLU
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü
ETİK BEYAN
Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Tez Yazım Kurallarına uygun olarak
hazırladığım bu tez çalışmasında;

Tez içinde sunduğum verileri, bilgileri ve dokümanları akademik ve etik kurallar
çerçevesinde elde ettiğimi,

Tüm bilgi, belge, değerlendirme ve sonuçları bilimsel etik ve ahlak kurallarına uygun
olarak sunduğumu,

Tez çalışmasında yararlandığım eserlerin tümüne uygun atıfta bulunarak kaynak
gösterdiğimi,

Kullanılan verilerde herhangi bir değişiklik yapmadığımı,

Bu tezde sunduğum çalışmanın özgün olduğunu,
bildirir, aksi bir durumda aleyhime doğabilecek tüm hak kayıplarını kabullendiğimi beyan
ederim.
………………………
Bağdagül KARTAL
16/6/2014
iv
q-BASKAKOV-KANTOROVICH OPERATÖRLERİNİN İSTATİSTİKSEL
YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ
(Yüksek Lisans Tezi)
Bağdagül KARTAL
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
Haziran 2014
ÖZET
Bohman-Korovkin teoremi yaklaşımlar teorisinde önemli bir yere sahiptir. Bu teorem
kullanılarak birçok lineer pozitif operatörün yaklaşım özellikleri incelenmiştir. Diğer
yandan istatistiksel yakınsaklık kavramı kullanılarak Bohman-Korovkin tipli teoremler
elde edilmiştir. Bu teoremler yardımıyla da lineer pozitif operatörlerin farklı yaklaşım
özellikleri çalışılmıştır. Bu tezde, ilk olarak q-analiz konusunun temel özelliklerine yer
verilmiştir. Daha sonra Gupta ve Radu tarafından tanımlanan q-Baskakov-Kantorovich
operatörleri verilmiştir. q-Baskakov-Kantorovich operatörlerinin önce Bohman-Korovkin
tipli teorem yardımıyla kompakt bir küme üzerinde yakınsaklığı daha sonra da ağırlıklı
uzaylarda istatistiksel yakınsaklığı incelenmiştir. Operatörlerin Bohman-Korovkin teoremi
yardımıyla düzgün yakınsaklığının gösterilebilmesi için gerekli şartlar belirtilmiştir. Ayrıca
ağırlıklı süreklilik modülü yardımıyla bu operatörler için yakınsama hızı elde edilmiştir.
Bunun yanında Mahmudov tarafından tanımlanan q-Baskakov-Kantorovich operatörlerinin
yeni bir genellemesi için de benzer sonuçlar elde edilerek pozitif olan bu operatörlerin
daha avantajlı olduğu görülmüştür. Son olarak operatörler için bazı özel durumlar
verilmiştir.
Bilim Kodu
Anahtar Kelimeler
Sayfa Adedi
Danışman
: 204.1.095
: q-tamsayıları, q-Baskakov operatörleri, q-Baskakov-Kantorovich
operatörleri, ağırlıklı uzay, ağırlıklı uzayın süreklilik modülü
: 73
: Doç. Dr. Hatice Gül İNCE İLARSLAN
v
STATISTICAL APPROXIMATION PROPERTIES OF q-BASKAKOVKANTOROVICH OPERATORS
(M.Sc. Thesis)
Bağdagül KARTAL
GAZİ UNIVERSITY
GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE
June 2014
ABSTRACT
Bohman-Korovkin theorem has an important role in the approximation theory. The
approximation properties of many linear positive operators have been investigated by using
this theorem. On the other hand, Bohman-Korovkin type theorems have been obtained by
statistical convergence. With these theorems, different approximation properties of linear
positive operators have been studied. In this thesis, firstly, basic properties of q-calculus
have been given. Later, q-Baskakov-Kantorovich operators which introduced by Gupta and
Radu have been given. At first the convergence of q-Baskakov-Kantorovich operators on a
compact set has been examined by using Bohman-Korovkin type theorem. Secondly,
statistical convergence of these operators has been studied on the weighted space.
Necessary conditions have been mentioned for uniform convergence of operators by
Bohman-Korovkin theorem. Also the rates of statistical approximation for these operators
have been obtained via modulus of smoothness. Besides, the same results have been given
for the different generalizations of q-Baskakov-Kantorovich operators which introduced by
Mahmudov and it was seen that these operators have more advantage. Finally, some special
cases have been given for operators.
Science Code
Key Words
Page Number
Supervisor
: 204.1.095
: q-integers, q-Baskakov operators, q-Baskakov-Kantorovich operators,
weighted space, weighted modulus of smoothness
: 73
: Assoc. Prof. Dr. Hatice Gül İNCE İLARSLAN
vi
TEŞEKKÜR
Bu tez konusunu bana vererek çalışmalarımın her aşamasında yakın ilgisini esirgemeyen,
değerli yardımları ile beni yönlendiren hocam, Sayın Doç. Dr. Hatice Gül İNCE
İLARSLAN’a en içten saygı ve teşekkürlerimi sunarım.
Çalışmalarım boyunca beni destekleyen aileme ve arkadaşlarıma teşekkür ederim.
Bu tez çalışması TÜBİTAK tarafından desteklenmiştir. TÜBİTAK’a en içten
teşekkürlerimi sunarım.
vii
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET………………………………………………………………………………….
iv
ABSTRACT …………………………………………………………………………..
v
TEŞEKKÜR …………………………………………………………………………..
vi
İÇİNDEKİLER ……………………………………………………………………….
vii
SİMGELER VE KISALTMALAR …………………………………………………..
ix
1. GİRİŞ ……………………………………………………………………………..
1
2. TEMEL KAVRAMLAR ……………………………………………………...
3
2.1. q-Tamsayıları ………………………………………………………………….
3
2.2. q-Türev ………………………………………………………………………..
4
2.3. q- İntegral ……………………………………………………………………...
8
2.4. Lineer Pozitif Operatörler ……………………………………………………..
9
2.5. İstatistiksel Yakınsaklık ……………………………………………………….
12
2.6. A-İstatistiksel Yakınsaklık …………………………………………………….
14
2.7. Ağırlıklı Uzay …………………………………………………………………
18
2.8. Ağırlıklı Süreklilik Modülü ……………………………………………………
19
3. q-BASKAKOV-KANTOROVICH OPERATÖRLERİNİN
İSTATİSTİKSEL YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ ……………………….
21
3.1. q-Baskakov Operatörleri ………………………………………………………
21
3.2. q-Baskakov-Kantorovich Operatörleri ………………………………………..
25
3.3. q-Baskakov-Kantorovich Operatörlerinin Ağırlıklı İstatistiksel
YaklaşımÖzellikleri……………………………………………………………... 29
3.4. q-Baskakov-Kantorovich Operatörlerinin Yakınsama Hızı ……………………. 37
4. q-BASKAKOV-KANTOROVICH OPERATÖRLERİNİN YENİ BİR
GENELLEMESİNİN İSTATİSTİKSEL YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ 47
4.1. Operatörlerin İnşası ……………………………………………………………
47
4.2. q-Baskakov Operatörlerinin Yeni Bir Genellemesi ……………………………
47
viii
4.3. q-Baskakov-Kantorovich Operatörlerinin Yeni Bir Genellemesi ……………… 51
4.4. q-Baskakov-Kantorovich Operatörlerinin Yeni Bir Genellemesinin Ağırlıklı
İstatistiksel Yaklaşım Özellikleri ……………………………………………… 56
4.5. q-Baskakov-Kantorovich Operatörlerinin Yeni Bir Genellemesinin Yakınsama
Hızı……………………………………………………………………………… 57
5. BAZI ÖZEL DURUMLAR ……………………………………………………
63
5.1. q-Szász-Mirakjan ve q-Szász-Mirakjan-Kantorovich Operatörleri …………….. 63
5.2. q-Baskakov ve q-Baskakov-Kantorovich Operatörleri ………………………… 64
5.3. q-Szász-Mirakjan-Schurer ve q-Szász-Mirakjan-Schurer-Kantorovich
Operatörleri ……………………………………………………………………… 64
6. SONUÇ VE ÖNERİLER ……………………………………………………….
67
KAYNAKLAR ………………………………………………………………………..
69
ÖZGEÇMİŞ ……………………………………………………………………………
73
ix
SİMGELER VE KISALTMALAR
Bu çalışmada kullanılmış simgeler, açıklamaları ile birlikte aşağıda sunulmuştur.
Simgeler
Açıklama

Doğal sayılar kümesi
0
0  

Reel sayılar kümesi

Negatif olmayan reel sayılar kümesi
Ln
n   olmak üzere operatör dizisi
C a, b
 a, b da tanımlı reel değerli sürekli fonksiyonlar uzayı
C1
Cesâro matrisi
 (K )
K kümesinin yoğunluğu
 A(K )
K kümesinin A-yoğunluğu
 ( x)
Ağırlık fonksiyonu
 ( x )
 ( x)  1  x 2 şeklinde tanımlı ağırlık fonksiyonu
m ( x )
m ( x)  1  x m
B (  )
x   için f ( x)  M f  ( x) olan fonksiyonlar uzayı
C ( )
şeklinde tanımlı ağırlık fonksiyonu
B ( ) uzayındaki sürekli fonksiyonların uzayı
x
Simgeler
.

  ( f ,  )
Açıklama
C () ve B ( ) uzaylarında
.

 sup
x
.
ile tanımlı norm
 ( x)
f nin B (   ) uzayında tanımlı süreklilik modülü
1
1. GİRİŞ
We erstrass kapalı b r [a,b] aralığında sürekl olan fonks yonlara düzgün yakınsayan
pol nomların varlığını gösterm şt r[1]. Bu varlık teorem nden sonra Bernste n bu
pol nomların göster m n
de vererek We erstrass teorem n
[0,1] aralığında tekrar
spatlamıştır[2].
Bohman[3] ve Korovk n[4], Bernste n operatörler nden yola çıkarak, l neer poz t f
operatörler n sürekl fonks yonlara düzgün yakınsaması le lg l çok öneml b r teorem
verm şlerd r. Bu teorem sayes nde b rçok yen l neer poz t f operatörün yaklaşım özell kler
ncelenm şt r.
Bernste n operatörler tanımlandıktan sonra bu operatörün çeş tl genellemeler ele
alınmıştır. Bu genellemelerden b r kısmı q-anal z teor s ne dayanır. Bernste n
operatörler n n q-genellemes lk defa Lupaş tarafından ele alınmıştır[5].
Son 20 yıldır q-Bernste n operatörler ne olan lg devam etmekted r. Bunun yanısıra qBernste n operatörler n n tanımlanması, d ğer operatörler n de q-genellemeler n n
oluşturulmasında öncü olmuştur.
1997 yılında G.Phillips, q-Bernstein polinomlarının bir genellemesini tanımlamıştır[6].
Son on yılda, q-pozitif lineer operatörlerin bazı yeni genellemeleri birçok yazar tarafından
tanımlanarak incelenmiştir. q-Meyer-König ve Zeller operatörleri Trif, Doğru ve Duman,
Doğru Duman ve Orhan, Doğru ve Gupta tarafından çalışılmıştır[7-10]. Doğru ve Gupta
ayrıca q-Bleimann Butzer ve Hahn operatörlerinin monotonluğunu ve asimptotik
değerlerini
incelemişlerdir[11].
Son
zamanlarda
q-Durrmeyer
ve
Kantorovich
operatörlerinin genellemeleri Derriennic, Gupta, Radu tarafından incelenmiştir[12-14].
Diğer yandan pozitif lineer operatörlerin istatistiksel yakınsaklığı ilk defa Gadjiev ve
Orhan tarafından verilmiştir[15]. Daha sonra bir çok yazar tarafından pozitif lineer
operatörlerin istatistiksel yakınsaklığı çalışılmıştır[16-18].
Bu yüksek lisans tezinde Gupta ve Radu tarafından çalışılan q-Baskakov ve q-BaskakovKantorovich operatörleri ile bu operatörlerin Mahmudov tarafından verilen farklı bir
genellemesinin ağırlıklı istatistiksel yaklaşım özellikleri incelenmiştir. Daha sonra bu
operatörlerin ağırlıklı süreklilik modülü yardımıyla istatistiksel yakınsama hızı verilmiştir.
2
Ayrıca bu operatörlerin istatistiksel yakınsaklığı incelenirken kullanılan Duman ve Orhan
tarafından
çalışılmıştır.
ispatlanan
Bohman-Korovkin
tipli
A-istatistiksel
yakınsaklık
teoremi
3
2. TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölümde öncelikle q-analizde kullanılan bazı temel kavramlar ve notasyonlardan
bahsedilecektir. Detaylar [19] ve [20] de bulunabilir.
Ayrıca daha sonraki bölümlerde kullanılacak bazı tanımlar verilerek, bazı teoremler ifade
ve ispat edilecektir.
2.1. q-Tamsayıları
Herhangi bir q  0 reel sayısı için n, negatif olmayan bir tamsayı olmak üzere q-tamsayıları
 n q ile ifade edilecektir. Burada
1  q  q 2  ....  q n 1 , eğer q  1 ise
 nq : 
eğer q  1 ise
 n,
şeklinde tanımlıdır.
Genel olarak, t   için t q 
1  qt
, q  1 şeklinde ifade edilir.
1 q
q -faktöriyel
1  2 ... nq
 nq !:  q q
1
, eğer n  1, 2,... ise
, eğer n  0 ise
q -binom katsayısı
 n q !
n
:

