DERS 7 Türev Hesabı ve Bazı Uygulamalar – II

DERS 7
Türev Hesabı ve Bazı Uygulamalar – II
Bu derste bileşke fonksiyonlarının türevi ile ilgili zincir kuralını, üstel ve logaritmik
fonksiyonların türevlerini, ortalama ve marjinal ortalama değerleri; dersin sonuna doğru, limit
hesabında büyük kolaylık sağlayan L’Hospital Kuralını göreceğiz.
7.1. Bileşke Fonksiyonlarının Türevleri – Zincir Kuralı. f , g ve B fonksiyonları için
B(x) = f(g(x))
ise, B fonksiyonuna f ve g nin bileşke fonksiyonu denir.
f ve g nin bileşkesi olan B nin tanım kümesi, g nin tanım kümesinde olan ve g(x)
değeri de f nin tanım kümesinde olan tüm x sayılarıdır:
{x ∈ R : g(x) ve f(g(x)) tanımlı}.
Örnek 1. f (x) = x10 , g(x) = (2x + 1 ) için B(x) = (2x + 1 )10.
kümesi tüm reel sayılar kümesi R dir.
B fonksiyonunun tanım
Örnek 2. f (x) = ln x , g(x) = 3x + 2 için B(x) = ln (3x+2) dir. B fonksiyonunun tanım
kümesi 3x+2 > 0 olan tüm x sayılarının kümesi, yani (-2/3 , ∝ ) dur.
Örnek 3. f (u ) = eu , g ( x) = 3 x 2 + 1 , h(v) = v
f ( g ( x)) = e g ( x ) = e3 x
2
+1
için
,
g ( f (u )) = 3( f (u ) ) + 1 = 3(eu ) + 1 = 3e 2u + 1,
2
2
( )
2
g (h(v)) == 3(h(v)) 2 + 1 = 3 v + 1 = 3v + 1
h( g ( x)) = g ( x) = 3x 2 + 1.
Şimdi bileşke fonksiyonunun türevi ile ilgili kuralı veriyoruz. y = f (u) ve u = g(x) ise,
y = B(x) = f(g(x))
Ders 7 ………………………………………………………………………………….
114
bileşke fonksiyonunun türevi ( f ´(g(x)) ve g´(x) var olmak koşuluyla)
y ´ = B´(x) = f ´(g(x)) · g´(x)
dir.
Bileşke fonksiyonunun türevi ile ilgili bu kurala Zincir Kuralı denir. Zincir kuralının diğer
gösterimlerle yazılışları
d
( f ( g ( x)) = f ' ( g ( x)) ⋅ d (g ( x))
dx
dx
dy dy du
=
⋅
dx du dx
,
biçiminde olur. Yukarıdaki ikinci formülde, y bağımlı değişkeni u nun, u da x in
fonksiyonu olarak düşünülmekte, y nin x e göre türevinin y nin u ya göre türevi ile u
nun x e göre türevinin çarpımı olduğu ifade edilmektedir.
Örnek 4. B(x) = (2x + 1 )10.
B´ (x) = ? Burada, u = g(x) = (2x + 1 ) ve f (u ) = u10
alınırsa, B(x) = f(g(x)) = (2x + 1 )10 olur. Böylece,
B´ (x) = f ´(g(x)) · g´(x) = 10·(2x+1)9·2 = 20·(2x+1)9.
Örnek 5.
d
dx
( 3x
d
dx
2
)
− 4 x + 5 = ? Burada,
( 3x
2
)
− 4x + 5 =
u = 3x 2 − 4 x + 5 ve y = u
alınırsa,
dy dy du
1
(6 x − 4) = (62x − 4)
=
⋅
=
dx du dx 2 u
2 3x − 4 x + 5
elde edilir.
((
)
)
12
d
3 x 2 − 4 x + 5 = ? Bu türevin hesabı için
dx
alalım. O zaman
Örnek 6.
((
)
y = u12
, u = 3x 2 − 4 x + 5
)
12
d
dy dy du
3x 2 − 4 x + 5 =
=
⋅
= 12u11 ⋅ (6 x − 4)
dx
dx du dx
(
)
11
= 12 3x 2 − 4 x + 5 ⋅ (6 x − 4) = 12u11 ⋅ (6 x − 4)
elde edilir.
Marjinal Analiz …………………………………………………………………………
Örnek 7.
d
dx
( 3x
3
2
115
)
− 4x + 5 = ?
(
Burada önce, 3 3 x 2 − 4 x + 5 = 3x 2 − 4 x + 5
u = 3x 2 − 4 x + 5 alalım. O zaman
d
dx
( 3x
3
2
)
− 4x + 5 =
1
)
1
3
olduğuna dikkat edelim ve y = u 3
,
1
⎞ dy dy du
d ⎛ 2
⎜⎜ 3x − 4 x + 5 3 ⎟⎟ =
=
⋅
dx ⎝
⎠ dx du dx
(
)
2
1 −
6x − 4
6x − 4
= u 3 (6 x − 4) =
=
.
