Uyarı 4.1.2

1
BÖLÜM IV.
LOKAL KOMPAKT UZAYLAR
4.1. Lokal Kompakt uzaylar.
Tanım.4.1.1.  ,  bir topolojik uzay olsun. Eğer her x   noktası
 uzayında kompakt bir komşuluğa sahip ise  uzayına lokal
kompakt uzay denir.
Uyarı 4.1.2. Eğer her x   için V kümesi kompakt olacak şekilde bir
V U  x  açık komşuluğu varsa  uzayı bir lokal kompakt uzaydır.
Uyarı 4.1.3. Kompakt bir uzay her noktasının kompakt komşuluğu
olduğundan her kompakt uzay lokal kompakttır. Fakat tersi genelde
doğru değildir.
Örnek 4.1.4.  sonsuz bir küme olsun. Bu durumda  , D  ayrık
uzayı bir lokal kompakt uzaydır. Fakat kompakt değildir. Gerçekten
her x   için tek elemanlı x   alt kümeleri kompakt olduğundan
 lokal kompakttır. Fakat
x : x   açık örtüsünden
 kümesini
örten bir alt örtü seçilemez. Böylece  kümesi kompakt değildir.
Örnek 4.1.5.
noktalarının
 x   , x   

,U  alışılmış uzayı lokal kompakttır. Her x
bir
 x   , x     x
kapalı
komşuluğu
Heine-Borel teoreminden kompakttır.

vardır.
,U  lokal
kompakttır.
Teorem 4.1.6. Her lokal kompakt T2 uzayı bir regüler uzaydır.
2
İspat.
 , 
durumda
bir lokal kompakt T2 uzayı olsun. x   alalım. Bu
x noktasının bir  kompakt komşuluğu vardır.  ,  , T2
uzayı olduğundan  kümesi kapalıdır. Diğer taraftan  ,   uzayı
kompakt T2 uzayı olduğundan
 ,  
regülerdir. Buradan
 , 
uzayının her x   noktası  uzayının regüler kapalı alt uzayı olan
bir komşuluğa sahipse  bir regüler uzaydır.
Teorem 4.1.7.  ,  lokal kompakt T2 uzayının bir
kompakt noktaları
x noktasının tüm
x noktasının bir komşuluk tabanını oluşturur.
İspat. Lokal kompakt tanımından ve (  ,  uzayının bir regüler uzay
 Her x   noktası ve x noktasının herhangi bir U komşuluğu
verildiğinde x V  V  U olacak şekilde bir V komşuluğu vardır )
teoreminden x   noktasının kapalı komşulukları x noktasının bir
komşuluk tabanıdır. x   noktasının bir kapalı  komşuluğu
verilsin.
x noktasının bir kompakt komşuluğu K olmak üzere
F  K
kümesi
 ,  
kümesine göre
x
noktasının bir
komşuluğudur. Buradan F kümesi  uzayına göre de bir kompakt
uzaydır. Böylece F   olduğundan x noktasının tüm kompakt
komşulukları  uzayının bir kompakt komşuluklarını oluşturur.
Teorem 4.1.8. f :  ,1   Y , 2  sürekli açık ve örten olsun Eğer 
kümesi lokal kompakt ise Y uzayı da lokal kompakttır.
1
İspat. y  Y alalım ve x  f  J  seçelim.  ,  uzayı lokal kompakt
olduğundan x noktasının bir  kompakt komşuluğu vardır. 
 x
olduğundan x V  x    olacak şekilde Vx  1 vardır. Buradan
f  x   y  f V  x    f   olur. f sürekli olduğundan
f    Y
3
açık olduğundan f V   Y açıktır. O halde f   
kompakttır. f
kümesi y noktasının bir kompakt komşuluğudur. O halde Y kümesi
lokal kompakttır.
Sonuç 4.1.9. Lokal kompakt olma özelliği topolojik özelliktir.
 , 
Teorem 4.1.10.
lokal kompakt T2 uzayı ve ,    alt
kümeleri verilsin. Aşağıdakiler vardır.
a.    açık ise  ,   uzayı lokal kompakttır.
b.    kapalı ise  ,   uzayı lokal kompakttır.
c.
   açık ise    kapalı ise
  ,  
uzayı lokal
kompakttır.
İspat. a. x alalım  açık olduğundan x noktasının bir açık
komşuluğudur.
 , 
lokal kompakt T2 olduğundan x noktasının
kompakt komşulukları x noktasının bir komşuluk tabanını oluştururlar.
O halde x V   olacak şekilde bir V 
 x
kompakt komşuluğu
vardır. V kümesi  ,   bir lokal kompakt uzaydır.
b. x    alalım.  ,  lokal kompakt olduğundan x noktasının 
uzayında bir V
kompakt komşuluğu vardır. Böylece
kümesi  ,   uzayında
f   V
x noktasının bir komşuluğudur.  kümesi
kapalı olduğundan F  V kümesi V , v  uzayında kapalıdır. V
kompakt olduğundan
F V
kompakttır. O halde
F 
kapalı kümesi
kümesi
 ,  
V , v 
uzayında
uzayına göre de
kompakttır. Böylece F kümesi x   noktasının
 ,   uzayında
4
kompakt komşuluğu olduğundan
 ,  
uzayı bir lokal kompakt
uzaydır.
c.  kümesi  uzayı üzerinde açık ve  kümesi  uzayı üzerinde
kapalı ise a. önermesinden  ,   ve b. önermesinden  ,   uzayları
lokal kompakttır. O halde   ,   alt uzayının da lokal kompakt
olduğu açıktır.
n
Teorem 4.1.11.     i lokal kompakttır  Her i 1, 2,..., n için
i1
i çarpan uzayı lokal kompakttır.
İspat.  Her i   için  i :   i izdüşüm fonksiyonları sürekli açık
ve örten olduğundan Tychoroff teoreminde göre her bir  i çarpım
uzayı da lokal kompakttır