, 0k n
k 
  q  k q ! n  k q !
şeklinde tanımlıdır.
4
Notasyonlar;
n 1
n
 a  b q    a  q sb , n  , a,
b
(2.1)
s 0


1  a q   1  q s a , a  
(2.2)
s0

1  a q
t
1  a q 
1  q a 
t

, a, t  
(2.3)
q
Eş. 2.2 ile ifade edilen sonsuz çarpım q   0,1 için yakınsaktır.
Üstel fonksiyonun iki önemli q-analoğu ise

Eq ( x )   q
k ( k 1)
2
k 0

xk
xk
, eq ( x )  
 k q !
k 0  k q !
şeklinde tanımlıdır. q-üstel fonksiyonlar aşağıdaki özellikleri sağlarlar.
Dq Eq ( ax )  aEq ( aqx ) , Dq eq ( ax)  aeq ( ax) , Eq ( x )eq (  x )  Eq (  x) eq ( x )  1
2.2. q- Türev
Bir f :    fonksiyonunun q-türevi
( Dq f )( x) :
f (qx)  f ( x)
, x  0 , ( Dq f )(0) : lim( Dq f )( x)
x 0
(q  1) x
ve yüksek q -türevleri
Dq0 f : f , Dqn f : Dq  Dqn1 f  , n  1, 2,...
şeklinde tanımlıdır.
f :    diferensiyellenebilir bir fonksiyon olmak üzere
lim Dq f ( x)  lim
q 1
h 0
f ( x  h)  f ( x ) df ( x)

.
h
dx
(2.4)
5
dir.
Çarpım kuralının q -analoğu ise
Dq  f ( x) g ( x)   Dq  f ( x)  g( x)  f ( qx) Dq (g( x ))
ile tanımlıdır[19].
2.2.1. Lemma
t , s, a   olmak üzere
t
t 1
Dq 1  ax q  t q a 1  aqx  q
s
(1  x)sqt  1  x  q 1  q s x 
t
1  x q

(2.5)
t
(2.6)
q
1
1  q t x 
(2.7)
t
q
İspat
t
f ( x )  1  ax  q olmak üzere q -türev tanımında
Dq f ( x ) 
d q f ( x)
dq x
t
t
1  aqx q  1  ax q

 q  1 x
olur.
Eş. 2.1 den
t
1  aqx q  1  aqx 1  qaqx  ... 1  q t 1aqx   1  aqx  1  aq 2 x  ... 1  aq t x 
ve
t
1  ax q  1  ax 1  qax  ... 1  q t 1ax 
olduğundan,
6
Dq
 (1  aqx)...(1  q
f ( x) 
t 1
ax)  (1  aq t x)  (1  ax ) 
(q  1) x
 (1  aqx)...(1  q

t 1
ax) 1  aq t x  1  ax 
(q  1) x

ax ( q t  1)
(1  aqx )tq1
( q  1) x
 t q a(1  aqx)tq1
olur. Buradan Eş. 2.5 elde edilir. Benzer şekilde Eş. 2.1 kullanılarak aşağıda Eş. 2.6
bulunur.
s t
1  x q
 (1  x )(1  qx )(1  q 2 x )...(1  q s 1 x )(1  q s x )(1  q s 1 x )...(1  q s  t 1 x )
 (1  x ) sq  (1  q s x )(1  q ( q s x ))...(1  q t 1 ( q s x )) 
 (1  x) sq (1  q s x) tq
Eş. 2.6 da s yerine - t yazılırsa
0
1  x q  (1  x) q t (1  q t x)tq
olur. Diğer yandan Eş. 2.3 den
0
1  x q  1
olduğundan
1  (1  x ) q t (1  q  t x ) tq
bulunur. Buradan
t
1  x q

1
(1  q  t x) tq
7
elde edilir.
2.2.1. Teorem
g ( x) fonksiyonunun x0  a noktasındaki q -taylor açılımı

g ( x)  
( x  a ) kq
k 0
 k q !
Dqk g ( a )
dır. Burada
k 1
k
 k  r ( r 1)
( x  a) kq   ( x  q s a)    q 2 x k r (a )r
r 0  r  q
s 0
dir[19].
İspat
f ( x )  ( x  a ) kq olsun. Eş 2.1 den
( x  a ) kq  ( x  a )( x  qa )...( x  q k 1a )
olup, x  0 için
(  a ) kq  (0  a ) kq  (  a )(  qa )...(  q k 1a )  (  a ) k q
k ( k 1)
2
olur. Böylece
 D f  ( x)   k   k  1 ... k  r  1
r
q
q
olup, (  a ) kq  (  a ) k q
q
k ( k 1)
2
q
( x  a)kq  r
olduğundan
 Dqr f  (0)   k q  k  1q ... k  r  1q q
bulunur.
( k  r )  k  r 1
2
( a )k r
8
f fonksiyonunun x0  0 noktasındaki q -taylor açılımı
xr r
Dq f (0)
r  0  r q !
k
f ( x)  
olup burada Dqr f (0) yerine yazılırsa,
 k q  k  1q ... k  r  1q ( k r )2k r 1 r k r

q
x (  a)
 r q !
r 0
k
f ( x )  ( x  a)
k
q
k 
  q
k 0 r  q
r
( k  r ) k  r 1
2
x r ( a) k  r
elde edilir. Bu eşitlikte r yerine k  r alınırsa,
k
k 
( x  a ) kq     q
r 0  r  q
r  r 1
x k  r (a ) r
2
bulunur.
2.3. q-İntegral
a  0 olmak üzere integralin q-analoğu
a


f (t )d q t  (1  q )a  f (q j a )q j
(2.8)
j0
0
olarak tanımlanır[21].
0  a  b olmak üzere  a, b  aralığında ise
b
b
a
 f (t )d t   f (t )d t   f (t )d t
q
a
q
0
şeklinde tanımlanır.
q
0
(2.9)
9
2.3.1. Teorem
a  0 olmak üzere q-integral için Cauchy-Schwarz eşitsizliği geçerlidir, yani
a

a
f ( t ) g (t ) d q t 
0

a
f 2 (t ) d q t
0
g
2
(t ) d q t
0
dir[19].
2.4. Lineer Pozitif Operatörler
2.4.1. Tanım
X ve Y normlu fonksiyon uzayları olsun. Eğer X uzayından alınan her f fonksiyonuna Y
uzayında bir ve yalnız bir g fonksiyonu karşılık getiren bir L kuralı varsa, bu durumda L
kuralına X den Y ye bir operatör denir.
f  X , g  Y ve x, g nin tanım kümesine ait olmak üzere;
L( f )( x)  L( f ; x)  g ( x)
ya da t , f nin x, g nin tanım kümesine ait olmak üzere;
L( f (t ); x)  g ( x)
şeklinde gösterilir. Burada L( f (t ); x) gösterimi yerine L( f ; x) yazılacaktır.
X uzayına L operatörünün tanım kümesi denir ve X  D( L) ile gösterilir. L operatörünün
değer kümesi ise R(L) ile gösterilir ve
R ( L )   g : L( f ; x)  g ( x ), f  D ( L )  Y
dir.
10
2.4.2. Tanım
X ve Y fonksiyon uzayları olmak üzere L : X  Y şeklindeki L operatörünü göz önüne
alalım. Eğer her f1 , f 2  X ve  ,    için
L  f1   f 2    L  f1    L  f 2 
koşulu sağlanıyor ise L operatörüne lineer operatör denir. L lineer operatörü için
L(0; x)  0 dır.
2.4.3. Tanım
Eğer bir L operatörü pozitif değerli bir fonksiyonu yine pozitif değerli bir fonksiyona
dönüştürüyor ise yani f  0 iken L  f   0 oluyorsa L operatörüne pozitif operatör denir.
2.4.4. Tanım
Hem lineerlik hem de pozitiflik şartlarını sağlayan operatöre lineer pozitif operatör denir.
Ayrıca L pozitif lineer operatörü için f ( x)  g ( x) olduğunda L( f ; x)  L( g ; x) sağlanır.
Yani pozitif lineer operatörler monotondur.
2.4.1. Lemma
L : X  Y lineer pozitif operatör olsun. Bu durumda
L ( f ; x)  L  f ; x 
eşitsizliği sağlanır.
2.4.5. Tanım
X ve Y normlu fonksiyon uzayları ve L : X  Y bir lineer operatör olsun. Her f  D( L)
için;
L( f ; x)
Y
M f
X
11
eşitsizliğini sağlayan bir M  0 reel sayısı varsa L operatörüne D ( L) de sınırlı operatör
denir.
2.4.6. Tanım
L
X Y
 inf M : L( f ; x) Y  M f
X
 sayısına L operatörünün normu denir.
2.4.1. Teorem
L : X  Y sınırlı lineer operatörü için
L
X Y
 sup
f
0
X
L ( f ; x)
f
Y
X
dir. Buradan
L
X Y
 sup L ( f ; x )
f
X
1
Y
gerçeklenir.
2.4.7. Tanım
 a, b aralığında tanımlı, reel değerli ve aralığın tüm noktalarında sürekli olan
fonksiyonların oluşturduğu uzay C  a , b  ile gösterilir. Bu uzay
f
C  a , b
 max f ( x )
a  xb
şeklinde tanımlanan . C a ,b  normu ile normlu bir uzaydır.
2.4.2. Lemma
L : C  a , b   C  a , b  lineer pozitif operatör olsun. L operatörü f nin  a, b  aralığı
dışındaki değerlerinden bağımsız ise, bu durumda
12
L
C  a , b  C  a , b 
 L(1; x)
C a ,b 
olur.
2.4.2. Teorem (Bohman-Korovkin)
( Ln ) lineer pozitif operatörler dizisi ve f  C  a , b  olmak üzere,
lim Ln ek  ek  0, k  0,1, 2
n 
olması için gerek ve yeter şart
lim Ln f  f  0
n 
olmasıdır. Burada ek (t )  t k , k  0,1,2 dir[22].
2.5. İstatistiksel Yakınsaklık
2.5.1. Tanım
Herhangi bir X kümesinin eleman sayısı, bu kümenin kardinalitesiyle belirlenir ve X ile
gösterilir.
2.5.2. Tanım
K   olmak üzere
1
k  n : k  K 
n  n
  K   lim
limiti mevcut ise bu limite K kümesinin yoğunluğu denir[23].
2.5.3. Tanım
(ak ) pozitif tamsayıların bir dizisi ve K  ak : k   olmak üzere  ( K ) mevcut ise
13
 ( K )  lim
n 
n
an
olur[23].
Örnek
 ( )  1
 n2 : n    0
 2n : n     2n  1: n   
1
2
olur.
 ( A) veya  (  \ A) yoğunluklarından biri mevcut ise, bu durumda
 ( \ A)  1   ( A)
dir[23].
2.5.4. Tanım
x   xk  reel ya da kompleks terimli bir dizi olsun. Eğer her  0 için,
lim
n 
1
 k  n : xk  L     0
n
olacak şekilde bir L sayısı varsa bu durumda x dizisi L sayısına istatistiksel yakınsaktır
denir ve st  lim x  L ile gösterilir[24-27].
2.5.1. Teorem
x  ( xk ) dizisinin bir L sayısına istatistiksel yakınsak olması için gerek ve yeter koşul
14
 nk : k    1 ve lim xnk  L olacak şekilde en az bir ( xnk ) yakınsak alt dizisinin
k 
bulunmasıdır [28].
Örnek
m   olmak üzere x  ( xk ) dizisinin genel terimi,
1,
xk  
0,
k  m2
k  m2
şeklinde tanımlansın.    0 için
0  k  n : xk     k  n : xk  0  n
olduğundan
0  lim
n 
1
n
k  n : xk     lim
0

n

n
n
bulunur. Böylece st  limx  0 olur.
Örnek
 k ,
xk  
 0,
k  m2
k  m2
ise st  limx  0 olur.
Yakınsak her dizi istatistiksel yakınsaktır; fakat yukarıdaki örneklerden de görüleceği gibi
tersi doğru değildir.
2.6. A-İstatistiksel Yakınsaklık
2.6.1. Tanım
A  (ank ) , n, k  1, 2,... sonsuz bir matris ve x  ( xk ) bir dizi olsun. Eğer her bir n için
15