2
3
3
2
3
2
3(3 x − 4 x + 5)
3u
Örnek 8.
(
)
d 2
x 2x + 2 = ?
dx
Burada türevi hesaplanmak istenen ifadeyi bir çarpım olarak düşünüp önce çarpım için türev
formülünü kullanıyoruz:
(
)
(
)
d 2
d
x 2x + 2 = x2
2 x + 2) + 2 x 2 x + 2 .
dx
dx
d
2 x + 2) türevini zincir kuralı ile hesaplayarak sonuca gideriz.
Şimdi de son ifadedeki
dx
(
)
(
)
(
)
d 2
d
x 2x + 2 = x2
2 x + 2) + 2 x 2 x + 2
dx
dx
1
⎞
⎛
= x2 ⎜
⋅ 2⎟ + 2x 2x + 2
⎝ 2 2x + 2 ⎠
=
x2
2 x(2 x + 2 ) 5 x 2 + 4 x
+
=
.
2x + 2
2x + 2
2x + 2
⎞
d ⎛
x3
⎜⎜
⎟ = ? Bunu da bölümün türevi olarak düşünüp daha sonra ilgili yerde
2 ⎟
dx ⎝ (3 x − 2 ) ⎠
zincir kuralını kullanıyoruz.
Örnek 9.
(
)
d
2
2
(
3 x 2 ⋅ (3 x − 2 ) − x 3 ⋅
3x − 2)
2
3
⎞
⎛
3 x 2 ⋅ (3 x − 2 ) − x 3 ⋅ 2(3 x − 2 ) ⋅ 3
d
x
dx
⎟
⎜⎜
=
=
dx ⎝ (3 x − 2 )2 ⎟⎠
(3x − 2)4
(3x − 2)4
3x 2 ⋅ (3x − 2 ) − x 3 ⋅ 2 ⋅ 3 3x 3 − 6 x 2
.
=
=
(3x − 2)3
(3x − 2)3
Örnek 10.
((
)
⎞ d
−3
−4
−4
4
d ⎛⎜
⎟=
4 x 2 − 2 = −12 x 2 − 2 ⋅ 2 x = −24 x x 2 − 2 .
3 ⎟
2
⎜
dx ⎝ x − 2 ⎠ dx
(
)
)
(
)
(
)
Ders 7 ………………………………………………………………………………….
Doğal Logaritma fonksiyonunun
7.2. Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Türevleri.
türevi ile başlayalım.
f ( x) = ln x
f ' ( x) = lim
,
h →0
116
f ( x + h) − f ( x )
.
h
Önce limitini hesaplayacağımız değişim oranını sadeleştirelim.
⎛ x+h⎞
ln ⎜
⎟
f ( x + h) − f ( x) ln ( x + h) − ln x
x ⎠ 1 ⎛ x+h⎞
⎝
=
=
= ln ⎜
⎟
h
h ⎝ x ⎠
h
h
x
1 x ⎛ x + h ⎞ 1 ⎛ x + h ⎞h 1 ⎛ h ⎞
=
ln ⎜
⎟ = ln ⎜
⎟ = ln ⎜1 + ⎟ .
x h ⎝ x ⎠ x ⎝ x ⎠
x ⎝
x⎠
O halde,
x
⎞
⎛
⎜ 1 ⎛ h ⎞h ⎟
f ' ( x) = lim ⎜ ln ⎜1 + ⎟ ⎟
h →0
⎜ x ⎝ x⎠ ⎟
⎠
⎝
dir. Şimdi,
x
= t alalım. O zaman, h → 0 için t → ∞ olur. Dolayısıyla,
h
t
⎛ 1 ⎛ 1 ⎞t ⎞ 1 ⎛
1
⎛ 1 ⎞ ⎞⎟ 1
⎜
⎟
⎜
f ' ( x) = lim ln ⎜1 + ⎟ = ln lim ⎜1 + ⎟ = ln e = .
⎟
⎜
⎟
→
∞
t →∞ ⎜ x
t
x
⎝ t⎠ ⎠ x ⎝
⎝ t⎠ ⎠ x
⎝
Böylece, doğal logaritma fonksiyonunun türevi ile ilgili olarak
d
dx
(ln x) = 1
x
elde edilir.
Doğal üstel fonksiyonun türevi, doğal logaritma fonksiyonunun türevi ve zincir kuralı
kullanılarak bulunabilir.
ln e x = x olduğunu anımsayalım. Burada u = e x ve y = ln u alınırsa,
y = ln u = ln e x = x ⇒
( )
dy du
1 d x
e =1
⋅
=1 ⇒
⋅
du dx
u dx
d x
1 d x
e =1 ⇒
e = u = ex
⇒
⋅
u dx
dx
dy
=1 ⇒
dx
( )
( )
Marjinal Analiz …………………………………………………………………………
ve böylece
117
( )
d x
e = ex
dx
elde edilir.