   x1 , x2 ,..., xn  
 x1, x2 ,..., xn 
noktalarının
ve
V
sırasıyla
 x
alalım.
1 , 2 ,..., n
Bu
durumda
uzaylarında
V1 ,V2 ,...,Vn komşulukları vardır ki V1 V2  ... Vn  V dir. Diğer
taraftan her i 1, 2,..., n için  i çarpan uzayları lokal kompakt
olduğundan her xi  i noktasının öyle K i kompakt komşuluğu vardır
ki Ki  Vi olur. Buradan K  K1  K2  ...  Kn  V1 V2  ... Vn  V olur.
K kümesi  çarpım uzayında da kompakttır ( Tychoroff Teoremi ).
n
O halde     i çarpım uzayı bir lokal kompakt uzaydır.
i1
5
n
Teorem 4.1.12. Boş olmayan
   i
çarpım uzayı lokal
i1
kompakttır  Her bir  i lokal kompakt ve en fazla sonlu tanesi hariç
tüm  i uzayları kompakttır.
Tanım 4.2.1.  ,  topolojik uzay ve Y ,U  kompakt uzayı verilsin.
Eğer  , Y kümesinin yoğun bir alt uzayına homeomorf ise Y
uzayına  kümesinin bir kompaktlaştırılması denir.
,U  uzayında   1, 2 

Örnek 4.2.2.
kompakt değildir.
Y  1,2 kümesi kapalıdır ve   Y dir. Ayrıca   Y dir. O halde Y
uzayı  uzayının bir kompaktlaştırılmasıdır.