 Ax n :  ank xk serisi yakınsak ise
Ax :  Ax n  dönüşüm dizisi mevcuttur, denir.
k 1
2.6.2. Tanım
X ve Y iki dizi uzayı olsun. Eğer her x  X için Ax mevcut ve Ax  Y ise A  (ank )
matrisi X uzayından Y uzayına bir matris dönüşümü tanımlar denir ve A  ( X , Y ) ile
gösterilir.
Eğer bir x dizisi için Ax dönüşüm dizisi mevcut ve bir L sayısına yakınsak yani
lim  Ax n  L ise x dizisi L sayısına A-toplanabilirdir denir ve A  lim x  L şeklinde
n 
gösterilir. Toplamı ya da limiti koruyan matrislerin sınıfı  X , Y ; P  ile gösterilir. Eğer özel
olarak X  Y  C , C yakınsak dizilerin uzayı olmak üzere, A   C , C  ise A matrisine
konservatif matris denir.
2.6.3. Tanım
A  (ank ) , n, k  1, 2,... sonsuz bir matris olmak üzere bir ( xk ) dizisi için lim xk  L iken
k 
lim  Ax n  L ise A matrisine regüler matris denir.
n 
Bir A  (ank ) matrisinin regüler olması, Silverman-Toeplitz koşulları olarak bilinen
aşağıdaki teorem ile karakterize edilir.
2.6.1. Teorem
Bir A  (ank ) matrisinin regüler olması için gerek ve yeter koşul

(i) A  sup  ank  
n
k 1
(ii) Her sabit k için lim ank  0
n 
16

(iii) lim  ank  1
n 
k 1
koşullarının gerçeklenmesidir[29-30].
Örnek
n, k  1, 2,... için
1
 ,
cnk   n
0,
1 k  n
k n
olmak üzere Cesâro matrisi olarak bilinen C1  (cnk ) matrisi regülerdir.
2.6.4. Tanım
A  (ank ) negatif olmayan regüler bir matris olsun. Ayrıca K   olmak üzere
kümesinin karakteristik fonksiyonunu göstersin. Eğer
 A ( K ) : lim  AxK n  lim  ank
n 
n 
k K
limiti mevcut ise  A ( K ) sayısına K kümesinin A yoğunluğu denir[31].
 A ( K ) veya  A ( \ K ) yoğunluklarından herhangi biri mevcut ise
 A ( \ K )  1   A ( K )
olur. Ayrıca K sonlu elemanlı ise  A ( K )  0 dır.
Örnek
n   olmak üzere
1,
ank  
 0,
k  n2
k  n2
x
K
, K
17
şeklinde tanımlanan A  (ank ) matrisini göz önüne alalım. Bu durumda
K1  k  n2 : n   için  A ( K1 )  0 dır. Dolayısıyla K 2  k  n2 : n   olmak üzere
 A ( K 2 )  1 olur.
2.6.2. Teorem
K1 ve K 2 iki küme olmak üzere K1  K2 ise  A ( K1 )   A ( K2 ) dir.
2.6.5. Tanım
x  ( xk ) reel terimli bir dizi olsun. Eğer her   0 için
K : K ( )  k : xk  L   
olmak üzere

 A ( K )  lim  ank xK  lim
n 
k 1
n 

ank  0
k : xk  L 
olacak biçimde bir L sayısı varsa x   xk  dizisi L sayısına A-istatistiksel yakınsaktır denir
ve st A  lim x  L ile gösterilir[28], [32], [33].
Açıkça görülüyor ki A-istatistiksel yakınsaklık tanımında A matrisi yerine C1 Cesâro
matrisi alınırsa istatistiksel yakınsaklık, A matrisi yerine I birim matrisi alınırsa klasik
anlamda yakınsaklık elde edilir.
2.6.3. Teorem
st A  lim x  L olması için gerek ve yeter koşul  A nk : k    1 ve lim xnk  L olacak
k 
şekilde en az bir ( xnk ) alt dizisinin bulunmasıdır[32].
18
Örnek
n   olmak üzere
k  n2
1,
ank  
 0,
k  n2
şeklinde tanımlanan A  (ank ) negatif olmayan regüler matrisi verilsin.
x  ( xk ) dizisi
1
 ,
xk   5
1,

k  n2
k  n2
şeklinde tanımlansın.    0 için

1

K  k   : xk    
5


için
 A ( K )  lim  AxK  n  0
n
olduğundan st A  lim x 
1
olur.
5
2.7. Ağırlıklı Uzay
 , reel değerli bir fonksiyon olsun. Eğer  ,  de sürekli, lim  ( x )   ve her x   için
x 
 ( x)  1 özelliklerini sağlıyor ise ağırlık fonksiyonu adını alır. Sonraki bölümlerde aksi
söylenmediği sürece  ( x )   ( x )  1  x 2  ,   0 , x   alınacaktır.
Tüm reel eksende tanımlı ve f ( x )  M f  ( x ) koşulunu sağlayan fonksiyonlar uzayı
B ( ) ile gösterilir. Burada M f , f fonksiyonuna bağlı bir sabittir. B ( ) uzayındaki
sürekli fonksiyonların uzayı da C () ile gösterilir. Yani,
19
B (  )   f :    , x   için f ( x )  M f  ( x )
C  (  )   f  B (  ) : f ,  de sürekli
olup bu uzaylar f

 sup
x
f ( x)
normu ile birer Banach uzayıdır. Burada B ( ) , C ()
 ( x)
uzaylarına ağırlıklı uzaylar denir.
Ayrıca

f ( x)

C * ( )   f  C ( ) : lim
 
x   ( x )


dir.
Eğer  ağırlık fonksiyonu,  ( x)  1  x m , (m  0) şeklinde ise B (   ), C  (   ), C * (   )
uzayları sırasıyla Bm (   ), Cm (   ), Cm* (   ) ile gösterilecektir. Bu uzaylar .
m
: .

normu ile donatılmıştır[18].
2.7.1. Teorem
n   için Ln : C 1  B1 olmak üzere ( Ln ) operatör dizisi için Ln
C1  B1
 Ln 1
1
dir[34].
2.8. Ağırlıklı Süreklilik Modülü
n   olmak üzere B (   ) ağırlıklı uzayında süreklilik modülü
 ( f ;  ) : sup
x 0
0 h 
f ( x  h)  f ( x )
,   0,   0
1  ( x  h ) 2 
şeklinde tanımlanır. Burada her bir f  B (   ) için  ( f ;.) iyi tanımlı ve
 ( f ;  )  2 f

,   0, f  B (  ),   0
(2.10)
20
dır[35].
2.8.1. Lemma
f  B (   ) olsun.  ( f ;.) aşağıdaki özellikleri sağlar [35].
1.  ( f ;  )  (  1)  ( f ;  ),   0,   0
2.  ( f ; n )  n ( f ;  ),   0, n  
3. lim  ( f ;  )  0
 0
(2.11)
21
3. q-BASKAKOV-KANTOROVICH OPERATÖRLERİNİN
İSTATİSTİKSEL YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ
Bu bölümde q-Baskakov ve q-Baskakov-Kantorovich operatörlerinin tanımları verilecektir.
Bu operatörlerin istatistiksel yaklaşım özellikleri incelenecektir.
3.1. q-Baskakov Operatörleri
Baskakov operatörlerinin bir q-analoğu 2009 yılında Aral ve Gupta tarafından çalışılmıştır.
Bu çalışmada q  (0,1), f  C  0,   , x    :  0,   , n   olmak üzere, q -Baskakov
operatörleri

  k q 

Vn,q ( f ; x)   bn, k (q; x) f  k 1
 q  n 
k 0
q 

(3.1)
şeklinde tanımlanmıştır. Burada
 n  k  1 k ( k21)
xk
bn, k (q; x ) : 
q

(1  x)nq k
 k q
dır[36].
3.1.1. Uyarı
n   için Vn , q operatörünün pozitif ve lineer olduğu açıktır. Ayrıca q  1 olduğunda Eş 3.1
de verilen operatörler klasik Baskakov operatörlerine indirgenir[37].
3.1.1. Lemma
Her n   , x   ve q  (0,1) için
Vn, q (e0 ; x)  1
(3.2)
Vn , q (e1 ; x)  x
(3.3)
22
Vn, q (e2 ; x ) 
 n  1q 2 1
x 
x
q  n q
 nq
(3.4)
olur. Burada ei ( x )  xi , i  0,1, 2 dır[17].
İspat
n   için g ( x) : (1  q n x ) q n , x    olsun. Eş. 2.4, Eş. 2.5, Eş. 2.6, Eş. 2.7 kullanılarak
Dqk g ( x )  ( 1) k  n q  n  1q ...  n  k  1q (1  q n  k x ) q n  k , k   0 : 0   elde edilir.
Teorem 2.2.1 den g (t ) : (1  q n t ) q n fonksiyonunun x noktası civarındaki q-taylor açılımı

(1  q nt )q n  
k 0
(t  x )kq
 k q !
(1) k
 n  k  1q !
(1  q n  k x) q n k
 n  1q !
(3.5)
olur. Eş. 3.5 de t  0 alalım.

(1  0)
n
q

(  x) kq
 k q !
k 0
(1)k
 n  k  1q !
(1  q n  k x )q n k
 n  1q !
(3.6)
bulunur.
Eş. 2.7 den
(1  0) q n 
1
n
1q
1
ve Eş. 2.1 den de
k 1
(  x) kq   (0  (  x) q s )  (  x)(  xq)(  xq 2 )...(  xq k 1 )  (  x) k q
s 0
olup bu ifadeler Eş. 3.6 da yerlerine yazıldıklarında
k ( k 1)
2
23
 n  k  1q ! k ( k21) x k
1 
q
(1  x )nq k
k  0  k q ! n  1q !


 n  k  1 k ( k21)
xk
 
q
k  q
(1  x)nq  k
k 0 

  bn , k (q; x )
k 0
bulunur. Böylece

Vn ,q (e0 ; x)   bn , k (q; x)  1
k 0
elde edilir. Benzer şekilde Eş. 3.1 ve Eş. 3.2 den

Vn,q (e1; x)   bn, k (q; x)
k 0
 k q
 nq q k 1
 k q
 n  k  1 k ( k21)
xk
 
q

k q
(1  x) nq k  nq q k 1
k 1 

 k q
 n  k  1 ( k 1)(2k  2)
xk

q

k q
(1  x )nq k  n q
k 1 

 k  1q
 n  k  k ( k21)
xk
 x 
q

(1  x )nq 1 k  n q
k 0  k  1  q

 n  k q ! k ( k21) x k  k  1q
 x
q
(1  x) nq1 k  n q
k  0  k  1q ! n  1q !

 n  k q ! k ( k21) xk
 x
q
(1  x)nq 1 k
k  0  k q ! nq !


 n  k  k ( k21)
xk
 x 
q

(1  x)nq1k
k 0  k  q
24

 x  bn 1,k (q; x )
k 0
 xVn 1, q (e0 ; x)
x
bulunur.
Eş. 3.1 den
  k q
Vn , q (e2 ; x )   bn ,k ( q; x )  k 1
 q  n
k 0
q






2
 n  k  1 k ( k21)
xk
 
q
k  q
(1  x)nq  k
k 0 

  k q
 k 1
 q n
q





2
olur. Burada  k q   k  1q  q k 1 eşitliği kullanılırsa
 k q  k  1q
 n  k  1 ( k  2)(2 k  3)
xk
Vn ,q ( e2 ; x)   
q

2
k
(1  x) nq  k
q  n q
k 2 
q


 k q
 n  k  1 k ( k21)
xk
 
q

k
(1  x ) nq  k q k 1  n 2
k 1 
q
q

 k  2q  k  1q
 n  2  k  1 k ( k21)
xk
 x2  
q

2
n 2 k
k  2 q
(1  x ) q
q  n q
k 0 

  bn ,k ( q; x )
k 1
 n  2  k  1q ! k ( k21)
 k  2 q  k  1q
xk
q

2
(1  x ) nq  2  k
q  n q
k  0  k  2 q ! n  1q !

x
2
 k q
2
q k 1  n q
25
1

 nq

b
n,k
(q; x )
k 1
 k q
q  nq
k 1
 n  1q 2 
1

x  bn 2,k (q; x ) 
V ( e ; x)
q  n q
 nq n,q 1
k 0

 n  1q 2
1
x Vn 2, q (e0 ; x) 
V ( e ; x)
q  n q
 nq n ,q 1
bulunur. Eş 3.2 ve Eş. 3.3 den
Vn, q (e2 ; x ) 
 n  1q 2 1
x 
x
q  n q
 nq
olur.
3.2. q-Baskakov-Kantorovich Operatörleri
q  (0,1), x    , n   olmak üzere q-integrale bağlı olarak q-Baskakov operatörlerinin
Kantorovich tipli genellemesi

k 1q / nq
K n, q ( f ; x)   nq  bn,k (q; x)
k 0

f (q  k 1t )dq t
(3.7)
q k q / n q
şeklinde tanımlanır.
q  1 alındığında q-Baskakov-Kantorovich operatörleri, Abel ve Gupta tarafından çalışılan
 n  k  1
xk
Vn ( f ; x)  n 

nk
k
k 0 
 (1  x)

operatörüne dönüşür[38].
( k 1)/ n

k /n
f (t )dt
26
3.2.1. Uyarı
Aşağıdaki eşitlikler q-integral tanımından kolaylıkla bulunur.
 k 1q / nq
dqt 

q k q / nq
1
 nq
(3.8)
 k 1q / nq
 2q  k q  qk
 tdq t   2  n2
qk  /  n
q
q
q
q
 k 1q / nq