Doğal logaritma fonksiyonu ve ve üstel fonksiyon için elde edilen formüller zincir kuralı ile
birleştirilirse, u = g (x) olmak üzere
d
(ln u ) = 1 ⋅ du
dx
u dx
( )
d u
du
e = eu ⋅
dx
dx
,
olduğu görülür.
( (
))
d
ln x 2 − 4 x + 3 = ?
dx
2
u = x − 4 x + 3 alınarak yukarıdaki formül uygulanırsa,
Örnek 1.
d
d
(ln u ) = 1 ⋅ du = 2 1 ⋅ (2 x − 4) = 22 x − 4
ln x 2 − 4 x + 3 =
dx
dx
u dx x − 4 + 3
x −4+3
( (
))
elde edilir.
(
)
d x 2 −4 x +3
e
=?
dx
u = x 2 − 4 x + 3 alınarak yukarıdaki formül uygulanırsa,
Örnek 2.
(
)
( )
2
2
d x 2 −4 x +3
d u
du
e
=
e = eu ⋅
= e x − 4 x + 3 ⋅ (2 x − 4) = (2 x − 4) e x − 4 x + 3
dx
dx
dx
elde edilir.
Örnek 3. Aşağıdaki hesaplamaları dikkatle izleyiniz.
((
)) (
)
(
3
2
d
d
ln( x 2 − 4 x + 3) = 3 ln( x 2 − 4 x + 3) ⋅
ln( x 2 − 4 x + 3)
dx
dx
)
(
)
2
2x − 4
3(2 x − 4) ln( x 2 − 4 x + 3)
.
= 3 ln( x − 4 x + 3) ⋅ 2
=
x − 4x + 3
x2 − 4x + 3
(
(
2
)
2
)
2
2
2
d 2 x2
x e = (2 x)e x + ( x 2 )(e x ⋅ 2 x) = 2 xe x (1 + x 2 ).
dx
(
)
d 2
1
2x3
x ln( x 2 + 1) = (2 x)(ln( x 2 + 1)) + ( x 2 )( 2
.
⋅ 2 x) = (2 x)(ln( x 2 + 1)) + 2
dx
x +1
x +1
Ders 7 ………………………………………………………………………………….
118
Şimdi herhangi bir tabanda üstel ve logaritmik fonksiyonların türevlerini görelim.
y = bx
⇒ ln y = ln b x
⇒
⇒ ln y = x ln b ⇒
( )
(
y = e x ln b
⇒ b x = e x ln b
)
d x
d x ln b
d
b =
e
= e x ln b ⋅ ( x ln b ) = e x ln b ⋅ ln b = b x ln b.
dx
dx
dx
Böylece,
( )
d x
b = b x ln b .
dx
Yukarıda elde edilen b x = e x ln b eşitliğinde b tabanında bir üstel ifade e tabanında bir üstel
ifadeye dönüşmüştür. Üstel ifadelerdeki bu taban değiştirme formülünden yararlanarak
logaritmik fonksiyonlarda da taban değiştirme formülü elde edebiliriz:
y = logb x ⇒ x = b y = e y ln b
⇒ ln x = ln(e y ln b )
⇒ ln x = y ln b ⇒
y=
ln x
ln b
⇒ logb x =
Son ifadeden
d
d ⎛ ln x ⎞ d ⎛ 1
1 1
⎞
(logb x) = ⎜
ln x ⎟ =
⎟= ⎜
dx
dx ⎝ ln b ⎠ dx ⎝ ln b
⎠ ln b x
ve böylece
d
(logb x ) = 1
dx
x ⋅ ln b
elde edilir.
Elde edilen formüller zincir kuralı ile birleştirilirse, u = g (x) olmak üzere
d u
du
(
b ) = b u ln b
dx
dx
,
d
(log b u ) = 1 du
dx
u ln b dx
formülleri elde edilir.
Örnek 4.
d
(
log 3 (x 2 − 4 x + 3)) = ? u = x 2 − 4 + 3 alınarak
dx
(
)
1 du
d
d
log 3 ( x 2 − 4 x + 3) = (log 3 u ) =
dx
dx
u ln 3 dx
2x − 4
1
.
= 2
( 2 x − 4) = 2
( x − 4 x + 3) ln 3
( x − 4 x + 3) ln 3
ln x
.
ln b
Marjinal Analiz …………………………………………………………………………
Örnek 5.