Örnek 4.2.3.
olduğundan
Örnek 4.2.4.
 0,0,1

   ,   uzayı kompakttır.


ve


kümesinin bir kompaktlaştırılmasıdır.
,
3
uzayında xy düzlemini P ile gösterelim ve merkezi
olan birim S kümesi olsun. S kümesinin K   0,0,2 kuzey
kutup noktasından ve P düzleminin bir   x, y  noktasından geçen
bir doğru K kutup noktasından farklı bir tek  noktasıyla keser.
f :PS
dönüşümü
f     olacak şekilde tanımlansın.
f
dönüşümü kompakt olmayan P düzlemi ile S  K  arasında bir
homeomorfizmdir. Diğer taraftan S  K  kümesinin kapanışı S
kümesine eşit olur. Böylece P düzleminin bir kompaktlaştırmasıdır.
Uyarı 4.2.5.Yukarıdaki örnek
2
düzleminde düşünülürse
kümesinin diğer bir kompaktlaştırılması çember olur.
6
Teorem 4.2.6.  ,1  bir topolojik uzay w  ve Y    w olsun.
 2  P Y  aşağıdaki kümelerden oluşsun.
a.  1 ailesine ait her küme,
b. Y kümesinin
w noktasını içeren alt kümelerden Y kümesine göre
tümleyeni  uzayında kapalı ve kompakt olanlar.
Bu durumda  2 ailesi Y kümesi üzerinde bir topolojidir ve  ,1 
uzayı Y , 2  uzayının bir alt uzayıdır. Y , 2  uzayı kompakttır ve 
kümesi Y kümesinde yoğundur. Y , 2  uzayına  ,1  uzayının tek
nokta kompaklaştırması denir.
Uyarı 4.2.7. Küre düzlemin tek nokta kompaktlaştırılmasıdır. Çember
düzleminin tek nokta kompaktlaştırılmasıdır.

,
düzleminin
tek nokta kompaktlaştırılmasıdır.
Teorem
4.2.8
Bir
 , 
uzayının
 Y , 2 
tek
nokta
kompaktlaştırılması bir T2 uzayıdır   uzayı lokal kompakt T2
uzayıdır.
İspat. 
 Y , 1 
bir T2 uzayı olsun.  uzayı Y uzayının bir alt
uzayı olduğundan  uzayı da bir T2 uzayıdır. Y uzayı kompakt
olduğundan lokal kompakttır.  kümesi Y kümesinin bir açık alt
kümesi olduğundan  uzayı lokal kompakttır.
  lokal kompakt T2 uzayı olsun  lokal kompakt T2 uzayı
olduğundan her x   noktasının  uzayı içinde bir K kompakt
komşuluğu vardır.  , T2 uzayı olduğundan K kapalıdır. O halde
K Y K
kümesi açıktır. w Y  K
olduğundan, Y  K ,
w
7
noktasının bir komşuluğudur ve K  Y  K    olur. O halde Y
kümesi bir T2 uzayıdır.
Sonuç 4.2.9. Lokal kompakt
 T2 uzayının Y
tek nokta
kompaktlaştırması bir T4 uzayıdır.
İspat.
 Y , 2 
kompakt uzayı bir T2 uzayıdır. Dolayısıyla bir T1
uzaydır. Ayrıca Y , 2  bir normal uzaydır. O halde Y bir T4 uzaydır.
Notlar 4.2.10. i. Yerel kompaktlık sürekli fonksiyon altında
korunmaz. Çünkü herhangi bir topolojik uzay yerel kompakt olan
ayrık uzayın sürekli bir görüntüsü olarak ifade edilebilir. Ancak
sürekli fonksiyon açık fonksiyon olursa o zaman görüntüsü lokal
kompakt olur.
ii. Yerel kompakt uzayın sonsuz çarpımı yerel kompakt değildir.
Çünkü
reel sayılar kümesi alışılmış topoloji ile yerel kompakt
olmasına rağmen

n
çarpım uzayı yerel kompakt değildir. Ancak
n
yerel kompakt uzayın sonlu çarpımı yerel kompakttır.
iii. Yerel kompaktlık kalıtsal değildir. Çünkü
yerel kompakttır. Fakat
değildir.

,U  alışılmış uzayı
rasyonel sayılar kümesi lokal kompakt