(3.9)
q k q /  nq
t
2
3q  k 2q  1   2q  q k  k q  q2 k
dq t 
3
3q  nq
(3.10)
3.2.1. Lemma
Her n  , x    , 0  q  1 olmak üzere
(3.11)
K n , q ( e0 ; x )  1
K n, q (e1; x)  x 
K n, q (e2 ; x) 
q
(3.12)
 2q  nq
 n  1q 2 q 1   2q   3q
q2
x 
x
2
q  n q
3q  nq
3q  nq
İspat
 k 1q / nq

K n, q (e0 ; x)   nq  bn, k (q; x)
k 0

q k q / nq
olmak üzere Eş. 3.2 ve Eş. 3.8 den
K n, q (e0 ; x)   n q
1
 nq

b
n,k
k 0
(q; x)
dqt
(3.13)
27
 Vn , q (e0 ; x)
1
olur.
Eş. 3.2, Eş.3.3 ve Eş. 3.9 kullanılarak
 k 1q / nq

K n, q (e1; x)   nq  bn, k (q; x)
k 0
q k q / nq

  nq  bn, k (q; x)q
 k 1
k 0

  bn,k (q; x )
k 0
 Vn, q (e1 ; x) 
 x
q  k 1tdqt

  2  k   q k
 q q 2
  2  n 
q
q






 k q
q

 bn,k (q; x)
q k 1  n q  2 q  n q k 0
q
 2q  nq
Vn,q (e0 ; x)
q
 2q  nq
bulunur.
 k 1q /nq

K n, q (e2 ; x)   nq  bn ,k (q; x)q
k 0
2 k  2

t 2d qt
q k q / nq
olup, Eş. 3.10 dan


 3  k 2  1   2  q k  k   q 2k
q
q
q
q
K n, q (e2 ; x)   n q  bn,k (q; x)q 2 k  2 
3

k 0
3q  nq






 k 2q
1  2q  q  b (q; x) k q  q2  b (q; x)
  bn, k (q; x ) 2k 2 2 
 n,k
 n ,k
q k 1  nq  3  n 2 k 0
q
k 0
 nq 3q  nq k 0
q
q

28
 Vn, q (e2 ; x ) 
1  2  q V
q
3q  nq
n ,q (e1 ; x) 
q2
2
3q  nq
Vn ,q (e0 ; x )
bulunur. Burada Eş. 3.2, Eş. 3.3 ve Eş. 3.4 kullanıldığında
K n, q (e2 ; x ) 
 n  1 q x2  1 x  1   2q  q x  q 2
2
q  n q
 nq
3q  nq
3q  nq
n  1 q 2 q 1   2q   3q

q2

x 
x
2
q  nq
3q  nq
3q  nq
elde edilir.
3.2.2. Uyarı
Lemma 3.2.1 de q  1 alınırsa Baskakov-Kantorovich operatörlerinin aşağıdaki momentleri
elde edilir[38].
Kn (e0 ; x)  1 ,
K n (e1 ; x)  x 
1
,
2n
K n (e2 ; x )  x 2 
x (2  x)
1
 2.
n
3n
Eş. 3.12 ve Eş. 3.13 incelendiğinde  K n , q  operatörler dizisinin Bohman-Korovkin
teoreminin koşullarını sağlamadığı açıktır.
3.2.1. Teorem
(qn ), n  için qn  (0,1) ve lim qn  1 olacak şekilde bir dizi ve ( K n , q ) , Eş. 3.7 ile
n 
n
verilen operatörler dizisi olsun. Herhangi kompakt bir J    kümesinde her azalmayan
f  C     için lim K n,qn ( f ; x)  f ( x) , (düzgün) [17].
n 
29
İspat
Lemma 3.2.1 de hipotezde verilen q, (qn ) dizisi ile değiştirildiğinde Bohman-Korovkin
teoreminden elde edilir.
3.3. q-Baskakov-Kantorovich Operatörlerinin Ağırlıklı İstatistiksel Yaklaşım
Özellikleri
A-istatistiksel yakınsaklığı kullanarak Duman ve Orhan aşağıdaki Bohman-Korovkin tipli
teoremi ispatladılar[39]. Soyut uzaylar için genel yaklaşım [16] da verilmiştir. Bu teoremi
vermeden önce teoremin ispatında kullanılacak olan Lemma aşağıda verilecektir.
3.3.1. Lemma
A   ank  negatif olmayan regüler bir matris olsun.  Ln  , C 1 (  ) den B ( ) ye giden
2
1 ( x)
 0 koşulunu sağlayan iki ağırlık
x   ( x )
2
pozitif lineer operatörlerin bir dizisi, 1 ve 2 , lim

fonksiyonu ve de  A n   : Ln
C1  B1

 M  1 olacak şekilde bir M  0 olsun. Bu
durumda herhangi s   ve her f  C 1 için
st A  lim sup sup Ln ( f ; x)  f ( x)  0 ise st A  lim Ln f  f
n
f
1
n
1 x  s
2
 0 [39].
3.3.1. Teorem
A   ank  negatif olmayan regüler bir matris olsun.  Ln  , C 1 (  ) den B ( ) ye giden
2
pozitif lineer operatörlerin bir dizisi ve lim
x 
st A  lim Ln f  f
n
2
1 ( x)
 0 olsun. Her f  C1 (  ) için
 2 ( x)
 0  st A  lim Ln Fv  Fv
n
x 1 ( x)
,   0,1, 2 [39].
Burada F ( x) 
1  x2
1
 0, v  0,1, 2 .
30
İspat
f  C 1 için st A  lim Ln f  f
n
2
 =0,1,2 için st A  lim Ln F  F
n
 0 olsun.  =0,1,2 için Fv  C 1 olduğundan açıktır ki
1
 0 olur.
Yeterliliği ispatlamak için öncelikle

 A n   : Ln
C 1  B1

(3.14)
 M 1
eşitliğinin bir M  0 için sağlandığını göstermeliyiz.
Kabülden  0,1,2 için bir K   vardır   A ( K )  1 ve lim Ln Fv  Fv
1
   0 için  N ( ) vardır  her n  N ( ) ve her n  K için Ln Fv  Fv
1
nK
Böylece bir M  0 vardır  her n  K için Ln Fv  Fv
1
 0 , yani
 .
 M .
Kabul edelim ki K : K0  K1  K2 olsun. Bu durumda  A ( K )  1 dir.
n  K için Teorem 2.7.1. den
Ln
C 1  B1
 Ln 1
1
 Ln 1  1  1
 Ln 1  1
1
 Ln 1  1
1
1
 1
1
1
elde edilir. Diğer yandan
 t2 1
 1  x2
Ln ( 1 (t ); x )  1 ( x )  Ln  2
1 (t ); x  
1 ( x )
2
 t 1
 1 x
(3.15)
31
  t2
   1

x2
1


  Ln 

(
t
);
x


(
x
)
 (t ); x  
1 ( x) 
   Ln 

1
1
2
2
2 1
2
 1 x

 1 x
  1 t
   1 t
  Ln  F2 ; x   F2 ( x)    Ln  F0 ; x   F0 ( x) 
 Ln  F2 ; x   F2 ( x)  Ln  F0 ; x   F0 ( x)
(3.16)
yazabiliriz. Böylece Eş. 3.16, Eş. 3.15 de kullanılırsa
Ln
C1  B1
 Ln 1  1
1
 Ln F2  F2
1
1
 Ln F0  F0
1
1
 M 2  M0 1  M
bulunur.

Buradan K  n : Ln
C 1  B1

 M yazabiliriz. Böylece Eş. 3.14 sağlanır. Şimdi
st A  lim sup sup Ln ( f ; x)  f ( x)  0 olduğu gösterilecektir.
n
f
1
1 x  s
Ln  (t  x)2 F0 (t ); x   Ln (t 2 F0 (t ); x)  2 xLn (tF0 (t ); x)  x2 Ln ( F0 (t ); x)
 Ln ( F2 (t ); x)  2 xLn ( F1 (t ); x)  x2 Ln ( F0 (t ); x)
  Ln ( F2 (t ); x )  F2 ( x )  
x2
 1 ( x)  2 x  Ln ( F1 (t ); x)  F1 ( x ) 
1  x2
2x2
x2
2

1 ( x )  x   Ln ( F0 (t ); x )  F0 ( x)   
1 ( x)
1  x2
1  x2
 Ln ( F2 (t ); x)  F2 ( x)  2 x Ln ( F1 (t ); x )  F1 ( x )  x 2 Ln ( F0 (t ); x )  F0 ( x )
olup, böylece herhangi s   ve n  K için
32
u n : sup Ln  (t  x ) 2 F0 (t ); x 
(3.17)
x s

 B Ln F2  F2
1
 Ln F1  F1
1
 Ln F0  F0
1

yazabiliriz. Burada


B : max sup 1 ( x ), 2 sup x 1 ( x), sup x 2 1 ( x ) 
x s
x s
 x s

dir.
Şimdi f  C 1 ve x  s olsun. Bu durumda f ,  de sürekli olup    0 için    0
vardır  t  x   olacak şekildeki her t, x için f (t )  f ( x)   olur.
t  x   iken
f (t )  f ( x )  f (t )  f ( x)
 M f 1 (t )  M f 1 ( x)
 2M f 1 ( x ) 1 (t )
 2 M f 1 ( x) F0 (t )(1  t 2 )

 2M f 1 ( x) F0 (t ) 1   (t  x)  x 
2

 2 M f 1 ( x ) F0 (t ) 1  (t  x ) 2  2(t  x ) x  x 2 
 2 M f 1 ( x ) F0 (t ) 1  (t  x ) 2  2 t  x x  x 2 
 2 M f 1 ( x ) F0 (t ) 1  (t  x ) 2  (t  x ) 2  x 2  x 2 
 2 M f 1 ( x ) F0 (t )  2  2 x 2  2(t  x ) 2 
 4 M f 1 ( x ) F0 (t ) 1  x 2  (t  x ) 2 
33
 1  x2

 4 M f 1 ( x) F0 (t )(t  x)2 
 1
2
 (t  x )

 K 1 ( x ) (t  x ) 2 F0 (t )
 1  x2 
yazabiliriz. Burada K 1 ( x ) : 4M f 1 ( x )  2  1
 

dir.
Böylece  t   ve x  s için
f (t )  f ( x)    K 1 ( x ) (t  x) 2 F0 (t )
(3.18)
olup bu eşitsizlikten
Ln ( f (t ); x)  f ( x)  Ln ( f (t )  f ( x); x)  f ( x ) Ln (1; x )  f ( x)
 Ln ( f (t )  f ( x ); x)  f ( x) Ln (1; x )  1
 Ln  f (t )  f ( x ) ; x   f ( x ) Ln (1; x )  1
  Ln (1; x )  K 1 ( x ) Ln  (t  x ) 2 F0 (t ); x   f ( x ) Ln (1; x )  1
elde edilir. Buradan herhangi s   için
vn : sup sup Ln ( f (t ); x)  f ( x)
f
1
1 x  s
 C1 Ln (1; x )
1
 C 2 sup Ln  (t  x ) 2 F0 (t ); x   C3 sup Ln (1; x )  1
x s
x s
olur. Burada
C1 : sup 1 ( x ), C2 : sup K 1 ( x ) , C3 : sup f ( x) .
x s
x s
x s
Pozitif lineer operatörlerin monotonluğundan ve Teorem 2.7.1 den
(3.19)
34
Ln1   Ln 1
1
1
 Ln
C1  B1
olup Eş. 3.19 dan
n  K için
vn  MC1  C2un  C3 sup Ln (1; x)  1
(3.20)
x s
elde edilir.
Ayrıca
F0 ( x) Ln (1; x)  1  Ln ( F0 (t ); x)  F0 ( x)  Ln ( F0 (t )  F0 ( x); x )
 Ln ( F0 (t ); x )  F0 ( x )  Ln  F0 (t )  F0 ( x ) ; x 
bulunur. Bu durumda F0  C 1 olduğundan Eş. 3.18 den
Ln (1; x )  1 
1
Ln ( F0 (t ); x)  F0 ( x)   Ln (1; x )  K 1 ( x) Ln ((t  x) 2 F0 (t ); x)
F0 ( x)


olup herhangi s   ve her n  K için

sup Ln (1; x)  1  C4 Ln F0  F0
x s
elde edilir. Burada C4 : sup
x s
1
  M  C2 un

(3.21)
1 ( x)
.
F0 ( x)
Eş. 3.17, Eş. 3.20 ve Eş. 3.21 den her n  K için

vn  C  C Ln F0  F0
1
 Ln F1  F1
1
 Ln F2  F2
1

Burada C : max M (C1  C3C 4 ), BC 2  C3C 4  BC 2 C3C 4  .
Şimdi verilen bir r  0 için C   r olacak şekilde  >0 seçilsin.
(3.22)
35