(
119
)
d x3 +5 x
3
= ? u = x 3 + 5 x alınarak,
dx
(
)
3
d x3 +5 x
d u
du
(
3
=
3 ) = 3u ln 3
= 3 x +5 x ⋅ ln 3 ⋅ (3x 2 + 5) .
dx
dx
dx
(
)
d
(log 5 x )3 = 3(log 5 x )2 ⋅ d (log 5 x ) = 3(log 5 x )2 1 = 3 log 5 x .
Örnek 6.
dx
dx
x ln 5
x ln 5
(
Örnek 7.
(
)
2
)
d 2
x + 2 x = 2 x + 2 x ln 2 .
dx
Örnek 8. Bir istatistikçi yaşadığı kentte yapılan nüfus sayımı verilerini kullanarak t yılında
kablolu televizyon abonesi olan vatandaşların sayısı S (t ) ile gösterilmek üzere
S (t ) = 104 (21ln t + 2)
modelini oluşturuyor. Burada, 2000 yılında t = 0 kabul ediliyor. Bu modele göre, o kentte
2010 yılında kaç adet kablolu televizyon abonesi bulunacağını tahmin ediniz. Ayrıca 2010
yılında kablolu televizyon abonelerinin sayısının zamana göre değişim oranını bulunuz.
Çözüm. 2010 yılında t = 10 olacaktır. Dolayısıyla, 2010 yılında kablolu televizyon abonesi
sayısı
S (10) = 104 (21ln10 + 2) ≈ 50 ⋅ 104 = 500 000
olarak tahmin edilir. t yılında kablolu televizyon abonelerinin sayısının zamana göre değişim
oranı
⎛ 21 ⎞
S ' (t ) = 104 ⎜ ⎟
⎝ t ⎠
dir. Dolayısıyla, 2010 yılında kablolu televizyon abonelerinin sayısının zamana göre değişim
oranı
S ' (10) = 104 (
olur.
21
) = 21000
10
Ders 7 ………………………………………………………………………………….
120
Örnek 9. İyi kalite Kayseri pastırması satan bir süpermarket, kilogramı p YTL den x
kilogram pastırma satması durumunda fiyat talep denkleminin
p = 35(0.999) x
olacağını tespit ediyor. Talep 800 kg olduğu anda fiyatın talebe göre değişim oranını
bulunuz.
Çözüm. Fiyatın talebe göre değişim oranı
dp
= 35(0.999) x ln(0.999)
dx
dur. Dolayısıyla, talep 800 kg olunca,
p' (800) = 35(0.999)800 ln(0.999) = −0.0157... ≈ −0.016
olur. Talep 800 kg olunca, fiyat kilogram başına 0.016 YTL düşüyor.
7.3. Ortalama Değerler ve Marjinal Ortalama Değerler. Bir işletmede x adet ürün
üretmek için toplam gider Gi(x) ise, bu durumda bir ürün üretmek için ortalama gider
Gi( x) =
Gi( x)
x
olarak tanımlanır.
Bu noktada, ortalama gider ile marjinal gideri bir arada düşünmekte yarar vardır. x ürün
üretmek için toplam gider Gi(x) ise, marjinal gider Gi' ( x) , bir sonraki ürünün yaklaşık
maliyetini, Gi(x) ise üretilen x üründe ürün başına ortalama gideri verir. Dolayısıyla,
Gi' ( x) ileriye doğru bakarak bir sonraki ürün için yapılacak gideri tahmin etme olanağı
verirken Gi(x) geriye doğru bakılarak o ana kadar yapılan üretimde ürün başına ortalama
gideri verir.
Eğer Gi' ( x) < Gi( x) ise, bir sonraki ürünü üretmek ortalama gideri düşürür. Eğer
Gi' ( x) > Gi ( x) ise, bir sonraki ürünü üretmek ortalama gideri yükseltir.
Marjinal Analiz …………………………………………………………………………
121
Bu bağlamda en önemli sorulardan biri, ortalama giderin hangi üretim seviyelerinde minimum
olduğudur. Türev üzerinde ileride yapacağımız tartışmalar sonucu daha iyi anlaşılacaktır ki,
ortalama giderin minimum olduğu üretim seviyeleri Gi ' ( x) = 0 olan x değerlei arasında
bulunur ve kolayca görülebileceği üzere bunlar Gi' ( x) = Gi ( x) olan, yani marjinal gider ile
ortalama giderin çakıştığı üretim seviyeleridir:
Gi( x) =
Gi( x)
xGi' ( x) − Gi( x)
⇒ Gi' ( x) =
, Gi' ( x) = 0 ⇒ Gi' ( x) = Gi( x).
x
x2
Ortalama giderin minimal olduğu üretim seviyesinin belirlenmesinde önem kazanan
Gi' ( x) =
d
(Gi( x) )
dx
türevi ile tanımlanan fonksiyona marjinal ortalama gider fonksiyonu denir. Marjinal
ortalama gider Gi' ( x) bir sonraki ürünün üretilmesinin ortalama gideri yaklaşık olarak ne
kadar değiştireceğini gösterir.
Ortalama gelir, ortalama kâr, marjinal ortalama gelir ve marjinal ortalama kâr da
benzer biçimde tanımlanır.
Ortalama gelir : Ge( x) =
Ortalama kâr : K ( x) =
Ge( x)
x
K ( x)
x
,
,
Marjinal ortalama gelir : Ge' ( x) =
Marjinal ortalama kâr
: K ' ( x) =
(
d
Ge( x)
dx
(
d
K ( x)
dx
)
)
Örnek 1. Petrol endüstrisinde kullanılan sondaj parçaları üreten bir firmanın günde x parça
üretmesi durumunda günlük toplam gideri
Gi( x) = 1000 + 25 x + (0.1)x 2
YTL olarak veriliyor.
a) Gi(x) ve Gi' ( x) i bulunuız.
b) Gi(10) ve Gi' (10) u bulunuız.
c) 11 inci parçayı üretmek ortalama gideri düşürür mü, yoksa yükseltir mi? Önceki
şıkta bulduğunuz değerleri kullanarak günde 11 parça üretilmesi durumunda parça
başına ortalama gideri yaklaşık olarak belirleyiniz.
ç) Ortalama gider hangi üretim seviyesinde minimum olur?
Çözüm. a) Gi( x) =
− 1000
1000
+ 25 + (0.1)x , Gi ' ( x) =
+ 0.1 YTL .
x
x2
Ders 7 ………………………………………………………………………………….
b) Gi(10) =
122
− 1000
1000
+ 25 + (0.1)(10 ) = 126 , Gi' (10) =
+ 0.1 = −9.9 YTL .
10
100
c) Gi' (10) = −9.9
negatif olduğundan 11 inci parçanın üretilmesi, ortalama
Gi' (10) = 25 + (0.2)10 = 27 < Gi(10) = 126
olduğu
gideri düşürür. Bu sonuca,
gözlemlenerek de ulaşılabilir. 11 parça üretilmesi durumunda parça başına ortalama giderin
yaklaşık değeri
Gi(11) ≈ Gi(10) + Gi ' (10) = 126 − 9.9 = 116.1 YTL .
olarak elde edilir.
ç) Ortalama giderin minimum olduğu x değerleri Gi' ( x) = Gi ( x)
sağlamalıdır.
Gi' ( x) = Gi ( x) ⇒ 25 + (0.2) x =
denklemini
1000
1000
+ 25 + (0.1)x ⇒
= (0.1)x ⇒ x = 100 .
x
x
100 parça üretilince ortalama gider
Gi(100) =
1000
+ 25 + (0.1)(100) = 45
100
YTL olur ki bu ortalama giderin minimum değeridir.
7.4. L’Hospital Kuralı. Limit hesaplarken, belirsiz haller dediğimiz
0
,
0
∞
∞
, 0⋅∞ , ∞ − ∞
durumları ile karşılaşıldığı çok olur. Belirsiz hallerden ilk ikisi ile
f ( x)
g ( x)
gibi bir kesrin,
üçüncüsü ile f ( x) ⋅ g ( x) gibi bir çarpımın ve son halle de f ( x) − g ( x) gibi bir farkın limiti
hesaplanırken karşılaşılabilir.
Marjinal Analiz …………………………………………………………………………
123
0
belirsiz halindedir
0
∞
f ( x)
denir. Benzer şekilde, eğer lim f ( x) = ∞ ve lim g ( x) = ∞ ise,
kesri x → c için
x →c
x →c
g ( x)
∞
Eğer lim f ( x) = 0 ve lim g ( x) = 0 ise,
x →c
x →c
f ( x)
kesri
g ( x)
x→c
için
belirsiz halindedir denir.
Yukarıdaki tanımda, x → c yerine x → c − , x → c + , x → ∞ veya x → −∞
bir kesrin bu durumlarda da belirsiz halde olmasının tanımlanabileceği açıktır.
alınarak
İlk iki belirsiz durum için L’hospital Kuralı’nı bir teorem olarak ifade edelim:
Teorem(L’Hospital Kuralı). f ve g türevli fonksiyonları verilmiş olsun. Eğer
ri x → c için
0
veya
0
f ( x)
kesg ( x)
∞
f ' ( x)
belirsiz halinde ise ve lim
mevcut ise,
x→
c
∞
g ' ( x)
lim
x →c
f ( x)
f ' ( x)
= lim
g ( x) x→c g ' ( x)
dir.
Sözel ifade ile, eğer x → c için bir kesrin hem payının hem de paydasının limiti sıfır ise,
payın türevi pay ve paydanın türevi payda olarak yazılınca elde edilen kesrin limitine bakılır.