D : n  K : Ln F0  F0

1

D0 : n  K : Ln F0  F0


D1 : n  K : Ln F1  F1

 Ln F1  F1

1

1

D2 :  n  K : Ln F2  F2

1
1
 Ln F2  F2
1

r  C 

C 
r  C 

C 
r  C 

C 

r  C 

C 
olmak üzere D  D0  D1  D2 dir. Böylece Eş. 3.22 den

nK :vn  r
a jn   a jn   a jn   a jn   a jn
nD
nD0
olup, st A  lim Ln Fv  Fv
n
nD1
1
nD2
 0,  =0,1,2 olduğundan
st A  lim sup sup Ln ( f ; x)  f ( x)  0 bulunur. Böylece Lemma 3.3.1 den f  C  için
n
f
1
1
1 x  s
st A  lim Ln f  f
n
2
 0.
3.3.2. Teorem
(qn ), n  için qn  (0,1), st  lim qn  1
n
olacak şekilde bir dizi olsun. Azalmayan her f  C 0 (   ) için
st  lim K n , qn ( f ;.)  f
n

 0,   0 [17].
İspat
Ağırlıklı uzaydaki norm tanımından
K n , qn e0  e0
0
 sup
x 
K n ,qn (e0 ; x )  e0 ( x )
0 ( x)
(3.23)
36
olup, Eş. 3.11 den
st  lim K n ,qn e0  e0
0
n
0
bulunur.
K n , qn e1  e1
0
K n , qn (e1 ; x )  e1 ( x )
 sup
0 ( x)
x 
olup, Eş. 3.12 den
K n , qn (e1 ; x )  e1 ( x)
1 x
2
 e0
qn
0
 2q  n q
n

n
1
 n q
n
elde edilir. Ayrıca st  lim qn  1 olduğundan st  lim
n
n
1
 0 dır. Bu durumda
 nq
n
st  lim K n ,qn e1  e1
n
0
0
olur.
K n , qn e2  e2
0
 sup
K n ,qn ( e2 ; x )  e2 ( x )
0 ( x)
x 
olup, Eş. 3.13 den
K n ,qn (e2 ; x)  e2 ( x)
1  x2
 e2
 n  1q
qn  n q
n
0
n

 1  e1


 q 1   2  3
qn
qn
 n
0 
3qn  n qn


1
2 1
1
2
1

 2 
 2
qn  n q  n q 2  n 
qn  n q  n 
n
n
q
n
q
n

 e
0


qn2
0
2
3q  nq
n
n
olup, eşitsizliğin sağ tarafı n   için istatistiksel olarak sıfıra yakınsadığından
st  lim K n ,qn e2  e2
n
0
0
n
37
bulunur. Böylece Teorem 3.3.1 de A  C1 , 1 ( x)  1  x 2 ,  2 ( x)  1  x 2  ve x  
alınarak ispat tamamlanır.
3.4. q-Baskakov-Kantorovich Operatörlerinin Yakınsama Hızı
Bu kısımda B (   ) ağırlıklı uzayında Eş. 2.10 ile tanımlı süreklilik modülü kullanılarak,
sınırsız fonksiyonlar için, K n ,q ( f ) operatörünün f ye yakınsama hızı hesaplanacaktır.
3.4.1. Teorem
q  (0,1) ve   0 olsun. Azalmayan her f  B (   ) için
 1

K n , q ( f ; x )  f ( x )  K n ,q (  x2, ; x )  1 
K n , q ( x2 ; x )   ( f ;  ) , x  0,   0, n  .
 

Burada  x , (t ) : 1   x  t  x 
2 
,  x (t ) : t  x , t  0 [17].
İspat
n   ve f  B (   ) olsun. Eş. 2.10 ve Eş 2.11 den
t  0, x  0 olmak üzere
 
f (t)  f ( x)  1  x  t  x
2 
 1  1 t  x  

( f ; )
 1

  x , (t )  1   x (t )   ( f ;  )
 

(3.25)
elde edilir. Ayrıca q-integral tanımından
 k 1q /nq

qk q /n q
k 1q / nq
f (q
 k 1
t )d qt 

0
olup, değişken değiştirme ile
qk q /n q
f (q
 k 1
t )d qt 
(3.24)

0
f (q k 1t )dqt
38
 k 1q / q k 1  nq
 k 1q /n q

f (q  k 1t )d q t q k 1
q k q /  nq

(3.26)
f (t ) d q t
k 2
 k q / q  nq
bulunur. Bu durumda Eş. 3.7 ve Eş. 3.26 dan
 k 1q / q k 1 n q

K n , q ( f ; x)   n q  bn , k (q; x)q
k 0
k 1
f (t )d q t

 k q / q k 2  n q
olup

k 1q / q k 1 n q
K n , q ( f ; x)  f ( x )   n q  bn , k (q; x )q k 1
k 0

f (t )  f ( x ) d q t
 k q / qk 2  nq
yazılabilir. Eşitsizliğin sağ tarafına Eş. 3.25 uygulanırsa

K n , q ( f ; x)  f ( x)   n q  bn , k (q; x)q k 1
k 0
k 1q / q k 1  nq

 k q / q k 2  nq
 1

 x, (t ) 1   x (t )   ( f ;  )d q t
 

1


  K n ,q (  x , ; x )  K n ,q (  x , x ; x)   ( f ;  )



bulunur. Eşitsizliğin sağ tarafına q-integral için Cauchy-Schwarz eşitsizliği uygulandığında
 1

K n , q ( f ; x )  f ( x )  K n ,q (  x2, ; x )  1 
K n , q ( x2 ; x )   ( f ;  )
 

elde edilir.
3.4.1. Lemma
m   ve q  (0,1) için K n , q (em ; x )  Am , q (1  x m ), x    , n  
eşitsizliği sağlanır. Burada Am,q , m ve q ya bağlı bir pozitif sabittir[17].
39
İspat
k  , 0  q  1,  k  1q  1  q  q 2  ...  qk  1  q  k q olmak üzere
1   k  1q  1  q  k q
 1   k q
  k q   k q
 2  k q
olup
1   k  1q  2  k q
(3.27)
bulunur. m   olmak üzere Eş. 3.1 den
m
 k q
Vn , q (em ; x)   bn ,k (q; x ) mk  m m
q
k 0
 n q

m
 k q
 n  k  1 k ( k21)
xk
 
q
k  q
(1  x)nq  k q m ( k 1)  nm
k 1 
q

m
 k  1q
 n  k  k ( k21)
xk
 x 
q

(1  x)nq 1 k q mk  n m
k 0  k  1  q
q

m
 n  k q ! k ( k21) x k
 k  1q
 x
q
(1  x )nq 1 k q ( m1) k  n m
k  0  k  1q ! n  1q !
q

m 1
 n  k q ! k ( k21) x k
 k  1q
 x
q
m 1
n 1 k
(1  x) q
q ( m1) k  n q
k  0  k q ! n q !

40
m 1
 k  1q
 n  1  k  1 k ( k21)
xk
 x 
q

m 1
n 1 k
k
(1  x) q
q ( m 1) k  n q
k 0 
q

m 1
 n  1q  n  1  k  1 k ( k21) x k
x
  k  q (1  x)n 1k
m 1
 n q k 0 
q
q
m 1
 k  1q
m 1
q ( m1) k  n  1q
elde edilir. Bu eşitliğin sağ tarafına Eş. 3.27 uygulanırsa
m 1
 n  1q  n  1  k  1 k ( k21) xk
Vn ,q (em , x )  x
  k  q (1  x)n1k
m 1
 nq k 0 
q
q
m 1
 n  1q
x
m 1
 n q
2
 
q

qn
 x 1 
 n
q






qn
Vn , q (em ; x )  x  1 
 n
q





m 1
m 1
2m 1  k q
m 1
q ( m1)k  n  1q
m 1
 k q
b
(
q
;
x
)

n 1, k
m 1
q ( m1)( k 1)  n  1q
k 0
m 1
2
 
q

m 1
Vn 1, q (em 1 ; x )
olup
m 1
 2
 
q
m 1
Vn 1, q (em 1 ; x)
(3.28)
elde edilir.
m  , x    , n   olmak üzere, Eş. 3.28 ve tümevarım yöntemi ile

qn
m
Vn , q (em ; x )  x  1 
  n q





m ( m 1)
2
 2
 
q
m ( m 1)
2
(3.29)
bulunur. Eş. 3.29 dan
Vn ,q ( em ; x)  Bm , q (1  x m )
(3.30)
41
elde edilir. Burada Bm ,q : 2
m ( m 1)
2
2
 
q
m ( m 1)
2
.
Ayrıca
 k 1q / nq

K n, q (em ; x)   nq  bn, k (q; x)
k 0
(q k 1t )m dqt

q k q / n  q
 k 1q / nq

  nq  bn ,k (q; x)q
 mk  m
k 0

t m dq t
(3.31)
qk q /n  q
olur. q-integral tanımından
 k 1q / nq

 k 1q / nq
m
t dqt 

qk q /n  q
q k q / n  q
m
t dqt 
0

t m dqt
0
 k  1q   j  k  1q 
q

 (1  q)
n q 
 n q 

j 0 


m
m 1
q j  (1  q)
q  k q
 n q
 q  k q
qj

 n q
j0 


m

 qj


m 1
q m 1  k q  ( m 1) j
 k  1q  ( m1) j
 (1  q)
q
 q  (1  q) n m1 
m 1
j 0
 n q j 0
 q
m 1
 k  1q
 (1  q )
m 1
 n q
m 1
q m1  k q
1
1
 (1  q )
m 1
m 1
1 q
 n q 1  q m 1
m 1
m 1
q m 1  k q
 k  1q
 m1
 m1
 n q  m  1q  n q  m  1q
Eş. 3.32, Eş. 3.31 de yerine yazılırsa
K n, q (em ; x) 
qm
m
 nq  m  1q
bn,0 (q; x)
(3.32)
42

  n q  bn, k (q; x )
k 1
q  mk  m
m 1
 nq
k  1
 m  1
m 1
q
m 1
 q m1  k q

(3.33)
q
elde edilir. Ayrıca
 k  1mq 1  q m1  k mq 1   k  1mq  q  k q  k  1mq 1  ...  q m  k mq 
m
 ( m  1)  k  1q
olduğundan Eş. 3.27 den
m 1
 k  1q
m 1
 q m 1  k q
m
 2 m ( m  1)  k q
(3.34)
bulunur. Eş. 3.34, Eş 3.33 de kullanılırsa
K n, q (em ; x) 
qm
m
 nq  m  1q
q  mk  m

bn,0 (q; x)   n q  bn, k (q; x)
k 1
m
m 1
 nq  m  1q
m
2m (m  1)  k q
 k q
2 m ( m  1) 
 m
bn ,0 (q; x ) 
b
(
q
;
x
)
n,k
m
 m  1q 
k 1
 n q  m  1q
 n q q m ( k 1)
qm

qm
m
 nq  m  1q
bn,0 (q; x ) 
2 m (m  1)
V (e ; x )
 m  1q n,q m
olur. Böylece Eş. 3.30 dan
K n, q (em ; x ) 
qm
m
 nq  m  1q
bn,0 (q; x) 
2m (m  1)
Bm, q (1  x m )
 m  1q
 2m (m  1)

 1 
Bm, q  (1  x m )


 m  1q


 Am ,q (1  x m )
43
elde edilir. Burada Am , q : 1 
2 m (m  1)
B .
 m  1q m,q
3.4.1. Uyarı
Herhangi bir lineer pozitif operatör monoton olduğundan Lemma 3.4.1, her
f  B (   ),    0 için K n , q ( f ;.)  B (   ) olduğunu gösterir.
3.4.2. Teorem
(qn ) , Eş. 3.23 ü sağlayan bir dizi ve    0 olsun. Azalmayan her f  B (   ) için
K n , qn ( f ;.)  f
 1
 C ,q0  ( f ;  n )
1
ve C , q0 , f ve n den bağımsız bir pozitif sabittir[17].
qn  n q
dir. Burada  n :
n
İspat
Eş. 3.11, Eş. 3.12 ve Eş. 3.13 den
2
K n ,qn ( x2 ; x )  K n , qn ( t  x ; x )  K n , qn (t 2  2 xt  x 2 ; x )
 K n , qn (t 2 ; x)  2 xK n , qn (t ; x)  x 2 K n , qn (1; x)
 n  1q

qn  n q
n
2
x 

n
n
  n  1q

1
n

 1 x 2 
 qn  n q

 nqn

n

n
x
n

qn2
2
3q  nq
n

n

qn
 2x  x 

 2qn  nqn

 q 1   2   3
q
qn
qn
 n
2 n

3qn
 2qn

1
2
1
x2 
x 2
qn  n q
 n q
n
n
n
3q  nq
n


qn 1   2q  3q
qn

qn2
x
2

3q  n q

n
n


  x2


44
1
2
1
x2 
x
qn  n q
 n q  nq

n

n
n
x 2  2 qn x  qn
qn  n q
n

x2  2 x  1
q n  n q
n

4  0 ( x)
qn  n q
n
bulunur.
   0 ve f  B (  ) olmak üzere Teorem 3.4.1 ve yukarıdaki eşitsizlikten