Bu limit mevcut ise, başlangıçtaki kesrin limitine eşittir. Benzer şekilde, eğer x → c için bir
kesrin hem payının hem de paydasının limiti sonsuz ise, payın türevi pay ve paydanın
türevi payda olarak yazılınca elde edilen kesrin limitine bakılır. Bu limit mevcut ise,
başlangıçtaki kesrin limitine eşittir.
Ayrıca, L’Hospital Kuralı’nın ifadesinde x → c yerine x → c − ,
x → −∞ dan herhangi biri alınsa da kural geçerlidir.
x → c+ ,
x→∞
veya
x2 + 2x − 8
= ? Burada, pay f ( x) = x 2 + 2 x − 8 , payda g ( x) = x 2 + x − 6 dır ve
x→2 x2 + x − 6
f ( x)
x → 2 için hem payın hem de paydanın limiti sıfırdır. Dolayısıyla
kesri x → 2 için
g ( x)
0
belirsiz halindedir. Limiti bulmak için L’Hospital Kuralı uygunabilir. Payın türevi
0
2x + 2 6
f ' ( x) = 2 x + 2 , paydanın türevi g ' ( x) = 2 x + 1 dir ve lim
= dir. O halde,
x→2 2x + 1
5
Örnek 1. lim
2x + 2 6
x2 + 2 x − 8
lim 2
= .
= lim
x→2 x + x − 6
x→2 2 x + 1
5
Ders 7 ………………………………………………………………………………….
ln x
= ? Burada, pay
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎝ x⎠
Örnek 2. lim+
x →0
f ( x) = ln x , payda g ( x) =
1
tir.
x
124
f ( x)
kesri x → 0 +
g ( x)
∞
belirsiz halinde olduğundan, , L’Hospital Kuralı uygulanabilir. Payın türevi
∞
−1
1
(1 / x)
f ' ( x) = , paydanın türevi g ' ( x) = 2 dir ve lim+
= lim+ (− x) = 0 dır. O halde,
2
x → 0 ( −1 / x )
x→0
x
x
için
lim+
x →0
ln x
1/ x
= lim+
= lim (− x) = 0.
⎛ 1 ⎞ x →0 (−1 / x 2 ) x →0 +
⎜ ⎟
⎝ x⎠
ex − 1
= ? Burada, verilen kesir x → 0 için 0 belirsiz halinde olduğundan,
Örnek 3. lim
x →0
x
0
L’Hospital Kuralı uygulanabilir:
lim
x →2
Örnek 4. lim
ln x
x →∞
e x −1
ex
= lim
= 1.
x→2 1
x
= ? Burada da verilen kesir
x
L’Hospital Kuralı uygulanabilir:
lim
ln x
x →∞
x
= lim
x →∞
1/ x
1/ 2 x
= lim
x →∞
1
2 x
x→∞
için
∞
belirsiz halindedir ve
∞
= 0.
L’Hospital Kuralı uygulanırken bir bölümün limiti söz konusudur, ancak bu kural
uygulanırken limiti bulunmak istenen bölümün payının ve paydasının ayrı ayrı türevleri
alınınca elde edilen kesrin limitine bakılır; limiti bulunmak istenen bölümün türevi
hesaplanmaz.
Daha önce başka bir yöntemle hesapladığımız bir limiti L’Hospital Kuralı yardımıyla
hesaplayalım:
x2 − 4
x2 − 4
2x
= lim
= 4. Burada x → 2 için
Örnek 5. lim
nin
x→2 x − 2
x→2 1
x−2
olduğuna dikkat ediniz.
0
belirsiz halinde
0
0 ⋅ ∞ belirsiz hali ile f ( x) ⋅ g ( x) gibi bir çarpımın limiti hesaplanırken karşılaşılabilir. Eğer
lim f ( x) = 0 ve lim g ( x) = ∞ ise, bu takdirde,
x →c
x →c
f ( x) ⋅ g ( x) =
g ( x)
f ( x)
(veya f ( x) ⋅ g ( x) =
)
1
1
f ( x)
g ( x)
Marjinal Analiz …………………………………………………………………………
yazılarak 0 ⋅ ∞ belirsiz hali ,
125
∞
0
belirsiz haline (veya belirsiz haline) dönüştürülerek yine
∞
0
L’Hospital Kuralı uygulanır.
Örnek 6.
lim x ln x = ?
Burada x ln x in x → 0+ için 0 ⋅ ∞ belirsiz halinde olduğu
x→0+
açıktır. Yukarıdaki dönüşüm uygulanarak, 0 ⋅ ∞ belirsiz halinden
∞
belirsiz haline geçilerek
∞
L’Hospital Kuralı uygulanır:
lim+ x ln x = lim+
x →0
x →0
ln x
(1 / x)
= lim+
= lim (− x ) = 0 .
(1 / x) x →0 (−1 / x 2 ) x →0 +
∞ − ∞ belirsiz hali ile f ( x) − g ( x) gibi bir farkın limiti hesaplanırken karşılaşılabilir. Bu
0
∞
durumda da verilen ifade
veya
belirsiz hallerinden birine dönüştürülerek sonuca
0
∞
gidilir.
⎛ x 2 ( x + 1) − x 2 ( x − 1) ⎞
⎛ 2x2 ⎞
⎛ x2
x2 ⎞
4x
⎟ = lim ⎜ 2
⎟ = lim
⎟ = lim ⎜
= 2. Verilen
−
Örnek 7. lim ⎜⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
x + 1 ⎠ x → ∞⎝
( x − 1)( x + 1)
x → ∞⎝ x − 1
⎠ x → ∞⎝ x − 1 ⎠ x → ∞ 2 x
∞
x2
x2
2x2
ifadesinin eşiti olan 2
kesri x → ∞ için
belirsiz halindedir ve bu kesir
−
x −1 x +1
∞
x −1
için L’Hospital Kuralı uygulanmıştır.
Bazen bir limit hesaplanırken L’Hospital Kuralı’nın art arda uygulanması gerekebilir.
Örnek 8. lim
x →0
ex −1− x
ex −1
ex 1
=
=
= . Bu örnekte, verilen kesir 0 belirsiz
lim
lim
2
x
→
0
x
→
0
2x
2 2
x
0
halinde olup L’Hospital Kuralının uygulanmasından sonra elde edilen kesir de
0
belirsiz
0
halindedir. Dolayısıyla, L’Hospital Kuralı bir kez daha uygulanarak sonuç bulunmuştur.
Örnek 9. lim
x →1
x 6 − 3x 2 + 2
(x − 1)2
6 x5 − 6 x
30 x 4 − 6
= lim
= 12.
x →1 2( x − 1)
x →1
2
= lim
Bir kesrin limitinin hesabında L’Hospital Kuralı uygulanırken kesrin belirsiz halde
olduğundan emin olunmalıdır. Bazı sınavlarda, öğrenciyi şaşırtmak veya dikkatini ölçmek
için belirsiz halde olmayan kesirlerin limiti sorulur. Belirsiz halde olmayan bir kesir için
L’Hospital Kuralı’nın uygulanması çoğu zaman yanlış sonuçlara götürür.
Ders 7 ………………………………………………………………………………….
126
⎛ x2 + 1 ⎞
⎟⎟ limiti hesaplanırken payın limiti lim( x 2 + 1) = 2 ve paydanın
Örnek 10. lim⎜⎜
x →1
x →1
⎝ x +1 ⎠
limiti lim( x + 1) = 2 olduğundan, bölümün limiti için bilinen özellikten
x →1
⎛ x2 + 1 ⎞ 2
⎟⎟ = = 1
lim⎜⎜
x →1
⎝ x +1 ⎠ 2
elde edilir. Eğer bu limit hesaplanırken, kesrin x → 1 için belirsiz halde olup olmadığına
bakmadan L’Hospital kuralı uygulansaydı
⎛ x2 + 1 ⎞
⎛ 2x ⎞ 2
⎟⎟ = lim⎜ ⎟ = = 2
lim⎜⎜
x →1
x
→
1
⎝ 1 ⎠ 1
⎝ x +1 ⎠
yanlış sonucu elde edilirdi.
Örnerk 11. lim
x →0
e x + e− x
= ? Belirsiz hal olup olmadığına dikkât edilmeden art arda
x2
L’Hospital Kuralı uygulanırsa
lim
x →0
e x + e− x
e x − e− x
e x + e− x
=
lim
=
lim
=1
x →0
x→0
2x
2
x2
elde edilir. Oysa burada belirsiz hal bulunmayıp
e x + e− x
1
1
= lim [(e x − e − x )( 2 )] = lim (e x − e − x ) lim ( 2 ) = 2 ⋅ ∞ = ∞
2
x →0
x →0
x →0
x →0 x
x
x
lim
olduğu görülür.
Marjinal Analiz …………………………………………………………………………
127
Problemler 7
1. Zincir Kuralı kullanarak f´(x) i hesaplayınız.
a) f ( x) = (2 x + 5)3
b) f ( x) = (3 x 2 + 5)5
c) f ( x) = (2 x + 5) −3
ç) f ( x) = 3 3 x + 4
2. Aşağıdaki türevleri hesaplayınız
d ( x 3 + 2) 4
b)
(
)
dx 2 x + 7
d
(( x 2 − 1)12 (2 x + 3) 21 )
a)
dx
3.
f´(x) i hesaplayınız.