K n , qn ( f ; x)  f ( x )
 1 ( x)
K n ,qn (  x2, ; x) 0 ( x)  1
1 
2
2 1 ( x)
 

K n , qn (  x2, ; x )  1
1 
4
 2( 1) ( x)  

1 
 ( f ;  n )
qn  n q  
n 
1 
 ( f ;  n )
qn  n q  
n 
dir. Ayrıca

 x2, (t )  1   x  t  x 
2  2

 2 1  (2 x  t )4  2 
 2 1  24 2 ((2 x)4 2  t 4 2 ) 
olduğundan
K n , qn (  x2, ; x )  2 K n ,qn (1; x)  25 2 2 4  2 x 4  2 K n , qn (1; x )  25 2 K n , qn (t 4  2 ; x)
yazılabilir. Eş. 3.11 ve Lemma 3.4.1 den
K n , qn (  x2, ; x)  2  25  2 2 4  2 x 4  2  25  2 A4  2 , qn (1  x 4  2 )
(3.35)
45
bulunur. Eşitsizliğin her iki tarafı  2( 1) ( x ) ağırlık fonksiyonuna bölünürse
K n , qn (  x2, ; x )
 2( 1) ( x)

2  25  2 2 4  2 x 4  2  25 2 A4  2 ,qn (1  x 4  2 )
1  x 4  2
25 2  25 2 24 2 x 4 2

 25 2 A42 ,qn
4 2
1 x
  1  (2 x) 4 2
 25 2  
4 2
  1 x


  A4  2 , qn 


 x 4 2 (24 2  1)

 25 2  1 
 A4 2 , qn 
4  2
1 x



 25  2 1  2 4  2  1  A4  2 , qn

 25 2 2 4 2  A4  2 , qn


(3.36)
olup buradan
K n ,qn (  x2, ; x)
 2( 1) ( x)
 2 , qn
(3.37)
elde edilir. Burada


25 2 2 4  2  A4  2 ,qn  2 ,qn
dır. Eş. 3.37, Eş. 3.35 de yerine yazılıp, q0 : min qn , C , q0 : 8 , q0 alındığında
n
K n,qn ( f ; x)  f ( x)
 1 ( x)
 4 ,qn 2 ( f ;  n )
 C , q0  ( f ;  n )
olur. Eşitliğin her iki tarafının supremumu alınırsa
K n , qn ( f ;.)  f
 1
 C ,q0  ( f ;  n )
46
elde edilir. Ayrıca st  lim qn  1 , st  lim
n
n
1
 0 olduğundan st  lim  n  0
n
 nq
olup st  lim  ( f ;  n )  0 dır.
n
Böylece Teorem 3.4.2 K n ,qn ( f ;.) operatörünün f ye istatistiksel yakınsaklık hızını verir.
47
4. q-BASKAKOV-KANTOROVICH OPERATÖRLERİNİN YENİ BİR
GENELLEMESİNİN İSTATİSTİKSEL YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ
Son zamanlarda Gupta ve Radu, q-Baskakov-Kantorovich operatörlerinin pozitif olmayan
bir q-analoğunu tanımlamışlardır[17]. Bu bölümde Mahmudov tarafından [18] de
tanımlanan q-Baskakov-Kantorovich operatörlerinin ağırlıklı istatistiksel yaklaşım
özellikleri incelenecektir. Bu şekilde tanımınlanan operatörün avantajı pozitif olmasıdır.
4.1. Operatörlerin İnşası
 
Reel değerli,   kümesi üzerinde sürekli, q-diferensiyellenebilir fonksiyonların bir n , q
dizisi aşağıdaki özellikleri sağlasın.
(B1) n , q (0)  1, n   , 0  q  1
(B2) (1) k Dqkn ,q ( x)  0 , n   , k    0 :  0 , x  0, 0  q  1
(B3) Her k   ve x   için Dqkn,q ( x)    n  l1 q Dqk 1nl2 ,q ( x) .
Burada l1 , l2  0 olup n, k ve x den bağımsızdır.
(B1) ve (B3) den
Dqkn,q (0)  (1) k  n  l1 q  n  l1  l2 q ... n  l1  (k  1)l2 q
(4.1)
elde edilir.
4.2. q-Baskakov Operatörlerinin Yeni Bir Genellemesi
 
(B1)-(B3) ile tanımlanan n , q fonksiyon dizisi kullanılarak elde edilen Baskakov
operatörlerinin yeni bir q-analoğu, her f  C2 (  ), x    , 0  q  1, n   için
  k q 
(1)k x k k ( k21) k

q
Dq n, q ( x) f  k 1
 q  n 
k 0  k q !
q 


Vn,q ( f ; x)  
(4.2)
48
dir[18].
V  operatörler dizisinin pozitif ve lineer olduğu açıktır.

n, q
4.2.1. Lemma
e j  t j , t    , j   0 olmak üzere her n   , x   ve 0  q  1 için
Vn, q (e0 ; x)  1
(4.3)
Vn, q (e1 ; x)   x
Vn,q (e2 ; x )  x 2
Dqn , q (0)
(4.4)
 n q
Dq2n , q (0)
2
q  nq
x
Dqn ,q (0)
(4.5)
2
 nq
dir[18].
İspat
q-taylor açılımından

n,q (t )  
k 0
(t  x)kq
 k q !
Dqkn,q ( x)
yazabiliriz.
Burada t  0 olsun. (  x ) kq  (  x ) k q
k ( k 1)
2
olması ve (B1) özelliğinden
(  x) k k ( k21) k
n , q (0)  
q
Dq n , q ( x )  1
k  0  k q !

olup
( 1) k x k k ( k21) k
q
Dq n , q ( x )  1
k  0  k q !

Vn, q (e0 ; x)  
49
elde edilir.

n,q (t )  
(t  x)kq
k 0
 k q !
Dqkn,q ( x) eşitliğinde her iki tarafın t ye göre q-türevi alındığında
 k q (t  x)kq1 k
Dqn , q (t )  
Dq n , q ( x )
 k q !
k 1

olur. t  0 için
 k q ( x)kq 1 k
Dqn ,q (0)  
D  ( x)
 k q ! q n,q
k 1

olup (0  x ) kq 1  (0  x )(0  qx )...(0  q k  2 x )  (  x ) k 1 q
 xDqn,q (0)
 nq
 k q
(1)k x k k ( k21) k
q
Dq n, q ( x) k 1
q  n q
k 1  k q !
( k 1)( k  2)
2
olduğundan


(4.6)
bulunur. Diğer yandan
 k q
(1)k x k k ( k21) k
q
Dq n, q ( x ) k 1
q  n q
k 1  k q !

Vn, q (e1; x )  
olduğundan Eş. 4.6 ve Eş. 4.7 den
Vn, q (e1 ; x) 
 xDqn , q (0)
 n q
elde edilir. Benzer şekilde
 k q  k  1q (t  x) kq 2 k
(t )  
Dq n , q ( x)
 k q !
k 2

2
q n,q
D
olup t  0 için
 k q  k  1q ( x)k 2 ( k  2)(2 k 3) k
(0)  
q
Dq n , q ( x )
 k q !
k 2

2
q n,q
D
(4.7)
50
dir. Böylece

2
2
q n ,q
x D  (0)  
(1) k  k q  k  1q x k
 k q !
k 2
q
( k  2)( k 3)
2
Dqkn , q ( x )
(4.8)
ve

 xqDqn ,q (0)  q 
k 1
(1)k  k q x k
 k q !
q
( k 1)( k  2)
2
Dqkn ,q ( x)
(4.9)
olduğundan Eş.4.8 ve Eş. 4.9 dan

2
2
q n ,q
x D  (0)  xqDqn , q (0)  
(1)k  k q  k  1q x k
 k q !
k 1

q
(1)k  k q x k
 k q !
k 1


(1)k  k q x k
k 1
 k q !

(1)k  k q x k

k 1
 k q !
bulunur. Yukarıdaki eşitlikte her iki taraf
x 2 Dq2n ,q (0)  xqDqn , q (0)
2
q  n q
q
(1) k x k

q
k 1  k q !

( k 1)( k  2)
2
( k  2)( k  3)
2
q
q
( k  2)( k  3)
2
1
2
q  n q
k ( k 1)
2
q
( k  2)( k  3)
2
Dqkn ,q ( x)
Dqkn ,q ( x )

Dqkn , q ( x)  k  1q  q k 1

Dqkn ,q ( x )  k q
ile çarpılırsa,
2
k
q n,q
D
 k q
( x) 2( k 1) 2
q
 nq
(4.10)
elde edilir. Diğer yandan
(1)k x k
V (e2 ; x)  
q
k 1  k q !


n,q
k ( k 1)
2
2
k
q n,q
D
 k q
( x) 2( k 1) 2
q
 n q
olduğundan Eş. 4.10 ve Eş. 4.11 den
(4.11)
51
Vn,q (e2 ; x )  x 2
Dq2n , q (0)
2
q  nq
x
Dqn ,q (0)
2
 nq
elde edilir. Böylece ispat tamamlanır.
4.2.1. Uyarı
Eş. 4.3, Eş. 4.4 ve Eş. 4.5, her f  C2 (  ) için Vn ,q f  C2 (   ) olmasını garanti eder.
4.2.2. Uyarı
Eğer n, q ( x)  eq (  nq x) alınırsa q-Szász-Mirakjan operatörü [40],
n,q ( x)  eq (  n  p q x) alınırsa q-Szász-Schurer operatörü [41], n , q ( x) 
q-Baskakov operatörü [42], n , q ( x) 
1
alınırsa
(1  x) nq
1
alınırsa q-Baskakov-Schurer operatörü elde
(1  x) nq  p
edilir.
4.3. q-Baskakov-Kantorovich Operatörlerinin Yeni Bir Genellemesi
Her f  C2 (  ), x    , 0  q  1 için
1
  k q  q k t 
(1) k xk k ( k21) k
d qt
K ( f ; x)  
q
Dq n, q ( x) f  k 1


q
n


k 0  k q !
0
q 


*
n, q
 
(4.12)

şeklinde tanımlıdır. Burada n , q fonksiyon dizisi (B1)-(B3) özelliklerini sağlar. K n*, q

operatörler dizisinin pozitif ve lineer olduğu açıktır.
4.3.1. Lemma
 m q 

K n*, q (em ; x )     
j  0  j    n q 


m
dir[18].
m j
1
Vn, q (e j ; x )
 m  j  1q
(4.13)
52
İspat
Binom açılımından
m
m
  k q  q k t 
 m q 



d
t

  
0  q k 1  n  q 

j
n


j

0


q 

 q
1
m j
  k q 
 k 1

 q n 
q 

j
  k q
 k 1
 q n
q

j
1
t
m j
dqt
0
ve q-integral tanımından,
1

m j
a ( m j ) a
 t dq t  (1  q) q q
a 0
0

 (1  q) q a ( m j 1)
a 0
 (1  q)

1
1  q m  j 1
1
m  j  1q
olup
m
m
  k q  q k t 
 m q


d
t

  
0  q k 1  n  q 
j

0
 j    n q
q 

1




m j

1

  m  j  1
q

bulunur. O halde
m
1 k
 q  q k t 
(1) k x k k ( k21) k
 dt
K (em ; x )  
q
Dq n , q ( x)   k 1
 q n  q
k  0  k q !
0
q 

*
n,q
( 1) k x k k ( k21) k

q
Dq n ,q ( x )
k  0  k q !

 m q
  
j  0  j    n q

m




 m q

 
j  0  j    n q

m
m j
1
 m  j  1q




m j
  k q
1

 m  j  1q  q k 1  n q
  k q
(1)k x k k ( k21) k
 k 1
q
D

(
x
)

q n ,q
 q n
k  0  k q !
q










j
j
53
 m q
  
j  0  j    n q

m




m j
1
Vn*,q (e j ; x)
 m  j  1q
elde edilir.
4.3.1. Sonuç
Her n  , x    , 0  q  1 için
K n*,q (e0 ; x)  1
(4.14)
K n*, q (e1; x ) 
 n  l1 q
q
x
(1  q )  n q
 nq
(4.15)
K n*, q (e2 ; x) 
 n  l1 q  n  l1  l2 q 2 1  3q  n  l1 q
q2
x

x

2
1  q  n 2
q  n q
1  q  q 2   n 2q
q
(4.16)

2

K n*, q  e1  xe0  ; x 
1
a  l1 , l2 , q  x 2  b  l1 , l2 , q  x  1

q  nq
Burada a  l1 , l2 , q  ve b  l1 , l2 , q  , l1 , l2 ve q ya bağlı sabitlerdir [18].
İspat
Eş. 4.1 den
Dqn ,q (0)    n  l1 q , Dq2n, q (0)   n  l1 q  n  l1  l2 q
dir. Ayrıca Eş. 4.13 ve Eş. 4.3 den
K n*, q (e0 ; x)  Vn*, q (e0 ; x )
1
(4.17)
54
Eş. 4.13 den
1   q
K (e1 ; x )     
j  0  j    n q

1
*
n,q
1 j




1
Vn, q (e j ; x )
1  j  1q
1   q  1 
 1

  
Vn,q (e0 ; x)   Vn, q (e1; x)
 0    nq   2q
 1
bulunur. Burada Eş. 4.3 ve Eş. 4.4 den
K n*, q (e1 ; x )   x

Dqn , q (0)
 nq

q
 n q (1  q )
 n  l1 q
q
x
 nq
 nq (1  q)
elde edilir. Benzer şekilde Eş. 4.13 den
 2 q
K (e2 ; x)     
j  0  j    n q

2
*
n,q
 2 q
  
 0    n q




2 j
1
Vn,q (e j ; x)
 2  j  1q
2
 1
 2 q

Vn, q (e0 ; x )    
  3
1    n q
q

 1
 2

Vn, q (e1 ; x)    Vn,q (e2 ; x)
  2
 2
 q
bulunur. Burada Eş. 4.3, Eş. 4.4 ve Eş. 4.5 den
K
*
n,q
(e2 ; x )  x

2
Dq2n ,q (0)
2
q  n q
x
1  3q Dqn ,q (0)  n  l1 q  n  l1  l2 q 2

x
2
2
1 q
q  n q
 n q
 n  l1 q  n  l1  l2 q
2
q  n q
x2 
1  3q  n  l1 q
q2
x

2
1  q  n 2
(1  q  q 2 )  n 
q
elde edilir. Böylece Eş. 4.14, Eş. 4.15 ve Eş. 4.16 dan
q
55
  n  l1   n  l1  l2 
 n  l1 q  2  1  3q  n  l1 q
q
q
q
K n*, q  (e1  xe0 ) 2 ; x   

2
1 x 

2
2


 1  q n
(1  q )  n q
 n q
q  n q
q




q2
2
(1  q  q 2 )  n q


n

q 2 n l1 q  l1  l2 q
q n l1 q
1  q n q l1 q   l1  l2 q




2
2
2
 q n
 n q
q
n
q
n




q
q
q

 1  2q
(1  3q )q n  l1 q


2
 (1  q )  n q
(1  q )  n q



x



 x2



q2
x
2

(1  q  q 2 )  n q

1
a(l1 , l2 , q) x 2  b(l1 , l2 , q ) x  1

q  n q
elde edilir.
4.3.1. Teorem
(qn ) , n   için qn  (0,1) ve lim qn  1 olacak şekilde bir dizi ve A  0 olsun. Bu
n 


durumda her f  C2* (   ) için K n*, q operatörler dizisi  0, A  aralığında f fonksiyonuna
düzgün yakınsar[18].
İspat
Sonuç 4.3.1 göz önüne alındığında ispat Bohman-Korovkin teoreminden açıktır.
Aynı sonuç Vn, q operatörü için de geçerlidir.
56
4.4. q-Baskakov-Kantorovich Operatörlerinin Yeni Bir Genellemesinin Ağırlıklı
İstatistiksel Yaklaşım Özellikleri
Bu kısımda Teorem 3.3.1 kullanılarak sırasıyla Eş. 4.2 ve Eş. 4.12 ile verilen Vn, q ve K n, q
operatörlerinin istatistiksel yaklaşım özellikleri incelenecektir[18].
4.4.1. Teorem
1 ( x)  1  x 2 ,  2 ( x )  1  x 2 ,   1 olmak üzere eğer st  lim qn  1 ise her f  C1 (   )
n
için st  lim Vn,qn f  f
n
2
 0, st  lim K n*, qn f  f
n
2
 0 dır[18].
İspat
st  lim K n*, qn f  f
K
*
n , qn 0
e  e0
1
 0 olduğunu gösterelim. Eş 4.14 den
2
n
K n*, qn (e0 ; x)  e0 ( x)
 sup
1 ( x)
x 
0
olup
st  lim K n*, qn e0  e0
n
0
1
olur. Eş. 4.15 den
K n*, qn (e1 ; x)  e1 ( x )  x
 n  l1 q
 nq
n
x
n
x
qnn  l1 q
n
n
 nq
n
K n*, qn (e1 ; x)  e1 ( x)
1 x
2

qnn l1 q
 n q
n
n
qn
(1  qn )  n q

qn
(1  qn )  n q
n

qn
(1  qn )  n q
n
57
elde edilir. Burada st  lim qn  1 , st  lim
n
n
1
 0 olduğundan
 nq
n
st  lim K n*,qn e1  e1
n
1
0
bulunur. Eş. 4.16 dan
K n*, qn (e2 ; x)  x2
 n  l1 q  n  l1  l2 q
2
qn  nq
n
n
K n*,qn (e2 ; x )  e2 ( x )
1  x2

n
x
1  3qn  n  l1 qn
qn2

2
1  qn  n2
(1  qn  qn2 )  nq
q
n
n
x 2  n  l1 qn  n  l1  l2 qn
x 1  3qn  n  l1 qn
1
qn2

1


1 x2
qn  n q
1  x 2 1  qn  n  2
1  x 2 (1  qn  qn2 )  n 2
q
q
n
n

n

qnn  l1 q  l1  l2 q
l1 qn l1  l2 qn  n  l1 qn 1
1  qnn
n
n



3
 2
2
2
qn  n q
qn  n q
q
n
n




 nq
n
q
q
n
n
n
n
n
olup
st  lim K n*, qn e2  e2
n
1
0
dır. Böylece Teorem 3.3.1 de A  C1 , 1 ( x )  1  x 2 ,  2 ( x)  1  x 2 ,   1 , x  
alınarak ispat tamamlanır.
4.5. q-Baskakov-Kantorovich Operatörlerinin Yeni Bir Genellemesinin Yakınsama
Hızı
Bu kısımda, Eş.2.10 da 2    m alınarak elde edilen
m ( f ,  )  sup
x 0
0 h 
f ( x  h)  f ( x )
1  x  h
m
, f  Cm* (   )
ağırlıklı süreklilik modülü yardımıyla Vn, q ve K n.q operatörlerinin yakınsama hızı
verilecektir
(4.18)
58
4.5.1. Lemma
Her m   ve 0  q  1 için
Vn, q (em ; x )  Bml1 ,,lq2 (1  x m )
K n*, q (em ; x)  Aml1 ,,lq2 (1  x m ), x    , n   .
Burada Aml1 ,,lq2 ve Bml1 ,,lq2 , m, q, l1 ve l 2 ye bağlı pozitif sabitlerdir[18].
İspat
  k q
(1)k x k k ( k21) k
Vn,q (em ; x)  
q
Dq n ,q ( x )  k 1
 q  n
k  0  k q !
q






m
 k  
 k  (1) k x k ( k 1)2 k 2 k
 q
q
Dq n ,q ( x)  k 1 q 
 q n 
 k q !
k 1  n q
q 

m 1

1 (1)k 1 x k 1

q
 k q !
k 0  n q

k  k 1
2
1   k  1 
Dqk 1n ,q ( x) m1  k 1 q 
q  q  nq 


m 1
(B3) den
Dqk 1n,q ( x)    n  l1 q Dqknl2 ,q ( x)
m 1
dir. Bu ifade yukarıdaki eşitlikte yerine yazılırsa ve son ifade  n  l2 q
ile çarpılıp
bölünürse,
m 1

n,q
V
 n  l1 q  n  l2 q  (1) k x k k ( k21) k
1   k  1q 


(em ; x)  x
q
D

(
x
)

q n l , q
m
q m 1  q k 1  n  l2 q 
k 0  k q !
 n q


elde edilir. Böylece Eş. 3.27 ve Eş. 4.2 den
2
m1
59
m 1

n,q
V
 n  l1 q  n  l2 q
(em ; x)  x
m
 nq

l1 q
 x 1  qn

 n q

 2
 
q
m 1
Vn*l2 ,q (em 1 ; x )

l2 q
 1  q n

 n q





m 1
2
 
q
m 1
Vn*l2 , q (em1 ; x)
(4.19)
olur.
Eş. 4.19 ve tümevarım yönteminden

l1 q
Vn, q (em ; x)  x m  1  q n

 nq





m

l2 q
1  q n

 nq





m ( m 1)
2
2
 
q
m ( m 1)
2
bulunur.
xm  1  xm , 1  qn
l1 q
 1  q n l1 q  1  l1
 nq
ve 1  q n
l2 q
 1  q n  l2 q  1  l2
 nq
eşitsizlikleri yardımıyla
m
Vn, q (em ; x)  1  l1  1  l2 
m ( m 1)
2
2
 
q
m ( m 1)
2
1  x   B 1  x 
m
l1 , l2
m,q
elde edilir.
Ayrıca Lemma 4.3.1 den
 m q 

K (em ; x )     
j  0  j    n q 


m j
m
*
n,q
1
Vn, q (e j ; x )
 m  j  1q
olup Eş. 4.20 den
 m q
K n*, q (em ; x)     
j  0  j    n q

m




m j
1
B l1 ,l2 1  x j 
 m  j  1q j,q
m
(4.20)
60
 Aml1 ,,lq2 1  xm 
elde edilir.
4.5.1. Teorem
Eğer f  Cm* (  ) ise bu durumda

n,q
V

1
ff
 k m  f ;
m 1

q  n q





ve
K
*
n,q

1
ff
 km  f ;
m 1

q  nq





eşitsizlikleri gerçeklenir. Burada k , f ve n den bağımsız bir sabittir[18].
İspat
İspat K n*, q operatörü için yapılacaktır. Vn, q operatörü için de benzer ispat yapılabilir.
1
  k q  q k t 
(1)k x k k ( k21) k
d t
K ( f ; x)  
q
Dq n,q ( x)  f  k 1
 q  n  q
k 0  k q !
0
q 


*
n, q
olmak üzere bu ifadedeki integralde
 k q  q k t
u
q k 1  n q
şeklinde bir değişken değiştirmesi
yapılırsa,
k
(1) k x k
K ( f ; x)  f ( x)  
q
k  0  k q !

*
n,q
k ( k 1)
2
olur. Eş. 4.21 de Eş. 3.24 kullanılırsa
 n q k   q /q
q
k
q n,q
D  ( x)
q

k 1
 n q
 k q / q k 1 n q
f (t )  f ( x ) d q t
(4.21)
61
 n q
(1) k x k k ( k21) k
K ( f ; x )  f ( x)  
q
Dq n , q ( x)
q
k  0  k q !

*
n,q
k q  qk / qk 1  nq
1   2x  t    t  x  1  ( f ,  )d t
m

m
 k q / q k 1 nq


t  x 
 m ( f ,  )   K n*, q (1  (2 x  t )m ; x)   K n*,q  (1  (2 x  t ) m )
; x






q
(4.22)
olur. Ayrıca q-integral için Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden

tx 
m
K n*, q  (1  (2 x  t ) m )
; x   K n*, q 1  (2 x  t  )2 ; x





 tx2 
K n*, q 
; x
 2



olup bu eşitsizlik Eş. 4.22 de kullanılırsa

m
K n*, q ( f ; x)  f ( x )  m ( f ,  )   K n*, q (1  (2 x  t ) m ; x)   K n*, q 1  (2 x  t  ) 2 ; x




 tx2 
K n*, q 
;x 
 2



(4.23)
elde edilir.
Ayrıca Lemma 4.5.1 den
K
*
n, q
(1  (2 x  t ) m ; x)   kml1 ,,lq2 (1  xm )


m
(4.24)
 l1 , l2
K n*, q 1  (2 x  t  ) 2 ; x  k m , q (1  x m )
(4.25)

olacak şekilde k ve k pozitif sabitleri bulunabilir. Eş. 4.17 den
K
*
n,q
 tx2  1