a) f(x) = 4ex + 5 ln x
b) f(x) = 4xe +x ln 5
c) f(x) = ln x5
d) f(x) = (x+2)3 ln x
e) f(x) = x2 ex – 2x ex + 2
f) f(x) = ln (3x2 – 1)
ç) f(x) = (ln x)5
1
g) f ( x) = ln
x
4. Aşağıdaki türevleri bulunuz.
d ⎛⎜ e 2 x ⎞⎟
c)
dx ⎜⎝ x 2 + 2 ⎟⎠
d 3x 2 −2 x
d
a)
(ln ( x 2 − 3 x + 4)) b)
(e
)
dx
dx
ç)
⎞
d ⎛
x
⎜⎜
⎟
2
dx ⎝ ln( x − 4 x + 3) ⎟⎠
ç)
⎞
d ⎛
x
⎜
⎟
2
⎜
dx ⎝ log 5 ( x − 4 x + 3) ⎟⎠
5. Aşağıdaki türevleri bulunuz.
a)
d
(log5 ( x 2 − 3 x + 4))
dx
b)
d 3 x2 −2 x
(5
)
dx
6. f ( x) = ( x 2 + x + 1)e x olduğuna göre f
doğrunun denklemini yazınız.
c)
d ⎛ 10 2 x ⎞
⎟
⎜
dx ⎜⎝ x 2 + 2 ⎟⎠
fonksiyonunun grafiğine (0,1) noktasında teğet olan
7. Bir şirket t ayda S (t ) = 20 t + 10 adet otomobil satıyor.
a) S ' (t ) yi hesaplayınız.
b) S (15) ve S ' (15) değerlerini hesaplayınız ve bu değerleri yorumlayınız.
Ders 7 ………………………………………………………………………………….
128
8. Bir firmanın bir ayda tanesi p YTL den x tane ürün satılabileceğini varsayarak üretim
yapması durumunda fiyat talep fonksiyonu p = 1000 − 5 x , 0 < x < 200 ve x tane ürünün üretimi
için toplam gider Gi ( x) = 30 000 + 50 x YTL olarak veriliyor.
a) Ge( x) , Ge' ( x) , K ( x) ve K ' ( x) i bulunuz.
b) K (50) ve K ' (50) yi bulunuız. 51 inci ürünün üretilmesi ortalama kârı yükseltir mi,
yoksa düşürür mü?
c) K (100) ve K ' (100) yi bulunuız. 101 inci ürünün üretilmesi ortalama kârı yükseltir
mi, yoksa düşürür mü?
ç) 101 ürün üretilmesi durumunda ürün başına ortalama kârı yaklaşık olarak belirleyiniz.
9. x adet üretilmesi için yapılması gereken toplam gider Gi ( x) = 2 500 + 5 x + 0.01x 2 YTL olarak
veriliyor.
a) 250 adet ürün üretilmesi durumunda ürün başına ortalama gideri belirleyiniz.
b) 250 adet ürün üretilmesi durumunda ürün başına marjinal ortalama gideri belirleyiniz.
c) 251 inci ürün üretilirse, ortalama gider yükselir mi yoksa düşer mi?
ç) Bulduğunuz değerler yardımıyla 251 adet ürün üretilmesi durumunda ürün başına ortalama gideri tahmin ediniz.
d) Kaç adet ürün üretilmesi durumunda ortalama gider minimum olur?
10. x tane çim biçme makinesi satılınca elde edilen kâr K(x) = 30x – 0.03x2 –750 YTL olarak
veriliyor.
a) Marjinal kâr fonksiyonunu bulunuz.
b) 50 makine satılması durumunda marjinal kâr ne olur?
c) 50 makine satılması durumunda makine başına ortalama kâr nedir? Ortalama kâr ile
marjinal kârı karşılaştırınız. Bu karşılaştırmadan ne sonuç çıkardınız?
ç) 50 makinelik bir satış seviyesi için marjinal ortalama kârı belirleyiniz ve bunu yorumlayınız. 51 inci makine satılınca ortalama kâr yükselir mi, yoksa düşer mi?
d) 51 makine satılması durumunda ortalama kârın ne olacağını tahmin ediniz.
11. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız(L’Hospital Kuralı).
a) lim
2 x 3 − 16
x2 − 4
2x − 1
d) lim
x → 0 x ln 2
x→2
x 5 + 32
x −1
b) lim
c) lim 3
x → −2 x + 8
x →1+ x − 1
e2 x − 2 x − 1
1⎞
⎛ 1
− ⎟
e) lim
f) lim+ ⎜ x
2
x →0 ⎝ e − 1
x →0
x⎠
x
x15 − 1
x →1 x − 1
ç) lim
g) lim x 2 ln x
x →0+
12. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
2 x 3 − 16
a) lim 2
x→2 x + 4
b) lim
x→2
x 5 + 32
3
x +8
ln x
x →1 x − 1
c) lim
1⎞
⎛ 1
− ⎟
x
x →1 e − 1
x⎠
⎝
ç) lim ⎜