; x 
 2
 



1
(a (l1 , l2 , q ) x 2  b(l1 , l2 , q ) x  1)
q  n q
c(l1 , l2 , q )
 q  n q
 c(l1 , l2 , q )
1  x2
1 x
 q  n q
(4.26)
62
eşitsizliği yazılabilir.
Eş. 4.23, Eş. 4.24, Eş. 4.25 ve Eş. 4.26 dan


 l1 ,l2
(1  x m )(1  x) 
l1 ,l2
m

K ( f ; x )  f ( x )  m ( f ,  ) km, q (1  x )  k m ,q c (l1 , l2 , q )

 q  n q 


*
n,q
K n*, q ( f ; x)  f ( x)
1  x m1


1  x m  l1 ,l2
1 (1  x m )(1  x) 
 m ( f ,  )  kml1 ,,lq2

k
c
(
l
,
l
,
q
)
m
,
q
1 2


1  x m 1
1  x m1  q  n 
q


olup bu eşitsizliğin her iki tarafının supremumu alınırsa
sup
K n*,q ( f ; x)  f ( x )
1  x m 1
x 
K n*, q f  f

 l1 ,l2
1
 m ( f ,  )  kml1 ,,lq2  k m ,q c(l1 , l2 , q) k1

 q  n q


 l1 ,l2
1
 m ( f ,  )  kml1 ,,lq2  k m, q c(l1 , l2 , q ) k1
m 1

 q  n q









1  xm  x  xm 1
dir.
1  x m1
x0
elde edilir. Burada k1  sup
Yukarıdaki eşitsizlikte    q  n  

1
2
alınırsa istenilen sonuç bulunur.
4.5.1. Uyarı
st  lim qn  1 ise st  lim  n  0 olacağından, st  lim m ( f ,  n )  0 bulunur. Böylece
n
n
n
Teorem 4.5.1 Vn*, q ve K n*, q operatörlerinin f ye istatistiksel yakınsaklık hızını verir.
63
5. BAZI ÖZEL DURUMLAR
Bu bölümde Vn*, q ve K n, q operatörlerinin üç özel durumu verilecektir.
5.1. q-Szász-Mirakjan ve q-Szász-Mirakjan-Kantorovich Operatörleri


n,q ( x ) : eq   n q x , x    , n   olsun. Bu durumda her (n, k )     için n , q (0)  1
k
ve Dqk n ,q ( x)    n q Dqk 1n , q ( x )  ( 1) k  n q n , q ( x), x  0 olur. Böylece K n, q operatörü

S ( f ; x)  eq   nq x
*
n,q

q
k ( k 1)
2
k 0
 nkq xk 1   k q  q k t 
d t
f
 k q ! 0  q k 1  nq  q
şeklinde tanımlanan Kantorovich tipli q-Szász-Mirakjan operatörüne dönüşür.
Vn*, q operatörü ise

S n , q ( f ; x )  eq   nq x


q
k ( k 1)
2
k 0
 nkq x k
 k q !
 k 
f  k 1 q
 q  nq





şeklinde tanımlı q-Szász-Mirakjan operatörüne dönüşür[40].
Lemma 4.2.1 ve Eş. 4.13 kullanıldığında,
Her x  0, n  , 0  q  1 için
S n ,q (e0 ; x)  1
S n ,q (e1 ; x)  x
x2
x
S n ,q (e2 ; x)  
q  n q
elde edilir.
S n*,q (e0 ; x)  1
S n*,q (e1 ; x)  x 
q
(1  q )  n q
x2
1  3q
q2
S (e2 ; x )  
x
2
q (1  q )  n q
(1  q  q 2 )  n q
*
n ,q
64
5.2. q-Baskakov ve q-Baskakov-Kantorovich Operatörleri
n ,q ( x ) 
1
, x    , n   olsun. Bu durumda q-türev tanımından her x   ,
(1  x) nq
(n, k )     ve 0  q  1 için
Dqkn, q ( x)    nq Dqk 1n 1, q ( x)  (1) k  nq  n  1q ... n  k  1q n k ,q ( x)
dir. Böylece K n, q operatörü her f  C2 (  ), x    , n  , 0  q  1 için
 n  k  1 k ( k21)
xk
K ( f ; x)   
q
k  q
(1  x)nq  k
k 0 

*
n, q
1

0
  k q  q k t 
dt
f  k 1
 q  n  q
q 

operatörüne dönüşür. Eş. 4.13 den x  0, n  , 0  q  1 olmak üzere
K n*,q (e0 ; x)  1
K n*,q (e1; x )  x 
K n*, q (e2 ; x ) 
q
(1  q )  n q
 n  1q
q  n q
x2 
1  3q
q2
x
2
(1  q )  n q
(1  q  q 2 )  n 
q
dir.
5.3. q-Szász-Mirakjan-Schurer ve q-Szász-Mirakjan-Schurer-Kantorovich
Operatörleri


n,q ( x ) : eq   n  l q x , x    , n  , l   0 olsun. Bu durumda her (n, k )     için
k
n , q (0)  1 ve Dqk n ,q ( x)    n  l q Dqk 1n , q ( x)  ( 1) k  n  l q n , q ( x), x  0 dir.
Böylece q-Szász-Mirakjan-Schurer ve Kantorovich tipli q-Szász-Mirakjan-Schurer
operatörleri, sırasıyla,
65

S n , q ( f ; x )  eq   n  l q x


q
k ( k 1)
2
k 0
 n  l kq x k
 k q !
 k 
f  k 1 q
 q  n q





ve

S ( f ; x)  eq   n  l q x
*
n,q
şeklinde tanımlıdır.

q
k 0
k ( k 1)
2
 n  l kq xk 1   k q  qk t 
d t
f
 k q ! 0  qk 1  nq  q
66
67
6. SONUÇ VE ÖNERİLER
Yaklaşım teorisi, polinomların yaklaşımında, Fonksiyonel Analizin çeşitli alanlarında,
diferensiyel ve integral denklemlerin nümerik çözümlerinde önemli uygulamalara sahiptir.
Korovkin tipi teoremler de yaklaşım teorisinin temelini oluşturmaktadır[4].
Diğer yandan Steinhaus ve Fast tarafından tanımlanan istatistiksel yakınsaklık kavramının
bir çok genellemesi ve uygulaması araştırmacılar tarafından çalışılmıştır. Bunlardan
bazıları istatistiksel yakınsaklık kullanılarak, lineer pozitif operatör dizileri için elde edilen
Korovkin tipi sonuçlardır[43-44].
Son yıllarda ise bir çok araştırmacı tarafından verilen yeni operatör dizilerinin çeşitli
yakınsaklık özellikleri incelenmektedir. Dolayısıyla bu konu araştırmacıların ilgisini
çekmektedir.
68
69
KAYNAKLAR
1. Weierstrass, K. (1885). Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher
Functionen einer reellen Veränderlichen. Sitzungsberichte der KöniglichPreussischen
Akademie der Wissenschaften zu Berlin.
2. Bernstein, S.N. (1912). Démonstration du théorème de Weierstrass fondée sur le
calcul des probabilités. Communications de la Société Mathématique de Kharkov 2.
Series XIII (1).
3.
Bohman, H. (1952). On approximation of continuous and of analytic functions.
Arkiv. Mat. (2).
4.
Korovkin, P.P. (1953). On convergence of linear positive operators in the space of
continuous functions. Dokl. Akad. Nauk. SSSR (N.S.).
5.
Lupaş, A. (1987). q-Analogue of the Bernstein operator. Babeş-Bolyai University,
Seminar on Numerical and Statistical Calculus.
6.
Phillips, G.M. (1997). Bernstein polynomials based on the q-integers. Ann. Numer.
Math.
7.
Trif, T. (2000). Meyer-König and Zeller operators based on the q-integers. Rev. Anal.
Numér. Théor. Approx.
8.
Doğru, O. ve Duman, O. (2006). Statistical approximation of Meyer-König and Zeller
operators based on q-integers. Publ.Math. Debrecen, 199-214.
9.
Doğru, O., Duman, O. ve Orhan, C. (2003). Statistical approximation by generalized
Meyer-König and Zeller type operators. Studia Sci. Math. Hungar, 359-371.
10. Doğru, O. ve Gupta, V. (2006). Korovkin-type approximation properties of bivariate
q-Meyer-König and Zeller operators. Calcolo, 51-63.
11. Doğru, O. ve Gupta, V. (2005). Monotonicity and the asymptotic estimate of
Bleimann Butzer and Hahn operators based on q-integers. Georgian Math. J.
12. Derriennic, M.M. (2005). Modified Bernstein polynomials and Jacobi polynomials in
q-calculus. Rend. Circ. Mat. PalermoSerie II, 269-290.
13.
Gupta, V. (2008). Some approximation properties of q-Durrmeyer operators. Appl.
Math. Comput., 172-178.
14.
Radu, C. (2008). Statistical approximation properties of Kantorovich operators based
on q-integers. Creat. Math. Inform., 75-84.
15. Gadjiev, A.D. ve Orhan, C. (2002). Some approximation theorems via statistical
convergence. Rocky Mountain J. Math., 129-138.
70
16. Agratini, O. (2009). On statistical approximation in spaces of continuous functions.
Positivity, 735-743.
17. Gupta, V. ve Radu, C. (2009). Statistical approximation properties of q-BaskakovKantorovich operators. Central European Journal of Math., 809-818.
18. Mahmudov, N.I. (2010). Statistical approximation of Baskakov and BaskakovKantorovich operators based on q-integers. Central European Journal of Math.
19. Kac, V. ve Cheung, P. (2002). Quantum calculus. New York: Springer-Verlag.
20. Ernst, T. (2000). The history of q-calculus and a new method. Uppsala: U.U.D.M.
Report, 231.
21. Andrews, G.E., Askey, R. ve Roy, R. (1999). Special functions. İngiltere:
Cambridge Univ. Press.
22. Lorentz, G.G. (1953). Bernstein polynomials. Math. Expo.
23. Niven, I. ve Zuckerman, H. S. (1980). An introduction to the theory of numbers.
New York: John Walley and Sons.
24. Steinhaus, H. (1951). Sur la convergence ordinaire etta convergence asymptotique.
Colloq. Math., 73-74.
25. Fast, H. (1951). Sur la convergence statistique. Colloq. Math., 241-244.
26. Salát, T. (1980). On statistically convergent sequences of real numbers. Math.
Slovaca 30, 139-150.
27. Fridy, J. A. (1985). On statistical convergence. .Analysis 5, 301-313.
28. Connor, J. S. (1989). On strong matrix summability with respect to a modulus and
statistical convergence. Canad Math. Bull., 194-198.
29. Maddox, I.J. (1970). Elements of functional analysis. İngiltere: Cambridge
University Press.
30. Hardy, G.H. (1949). G.H. Divergent series. İngiltere: Oxford University Press.
31. Freedman, A. R. ve Sember, J. J. (1981). Densities and summability. Paci.c J.
Math., 293-305.
32. Kolk, E. (1993). Matrix summability of statistically convergent sequences.
Analysis 13, 77-83.
33. Miller, H. I. (1995). A measure theoritic subsequences characterization of statistical
convergence. Trans. Amer. Soc., 1811-1819.
71
34.
Hacısalihoğlu, H. ve Hacıyev, A. (1995). Lineer pozitif operatör dizilerinin
yakınsaklığı. Ankara: A.Ü.F.F. Yayınları.
35.
López-Moreno, A.J. (2004). Weighted silmultaneous approximation with Baskakov
type operators. Acta Math. Hungar, 143-151.
36.
Aral, A. ve Gupta, V. (Baskıda). On the Durrmeyer type modification of the qBaskakov type operators. Nonlinear Anal.
37.
Baskakov, V.A. (1957). An example of a sequence of linear positive operators in the
space of continuous functions. Dokl.Akad. Nauk. SSSR, 249-251.
38.
Abel, U. ve Gupta, V. (2003). An estimate of the rate of convergence of a Bezier
variant of the Baskakov-Kantorovich operators for bounded variation functions.
Demonstratio Math., 123-136.
39.
Duman, O. ve Orhan, C. (2004). Statistical approximation by positive linear
operators. Studia Math., 187-197
40.
Mahmudov, N.I. (Baskıda). On q-parametric Szasz-Mirakjan operators.
Mediterranean J.Math.
41.
Özarslan, M.A. (Baskıda). q-Szasz Schurer operators.
42.
Aral, A., Gupta, V. (2010). On the Durrmeyer type modification of the q- Baskakov
type operators. Nonlinear Anal., 1171-1180.
43.
Gadjiev, A.D. ve Orhan, C. (2002). Some approximation theorems via statistical
convergence. Rocky Mountain J.Math., 129-138.
44.
Erkuş, E. ve Duman, O. (2006). A Korovkin type approximation theorem in
statistical sense. Studia Sci. Math. Hungar., 285-294.
72
73
ÖZGEÇMİŞ
Kişisel Bilgiler
Soyadı, adı
: KARTAL, Bağdagül
Uyruğu
: T.C.
Doğum tarihi ve yeri
: 30/05/1991, Ankara
Medeni hali
: Bekâr
Telefon
: 0 (535) 4219773
e-mail
: bagdagulkartal@erciyes.edu.tr
Eğitim
Derece
Okul / Program
Mezuniyet Yılı
Lisans
Ankara Üniversitesi/Matematik
2012
Lise
Kocatepe Mimar Kemal YDA Lisesi
2008
Yıl
Çalıştığı Yer
Görev
2013- Devam ediyor
Erciyes Üniversitesi
Araştırma Görevlisi
İş Deneyimi
YabancıDil
İngilizce
Hobiler
Voleybol, Yüzme.
GAZİ GELECEKTİR...